min Klapptest: Winkel im Raum 1 Punkte und Vektoren im Raum

1 Punkte und Vektoren im Raum
1.3 Skalarprodukt – Winkel im Raum
61
Klapptest: Winkel im Raum
Thema der Aufgabe
• Berechnung von Winkeln im Raum
Punkte und Vektoren im Raum
Voraussetzungen
• Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren
Skalarprodukt – Winkel im Raum
Klapptest: Winkel im Raum
Falten Sie das Arbeitsblatt zunächst
an der senkrechten Linie. Ergänzen
Sie die Regel und bearbeiten Sie die
Aufgabenstellungen. Kontrollieren Sie
anschließend mit den Lösungen.
_
Für den Winkel φ zwischen den Vektoren __›
u und v›
__›
__›
(u ≠ 0 , v ≠ 0 ) gilt:
Zeitbedarf
• 15 min einschließlich der Selbstkontrolle
cos (φ) =
__› _›
u ·v
cos (φ) = }
__
| u› | · | v_› |
Berechnen Sie den Winkel, den die beiden
Vektoren einschließen.
1 _
_
2
a) u› = 2 ; v› = 5
_ −3 +
1
cos (φ) = }
1
−4 _
_
2
b) u› = 8 ; v› = − 2
_ 0+
_ −1 +
cos (φ) = }
Zum
Entdecken
φ≈
Für welchen Wert a ∈ schließen die
_
Vektoren
_
›
u und v› einen Winkel von 45° ein?
4 _
_›
1
u = a ; v› = 1
_0+
Zum
Trainieren
φ≈
_
Referat/Facharbeit/Projekt
1
4+a
__
}
_
2 √2 = }
√ 16 + a2 · √ 2
_0+
2
Lösungen
Die Lösungen können der rechten Spalte des Arbeitsblattes
­entnommen werden.
a) φ ≈ 33,1°
b) φ ≈ 153,4°
_ −2 +
Zum
Durcharbeiten
Infoblatt/­
Tutorial
hier falten
Hinweise zum Einsatz im Unterricht
• Mit diesem Arbeitsblatt sollen die Schülerinnen und Schüler die
Berechnung von Winkeln mithilfe des Skalarproduktes trainieren.
Nach der Bearbeitung der Aufgaben erfolgt der Vergleich der
­Lösungen in Selbstkontrolle.
Zum
Einsteigen
a=0
2
Zum
Auffrischen
Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen
den
Kanten }
BS und }
CS der Pyramide.
x3
›
−4
_ 10 +
›
4
_ 10 +
BS = − 4 ; CS = − 4
φ ≈ 40,75°
S
3
3
10
C
8 x2
O
8
A
B (8 | 8 | 0), C (0 | 8 | 0), S (4 | 4 | 10)
___
___
B
Elemente der Mathematik – Unterrichtsma
terialien
Analytische Geometrie/Matrizen
© 2014 Schroedel, Braunschweig
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Partnerarbeit
Gruppenarbeit
CAS
GTR
Taschenrechner
CD
Tabellen­
kalkulation
45
15
min
Punkte und Vektoren im Raum
Skalarprodukt – Winkel im Raum
Klapptest: Winkel im Raum
Falten Sie das Arbeitsblatt zunächst an der senkrechten Linie. Ergänzen Sie die Regel und bearbeiten Sie die
Aufgabenstellungen. Kontrollieren Sie anschließend mit den Lösungen.
​__›
​_›
Für den Winkel φ zwischen den Vektoren ​u ​  und ​v ​  
​__›
​__›
(u ≠ ​0 ​ ,  v ≠ ​0 ​ )  gilt:
cos (φ) =
_​_› _
​›
u ​ ​   · ​v ​  
​| u ​ 
​   |​ · ​| ​v ​   |​
cos (φ) = }
​  ​__› ​_ 
› ​ 
hier falten
a) φ ≈ 33,1°
Berechnen Sie den Winkel, den die beiden
Vektoren einschließen.
 1 _
 2
_
​›
​›
u ​  = ​  ​  2 ​   ​; ​v ​  = ​  ​  5 ​   ​
a)​
_ − 3 +
1
}​ φ ≈
  
cos (φ) = ​  
​_›
u ​  = ​ 
b)​
b) φ ≈ 153,4°
_ − 2 +
1
_  ​ 8 0​  +​; ​v ​ = ​  _ −​  − 2 1​  +​
​_›
−
 4
 
 2
}​ φ ≈
cos (φ) = ​  
  
​
Für welchen
Wert a ∈ schließen die Vektoren​
_
​_›
›
u ​  und ​v ​ einen
  
Winkel von 45° ein?
1 
4
​_›
  ​_›
​u ​  = ​    
​a ​  ​; ​v ​  = ​  1 
​  ​  ​
_
4+a
1
​}2​  √​ 2 ​ = }
​  __  _​ 
​√ 16 + a2 ​  
· ​√ 2 ​ 
_ 0 +
_ 0 +
2
a=0
2
Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen den
Kanten }
​BS ​ und ​}
CS ​ der Pyramide.
x3
3
_  10 +
S
φ ≈ 40,75°
10
C
8 x2
O
8
A
B (8 | 8 | 0), C (0 | 8 | 0), S (4 | 4 | 10)
_​ __›
− 4 _​ __›
 
 4
BS ​
​   = ​  − 
​ 4 ​   ​; CS ​
​   = ​  − 
​  4  ​  ​
_  10 +
3
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Analytische Geometrie/Matrizen
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