¨Ubungsaufgaben zu Kapitel 13 bis 15

Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden
Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Wintersemester 2016/17
Übungsaufgaben zu Kapitel 13 bis 15
Hinweise:
Die Berechnung evtl. auftretender Integrale kann mit Hilfe eines Taschenrechners oder einer Formelsammlung
erfolgen. Die mit dem Symbol * gekennzeichneten Aufgaben bzw. Teilaufgaben haben einen höheren Schwierigkeitsgrad.
Aufgabe 1:
Es wird ein Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Würfeln durchgeführt. Die dabei erzielte Augensumme wird als diskrete Zufallsvariable betrachtet. Stellen Sie die Verteilungstabelle für die Zufallsvariable X auf.
Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.
Aufgabe 2:
Eine Firma kauft eine bestimmte Ware bei drei verschiedenen Herstellern ein, und zwar 20% vom Hersteller I,
30% vom Hersteller II und 50% vom Hersteller III. Die Ausschussanteile bei diesen drei Herstellern seien der
Reihe nach : 8%, 6% und 4%. Aus der gesamten Lieferung wird ein Stück zufällig herausgegriffen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Stück Ausschuss?
b) Ein zufällig ausgewähltes Stück sei brauchbar. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es vom Hersteller I
bzw. vom Hersteller III ?
Aufgabe 3:
Bei der Herstellung eines Massenartikels weiß man aus Erfahrung, dass 1% der Artikel defekt sind. Alle
Artikel werden vor dem Ausliefern einem Test unterzogen. Bei 98% aller defekten Artikel fällt dieser positiv
aus (d.h. sie werden als defekt erkannt). Es werden aber auch 5% der nicht-defekten Artikel fälschlicherweise
als defekt eingestuft.
Angenommen, der Test fällt bei einem bestimmten Artikel positiv aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass dieser Artikel wirklich defekt ist.
(Hinweis: Nutzen Sie die Ereignisse D: Artikel ist defekt“ und T : Test fällt positiv aus“ sowie die Bayessche
”
”
Formel.)
Aufgabe 4:
Eine bestimmte Sorte von Getränkeflaschen habe die Füllmenge (500 + X) ml. Dabei sei X eine Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
0.006(25 − x2 ) für − 5 ≤ x ≤ 5
f (x) =
0
sonst .
Ermitteln Sie die zugehörige Verteilungsfunktion F (x) und berechnen Sie die Zahl c so, dass die Füllmenge
einer Getränkeflasche (in ml) mit Wahrscheinlichkeit 0.95 im Intervall [ 500 − c, 500 + c ] liegt.
(Hinweis: Zur Berechnung von c kann der solve()-Befehl des Taschenrechners verwendet werden.)
Aufgabe 5:
Gegeben ist die Funktion: f (x) =
a
(mit a ∈
ex + e−x
R).
a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass die Funktion f die Eigenschaften einer Dichtefunktion
einer stetigen Zufallsvariablen besitzt.
b) Sei X eine Zufallsvariable, deren Dichtefunktion gleich der gegebenen Funktion f ist. Berechnen Sie die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich 1 ist.
1
weiter siehe S. 2
Aufgabe 6∗ :
Der Betrag der Geschwindigkeit eines Gasmoleküls in einem idealen Gas kann als Zufallsvariable mit der
Dichtefunktion

für x < 0
 0
2
2
f (x) =
x
 4x√ e− α2 für x ≥ 0
3
α
π
aufgefasst werden (Maxwell-Boltzmann-Verteilung), wobei α eine positive Konstante ist.
Berechnen Sie den Erwartungswert dieser Zufallsvariablen.
Aufgabe 7:
Zur Qualitätsprüfung einer Lieferung von Bauteilen wird eine Stichprobe von 40 Stück entnommen. Wenn in
der Stichprobe mehr als zwei unbrauchbare Teile gefunden werden, wird die gesamte Lieferung zurückgewiesen. Anderenfalls wird sie angenommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Annahme der Lieferung, wenn diese 1% unbrauchbare Teile
enthält?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Annahme der Lieferung, wenn diese 5% unbrauchbare Teile
enthält?
c) Die Lieferung enthalte 7.5% unbrauchbare Teile. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe
von 40 Teilen mehr unbrauchbare Teile enthält als im Mittel zu erwarten sind?
Aufgabe 8:
Eine Straße wird von einer Eisenbahnstrecke gekreuzt. Beim Passieren eines Zuges wird durch Schranken der
Verkehr für 3 min unterbrochen. Die durchschnittliche Belastung der Straße beträgt 100 Kfz pro Stunde. Es
wird davon ausgegangen, dass die Anzahl der Fahrzeuge einer Poisson-Verteilung unterliegt. Der Platzbedarf
pro Fahrzeug beläuft sich auf durchschnittlich 4 m.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dass die sich bildende Warteschlange länger als 50 m wird.
Aufgabe 9:
Die Weglänge, die von einem Gasmolekül zurückgelegt wird, bevor es mit einem anderen Molekül zusammentrifft, heißt freie Weglänge. Es kann angenommen werden, dass diese freie Weglänge eine exponentialverteilte
Zufallsvariable ist, wobei λ = 10 gilt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) die freie Weglänge einen Wert zwischen 0.3 und 30 annimmt
b) die freie Weglänge größer als 1 ist.
Aufgabe 10:
Die Kapazität eines in großer Stückzahl hergestellten Kondensators kann als eine normalverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert µ = 100 µF und der Standardabweichung σ = 4 µF angesehen werden.
a) Mit welchem Ausschussanteil (in %) ist zu rechnen, wenn die Kapazität höchstens um 5 % vom Sollwert
(Erwartungswert) abweichen darf ?
b) Wie groß ist der Ausschussanteil (in %), wenn nur Kapazitätswerte zwischen 98 µF und 104 µF toleriert
werden ?
Aufgabe 11∗ :
Die Ergebnisse bestimmter Messungen werden als normalverteilte Zufallsvariable angesehen.
Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) sich ein Messwert um mehr als die Hälfte der Standardabweichung vom Erwartungswert unterscheidet?
b) sich ein Messwert um weniger als drei Viertel der Standardabweichg. vom Erwartungswert unterscheidet?
2
Aufgabe 12:
Die Massen der in einer Bäckerei hergestellten Weihnachtsstollen können als normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 1000 g und der Standardabweichung σ = 15 g angesehen werden. Es kann davon ausgegangen
werden, dass die einzelnen Massen unabhängig voneinander sind. Zur Auslieferung werden die Stollen zu je
9 Stück in Kartons verpackt. Die Masse des Verpackungsmaterials beträgt 200 g.
a) Die Gesamtmasse dieser Kartons werde als Zufallsvariable Z betrachtet. Welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung unterliegt Z (Typ der Verteilung und Kennwerte angeben)?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Masse eines Kartons weniger als 9100 g beträgt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Karton zwischen 9155 g und 9245 g wiegt?
Aufgabe 13:
Die Messung des jährlichen Wasserverbrauchs von 18 Haushalten ergab die folgenden Werte (jeweils in m3 ):
121
137
140
92
216
142
84
111
70
96
104
150
119
99
208
127
181
131
Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert, die Stichprobenvarianz und den Variationskoeffizienten.
Bestimmen Sie außerdem den Median und die Spannweite der Stichprobe.
Aufgabe 14:
Die Monatsgehälter xi der Mitarbeiter einer Firma haben den Mittelwert x = 5000 EUR und die Standardabweichung s = 1000 EUR.
Wie verändern sich x, s sowie der Variationskoeffizient v, wenn
a) jedes Gehalt um 100 EUR erhöht wird bzw.
b) jedes Gehalt um 2 % erhöht wird?
Aufgabe 15:
Die Untersuchung der Temperaturabhängigkeit eines ohmschen Widerstandes führte zu der folgenden Stichprobe (Messwertepaare):
i
1
2
3
4
5
6
7
8
Ti (in ◦ C)
20
25
30
40
50
60
65
80
Ri (in Ω)
16.3
16.44
16.61
16.81
17.1
17.37
17.38
17.86
Berechnen Sie s2T , s2R und die empirische Kovarianz sT R sowie den empir. Korrelationskoeffizienten rT R .
Aufgabe 16:
Die Lebensdauer einer Glühlampenart wurde geprüft. Die Auswertung einer Stichprobe vom Umfang n = 25
ergab: x = 2480 sowie s = 18 (jeweils in Stunden).
Berechnen Sie jeweils ein Konfidenzintervall für µ und für σ 2 bei einem Konfidenzniveau von 0.95, wenn
davon ausgegangen wird, dass die Lebensdauer eine normalverteilte Zufallsvariable ist.
Aufgabe 17:
In einer Versuchsreihe wurde die Dichte X einer Eisenkugel insgesamt 20-mal gemessen, wobei nur 6 verschiedene Messwerte mit der folgenden Häufigkeitsverteilung auftraten:
xi (in g/cm3 )
7.79
7.80
7.81
7.82
7.84
7.85
abs. Häuf. hi
3
3
5
4
3
2
Bestimmen Sie anhand dieser Stichprobe ein Konfidenzintervall für den unbekannten Erwartungswert µ der
als normalverteilt geltenden Messgröße X (das Konfidenzniveau sei 1 − α = 0.99).
3
weiter siehe S. 4
Aufgabe 18∗ :
Ein Probekörper wird mit einer Feinwaage mehrmals gewogen. Die Ergebnisse der Wägungen seien unabhängig voneinander und können durch eine N (µ, σ02 )-verteilte Zufallsvariable beschrieben werden. Dabei
entspricht µ der unbekannten Masse des Probekörpers und weiterhin gelte σ02 = 5 · 10−5 (Angabe des Herstellers der Waage). Für µ soll mit dem Mittelwert der Messergebnisse ein Schätzwert angegeben werden.
Wieviele Messungen (Wägungen des Probekörpers) müssen durchgeführt werden, damit der Schätzwert mit
einer Wahrscheinlichkeit von 95 % um nicht mehr als 5 · 10−3 vom wahren Wert abweicht?
Aufgabe 19:
Ein Hersteller produziert in großer Stückzahl elektrische Widerstände mit dem Sollwert µ0 = 100 Ω. Der
ohmsche Widerstand kann dabei als eine annähernd normalverteilte Zufallsvariable angesehen werden. Nach
Angaben des Herstellers wird der vorgegebene Sollwert auch eingehalten. Eine Stichprobe vom Umfang
n = 10 ergab jedoch einen empirischen Mittelwert von x = 102 Ω. Testen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.01 die Nullhypothese H0 : µ = µ0 = 100 Ω gegen die Alternativhypothese H1 : µ 6= µ0 .
Aufgrund langjähriger Erfahrungen darf dabei von einer Standardabweichung σ = 3 Ω ausgegangen werden.
Aufgabe 20:
In einem Werk werden Schrauben produziert, deren Länge X eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert µ0 = 21 mm sei. Eine Stichprobe führte zu dem folgenden Ergebnis:
n = 25 ; x = 20.5 mm ; s = 1.5 mm.
Prüfen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.01, ob die Abweichung des beobachteten Stichprobenmittelwertes vom Sollwert signifikant oder zufallsbedingt ist.
Aufgabe 21:
Eine Maschine produziert Wellen von hoher Präzision. Als Genauigkeitsmaß wird die Standardabweichung σ0
des Wellendurchmessers X betrachtet. Die Maschine wurde dabei so eingestellt, dass σ0 = 0.2 mm beträgt.
Zu Kontrollzwecken wurde eine Stichprobe vom Umfang n = 12 entnommen. Ihre Auswertung ergab jedoch
eine empirische Standardabweichung von s = 0.4 mm. Muss die Maschine neu eingestellt werden? Testen
Sie daher mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 5% die Nullhypothese H0 : σ 2 ≤ σ02 und treffen Sie
eine Entscheidung. Ändert sich diese, wenn der Test mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 1% durchgeführt
wird?
Ergebnisse siehe S. 5
4
Ergebnisse
Aufgabe 1:
xi
f (xi )
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
36
µ = 7, σ 2 =
210
36
≈ 5.83
Aufgabe 2:
a) 0.054
b) 0.1945 (für Herst. I),
0.5074 (für Herst. III)
Aufgabe 3: 0.165


 0
Aufgabe 4: F (x) =
0.006 · (25x −

 1
Aufgabe 5: a) a =
Aufgabe 6∗ :
2
π
b)
für x < −5
x3
3 )
+ 0.5 für − 5 ≤ x ≤ 5 ,
für x > 5
c = 4.057
2 arctan(e)
π
2α
√
π
Aufgabe 7: a) 0.9925
b) 0.6767
c) 0.3527
Aufgabe 8: 0.002
Aufgabe 9: a) 0.0498
b) 0.454 · 10−4
Aufgabe 10: a) 21.1 %
b) 46.7 %
Aufgabe 11∗ : a) 0.617
b) 0.547
Aufgabe 12: a) Z ∼ N (9200 g, 2025 g2 )
b) 0.0131
c) 0.6826
Aufgabe 13: x = 129.33, s2 = 1605.41, v = 0.31, x̃ = 124, R = 146
Aufgabe 14:
a) x vergrößert sich (um 100 EUR), s bleibt unverändert, v wird kleiner
b) x und s werden größer, v bleibt unverändert
Aufgabe 15: s2T = 448.21 (◦ C)2 , s2R = 0.2887 Ω2 , sT R = 11.34 ◦ C Ω, rT R = 0.9974
Aufgabe 16: 2472.57 ≤ µ ≤ 2487.43 , 197.56 ≤ σ 2 ≤ 627.1
Aufgabe 17: 7.804 ≤ µ ≤ 7.828 (in g/cm3 )
Aufgabe 18∗ : mindestens 8 Messungen
Aufgabe 19: Die Hypothese H0 wird nicht abgelehnt.
Aufgabe 20: Die Hypothese H0 wird nicht abgelehnt, d.h. die Abweichung ist nicht signifikant.
Aufgabe 21: Die Hypothese H0 wird in beiden Fällen abgelehnt.
5