Teilbarkeit durch 10 Eine Zahl der Form 10k mit k ∈ Z + ist nie Teiler

Teilbarkeit durch 10
Eine Zahl der Form 10k mit k ∈ Z+ ist nie Teiler eines Dezimalpalindroms.
Beweis
Allgemein gilt für jede Zahl n ∈ N, dass sie dann ein Vielfaches einer natürlichen Zahl k ist, wenn sie durch n = km mit m ∈ N dargestellt werden kann.
Natürliche Zahlen n, die bei Division durch k einen Rest r lassen, haben folglich
die Form n = km + r mit r ∈ N; r < k.
Die Dezimaldarstellung einer ganzen Zahl Z = zn zn−1 zn−2 ...z2 z1 z0 mit z ∈
N10 = {0, 1, 2, ...., 8, 9}, zn 6= 0 erfolgt durch
±n = ±
n
P
ki 10i
k=0
Die Zahl Z ist nur dann ein Vielfaches von 10, wenn für Z = zn ...z0 z0 = 0 gilt.
Folglich ist Z = km + r mit k = 10 ∧ r = 0.
n=
n
P
ki 10i ⇔
k=0
n=
n
P
ki 10i + k0 100 ⇔
k=1
n=
n
P
ki 10i + k0
k=1
Für jedes k0 6= 0 ist Z kein ganzzahliges Vielfaches von 10. Aus der Definition
von k ∈ {0, 1, 2, ...., 8, 9} gibt es kein k 6= 0, dass in der Zahl 10 ganzzahlig
aufgeht.
Und nach der Definition eines Dezimalpalindroms m = zn zn−1 zn−2 ...z2 z1 z0 ,
z ∈ N10 = {0, 1, 2, ...., 8, 9}, z0 6= 0 und zk = zn−k für alle k = 0, ..., n folgt
sofort, dass es für Zahlen, die ganzzahlige Vielfache von 10 sind, kein positives
Vielfaches gibt, dass ein Dezimalpalindrom ist, denn sonst wäre zn = 0, was
nach der Definition einer Zahl im Dezimalsystem nie gilt. 1