PDF - TU Darmstadt/Mathematik

A
Fachbereich Mathematik
Dr. Mathias Kegelmann
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Wintersemester 2002/03
21. November 2002
Allgemeine Algebra für Inf./WI-Inf.
Lösungshinweise zum fünften Übungsblatt
Hausübungen
(H 16) Beweis von Satz 5.6.3
(a) Gegeben ist eine Äquivalenzrelation θ ⊆ A × A. Mittles Satz 5.6 kann die Menge θPθ folgerdemaßen e
geschrieben werden:
θPθ = {(x, y) | ∃ K ∈ Pθ . x, y ∈ K}
= {(x, y) | ∃ K ∈ {[x]θ | x ∈ A}. x, y ∈ K}
= (x, y) | ∃ K ∈ {{y ∈ A | x θ y} | x ∈ A}. x, y ∈ K
(b) Wir zeigen nun θ = θPθ :
Sei (x, y) ∈ θ, dann folgt, daß die Menge {y ∈ A | x θ y} das Element y und aufgrund der Reflexivität von
θ auch das Element x enthält. D. h. wir haben die gesuchte Menge K mit (x, y) ∈ K gefunden und es folgt
(x, y) ∈ θPθ .
Sei nun (x, y) ∈ θPθ , dann existiert eine Menge K der Form {v ∈ A | u θ v} mit (x, y) ∈ K. D. h. es gibt ein
Element u ∈ A mit u θ x und u θ y. Mit Symmtetrie und Transitivität folgt (x, y) ∈ θ.
(c) Sei nun P ⊆ P(A) eine Partition. Die Menge PθP ist folgendermaßen definiert:
PθP = {[x]θP | x ∈ A}
n
o
= {y ∈ A | x θP y} | x ∈ A
= {{y ∈ A | (x, y) ∈ θP } | x ∈ A}
= {{y ∈ A | (x, y) ∈ {(x, y) | ∃ K ∈ P. x, y ∈ K}} | x ∈ A}
Nun zeigen wir P = PθP : Sei X ∈ P. Da X 6= ∅ existiert ein x ∈ X. Wir behaupten nun
X = {y ∈ A | (x, y) ∈ {(x, y) | ∃ K ∈ P. x, y ∈ K}}
{z
}
|
Y
|
{z
}
Z
Sei also y ∈ X, dann folgt (x, y) ∈ Y und y ∈ Z. Gilt nun andererseits y ∈ Z, dann existiert ein K ∈ P mit
x, y ∈ K, da aber P eine Partition ist, folgt K = X und schließlich y ∈ X.
Sei nun X ∈ PθP , d. h. es gibt es ein x ∈ A mit
X = {y ∈ A | (x, y) ∈ {(x, y) | ∃ K ∈ P. x, y ∈ K}}
|
{z
}
Y
und da P eine Partition ist gibt es ein X 0 ∈ P mit x ∈ X 0 . Wir behaupten nun X = X 0 . Sei also z ∈ X 0 ,
dann folgt (x, z) ∈ Y und z ∈ X. Gilt andererseits z 6∈ X 0 , da P eine Partition ist gibt es dann kein K ∈ P
mit x, z ∈ K, also ist (x, z) 6∈ Y und z 6∈ X.
(H 17)
Gegeben seien zwei Gruppen G und H und ein Gruppen-Homomorphismus h : G → H.
Zu zeigen ist, daß kern(h) eine Kongruenzrelation auf der Gruppe G ist.
Zuerst müssen wir zeigen, daß kern(h) eine Äquivalenzrelation auf der Trägermenge von G ist.
1. Reflexivität: Sei x ∈ G, dann gilt h(x) = h(x), also (x, x) ∈ kern(h).
2. Symmetrie: Seien x, y ∈ G mit (x, y) ∈ kern(h), dann gilt h(x) = h(y). Es folgt h(y) = h(x) und damit
(y, x) ∈ kern(h).
3. Transitivität: Seien x, y, z ∈ G mit (x, y), (y, z) ∈ kern(h), dann gilt h(x) = h(y) und h(y) = h(z). Es folgt
h(x) = h(z) und damit (x, z) ∈ kern(h).
Hinweis: Der Beweis, daß kern(h) eine Äquivalenzrelation ist, verwendet die Tatsache, daß = eine Äquivalenzrelation ist.
Bleiben noch die Komgruenzbedingungen zu zeigen:
1. Seien (x, x0 ), (y, y 0 ) ∈ kern(h), dann gilt h(x) = h(x0 ) und h(y) = h(y 0 ). Da H eine Gruppe und h ein
Homomorphismus ist, folgt h(x) · h(y) = h(x0 ) · h(y 0 ) und h(x · y) = h(x0 · y 0 ). Damit haben wir (x · y, x0 · y 0 ) ∈
kern(h) gezeigt.
2. Sei (x, x0 ) ∈ kern(h), dann gilt h(x) = h(x0 ). Da H eine Gruppe und h ein Homomorphismus ist, folgt
(h(x))−1 = (h(x0 ))−1 und h(x−1 ) = h(x0−1 ). Damit haben wir (x−1 , x0−1 ) ∈ kern(h) gezeigt.
5θ5 g 5 θ 55 θ 5
(H 18) Quersumme
Wir wollen folgende Regel beweisen:
Eine ganze Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
9
(a) Analog zu Aufgabe (P 18) kann man sehen, daß die Relation ≡ eine Kongruenzrelation auf der Gruppe
(Z, +, −, 0) und auf dem Monoid (Z, ·, 1) ist.
Weiterhin sieht man augrund von
9
n≡0
⇔
9 | (n − 0),
9
daß 9 genau dann eine ganze Zahl n teilt, wenn n ≡ 0.
(b) Die Dezimalentwicklung einer ganzen Zahl n ∈ Z kann folgendermaßen beschrieben werden:
X
n=
ai · 10i
mit ai ∈ {0, ..., 9} und {i ∈ N | ai 6= 0} ist endlich.
i∈N
Wir definieren die Quersumme von n als
Q(n) :=
X
ai
i∈N
9
Wir beweisen nun, daß n ≡ Q(n) für alle ganzen Zahlen n gilt:
9
Zuerst zeigen wir mit Induktion, daß 10i ≡ 1 für alle i ∈ N gilt.
9
• i → 0: Es gilt 100 ≡ 1
⇔
9
• i → i + 1: Es gilt 10i+1 ≡ 1
9
1 ≡ 1.
⇔
9
9
9
9
Kongruenzrelation auf dem Monoid (Z, ·, 1) ist, folgt 10i+1 ≡ 1.
9
9
Da ≡ auch bzgl. (Z, +, −, 0) eine Kongruenzrelation ist folgt wegen ai · 10i ≡ ai
X
i∈N
9
und demnach n ≡ Q(n).
9
10i · 10 ≡ 1. Da 10 ≡ 1 und nach I.H. 10i ≡ 1 gelten und ≡ eine
9
ai · 10i ≡
X
i∈N
ai
(?) Wir definieren die alternierende Quersumme Q0 einer ganzen Zahl n als
X
Q0 (n) :=
ai · (−1)i
i∈N
Beweise die Elfer-Regel :
Eine ganze Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
11
Zum Beweis der Elfer-Regel müssen wir n ≡ Q0 (n) zeigen. Der Beweis basiert auf einer ähnlichen Beobachten
11
11
wie oben, denn es gilt −10 ≡ 1, und wie oben zeigt man mittels Induktion, daß (−1)i · 10i ≡ 1 für alle i ∈ N
11
11
gilt. Es folgt nun ai · (−1)i · 10i ≡ ai und ai · 10i ≡ ai · (−1)i also
X
i∈N
11
ai · 10i ≡
X
ai · (−1)i
i∈N
11
und schließlich n ≡ Q0 (n).
(?) Verlassen wir nun das Dezimalsystem und wechseln in ein beliebiges Zahlensystem mit Basis n. In diesen
Systemem wird die Neuner-Regel zur (n − 1)-Regel und die Elfer-Regel zur (n + 1)-Regel, d. h. eine Zahl ist
genau dann durch n − 1 (bzw. n + 1) teilbar, wenn ihre im Zahlensystem mit Basis n genommene Quersumme
(bzw. alternierende Quersumme) durch n − 1 (bzw. n + 1) teilbar ist.
Ein kleines Beispiel aus dem Hexadezimalsystem. (Alle Zahlen sind in Hexadezimaldarstellung!)
Die Zahl CB98E065 hat die alternierende Quersumme 11 und ist demzufolge durch 11 teilbar.