1 Punkte und Vektoren im Raum 1.3 Skalarprodukt – Winkel im Raum 61 Klapptest: Winkel im Raum Thema der Aufgabe • Berechnung von Winkeln im Raum Punkte und Vektoren im Raum Voraussetzungen • Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren Skalarprodukt – Winkel im Raum Klapptest: Winkel im Raum Falten Sie das Arbeitsblatt zunächst an der senkrechten Linie. Ergänzen Sie die Regel und bearbeiten Sie die Aufgabenstellungen. Kontrollieren Sie anschließend mit den Lösungen. _ Für den Winkel φ zwischen den Vektoren __› u und v› __› __› (u ≠ 0 , v ≠ 0 ) gilt: Zeitbedarf • 15 min einschließlich der Selbstkontrolle cos (φ) = __› _› u ·v cos (φ) = } __ | u› | · | v_› | Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen. 1 _ _ 2 a) u› = 2 ; v› = 5 _ −3 + 1 cos (φ) = } 1 −4 _ _ 2 b) u› = 8 ; v› = − 2 _ 0+ _ −1 + cos (φ) = } Zum Entdecken φ≈ Für welchen Wert a ∈ schließen die _ Vektoren _ › u und v› einen Winkel von 45° ein? 4 _ _› 1 u = a ; v› = 1 _0+ Zum Trainieren φ≈ _ Referat/Facharbeit/Projekt 1 4+a __ } _ 2 √2 = } √ 16 + a2 · √ 2 _0+ 2 Lösungen Die Lösungen können der rechten Spalte des Arbeitsblattes ­entnommen werden. a) φ ≈ 33,1° b) φ ≈ 153,4° _ −2 + Zum Durcharbeiten Infoblatt/­ Tutorial hier falten Hinweise zum Einsatz im Unterricht • Mit diesem Arbeitsblatt sollen die Schülerinnen und Schüler die Berechnung von Winkeln mithilfe des Skalarproduktes trainieren. Nach der Bearbeitung der Aufgaben erfolgt der Vergleich der ­Lösungen in Selbstkontrolle. Zum Einsteigen a=0 2 Zum Auffrischen Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen den Kanten } BS und } CS der Pyramide. x3 › −4 _ 10 + › 4 _ 10 + BS = − 4 ; CS = − 4 φ ≈ 40,75° S 3 3 10 C 8 x2 O 8 A B (8 | 8 | 0), C (0 | 8 | 0), S (4 | 4 | 10) ___ ___ B Elemente der Mathematik – Unterrichtsma terialien Analytische Geometrie/Matrizen © 2014 Schroedel, Braunschweig Seite 62 Einzelarbeit Partnerarbeit Gruppenarbeit CAS GTR Taschenrechner CD Tabellen­ kalkulation 45 15 min Punkte und Vektoren im Raum Skalarprodukt – Winkel im Raum Klapptest: Winkel im Raum Falten Sie das Arbeitsblatt zunächst an der senkrechten Linie. Ergänzen Sie die Regel und bearbeiten Sie die Aufgabenstellungen. Kontrollieren Sie anschließend mit den Lösungen. __› _› Für den Winkel φ zwischen den Vektoren u und v __› __› (u ≠ 0 , v ≠ 0 ) gilt: cos (φ) = __› _ › u · v | u | · | v | cos (φ) = } __› _ › hier falten a) φ ≈ 33,1° Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Vektoren einschließen. 1 _ 2 _ › › u = 2 ; v = 5 a) _ − 3 + 1 } φ ≈ cos (φ) = _› u = b) b) φ ≈ 153,4° _ − 2 + 1 _ 8 0 +; v = _ − − 2 1 + _› − 4 2 } φ ≈ cos (φ) = Für welchen Wert a ∈ schließen die Vektoren _ _› › u und v einen Winkel von 45° ein? 1 4 _› _› u = a ; v = 1 _ 4+a 1 }2 √ 2 = } __ _ √ 16 + a2 · √ 2 _ 0 + _ 0 + 2 a=0 2 Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen den Kanten } BS und } CS der Pyramide. x3 3 _ 10 + S φ ≈ 40,75° 10 C 8 x2 O 8 A B (8 | 8 | 0), C (0 | 8 | 0), S (4 | 4 | 10) _ __› − 4 _ __› 4 BS = − 4 ; CS = − 4 _ 10 + 3 B Elemente der Mathematik – Unterrichtsmaterialien Analytische Geometrie/Matrizen © 2014 Schroedel, Braunschweig Seite 62