Aufgaben Matur Leonhard 2011

Aufgaben Matur Leonhard 2011
0.1
Aufgabe A1, LE M2011 OHNE TR [*]
Zeichnen und beschriften Sie die Graphen der folgenden Funktionen sauber in das untenstehende
Koordinatensystem. [Gegeben: Koordinatensystem von xmin = −7 bis xmax = 12 und ymin = −7
bis ymax = 7, Einheit: 2 Häuschen ]
√
h : x 7→ (x − 6)2 − 4
f : x 7→ − 12 x − 3
g : x 7→ x + 4
i : x 7→ ex − 4
0.2
k : x 7→ ln(x − 2)
m : x 7→ 4.5
Aufgabe A2, LE M2011 OHNE TR [**]
Von einer Parabel 3. Ordnung f ist die Gleichung der Tangente t in der am weitesten rechts
liegenden Nullstelle durch y = −9x + 9 gegeben. Weiter schneidet der Graph von f die y-Achse
in P(0 / 4) und hat dort eine waagrechte Tangente.
a) Berechnen Sie die Gleichung der Parabel 3. Ordnung.
Falls Sie a) nicht gelöst haben, verwenden Sie für die folgenden Teilaufgaben die Parabel mit
der Funktionsgleichung f (x) = −x3 − 3x2 + 4.
b) Berechnen Sie sämtliche Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion f . Zeichnen Sie zuerst die Tangente t in ein Koordinatensystem ein und skizzieren
Sie anschliessend den Graphen von f im Intervall [−4, 2] (Einheit = 2 Häuschen).
c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, welche von der y-Achse, der Tangente t und der
Funktion f im 1. Quadranten begrenzt wird.
d) Berechnen Sie die Gleichung der Normalen im Wendepunkt der Funktion f .
0.3
Aufgabe A3, LE M2011 OHNE TR [*]
Gegeben ist die Folge mit der Vorschrift an =
3n+1
1−2n
a) Ermitteln Sie a1 , a2 , a3 sowie den Grenzwert a = lim an .
n→∞
b) Ab welcher Nummer N liegen alle Folgenglieder an innerhalb der ε-Umgebung um den
Grenzwert a, wenn ε = 10−2 ist.
1
0.4
Aufgabe A4, LE M2011 OHNE TR [***]
Aus einem kreisförmigen Stück Karton mit dem gegebenen
Radius r will Nicole ein Netz einer geraden quadratischen Pyramide ausschneiden (siehe Skizze).
r
a) Zeigen Sie,√ dass das Volumen der Pyramide durch
V (x) = 13 · r2 x4 − r x5 gegeben ist.
x
b) Berechnen Sie die Grundkante x derjenigen Pyramide
mit maximalem Volumen.
0.5
Aufgabe A5, LE M2011 OHNE TR [**]
Gegeben ist ein Würfel der Kantenlänge 6 sowie die Punkte A(6 / 0 / 5), B(6 / 6 / 2),
C(0 / 6 / 2) sowie P, Q, R wie in der Skizze ersichtlich.
z
a) Konstruieren Sie die Schnittflächen der Ebenen
E1 =(A,B,C) und E2 =(P,Q,R) mit dem Würfel
in obiger Figur und färben Sie die Schnittflächen
unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit.
P
Q
b) Die Ebene E1 zerlegt den Würfel in zwei Teile.
In welchem Verhältnis stehen die Volumina beider
Teilkörper zueinander?
A
C
B
c) Berechnen Sie eine möglichst einfache Koordinatengleichung der Ebene E1 sowie den Abstand des Kox
ordinatenursprungs von der Ebene E1 .
0.6
y
R
Aufgabe A6, LE M2011 MIT TR [*]
T
Die Spitze D des Devil’s Peak liegt hD = 1000 m über Meer. Von
dort aus sieht Marc den DL = 5141 m entfernten Lion’s Head L
unter einem Tiefenwinkel δ = 3.692◦ . Blickt er von D aus in die
andere Richtung zum Tafelberg, so sieht er dessen Spitze T unter
einem Höhenwinkel von φ = 1.015◦ . Der Horizontalwinkel zwischen
den beiden Blickrichtungen beträgt α = 30.61◦ (siehe Figur).
Der Winkel bei B im Dreieck ABD misst β = 67.76◦ (siehe Figur).
D
b
B
A
hT
d
hD
L
Meer
Berechnen Sie die Höhe hT des Tafelbergs über Meer.
Meer
2
j
a
Meer
0.7
Aufgabe A7, LE M2011 MIT TR [**]
Von einem ebenen, regelmässigen Sechseck ABCDEF sind die Eckunkte A(6 / 4 / 1),
B(6 / 6 / 3) sowie die Koordinaten des Mittelpunktes M(4 / 4 / 3) bekannt.
a) Berechnen Sie die Seitenlänge a des Sechsecks.
b) Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte C und D des Sechsecks.
c) Das regelmässige Sechseck ABCDEF bildet die Grundfläche einer geraden Pyramide,
deren Spitze S auf der Ebene E mit der Gleichung x + 2y − 2z = 0 liegt. Berechnen Sie
die Koordinaten der Spitze S sowie das Volumen der Pyramide.
d) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Seitenkante AS und der Grundfläche der Pyramide.
0.8
Aufgabe A8, LE M2011 MIT TR [***]
Beim Hochwasser in Koblenz (D) werde die Wasserhöhe h(t) [in m] des Rheins als Funktion
der Zeit t [in Tagen] beschrieben durch:
h(t) = 2 · (t − 1) · e− 5 t + 4,
1
t≥0
a) Wie hoch ist der Wasserstand und die momentane Anstiegsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt
t=0?
b) Welchem Wert nähert sich die Wasserhöhe nach langer Zeit (t → ∞)?
c) Zu welchem Zeitpunkt t ist die Wasserhöhe am grössten?
Wie hoch ist dann der Wasserstand?
d) Hochwasserentwarnung kann dann gegeben werden, wenn der Punkt der maximalen Abnahme der Wasserhöhe erreicht ist. Wann kann Hochwasserentwarnung gegeben werden?
e) Zeichnen Sie sauber den Graphen der Funktion h(t) im Intervall [0, 25].
f ) Liegt die Wasserhöhe über 6.5 m, wird die Altstadt von Koblenz überflutet. Wie lange
dauert die Überflutung der Altstadt?
0.9
Aufgabe A9, LE M2011 MIT TR [**]
Pirat Adrian erreicht im Punkt A0 eine Insel, auf der er einen Schatz an einem geheimen
Ort verstecken will. Um die Inselbewohner zu verwirren, schlägt er den aus unendlich vielen
Teilstücken zusammengesetzten Weg A0 A1 A2 A3 .... ein.
3
y in km
x1
A0(0 / 10)
A1(8 / 10)
A4(12 / 7)
x3
A8
y1
y2
x2
1
A5(14 / 7)
y3
y4
A7(15 / 3)
A6(14 / 3)
A3(12 / 1)
A2(8 / 1)
1
x in km
a) Mit welchen Funktionsvorschriften für die n-ten Wegstücke xn und yn (in Abhängigkeit
von n) kann sich Adrian den Weg merken?
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S, wo Adrian den Schatz vergraben hat.
c) Nach 10 Jahren kehrt Adrian zur Insel zurück. Da die Insel total überwachsen ist, kommt
er auf dem Weg zum Schatz nur mit einer Geschwindigkeit von 1.25 km
vorwärts. Wie
h
lange braucht er, bis er von Startpunkt A0 beim Schatz S angelangt ist?
0.10
Aufgabe A10, LE M2011 MIT TR [**]
Ronny beschriftet die Seiten eines regelmässigen Tetraeders mit den Zahlen 2, 3, 4, 5 und
benutzt das Tetraeder zum würfeln. Gewürfelt ist diejenige Zahl, welche bei einem Wurf auf
der Unterseite des Tetraeders zu liegen kommt.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei drei Würfen mindestens einmal eine
Primzahl wirft?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Doppelwurf (Wurf mit zwei Tetraedern) die Summe der Augenzahlen eine Primzahl ergibt?
c) Wie viele Doppelwürfe muss Ronny ausführen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens
einmal eine Augensumme grösser als 8 zu werfen, grösser als 99% wird?
4