am 5.6.2013 von 10:00 bis 11:00 Uhr

Klausur (Modulprüfung) zum
Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
am 5.6.2013 von 10:00 bis 11:00 Uhr
Bearbeiten Sie zwei der drei folgenden Aufgaben!
Sätze aus der Vorlesung und den Übungen dürfen Sie ohne Beweis
verwenden; die Verwendung sollte aber erwähnt werden.
Aufgabe 1 (Baumdiagramm, Rückwärtsschließen, Formel von Bayes)
Viele Jugendliche ohne Hauptschulabschluss.
Von den Jugendlichen, die Ende des Schuljahres 2011 die Haupt– bzw.
Realschule mit oder ohne Abschluss verließen, waren 46, 3% weiblich und
53, 7% männlich. Ohne schulischen Abschluss blieben dabei rd. 7, 6% der
Abgängerinnen und rd. 10% der Abgänger.
Zahlen gemäß Statistischem Bundesamt, Wiesbaden 2013
(a) Erstellen Sie dazu ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel! Berechnen Sie dann rückwärts die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass eine aus
den Absolventen mit Abschluss zufällig herausgegriffene Person weiblich ist. (Dabei dürfen Sie hier die relativen Häufigkeiten als die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten nehmen.)
(b) Berechnen Sie p erneut, diesmal mithilfe der Formel von Bayes!
Aufgabe 2 (Satz von de Moivre–Laplace)
(i) Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit w, bei 600 Würfen
mit einem idealen Würfel zwischen 80 und 100-mal (einschließlich dieser
Grenzen) eine Sechs zu erhalten?
(ii) Wie lautet die genaue (nicht approximierte) Formel für w (ohne Ausrechnen der einzelnen Terme)?
Hinweise zu (i):
(1) Sie dürfen den Satz von de Moivre-Laplace ohne Stetigkeitskorrektur
verwenden.
(2) Es gilt Φ(2, 19089) ≈ 0, 9857, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung bezeichnet.
Aufgabe 3 (Konfidenzintervall)
Über eine Zufallsvariable X sei bekannt, dass sie normalverteilt ist.
(i) Finden Sie ein Konfidenzintervall für M = E(X) zum Fehlerniveau α =
1 − γ ≈ 0, 05, wenn das Stichprobenmittel aus n = 1600 unabhängigen
Proben gleich 0, 43 ist und die empirische Standardabweichung s = 1
ist!
(ii) Wie groß muss n sein, damit das Konfidenzintervall zum Fehlerniveau
α ≈ 0, 05 um das Stichprobenmittel x̄ höchstens die Länge 0, 09 hat,
wenn die Streuung σ(X) = 1 bekannt ist.
Hinweis: Φ(1, 96) ≈ 0, 975.
2
Lösungsskizze zu Aufgabe 1:
(a) Aus den Angaben erhält man folgendes Baumdiagramm
(mit w =
ˆ weiblich, m =
ˆ männlich, j =
ˆ mit Abschluss, n =
ˆ ohne Abschluss):
%
Die Wahrscheinlichkeit der Pfade (des Aufretens beider Merkmalausprägungen)
liefern die Einträge in die
Vierfeldertafel:
Gechlecht “w”
Geschlecht “m”
gesamt
Abschl. ja
42,8
48,3
91,1
Abschl. nein
3,5
5,4
8,9
gesamt
46,3
53,7
100
Somit erhält man als umgekehrtes Baumdiagramm:
3
Es folgt, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich
42, 8
≈ 47%
91, 1
ist.
(b) Alternativ berechnet man die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit aus
P (w|j) =
0, 463 · 0, 924
0, 428
P (w) · P (j|w)
≈
=
≈ 0, 47.
P (j)
0, 428 + 0, 483
0, 911
Lösungsskizze zu Aufgabe 2:
(i) Sei X die Zufallsvariable, die zählt, wie oft die Sechs bei 600 Würfen
auftritt. X ist dann (bei dieser Bernoullikette) binomialverteilt zu den
Parametern n = 600 und p = 61 . Man erhält den Erwartungswert
E(X) = n · p = 600 · 16 = 100 und die Streuung
√
√
1 5
250
√
σ(X) = npq = 600 · · =
.
6 6
3
X − 100
hat also Erwartungswert 0
Die standardisierte Zufallsvariable √
250/3
und Varianz 1, was im Folgenden die Anwendung des Satzes von de
Moivre-Laplace für die gesuchte Warscheinlickeit w ermöglicht:
(
)
20
X − 100
w = P (80 ≤ X ≤ 100) = P − √
≤ √
≤0
250/3
250/3
(
(
( 20 )]
20 ) 1
20 ) 1 [
= −Φ − √
= − 1−Φ √
≈ Φ(0) − Φ − √
2
2
250
250
250
3
3
(√
=Φ
(√ ) 1
3 ) 1
400 ·
− =Φ
4, 8 − ≈ Φ(2, 19089) − 0, 5
250
2
2
≈ 0, 9857 − 0, 5.
Also gilt : w ≈ 0, 486.
4
3
(ii) Da X eine nach B600;1/6 verteilte Zufallsgröße ist, folgt:
w = P (80 ≤ X ≤ 100) =
)
100 (
∑
600 ( 1 )k ( 5 )600−k
k=80
k
6
6
.
Lösungsskizze zu Aufgabe 3:
(i) Laut Übungsaufgabe 32 bzw. Vorlesungsteil (9.8) ist bei einer Normalverteilung mit bekannter Varianz σ 2 und unbekanntem M = E(X) ein
γ−Konfidenzintervall von der Form
[
(γ + 1)
σ
σ ]
(∗)
x̄ − c √ ; x̄ + c √
mit c = Φ−1
.
2
n
n
Da der Stichprobenumfang groß ist, kann man (wie in der Vorlesung
und in Aufgabe W6) die Streuung σ(X) durch die empirische Standardabweichung s, der Realisation der erwartungstreuen Schätzfunktion S̃
der Streuung, ersetzen. Im vorliegenden Fall ist n = 1600, x̄ = 0, 43,
s = 1 und γ = 1 − α ≈ 0, 95 sowie
σ
1, 96
c = Φ−1 (1, 95/2) = Φ−1 (0, 975) ≈ 1, 96, also c √ ≈
= 0, 049.
40
n
Man erhält damit als γ−Konfidenzintervall
[
] [
]
0, 43 − 0.049 ; 0, 43 + 0, 049 = 0, 381 ; 0, 479 .
(ii) Nach (∗) ist die Länge des Konfidenzintervalls gleich 2 · c √σn . Es muss
hier also 2 · 1, 96 · √1n ≤ 0, 09 sein, d.h.
n≥
( 2 · 1, 96 )2
0, 09
≈ 43, 562 ≈ 1897, 09.
Die Stichprobe muss also mindestens den Umfang n = 1898 haben.
5