Übung - Uni Siegen

0. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
1. Gegeben seien in der Anschauungsebene eine Gerade g und 2 Punkte P und Q, deren
Verbindungsstrecke mit g keinen Punkt gemeinsam hat. Sei P ′ der Spiegelpunkt von P
an g und S der Schnittpunkt der Strecke von P ′ nach Q mit g. Zeigen Sie: Unter allen
Streckenzügen von P nach Q über einen Punkt T ∈ g ist der Streckenzug von P nach Q
über S der kürzeste. Was passiert im Fall P = Q?
2. Gegeben seien in der Anschauungsebene die beiden verschiedenen Geraden g und h und
die beiden Punkte P und Q, deren Verbindungsstrecke weder mit g noch mit h einen
Punkt gemeinsam hat. Ein Strahl, ausgehend von P , werde zuerst an g und danach an
h reflektiert. Wie muss er laufen, damit der sich ergebende Streckenzug durch Q geht?
Suchen Sie nach Antworten mit Hilfe von geobra. Wie stehen der Anfangsstrahl durch P
und der Endstrahl durch Q zueinander, wenn g und h parallel oder senkrecht zueinander
sind?
3. Sei n ∈ IN, n ≥ 3. Ein ebenes n-Eck heißt regulär, wenn alle Seiten gleich lang und alle
Innenwinkel gleich groß sind.
(a) Wie groß ist ein Innenwinkel und die Summe aller Innenwinkel?
(b) Geben Sie für n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 an, wie man ein reguläres n-Eck nur mit Hilfe von
Zirkel und Lineal konstruieren kann!
4. Eine Menge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten der Menge auch ihre Verbindungsstrecke vollständig in der Menge enthalten ist. Ein beschränkter Durchschnitt von endlich
vielen Halbräumen des Anschauungsraums heißt konvexes Polytop.
Sein Rand besteht aus ebenen Flächen, den Seiten“. Diese werden von Strecken berandet,
”
den Kanten“, und die Endpunkte der Kanten heißen Ecken“ des Polytops.
”
”
Sind nun bei einem konvexen Polytop alle Kanten gleich lang, haben alle Seiten gleich viele
Ecken und gleichgroße Innenwinkel, stoßen an jeder Ecke gleich viele Seiten zusammen
und sind die Winkel zwischen zwei benachbarten Seiten jeweils gleich groß, dann heißt
das Polytop regulär.
Überlegen Sie, wie viele Typen regulärer konvexer Polytope es geben kann!
1. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
1. Gegeben sei die Ebene Γ := {A, B, C} mit den Geraden g1 = {A, B}, g2 = {B, C},
g3 = {A, C}. Zeigen Sie,
(a) daß die Verknüpfungsaxiome gelten,
(b) daß es kein Modell einer Geometrie mit weniger Punkten oder weniger Geraden gibt,
in der die Verknüpfungsaxiome gelten.
2. Geben Sie ein Modell einer Geometrie mit Punkten, Geraden in der Ebene an, das den
Verknüpfungsaxiomen (V1) und (V3) genügt, aber nicht (V2).
3. Der Club der Schildkröten, aus A Survey of Geometry“ von Howard Eves:
”
Definitionen:
Der Club der Schildkröten ist eine Versammlung einer oder mehrerer Personen. Eine
Person im Club der Schildkröten heißt Schildkröte. Die Ausschüsse sind bestimmte Versammlungen einer oder mehrerer Schildkröten. Eine Schildkröte in einem Ausschuss heißt
Mitglied des Ausschusses. Zwei Ausschüsse sind gleich, wenn jedes Mitglied des ersten
Ausschusses auch Mitglied des zweiten Ausschusses ist und wenn jedes Mitglied des zweiten Ausschusses auch Mitglied des ersten Ausschusses ist. Zwei Ausschüsse, die keine
gemeinsamen Mitglieder haben, heißen disjunkte Ausschüsse.
Axiome:
(1) Jede Schildkröte ist Mitglied in mindestens einem Ausschuss.
(2) Zu jedem Paar von Schildkröten gibt es einen und nur einen Ausschuss, so dass beide
Schildkröten Mitglieder des Ausschusses sind.
(3) Zu jedem Ausschuss gibt es einen und nur einen disjunkten Ausschuss.
Beweisen Sie
Satz 1: Jede Schildkröte ist Mitglied in mindestens zwei Ausschüssen.
Satz 2: Jeder Ausschuss hat mindestens zwei Mitglieder.
Satz 3: Jede Schildkröte ist sogar Mitglied in mindestens drei Ausschüssen.
Welches ist die kleinstmögliche Zahl von Schildkröten?
Scheinbedingungen:
1. Es wird eine Reihe von besonders gekennzeichneten Übungsblättern mit zu bearbeitenden
Aufgaben ins Netz gestellt. Die von Ihnen gefundenen Lösungen sind abzugeben und
werden korrigiert. Abgabe in Gruppen bis 3 Teilnehmer. Im Semester müssen mindestens
40% der bei den abzugebenden Übungsaufgaben erreichbaren Punkte erzielt werden.
2. Es werden 2 Klausurtermine stattfinden: Die erste am 7.Februar 2014 und die zweite
wahrscheinlich kurz nach Vorlesungsbeginn SS 14. Jede Klausur beinhaltet Aufgaben mit
insgesamt 16 Punkten.
3. Einen kleinen“ Schein (4 KP für Gym, 6 KP für HR) erhält man, wenn Bedingung (1)
”
erfüllt ist und man in einer der Klausuren mindestens 5 Punkte erzielt hat.
Einen Leistungsnachweis ( großer“ Schein) (6 KP für Gym, 8 KP für HR) erhält man,
”
wenn Bedingung (1) erfüllt ist und man aus einer der Klausuren mindestens 8 Punkte
erzielt hat.
2. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
4. Gegeben sei die Ebene
(a) Γ = {A, B, C, D, E, F } mit den Geraden g1 = {A, B, C}, g2 = {A, B, E, F }, g3 =
{C, D}, g4 = {D, E, F }.
(b) Γ = {A, B, C, D, E} mit den Geraden g1 = {A, B, E}, g2 = {A, C}, g3 = {A, D},
g4 = {B, C}, g5 = {B, D}, g6 = {C, D, E}.
Welche der Axiome (V1)–(V3), (Pa) sind erfüllt und welche nicht? Begründen Sie Ihre
Antwort! Geben Sie alle Parallelenscharen der Geometrien an!
5. Gegeben sei folgendes System von Inzidenzaxiomen des Raums Γ mit speziellen Teilmengen, den Geraden, und anderen speziellen Teilmengen, den Ebenen:
(V1) Zu je zwei verschiedenen Punkten P, Q ∈ Γ gibt es stets genau eine Gerade g, die
diese Punkte enthält.
(V2) Jede Gerade enthält mindestens zwei verschiedene Punkte.
(V3) Es gibt mindestens drei verschiedene Punkte, die nicht in ein und derselben Geraden
enthalten sind.
(V4) Zu je drei nicht kollinearen Punkten P, Q, R ∈ Γ gibt es stets genau eine Ebene E,
die diese Punkte enthält. Jede Ebene enthält mindestens einen Punkt.
(V5) Liegen zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E, dann gilt g ⊂ E.
(V6) Haben zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt, dann mindestens einen weiteren.
(V7) Es gibt mindestens vier verschiedene Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene
enthalten sind (sie sind nicht komplanar).
(a) Geben Sie ein Modell mit 4 Punkten an, das diesen Axiomen genügt.
(b) Sei E eine Ebene, g eine Gerade mit g 6⊂ E. Zeigen Sie: E und g haben höchstens
einen gemeinsamen Punkt.
(c) Gegeben seien 4 nicht komplanare Punkte. Zeigen Sie: Je drei sind nicht kollinear.
(d) Zeigen Sie: Es gibt mindestens 6 verschiedene Geraden.
6. Sei Γ eine Ebene mit Punkten und Geraden, und es gelten die Verknüpfungsaxiome und
die Aussage von Satz 1.3.5.
Zeigen Sie, daß es dann zu jeder Geraden g und jedem Punkt P 6∈ g höchstens eine
Parallele zu g durch P geben kann!
3. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
7. Sei Γ eine Ebene mit genau n Punkten, und es gelten die Verknüpfungsaxiome und das
Parallelenaxiom.
Zeigen Sie: n 6= 3 und n 6= 5.
(4 Punkte)
8. Es seien die Axiome (V1), (V2), (V3), (A1), (A2) erfüllt.
Zeigen Sie: Durch jeden Punkt der Ebene gehen unendlich viele Geraden.
(2 Punkte)
9. Zeigen Sie, daß es in dem Beispiel 1.4.12 zu jeder Geraden g und zu jedem Punkt P 6∈ g
eine Parallele zu g gibt, es aber auch mehrere geben kann.
(5 Punkte)
10. Sei Γ eine Ebene mit Punkten und Geraden, und es gelten die Verknüpfungsaxiome, das
Parallelenaxiom und die Anordnungsaxiome (A1)–(A3). Seien weiter A, B, C drei nicht
kollineare Punkte der Ebene, D ∈ AB mit A ≺ B ≺ D, E ∈ BC, E 6= B, E 6= C.
Zeigen Sie: Die Gerade DE trifft die offene Strecke AC \ {A, C} in einem Punkt.
(3 Punkte)
11. In Γ := {(x, y); x, y ∈ IR} (= IR2 ) sei als Abstand“ die Maximumsmetrik
”
d(X, Y ) = d (x1 , x2 ), (y1 , y2) := max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |}
definiert. Bestimmen Sie die Menge der Punkte, die von A (0, 0) und B (1, 0) den gleichen
Abstand haben (d.h. die Mittelsenkrechte“ von AB bezüglich dieser Abstandsdefinition).
”
(3 Punkte)
Abgabe der Aufgaben bis spätestens 15.11. vor der Vorlesung. Abgabe in
Gruppen bis 3 Teilnehmer. Bitte jede Aufgabe auf gesondertem Blatt.
4. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
12. Sei Γ eine Ebene mit Punkten und Geraden, und es gelten die Verknüpfungsaxiome, das
Parallelenaxiom und die Anordnungsaxiome (A1)–(A3). Seien A, B ∈ Γ mit A 6= B und
g := AB. Weiter seien X, Y ∈ Γ mit X, Y 6∈ g und X und Y liegen auf verschiedenen
Seiten von g. Zeigen Sie: Es gilt
AX ∩ BY = ∅.
(3 Punkte)
13. Sei K ein Kreis, P ein Punkt außerhalb des Kreises. Konstruieren Sie Punkte Q1 , Q2 auf
dem Kreis so, daß die Strecke P Q1 maximale und P Q2 minimale Länge von allen Strecken
P Q mit Q auf K hat.
Geben Sie analoge Konstruktionen für einen Punkt P innerhalb des Kreises an!
Begründen Sie Ihre Antworten!
(4 Punkte)
14. Sei g eine beliebige Gerade, sg die zugehörige Spiegelung, M ∈ Γ und r > 0 beliebig.
Zeigen Sie: Das Bild des Kreises um M mit Radius r unter der Spiegelung sg ist wieder
ein Kreis. Geben Sie Mittelpunkt und Radius des Bildkreises an!
15. Ein Dreieck heißt gleichschenklig, wenn es (mindestens) zwei gleichlange Seiten hat, und
gleichseitig, wenn alle drei Seiten gleich lang sind. Sei g eine beliebige Gerade, sg die
zugehörige Spiegelung. Zeigen Sie:
(a) Das Bild eines gleichschenkligen Dreiecks unter der Abbildung sg ist wieder gleichschenklig.
(b) Ein gleichschenkliges, nicht gleichseitiges Dreieck hat genau eine Symmetrieachse
(c) Ein gleichseitiges Dreieck hat genau 3 Symmetrieachsen.
(5 Punkte)
16. Sei g eine Gerade, A und B zwei verschiedene Punkte mit A, B 6∈ g, und sg sei die
Spiegelung an g. Konstruieren Sie, wenn möglich, einen Punkt C ∈ g mit sg (AC) = BC.
Begründen Sie die Richtigkeit Ihrer Konstruktion.
(2 Punkte)
Abgabe der Aufgaben 12, 13, 15, 16 bis spätestens 22.11. vor der Vorlesung.
Abgabe in Gruppen bis 3 Teilnehmer. Bitte jede Aufgabe auf gesondertem Blatt.
5. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
17. Sei g eine beliebige Gerade, sg die zugehörige Spiegelung, h und k Geraden und h′ := sg (h),
k ′ := sg (k). Zeigen Sie:
(a) Ist h parallel zu g, dann ist auch h′ parallel zu g.
(b) Ist h nicht parallel zu g und h 6= g, dann schneiden sich h, h′ und g in einem
gemeinsamen Punkt.
(c) Ist k parallel zu h, dann sind h′ und k ′ parallel.
18. Seien g, h zwei parallele Geraden, i und k zwei beliebige verschiedene Senkrechte zu g,
P , Q, R, S Punkte mit {P } = g ∩ i, {Q} = h ∩ i, {R} = g ∩ k, {S} = h ∩ k. Zeigen Sie,
daß dann |P Q| = |RS| gilt. (|P Q| heißt Abstand der Parallelen g und h.)
19. Geben Sie alle Symmetrieachsen
(a) eines Kreises,
(b) eines Quadrats,
(c) einer Strecke
an. Begründen Sie Ihre Antwort!
20. Sei F eine geometrische Figur mit zwei Symmetrieachsen g und h, die weder gleich sind
noch sich rechtwinklig schneiden. Dann gibt es mindestens eine weitere Symmetrieachse
von F .
21. Gegeben sei der (nicht gestreckte) Winkel <) (AOB) und es gelte |OA| = |OB|. Weiter
sei P ∈ AB. Zeigen Sie: Die Gerade OP ist genau dann Winkelhalbierende des Winkels
<) (AOB), wenn P Mittelpunkt der Strecke AB ist.
6. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
22. Vorausgesetzt werde: Die Innenwinkel eines Dreiecks sind jeweils kongruent zu drei Winkeln, die zusammen einen gestreckten Winkel ergeben.
Zeigen Sie: Durch sukzessives Abtragen des Radius eines Kreises als Sehne auf dem Kreis
entsteht ein regelmäßiges Sechseck.
23. Sei g eine Gerade, P 6∈ g ein Punkt, h die Senkrechte zu g durch P und Q der Schnittpunkt
von g und h. Dann heißt |P Q| der Abstand von P zu g.
(a) Seien g, h zwei Geraden mit Schnittpunkt A. Zeigen Sie: Liegt P auf der Winkelhalbierenden von g und h, dann hat P von g und h denselben Abstand.
(b) Vorausgesetzt werde, daß auch die Umkehrung von (a) gilt, d.h. wenn ein Punkt P
zu zwei sich schneidenden Geraden g und h denselben Abstand hat, dann liegt P
auf der Winkelhalbierenden zu g und h.
Zeigen Sie: Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der
von allen drei Seiten denselben Abstand hat, d.h. die Dreiecksseiten sind Tangenten
an einen Kreis um diesen Punkt, den Inkreis des Dreiecks.
24. Zeigen Sie: Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem
Umkreismittelpunkt.
25. Sei M ∈ Γ beliebig, bM die Punktspiegelung an M, g eine Gerade mit M ∈ g. Beschreiben
Sie die Abbildung, die durch Verknüpfung der Geradenspiegelung sg an g mit der Punktspiegelung bM entsteht. Wie ändert sich das Ergebnis bei Vertauschung von Geraden- und
Punktspiegelung?
26. Zeigen Sie:
(a) Die Höhen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Hinweis: Spiegeln Sie das Dreieck an jedem seiner Seitenmittelpunkte und untersuchen Sie die dann entstandene Figur.
(b) Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. S teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1.
Anleitung: Sei Mc der Mittelpunkt von AB, S der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden zu AB und BC. Spiegeln Sie diese Figur an Mc .
27. Geben Sie an, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Beweisen Sie sie oder geben
Sie Gegenbeispiele an:
Ein Viereck ist eine Parallelogramm genau dann, wenn
(a)
(b)
(c)
(d)
die Gegenseiten gleich lang sind,
ein Paar Gegenseiten gleich lang und parallel ist,
die Gegenwinkel paarweise kongruent sind,
sich die Diagonalen gegenseitig halbieren.
7. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
28. (a) Zeigen Sie: Sind bei zwei Dreiecken jeweils 2 Seiten und der Winkel, der der längeren
Seite von beiden gegenüberliegt, kongruent, dann sind die beiden Dreiecke kongruent.
(4 Punkte)
(b) Kann man in (a) die Einschränkung bezüglich des Winkels weglassen? Begründung!
(1 Punkt)
(c) Gegeben sind zwei Strecken und ein Winkel. Geben Sie an, ob und wieviel Kongruenzklassen von Dreiecke es gibt, bei denen 2 Seiten kongruent zu je einer der Strecken
und ein Innenwinkel kongruent zu dem vorgegebenen Winkel ist.
29. Sei g eine Gerade, P ein beliebiger Punkt mit P 6∈ g, Q der Fußpunkt des Lotes von P
auf g. Zeigen Sie:
(a) Der Kreis um P mit Radius |P Q| schneidet g in genau einem Punkt, d.h. g ist
Tangente an den Kreis. Anleitung: Spiegelung an P Q.
(3 Punkte)
(b) Jeder Punkt der Geraden außer Q hat zu P einen größeren Abstand als |P Q|.
30. Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r und g eine Tangente an den Kreis,
d.h. eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt Q schneidet. Zeigen Sie: MQ ist
senkrecht zu g.
(2 Punkte)
31. In einem Viereck ABCD seien P , Q, R und S die Seitenmittelpunkte der Seiten AB,
BC, CD bzw. DA. Welche Eigenschaften hat das Viereck P QRS? Beweis?
(3 Punkte)
32. Von einem Parallelogramm sei die Ecke A und der Diagonalenschnittpunkt S gegeben.
Weiter sei ein Kreis k mit Mittelpunkt M und Radius r gegeben, und A und S liegen im
Innern des Kreises. Konstruieren Sie die fehlenden Ecken B, C und D des Parallelogramms
so, daß mindestens zwei der Ecken auf dem Kreis liegen.
M◦
S
◦
A◦
(4 Punkte)
Abgabe der Aufgaben 28a,b, 29a, 30, 31, 32 bis spätestens 20.12. vor der
Vorlesung. Abgabe in Gruppen bis 3 Teilnehmer. Bitte jede Aufgabe auf
gesondertem Blatt.
8. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
33. Zeigen Sie: Ein regelmäßiges Fünfeck in der Ebene (d.h. mit gleichlangen Seiten und
kongruenten Innenwinkeln) hat einen Umkreis (d.h. es gibt einen Kreis, auf dem alle
Ecken liegen).
34. Sei ∆ABC ein beliebiges Dreieck. Behauptung: Das Dreieck ist gleichschenklig.
Prüfen Sie, ob der Beweis richtig ist:
Sei w die Winkelhalbierende des Innenwinkels γ in
C, C ′ der Mittelpunkt von AB und O der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten g von AB mit w, d.h.
w = OC und g = OC ′. Weiter seien B ′ und A′ die
Fußpunkte der Lote von O auf AC bzw. BC. Dann
gilt:
C
B′ ♣
A
♣ A′
♣ O
C′
B
(1) O liegt auf der Mittelsenkrechten von AB, d.h. es gilt |AO| = |BO|.
(2) Die Dreiecke ∆OCB ′ und ∆OA′ C sind kongruent (sww), da w Winkelhalbierende,
d.h. |CB ′ | = |CA′ | und |OB ′| = |OA′|.
(3) Die Dreiecke ∆OB ′ A und ∆OBA′ sind kongruent (Ssw), d.h. es gilt |AB ′ | = |A′ B|.
(4) Wegen |AC| = |AB ′ | + |B ′ C| und |BC| = |BA′ | + |A′ C| folgt |AC| = |BC|, d.h. das
Dreieck ist gleichschenklig.
35. Gegeben sei eine Gerade g und zwei Punkte A, B mit AB ∩ g = ∅. Konstruieren Sie eine
Gerade h durch B, die zu A denselben Abstand hat wie g. Untersuchen Sie, ob es immer
eine solche Gerade h gibt, und beweisen Sie, daß Ihre Konstruktion korrekt ist.
36. Gegeben seien der Punkt A und die zwei Geraden g und h. Der Schnittwinkel von g und
h sei nicht 60◦ und A 6∈ g ∩ h. Konstruieren Sie, wenn möglich, ein gleichseitiges Dreieck
∆ABC mit B ∈ g und C ∈ h.
37. Seien g und h beliebige verschiedene Geraden, sg bzw. sh die zugehörigen Spiegelungen.
Zeigen Sie:
(a) Ist gkh und k eine Parallele zu h oder k = h oder ist {D} = g ∩ h und k eine Gerade
durch D, dann gilt
sg ◦ sh ◦ sk = sk ◦ sh ◦ sg .
(b) Zeigen Sie: Für alle anderen Lagen von k gilt die Gleichung aus (a) nicht.
Ein schönes Weihnachtsfest, ein gutes und erfolgreiches Jahr 2014 und viel Spaß
beim Knobeln!!
9. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
38. Gegeben seien die Geraden g und h, die sich im Punkt S schneiden. Weiter sei P ein
Punkt im Innern eines von g und h erzeugten Winkelfeldes (mit Scheitel S). Konstruieren
Sie eine Gerade k durch P , die g in A und h in B schneidet, so daß P Mittelpunkt der
Strecke AB ist.
(3 Punkte)
39. Gegeben sei das Viereck mit Ecken A, B, C und D und Seiten AB, AD, BC und CD.
Weiter sei
|AB| = |AD| = |BC| = |DC.|
(a) Wieviele Symmetriebewegungen gibt es zu dem Viereck? Begründen Sie Ihre Antwort!
(b) Zeigen Sie: Die Diagonalen AC und BD halbieren sich gegenseitig und schneiden
sich rechtwinklig.
(c) Hat das Viereck einen Inkreis, d.h. einen Kreis, der von allen Seiten berührt wird?
Hat das Viereck einen Umkreis, d.h. einen Kreis, auf dem alle Ecken liegen? Begründung?
(6 Punkte)
40. Sei sg eine Geradenspiegelung (an der Geraden g), t eine Translation (mit Verschiebungsvektor ~v ), bM eine Punktspiegelung (am Punkt M) und f eine Schubspiegelung. Beschreiben Sie genau, welche Abbildungen durch
sg ◦ f,
f ◦ sg ,
t ◦ f,
sg ◦ bM ,
t ◦ bM
gegeben werden.
(4 Punkte)
41. Gegeben seien die beiden kongruenten Dreiecke ABC und A′ B ′ C ′ . Konstruieren und
beschreiben Sie die Bewegungen, die das Dreieck ABC auf das Dreieck A′ B ′ C ′ abbilden.
C
A
B
(a)
B′
C′
A′
B′
C
(b)
C′
A
B
A′
C′
(c)
C
A′
A
B′
B
C
B′
(d)
A
B
C′
A′
(6 Punkte)
Abgabe der Aufgaben bis spätestens 17.1. vor der Vorlesung. Abgabe in
Gruppen bis 3 Teilnehmer. Bitte jede Aufgabe auf gesondertem Blatt.
Querschnittsübung 1 zu Elemente der Geometrie
WS 13/14
1. Gegeben sei eine Gerade g in der euklidischen Ebene Γ, eine der beiden zugehörigen
offenen Halbebenen H und folgendes Modell einer Geometrie mit Punkten, Geraden in
der Ebene Γ∗ :
Die Punkte von Γ∗ seien die Punkte von Γ innerhalb H, die Geraden seien die Durchschnitte der Kreise in Γ mit Mittelpunkt auf g mit der Halbebene H.
Geben Sie an, welche der Axiome (V1)–(V3), (Pa), (A1)–(A2) gelten und welche nicht.
Begründung ist erforderlich! Gegenbeispiele können durch Zeichnung dargestellt werden.
2. Gegeben seien die Geraden g und h, die sich im Punkt S schneiden. Weiter sei P ein
Punkt im Innern eines von g und h erzeugten Winkelfeldes (mit Scheitel S). Konstruieren
Sie eine Gerade k durch P , die g in A und h in B schneidet, so daß P Mittelpunkt der
Strecke AB ist.
3. Geben Sie alle Symmetrieachsen eines regelmäßigen Siebenecks an! Zeigen Sie, daß die
angegebenen Geraden Symmetrieachsen sind und es keine weiteren gibt.
4. Zeigen Sie: In einem gleichschenkligen Dreieck gibt es zwei gleich lange Seitenhalbierende.
Gilt auch die Umkehrung?
5. Sei Γ die euklidische Ebene, M ∈ Γ, bM die Punktspiegelung an M und t die Translation
−→
mit Verschiebungsvektor v .
Geben Sie die Art der Bewegungen t ◦ bM und bM ◦ t an und vergleichen Sie beide.
Querschnittsübung 2 zu Elemente der Geometrie
WS 13/14
1. Gegeben seien ein Quadrat Q1 in der euklidischen Ebene Γ, ein weiteres vollständig im
Innern von Q1 liegendes Quadrat Q2 , und folgendes Modell einer Geometrie mit Punkten,
Geraden in der Ebene Γ′ : Die Punkte von Γ′ seien die Punkte von Γ, die gleichzeitig innerhalb von Q1 und außerhalb von Q2 liegen, und die Geraden von Γ′ seien die Durchschnitte
der offenen Strecken innerhalb Q1 , mit Γ′ .
Geben Sie an, welche der Axiome (V1)–(V3), (Pa), (A1)–(A3), (D1)–(D2) gelten und
welche nicht. Begründung ist erforderlich!
2. (a) Sei M eine geometrische Figur mit zwei parallelen Symmetrieachsen g1 und g2 . Zeigen
Sie: Dann gibt es unendlich viele weitere Symmetrieachsen von M.
(b) Ist h eine weitere Symmetrieachse, die g1 im Winkel 60◦ schneidet. Skizzieren Sie
alle daraus resultierenden Symmetrieachsen von M.
3. Zeigen Sie: Werden von einem Punkt P außerhalb eines Kreises die Tangenten an den
Kreis gezogen, dann sind die Strecken von P zu den Berührpunkten gleich lang.
4. Gegeben sei ein Dreieck mit Ecken A, B und C. Weiter sei g := AB, h := BC, k := AC
und sg , sh , sk die Spiegelungen an diesen Geraden. Geben Sie an, welche Art von Bewegung
durch
f := sg ◦ sh ◦ sk ◦ sg ◦ sh ◦ sk
gegeben wird.
5. Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck ∆ABC mit dem rechten Winkel in C. Konstruieren
Sie Punkte X ∈ AC, Y ∈ BC und Z ∈ AB, so daß das Viereck XZY C ein Quadrat ist.
6. Gegeben sei das Viereck mit Ecken A, B, C und D und den parallelen Seiten AB und
CD mit |AB| > |CD|.
(a) Geben Sie alle besonderen Eigenschaften der Innenwinkel dieses Vierecks an und
beweisen Sie sie.
(b) Sei g die Parallele zu AB durch den Mittelpunkt E von AD, F der Schnittpunkt
von g mit BC.
Zeigen Sie: F ist Mittelpunkt von BC und |EF | ist das arithmetische Mittel von
|AB| und |CD|, d.h. es gilt
|EF | =
1
|AB| + |CD| .
2
(c) Geben Sie an, unter welchen Bedingungen das Viereck Symmetrieachsen besitzt, die
keine der Ecken enthalten, und geben Sie diese alle an.
Zeigen Sie, daß es keine weiteren derartigen geben kann.
7. Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r > 0, eine Sehne P Q mit M 6∈ P Q
und zwei Kreispunkte A und B, die in verschiedenen Halbebenen bezüglich P Q liegen.
Zeigen Sie:
<) (P AQ)+ <) (P BQ) = 180◦ .
8. Gegeben sei ein Dreieck mit Ecken A, B und C. Weiter seien A′ , B ′ und C ′ Punkte
außerhalb des Dreiecks, so daß die Dreiecke △ABC ′ , △AB ′ C, △A′ BC gleichseitig sind,
F der Schnittpunkt von AA′ und CC ′ und d die Drehung um B mit Drehwinkel 60◦ .
Beweisen Sie:
′
′
(a) |AA | = |CC |.
′
′
(b) AA und CC schneiden sich im Winkel von 60◦ .
(c) Ist F ′ := d(F ), dann ist das Dreieck △BF F ′ gleichseitig.
9. Gegeben seien der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r und ein diesem Kreis einbeschriebenes gleichseitiges Sechseck mit den Ecken A1 , . . . , A6 (Numerierung gegen den
Uhrzeigersinn). Geben Sie alle Bewegungen an, die das Sechseck auf sich abbilden. Begründung ist erforderlich.
10. Zeigen Sie: Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite im
Verhältnis der anliegenden. Ist z.B. wc die Winkelhalbierende durch C, D der Schnittpunkt von wc mit AB, dann gilt
|AD|
|AC|
=
.
|DB|
|BC|
Anleitung: Spiegeln Sie das Dreieck an der Winkelhalbierenden. Strahlensatz.
11. Sei k ein Kreis mit Mittelpunkt M, AB eine Sehne des Kreises, die nicht Durchmesser
ist, P0 X Mittelsenkrechte von AB mit P0 , X ∈ k und M, P0 auf derselben Seite von AB.
Zeigen Sie: Ist P ∈ k ein beliebiger Punkt des Kreises, der auf derselben Seite von AB
liegt wie M, dann ist P X Winkelhalbierende des Winkels <) (AP B).
Hilfe: Betrachten Sie den Spezialfall P = P0 .
P0
◦
◦
P
◦
M
A◦
◦B
◦
X
12. Von einem Parallelogramm ABCD mit Diagonalenschnittpunkt M seien die Längen der
Strecken AB = 9cm, BD = 8cm sowie der Diagonalenschnittwinkel <) (BMC) = 30◦
gegeben.
Geben Sie eine Beschreibung zur Konstruktion eines solchen Vierecks nur mit Hilfe von
Zirkel und Lineal an und begründen Sie Ihre Konstruktion!
Ist das Viereck (bis auf Kongruenz) eindeutig bestimmt?
13. Gegeben sei ein Dreieck △ABC mit den Winkelhalbierenden wA des Innenwinkels bei A,
′
wB
des Außenwinkels bei B und wC′ des Außenwinkels bei C. Zeigen Sie:
′
(a) wB
und wC′ sind nicht parallel.
(b) Die drei Winkelhalbierenden schneiden sich in einem Punkt M und M ist Mittelpunkt eines Kreises, der die Geraden AB, BC und AC berührt.
10. Übung Elemente der Geometrie
WS2013/14
44. (a) Formulieren Sie Umkehrung der Aussagen von Katheten- und Höhensatz.
(b) Beweisen Sie sie, wenn möglich.
45. Für a, b ∈ IR, a, b > 0, heißt
a+b
2
√
arithmetisches Mittel,
a·b
geometrisches Mittel.
Stellen Sie beide Mittel geometrisch dar und zeigen Sie geometrisch, daß das geometrische
Mittel nie größer als das arithmetische Mittel ist. Wann gilt Gleichheit?
46. Gegeben sei das bei C rechtwinklige Dreieck △ABC mit Höhe CD, D ∈ AB.
(a) Zeigen Sie, daß die Dreiecke ABC, ADC und BCD ähnlich sind
(b) Beweisen Sie mit Hilfe von (a) den Katheten- und Höhensatz.
47. Zeigen Sie den Satz von Pappos:
Sind g, h verschiedene Geraden, P1 , P2 , P3 ∈ g,
P1 Q2 ||P2 Q3
dann gilt
und
Q1 , Q2 , Q3 ∈ h mit
P2 Q1 ||P3Q2 ,
P1 Q1 ||P3Q3 .
48. Zeigen Sie den Satz von Desargues: Sind g, h, k verschiedene Geraden mit gemeinsamem
Schnittpunkt S, P1 , P2 ∈ g, Q1 , Q2 ∈ h, R1 , R2 ∈ k mit
P1 Q1 ||P2 Q2
dann gilt
und
Q1 R1 ||Q2 R2 ,
P1 R1 ||P2R2 .
49. Zeigen Sie den Satz von Menelaos: Sind A, B, C ∈ Γ nicht kollineare Punkte, g eine
beliebige Gerade, die die Geraden AB, BC bzw. AC in D, E bzw. F mit D, E, F 6∈
{A, B, C} schneidet. Dann gilt
|AD| |BE| |AF |
·
·
= 1.
|DB| |EC| |F C|
50. Sei △ABC ein nicht gleichseitiges Dreieck mit Schwerpunkt S, f die Dilatation mit
1
Fixpunkt S und Faktor − . Zeigen Sie:
2
(a) f bildet den Höhenschnittpunkt H auf den Umkreismittelpunkt M des Dreiecks
ABC ab.
(b) M, S, H sind kollinear und S teilt die Strecke HM im Verhältnis 2:1. (Die Gerade
durch M, S, H heißt Eulersche Gerade.)