Wettbewerbsbeispiele - Mathematics TU Graz

Wettbewerbsbeispiele
1. Es gelte die Beziehung
1 · 10a + 2 · 10b + 3 · 10c + 4 · 10d + 5 · 10e = 315240.
Bestimme den Wert der Summe a + b + c + d + e. (Duel 1999)
2. Eine Tafel Schokolade besteht aus weniger als 200 aber mehr als 150 kleinen Stücken. Wenn
die Schokolade gerecht auf 7 Kinder aufgeteilt wird, bleibt ein Stück übrig. Wenn sie gerecht
auf 8 Lehrer aufgeteilt wird, bleiben 5 Stücke übrig. Aus wievielen Stücken besteht die Tafel
Schokolade? (Duel, 2002)
3. Gegeben ist die folgende Tabelle:
1
2
3
2
3
1
3
1
2
In jedem Zug ist es erlaubt eins zu allen drei Zahlen einer Reihe dazu zu zählen, oder eins
von allen drei Zahlen einer Spalte abzuziehen. Welche der folgenden Tabellen können nach
einer gewissen Anzahl an Zügen entstehen? Sollte es möglich sein, dann gib die Züge an,
ansonsten beweise, dass es nicht möglich ist.(Duel, 2002)
2
1
4
2
1
2
5
1
2
2
2
4
2
2
1
3
1
3
4. Man bestimme die Anzahl aller dreiziffrigen Zahlen, die neunzehnmal größer als ihre Ziffernsumme sind. (Tschechien, 2004)
5. Wir bilden die Summe von sieben aufeinanderfolgenden geraden natürlichen Zahlen und
nennen sie A (zB. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14). Die Summe der nächsten sieben geraden
Zahlen (hier 16+18+. . .) nennen wir B, und die Summe der nächsten sieben geraden Zahlen
heißt C. Kann das Produkt ABC = 20023 sein? (LWA, 2002)
(Hinweis: 2002 = 2 · 7 · 11 · 13)
6. (a) Man zeige: Das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden geraden natürlichen Zahlen ist
durch 15 teilbar.
(b) Man bestimme die größte ganze Zahl D, sodass das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden geraden natürlichen Zahlen stets durch D teilbar ist. (LWA, 2003)
7. Man zeige: Es gibt keine natürlichen Zahlen a und b mit 4a(a + 1) = b(b + 3).(LWA, 2005)
8. Man bestimme die Anzahl der Paare ganzer Zahlen (x, y), sodass (|x| − 2)2 + (|y| − 2)2 < 5.
(LWA, 2005)
9. Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung [x]2 + [x] = x2 − 0, 25. Dabei bezeichnet
[x] die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. (LWA, 2007)
√
10. Für reelle Zahlen x ≥ 0 und y ≥ 0 sind A = x+y
arithmetische Mittel und G = xy das
2 das
√
√
√
x+ y
geometrische Mittel von x und y. Mit W =
wird das arithmetische Mittel von x
2
√
und y bezeichnet.
Man zeige, dass G ≤ W 2 ≤ A gilt. Für welche x und y gilt G = W 2 = A? (LWA, 2007)
11. Zu jeder Seite eines Quadrates wird mit roten Farbe eine Zahl (positiv und ganzzahlig) geschrieben. Zu jedem Eckpunkt schreibt man mit grüner Farbe das Produkt der benachbarten
roten Zahlen. Die Summe der grünen Zahlen ist 40. Welche Werte sind für die Summe der
roten Zahlen möglich. (LWA, 2009)