Flächenberechnungen – Lösungen

Flächenberechnungen – Lösungen
1. In einem Dreieck ist die Strecke c = 12 cm und der Abstand des gegenüberliegenden Punktes C mit 5 cm gegeben. Berechne den Flächeninhalt des
Dreiecks.
12 5
A
30 cm²
2
2. Berechne den Umfang eines Dreiecks, wenn gegeben sind:
a) a = 7 cm, b = 8 cm, c = 5 cm
U = a + b + c = 20 cm
3. In einem Dreieck sind
a)
c)
b) a = 3,5 cm, b = 2,6 cm, c = 5,4 cm
U = a + b + c = 11,5 cm
und ß gegeben. Berechne .
= 44°, ß = 84°, = 52°
= 117°, ß = 22°, = 41°
b)
d)
= 62°, ß = 55°, = 63°
= 49°, ß = 93°, = 38°
4. In einem Dreieck sind von den Winkeln , ß und jeweils zwei Winkel gegeben. Berechne den dritten Winkel.
a)
c)
= 45°, = 66°, ß = 69°
= 84°, ß = 12°, = 84°
b) ß = 72°, = 99°, = 9°
d) = 90°, = 45°, ß = 45°
5. Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge 7,4 cm. Wie groß ist der Umfang
des Dreiecks? Wie groß sind die Winkel , ß und ?
U = 22,2 cm,
Die Winkel sind jeweils 60° groß.
6. Berechne den Flächeninhalt folgender gleichschenkliger Dreiecke, wenn die
Grundseite c sowie die Höhe hc gegeben sind.
a) c = 5,8 cm; hc = 3 cm
5,8 3
A
8,7 cm²
2
c) c = 2,6 cm; hc = 5,1 cm
2,6 5,1
A
6,63 cm²
2
b) c = 2,7 cm; hc = 4,2 cm
2,7 4,2
A
5,67 cm²
2
d) c = 6,4 cm; hc = 4,2 cm
6,4 4,2
A
13,44 cm²
2
7. Berechne in einem gleichschenkligen Dreieck (a = b) die Größe aller Winkel,
wenn
a) = 34°
b) = 54°
c)
= 66°
d) ß = 12° beträgt.
a) = ß = (180° – ) : 2 = 73°
b) = ß = (180° – ) : 2 = 63°
c) = ß = 66°; = 48°
d) = ß = 12°; 156°
8. In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten a und b gegeben. Berechne
den Flächeninhalt A des Dreiecks.
a) a = 5 cm, b = 7,5 cm
a b 5 7,5
A
18,75 cm²
2
2
c) a = 7,3 cm, b = 3,6 cm
A = 13,14 cm²
b) a = 12 cm, b = 9,4 cm
A = 56,4 cm²
d) a = 4,8 cm, b = 2,9 cm
A = 6,96 cm²
9. In einem rechtwinkligen Dreieck mit = 90° ist
bzw. ß gegeben. Berechne
den fehlenden Winkel.
a) = 44°, ß = 56°
c) ß = 52,8°, = 37,2°
b) ß = 33,7°, = 56,3°
d) = 69,2°, ß = 20,8°
10. Berechne die fehlende Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn der Flächeninhalt A und eine Kathete gegeben sind.
a) A = 55 cm²; a = 12 cm
a b
A
2
2 A
b
9,2 cm
a
c) A = 90 cm²; b = 12 cm
A = 15 cm
b) A = 87 cm²; b = 13 cm
a = 13,4 cm
d) A = 41,3 cm²; a = 5,8 cm
b = 14,2 cm
11. Wie groß ist die nebenstehende Fläche?
A gesamt
520 260
2
480 420
2
168 400 m²
12. Berechne in einem rechtwinkligen Dreieck die fehlende Strecke.
Bei allen Aufgaben findet der „Satz des Pythagoras“ Anwendung.
a) a = 3 cm; b = 4 cm
b) b = 12 cm; c = 15 cm
c² a² b²
a² 15² 12²
a 9 cm
c 5 cm
c) c = 34 cm; a = 16 cm
d) a = 9 cm; b = 40 cm
b² 34² 16²
c² 40² 9²
b 30 cm
c 41
13. Berechne von einem Quadrat
a) mit der Seitenlänge a = 9 cm die Länge der Diagonalen,
b) mit der Diagonalen e = 6,5 cm die Länge der Seite a.
„Satz des Pythagoras“:
Lösung a)
e² a² a²
e
81 81
e 12,7 cm
Lösung b)
a² a² e²
2a²
a
e²
e²
2
4,6 cm
14. Berechne von einem Rechteck a, b oder e, wenn gegeben sind:
Bei allen Aufgaben findet der „Satz des Pythagoras“ Anwendung.
a) a = 11 cm, b = 8 cm
b) a = 14,5 cm, e = 17 cm
e² = a² + b²
a² = e² – a²
e = 13,6 cm
a = 8,9 cm
c) a = 5 cm, b = 4 cm
d) b = 11,4 cm, e = 16 cm
e² = 5² + 4²
a² = e² – b²
e = 6,4 cm
a = 11,2 cm
15. An einer Hauswand direkt unter einem Fenster ist ein Beet mit Rosen angelegt.
Das Fenster befindet sich in einer Höhe von 4,50 m über dem Erdboden. Anton
möchte mit einer Leiter von 4,80 m Länge das Fenster erreichen, weil er die
schöne Luzie hinter dem Fenster vermutet. Schafft er es, wenn er wegen des
Beetes nur bis 2,50 m an die Hauswand herankommt?
Er würde es schaffen, wenn gilt:
4,8² 4,5² 2,5² . Dies ist aber nicht der Fall.
Anton muss sich wohl eine längere Leiter besorgen.
16. Wie groß ist ß?
ß = 360° : 9 = 40°
17. Aus einem Baumstamm soll ein Balken mit rechteckigem Querschnitt geschnitten werden. Der Querschnitt des Balkens soll 22,0 cm lang und 16,5 cm breit
sein. Berechne den Mindestdurchmesser des Stammes.
Für den Durchmesser gilt nach dem „Satz des Pythagoras“:
d² = 22² + 16,5²
d = 27,5 cm