E8 „Hall-Effekt“

Fakultät für Physik und Geowissenschaften
Physikalisches Grundpraktikum
E8
„Hall-Effekt“
Aufgaben
1. Messen Sie die Hall-Spannung und die Probenspannung einer Germaniumprobe bei
konstanter Temperatur und konstanter Stromstärke in Abhängigkeit vom äußeren
Magnetfeld. Stellen Sie die Hall-Spannung und den Probenwiderstand als Funktion der
magnetischen Flussdichte graphisch dar. Bestimmen Sie die Hall-Konstante sowie die
Leitfähigkeit (für B = 0) der Probe. Ermitteln Sie Dichte und Beweglichkeit der Ladungsträger.
Was können Sie über die Ladungsträgerart aussagen?
2. Messen Sie die Probenspannung der Ge-Probe bei konstanter Stromstärke und B = 0 in
Abhängigkeit von der Temperatur. Bestimmen Sie die Energie der Bandlücke.
Literatur
Physikalisches Praktikum, 13. Auflage, Hrsg. W. Schenk, F. Kremer, Elektrizitätslehre,1.0.1,
2.4
Gerthsen Physik, D. Meschede, 24. Auflage, 7.7.4
Stierstadt, Klaus, Physik der Materie, 367-370
Zubehör
Germanium-Trägerplatte mit integrierter Heizung und integriertem Thermoelement,
Teslameter mit Tangentialfeldsonde, Elektromagnet, Labornetzgeräte, Digitalmultimeter
Schwerpunkte zur Vorbereitung
- Leitungsvorgänge in Metallen und Halbleitern, Leitfähigkeit, Beweglichkeit
- Bewegte Ladungen im magnetischen Feld (Lorentzkraft)
- Hall-Effekt, Hall-Spannung, Hall-Konstante
- Praktische Anwendungen des Hall-Effekts
- Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit von Halbleitern
- Thermoelektrischer Effekt, Thermoelement
1
Bemerkungen
Wie in der Abb. 1 zu sehen, ist die Ge-Probe auf einer Platine montiert und bereits mit
Kontakten für die Probenspannungsmessung (2.1, 2.2, 2.3) und die Hallspannungsmessung
(3) versehen. Weiterhin sind eine Probenheizung (in der Platine eingelassene Heizschlange
mit Kontakten 4) und ein Thermoelement mit Kontakten (7) integriert. Diese Platinen sind
relativ teuer und werden bei Fehlbeschaltungen schnell zerstört. Daher sind die
Schaltungsaufbauten behutsam und mit großer Sorgfalt durchzuführen. Alle Schaltungen
dürfen erst nach einer kurzen Einweisung ohne Inbetriebnahme der Labornetzgeräte
aufgebaut werden. Nach einer Schaltungskontrolle durch den/die Betreuungsassistenten/in
kann mit den Messungen begonnen werden. Besondere Aufmerksamkeit ist bei der Heizung
der Halbleiterprobe bei Aufgabe 2 erforderlich. Insbesondere darf die Temperatur des
Halbleiters 150°C nicht übersteigen und die Magnetfeldsonde des Teslameters keiner
höheren Temperatur als 50°C ausgesetzt werden, d.h. bei Messungen oberhalb 50°C ist die
Magnetfeldsonde unbedingt aus dem beheizten Probenbereich zu entfernen.
Abb. 1. HallPlatine
mit
Kontakten.
In Aufgabe 1 wird die Halbleiterprobe mit den Abmessungen 20 mm x 10 mm x 1 mm, die
sich auf der in Abb. 1 gezeigten Platine befindet, zwischen den abnehmbaren Polschuhen
eines Elektromagneten befestigt. An dieser Stelle ist auch die Messsonde eines Teslameters
zur Messung der magnetischen Flussdichte anzubringen. Es sind die erforderlichen
Laborleitungen anzuschließen, wobei das Einstecken der Stecker in die Buchsen der Platine
jeweils auf der Rückseite der Platine durch einen leichten Gegendruck zu unterstützen ist.
Danach werden vorsichtig die Polschuhe aufgesetzt. Es werden vier Multimeter bereit
gestellt. Davon werden jeweils ein Multimeter zur Messung der Hallspannung an den
2
Kontakten (3) sowie zur Messung der Probenspannung an den Kontakten (2.1) und (2.2)
eingesetzt. Das dritte Multimeter dient zur Messung des Probenstroms; die Stromquelle
wird dazu an den Kontakten (2.1) und (2.3) angeschlossen. Zwischen den Kontakten (2.2)
und (2.3) befindet sich eine Kompensationsschaltung, die dazu dient, die auch ohne
Magnetfeld (B = 0) vorhandene Offsetspannung an den Kontakten (3) abzugleichen. Diese
Offsetspannung wird durch die nicht ganz perfekte Ausrichtung der Hall-Kontakte
hervorgerufen. Das vierte Multimeter wird zur Messung der Stromstärke im Magneten
verwendet (Achtung: Messbereich 20 A einstellen).
Nach Aufbau und Abnahme der Schaltung stellt man mit einem regelbaren Labornetzgerät
den vorgegebenen Probenstrom I = 30 mA durch Anlegen einer Spannung zwischen 12 V und
maximal 30 V an die Buchsen (2.1) und (2.3) ein (Polarität beachten!). Da der
Probenwiderstand leicht vom Magnetfeld abhängt, muss der Probenstrom während der
Messung nachgeregelt werden.
Hall-Spannung und Probenspannung werden bei Zimmertemperatur in Abhängigkeit von der
magnetischen Flussdichte B gemessen. Die Magnetstromversorgung erfolgt durch eine
regelbare Konstantstromquelle, wobei die angegebene maximale Stromstärke von 4 A für
die Spulen unbedingt eingehalten werden muss. Messen Sie für positive und negative Werte
der magnetischen Flussdichte (Umstecken der Kabel an der Magnetstromquelle).
Stellen Sie die Hallspannung UH als Funktion der magnetischen Flussdichte B graphisch dar
und bestimmen Sie die Ladungsträgerdichte. Versuchen Sie, die Ladungsträgerart zu
ermitteln. Stellen Sie ferner den Magnetowiderstand (R-R0)/R0 (R0: Probenwiderstand bei B =
0).als Funktion der magnetischen Flussdichte B dar. Berechnen Sie die Leitfähigkeit  aus
dem Widerstand im Nullfeld sowie die Ladungsträgerbeweglichkeit µ aus Leitfähigkeit und
Ladungsträgerdichte.
Berechnen Sie auch die Anzahl der Donator/Akzeptor-Atome pro Germaniumatom unter
Verwendung der folgenden Werte: Ge= 5.32 g cm-3, MGe= 72.6 g mol-1.
Bei Aufgabe 2 wird die Platine aus dem Elektromagneten entfernt. Auf keinen Fall darf sich
die Hall-Sonde des Teslameters in der Nähe der beheizten Platine befinden (thermische
Zerstörungsgefahr). Die Erwärmung der Probe erfolgt durch eine in die Platine integrierte
Heizung bis auf höchstens 150°C, wobei die Temperatur der Probe relativ zur
Zimmertemperatur mit einem Thermoelement gemessen wird. Der Heizstrom ist mit Hilfe
einer regelbaren Stromquelle mit steigender Temperatur (Thermospannung) langsam hoch
zu regeln (maximal 5.5 V Quellenspannung), bis eine maximale Thermospannung von 5.5 mV
mit einem Digitalvoltmeter gemessen wird, bzw. eine Temperatur von 150°C angezeigt wird.
Der Heizstrom wird dann stufenweise reduziert und die temperaturabhängige
Probenspannung ist während der Abkühlung der Ge-Probe zu messen. Zur Berechnung der
Probentemperatur T kann man die Gleichung
U
(1)
T  Th  Tr ,
a
3
verwenden, wobei Tr die Zimmertemperatur und a der Seebeck-Koeffizient des Cu/CuNiThermoelements sind (a= 40 V/K). Da es sich um ein Standardthermoelement handelt,
kann man die Umrechnung jedoch auch gleich durch das Digitalmultimeter ausführen lassen,
welches eine Standardwertetabelle verwendet; dazu ist die Einstellung „°C“ am
Digitalmultimeter zu wählen.
Die Auswertung soll graphisch durchgeführt werden. Dazu trägt man die reziproke
Probenspannung einfach-logarithmisch gegen die reziproke absolute Temperatur auf und
bestimmt über den Anstieg die gesuchte Energie der Bandlücke.
Zum Hall-Effekt
Abb. 2.
Schematische Darstellung des
Hall-Effekts in einer langen,
dünnen,
quaderförmigen
Probe. Das Magnetfeld B wird
senkrecht
zur
großen
Probenfläche entlang der zAchse
angelegt.
Das
elektrische Hall-Feld wird
senkrecht zum Magnetfeld
zwischen den Probenkanten
erzeugt.
Abbildung 2 zeigt die typische Konfiguration einer Hall-Effekt-Messung. Eine lange, dünne,
quaderförmige Probe wird von der Stromstärke I durchflossen, d.h. die Stromdichte j zeigt
entlang der x-Achse. Senkrecht zur großen Probenfläche und damit senkrecht zur
Stromdichte wird ein Magnetfeld B entlang der z-Achse angelegt. Die resultierende
Lorentzkraft
F  qv  B
(2)
lenkt die Ladungsträger entlang der y-Achse ab. Die Ladungsträger akkumulieren am
Probenrand und erzeugen ein elektrisches Feld EH, so dass die Lorentzkraft gerade
kompensiert wird:
qv  B  qEH .
(3)
Mit den Beziehungen
j  qnv
I  j(wd )
(4)
UH  EHw
4
erhält man sofort die Hallkonstante
U
1
,
RH  H d 
IB
qn
(5)
die das gleiche Vorzeichen wie die Ladung der vorliegenden Ladungsträgersorte (Elektronen
oder Löcher) hat.
Die Gleichungen lassen sich in etwas anderer Weise schreiben. Mit der Definition des
spezifischen Widerstands  durch
E j,
(6)
wobei E das longitudinale elektrische Feld bezeichnet, und nach Umformung der Gl. (5) zu
EH  (RHB) j  H j
(7)
erhält man in kompakter Schreibweise
 H  j    xx  xy  jx 
(8)
  .

 
 0   yx yy  jy 
Neben der Diagonalkomponente xx erzeugt das magnetische Feld eine Nicht Ex   E   
  
 Ey   EH   H
Diagonalkomponente yx des spezifischen Widerstands-Tensors.
Zur Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit
Im Bereich der Eigenleitung hat die Leitfähigkeit eines Halbleiters eine thermisch aktivierte
Form:

Eg 
(9)
,
 2 kBT 
wobei  die Leitfähigkeit, 0 einen Vorfaktor, Eg die Bandlückenenergie, kB die
Boltzmannkonstante und T die Temperatur bezeichnen. Trägt man den Logarithmus der
Leitfähigkeit gegen die reziproke Temperatur auf und bestimmt die Steigung der Kurve, so
lässt sich die Bandlücke bestimmen.
   0 exp  
Ladungsträgerbeweglichkeit
Die Leitfähigkeit  ist mit den Ladungsträgerbeweglichkeiten n oder p sowie den
Ladungsträgerkonzentrationen n oder p (n für Elektronen und p für Löcher) folgendermaßen
verknüpft:
(10)
  nen  pep .
Falls eine Ladungsträgersorte in der Halbleiterprobe dominiert, erhält man die vereinfachten
Beziehungen:


, p  RH  
.
n  RH  
ne
pe
5