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Für jedes Dreieck ABC gilt:
Wenn γ = 90°, so ist a2 + b2 = c 2 .
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Bildung der Umkehrung als ein Weg zu einer neuen Vermutung führt zu:
Für jedes Dreieck ABC gilt:
Wenn a2 + b2 = c 2 , so ist γ = 90°.
Wie€kann man sich davon
überzeugen, ob diese neue Vermutung stimmt?
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Die Analyse der Schlüsse in den Beweisen zeigt das Folgende:
Formalisierung von »Wenn a2 + b2 = c 2 , so ist γ = 90°.« ergibt:
A →B
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Folgerung Beweis 1: (A ∧ (¬B)) → B
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Folgerung Beweis 2: ¬B → (¬A)
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Man kann wie folgt klassifizieren:
Beweis
direkter Beweis
indirekter Beweis
Kontrapositionsbeweis
»echter« indirekter Beweis
(Widerspruchsbeweis)
W1
W2
W3
W1: A →B ⇔ (A ∧(¬B)) → B
W2: A →B ⇔ (A ∧(¬B)) → (¬A)
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W3: A →B ⇔ (A ∧(¬B)) → (C ∧(¬C))
Beispiel für W3:
Sei k ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und B ein Punkt auf dem Kreis. Die Gerade g
verlaufe durch B.
Wenn g orthogonal zum Radius r verläuft, ist g Tangente an dem Kreis.
Probleme, die beim Führen eines indirekten Beweises auftreten:
· Das Gelangen in die Einsicht des Grundgedankens des indirekten Beweises ist nicht
selbstverständlich.
· Das konkrete Ziel ist nicht klar, d.h., worin besteht der Widerspruch, an welcher Stelle
tritt er auf. Das wird insbesondere bei langen Beweisführungen zu einem Problem.
· Bei geometrischen Beweisen unterstützen die Beweisskizzen nicht den Sachverhalt,
da sie gerade das Gegenteil illustrieren.
· Es gibt kaum eine Heuristik.
Vorschläge zum Lösen der Probleme
· Zu bekannten Vorübungen des Beweisens kommt das Negieren hinzu.
· Üben einfacher indirekter Schlüsse, wobei es hilft, wenn diese im Konjunktiv
formuliert werden.
· Der Beweis sollte nicht abgebrochen werden, wenn der Widerspruch aufgetreten ist.
· Wiedergabe des Grundgedankens des indirekten Beweises im konkreten Fall.
· Anfertigen zweier Beweisskizzen, und zwar derjenigen, die den Sachverhalt richtig
wiedergibt und der »falschen«
· Indirekte Beweise bieten Aussicht auf Erfolg beim Beweis der Umkehrung eines
Satzes, dem Nachweis der Eindeutigkeit, dem Nachweis der Nichtexistenz.
Wo kann der indirekte Beweis in der Schule behandelt werden?
Schwerpunkt sollte in der Klasse 9 liegen.
Wo kann der indirekte Beweis in der Schule behandelt werden?
Stoffverteilung: Reelle Zahlen, Ähnlichkeit und Strahlensätze, Satzgruppe des
Pythagoras, Quadratische und Potenzfunktionen
Möglichkeiten: Irrationalität 2 (hierbei Hilfssatz: 2 | x 2 → 2 | x .)
Eindeutigkeit der inneren Zahl bei der Intervallschachtelung
Nichtabzählbarkeit von IR
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Umkehrung 1. Strahlensatz
Umkehrungen in der Satzgruppe des Pythagoras
Monotonie von Umkehrfunktionen
Literatur
König, Helmut: Indirekte Beweise und ihre Behandlung im Unterricht. Mathematik in der
Schule, 1972 (11)
Knoche, Norbert: Die Konstruktion der pythagoreischen Zahlentripel - ein elementarer
Zugang zur Behandlung des indirekten Beweises im Schulunterricht. MNU 1972 (4)
Matuschek, Dieter; Walter Harald: Die vier Varianten des indirekten Beweises. Mathematik in
der Schule 1999 (37)
Stein, Martin: Der indirekte Beweis. In: Dörfler, W.; Fischer, R.: Beweisen im Mathematikunterricht. Wien - Stuttgart 1979