Approximations- und Onlinealgorithmen

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Wintersemester 2007/08
Approximations- und Onlinealgorithmen
7. Übung
Aufgabe 1
Wir betrachten das Bahncardproblem mit T = ∞. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass
dann ein randomisierter Algorithmus A beschrieben werden kann durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion pA : [0, ∞] → [0, 1], die in pA (s) angibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit
ist, eine Bahncard zu besitzen, wenn die aufgelaufenen Ticketpreise s erreicht haben. Die
erwarteten Kosten des Algorithmus A bei Eingabe (d. h. Gesamtticketpreis) s betragen dann
Z s
cA (s) = pA (s) · C + s − (1 − β) ·
pA (x)dx
0
Es sei der Algorithmus A definiert durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
pA (s) = min{1, ceλs }
mit 0 < c < 1, λ > 0.
a) Ab welchem Wert von s ist die Wahrscheinlichkeit, eine Bahncard zu haben, gleich 1?
b) Es sei s der Wert aus a). Leiten Sie für s < s und für s ≥ s Ausdrücke für die erwartete
Güte des Algorithmus her, wenn s ≥ ccrit gilt.
c) Bestimmen Sie durch Bildung der Ableitung, für welche Werte von s die Güte besonders
groß, d. h. schlecht wird, für den Fall s ≥ s und s ≥ ccrit .
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Das Knotenfärbungsproblem kann auch als Maximierungsproblem MAX-noCOL formuliert
werden. Dann gibt es einen Approximationsalgorithmus mit konstanter Güte.
Zum Färben eines Graphen G mit n Knoten stehen n Farben zur Verfügung. Eine Färbung ist
optimal, wenn möglichst viele der n Farben nicht verwendet werden. Unter allen Färbungen
des Graphen ist diejenige gesucht, für die n − c maximal ist. Hierbei ist c die Anzahl der
verwendeten Farben. Für dieses Maximierungsproblem ist OP T (G) = n − χ(G). Ist A ein
Färbungsalgorithmus, der χA (G) Farben vergibt, so ist A(G) = n − χA (G). Um eine ApT (G)
n−χ(G)
proximationsgüte zu bestimmen, muss eine obere Schranke für OPA(G)
= n−χ
angegeben
A (G)
werden.
Sei G = (V, E). Eine unabhängige Menge U ⊆ V ist eine Menge paarweise nicht adjazenter
Knoten. Der Komplementärgraph G = (V, E) von G besitzt dieselbe Knotenmenge wie G
und hat die Kantenmenge E = {{x, y} | x, y ∈ V, x 6= y, {x, y} ∈
/ E}. Für eine Menge
X ⊆ V ist G[X] der durch X induzierte Untergraph von G, der genau die Knoten aus X
und alle Kanten aus E, die zwischen Knoten aus X verlaufen, enthält.
Aufgabe 2
Zeigen Sie für MAX-noCOL, dass der Matching First Algorithmus Approximationsgüte 2
hat und geben Sie ein Schärfebeispiel an.
Matching First Algorithmus
Eingabe: Graph G = (V, E) mit n Knoten
Schritt 1:
Schritt 2:
Schritt 3:
Ausgabe: Färbung
Bestimme ein inklusionsmaximales Matching M im Komplementärgraphen G.
(|M | =: z)
Für M = {e1 , . . . , ez } färbe jeweils die Endknoten der Kante ei mit Farbe i.
Färbe alle restlichen Knoten aus V paarweise verschieden mit {z+1, . . . , n−z}.
Aufgabe 3
Zeigen Sie für MAX-noCOL, dass der Algorithmus von R. Hassin und A. Lahar Approximationsgüte 23 hat und geben Sie ein Schärfebeispiel an.
Algorithmus von R. Hassin und A. Lahar
Eingabe: Graph G = (V, E) mit n Knoten
Schritt 1:
Schritt
Schritt
Schritt
Schritt
2:
3:
4:
5:
Ausgabe: Färbung
Bestimme eine nicht erweiterbare Menge Z von disjunkten, 3-elementigen,
unabhängigen Mengen in G (|Z| =: z).
Die Menge aller restlichen Knoten sei X.
Bestimme in G[X] ein maximales Matching M (|M | =: y).
Für M = {e1 , . . . , ey } färbe jeweils die Endknoten der Kante ei mit Farbe i.
Färbe alle verbleibenden Knoten aus X mit {y + 1, . . . , x} (x := χ(G[X])).
Gib jeder unabhängigen Menge aus Z eine Farbe aus {x + 1, . . . , x + z},
so dass verschiedene Mengen verschiedene Farben erhalten.