1 Übungsaufgaben Mathematik I – Realschule

Übungsaufgaben Mathematik I – Realschule
Praxisorientierte Aufgaben
1
Der Abstand zweier Bäume B1 und B2,
die durch einen Fluss getrennt sind, soll
bestimmt werden.
Von einem 150 m vom Baum B1 entfernten
Hilfspunkt H erscheinen die beiden Bäume
unter einem 79°-Winkel. Der Winkel
B2B1H beträgt 56° (vgl. nebenstehende
Skizze).
Berechnen Sie die Entfernung der beiden
Bäume B1B 2 auf zwei Stellen nach dem
Komma gerundet.
2
Die Kirchen zweier Ortschaften liegen auf
einer Höhe von 550 m über dem Meeresspiegel. Sie sind 2 km voneinander entfernt.
Der Gipfel eines Berges liegt genau senkrecht über der Verbindungslinie der beiden
Kirchen (vgl. Abbildung).
Vom Gipfel aus erscheint die eine Kirche
unter einem 65°-Winkel zur Vertikalen, die
andere Kirche unter einem 72°-Winkel.
In welcher Höhe liegt der Gipfel?
(Auf zwei Stellen nach dem Komma
runden.)
3
Ein Baum steht auf einem Hang (vgl.
Abbildung), der um 15° gegenüber der
Horizontalen geneigt ist.
Zu dem Zeitpunkt, an dem der Schatten des
Baumes genau in der Falllinie verläuft, ist
der Schatten des Baumes 17,5 m lang. Die
Sonnenhöhe wird mit 25° gemessen.
Berechnen Sie die Höhe des Baumes.
(Hilfen, falls die Aufgabe zu komplex ist:
a) Bestimmen Sie das Maß des Winkels
ASB.
b) Zeichnen Sie eine Horizontale durch B
und bestimmen Sie das Maß des Winkels SBA.)
1
4
Stellt man einen 1,0 m langen Stab vertikal auf einen Hang, so verläuft sein Schatten genau in der Falllinie und ist bei einer
Sonnenhöhe von 55° genau 1,70 m lang
(vgl. Skizze).
Berechnen Sie die Neigung des Hangs zur
Waagrechten.
(Hilfen, falls die Aufgabe zu komplex ist:
a) Bestimmen Sie das Maß des Winkels
ASB.
b) Berechnen Sie das Maß des Winkels
SBA.)
5.0
Die nebenstehende Skizze zeigt den Querschnitt eines Wintergartens.
Folgende Maße sind fest vorgegeben:
Die Breite AB = 5,5 m, die Höhe
der Wand BC = 2,5 m, die Dachneigung 10°.
Die Glasfront wird noch geplant, sie
schließt mit dem Boden den Neigungswinkel ϕ ein.
5.1
Fertigen Sie eine Zeichnung des Wintergartenquerschnitts im Maßstab 1 : 100 mit
ϕ = 85° an.
Berechnen Sie die Länge der Strecke [AC] und das Maß α des Winkels BAC auf zwei
Stellen nach dem Komma gerundet.
[Ergebnis: AC = 6,04 m; α = 24, 44°]
5.2
5.3
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Länge der Glasfront in Abhängigkeit von ϕ
gilt:
3, 42
AD n (ϕ) =
m.
sin (10° + ϕ)
5.4
5.5
Welche Länge muss die Glasfront mindestens haben?
Für welchen Neigungswinkel ϕ ist die Länge der Glasfront AD n genau so groß wie
die Dachlänge CD n ?
Die Firma für den Wintergarten hat Glaselemente mit der Länge 3,65 m vorrätig.
Welche Neigungswinkel ϕ sind somit möglich?
(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
5.6
2
6.0
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Für Dekorationszwecke werden Glaspyramiden mit einer bunten Flüssigkeit gefüllt.
(Die Dicke der Glaswände soll bei den folgenden Berechnungen vernachlässigt
werden.)
Die Grundfläche der Glaspyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der
Basislänge AB = 12 cm und der Höhe CD = 12 cm.
Die Spitze S der Pyramide ABCS liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Strecke
[CD] und es gilt: MS = 8 cm.
Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCS. Dabei soll [CD] auf der Schrägbildachse liegen.
1
Für die Zeichnung: q = ; ω = 45°.
2
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCS.
Die Glaspyramide ABCS soll mit zwei verschiedenen Flüssigkeiten gefüllt werden.
Dazu werden dreieckige Trennflächen Pn Q n R n eingezogen.
Die Dreiecke Pn Q n R n liegen auf dem Punkt T, der 3 cm senkrecht über M liegt, auf.
Weiter gilt: Pn ∈ [AS], Q n ∈ [BS], R n ∈ [CS] und [Pn Q n ] [AB]. Die Punkte Fn sind
jeweils Mittelpunkte der Strecken [Pn Q n ] und die Winkel FnTS haben das Maß ϕ.
Zeichnen Sie das Dreieck P1Q1R1 für ϕ = 100° in das Schrägbild zu 6.1 ein.
Bestimmen Sie rechnerisch das Intervall für das Maß ϕ der Winkel FnTS
(Intervallgrenzen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet).
Stellen Sie die Streckenlänge TFn ( ϕ) und TR n ( ϕ) in Abhängigkeit von ϕ wie folgt
dar (auf zwei Stellen nach dem Komma runden):
3
cm
sin (ϕ + 36,87°)
3
TR n (ϕ) =
cm.
sin (ϕ − 36,87°)
TFn (ϕ) =
6.6
6.7
7.0
7.1
7.2
7.3
7.4
Bei der Herstellung entscheidet man sich als Trennwand genau das Dreieck P2Q2R2
einzuziehen, das im Punkt T seinen Schwerpunkt hat.
Berechnen Sie das zugehörige Winkelmaß ϕ. (Auf zwei Stellen nach dem Komma
runden.)
[Ergebnis: ϕ = 66,04°]
Berechnen Sie das für die Flüssigkeit in der Pyramide P2Q2R2S benötigte Volumen.
(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
Zwei Freunde, Gregor und Felix, wetten. Gregor sagt: „Ich lege auf das erste Feld eines
Schachbretts 100 Cent, auf das zweite 200 Cent, auf das dritte 300 Cent usw., also je
Feld um 100 Cent mehr.“
Felix sagt: „Ich lege auf das erste Feld 1 Cent und verdopple dann bei jedem Feld, also
auf das zweite Feld 2 Cent, auf das dritte 4 usw.“:
Welchen Betrag legt Gregor auf das fünfte (zehnte) Feld?
Welchen Betrag legt Felix auf das fünfte (zehnte) Feld?
Stellen Sie den jeweiligen Betrag y Cent eines Feldes in Abhängigkeit von der jeweiligen Feldnummer x für Gregor und Felix dar.
Bei welcher Feldnummer muss Felix zum ersten Mal mindestens 100 € auf ein Feld
legen?
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