Lösungen von Aufgaben 4

Budapester Wirtschaftshochschule
Fakultät für Handel, Gastronomie und Tourismus
Studiengang Tourismus und Hotel Management
STATISTIK 2 AUFGABEN 2012/ 4
1.) In einer Umfrage wurden 100 bayerische Hotels befragt, wieviel ein
Doppelzimmer für eine Nacht bei ihnen kostet. Das arithmetische Mittel der Preise
betrug 80 Euros und die (bekannte) Standardabweichung war 30 Euros.
a.) Bestimmen Sie den durchschnittlichen Doppelzimmer-Preis in Bayern mit
95%
Einfallwahrscheinlichkeit
durch
ein
Konfidenzintervall
(Vertrauensintervall)!
n  100
  0,05
 ist bekannt:   30
 0,05 
1
z    1 1 
   (0,975)  1,96
1
2 

2

30
30 
So das Konfidenzintervall ist  80  1,96
;80  1,96
  74,12;85,88 €
100
100 

b.) Wie groß soll der Stichprobenumfang sein, wenn wir bei der Schätzung eine
Genauigkeit von 3 Euro erreichen wollen?
Die Breite des Intervalls ist 2  z
1
n  ? damit 2  z
1
 2  1,96 


2
n


2
n
 6 wahr wird
30
 6  19,6  n  384,16  n
n
der Stichprobenumfang soll mindestens 385 sein.
c.) Geben Sie auch ein Konfidenzintervall (Vertrauensintervall) mit 99%
Einfallwahrscheinlichkeit für den Doppelzimmer-Preis an! Welches Intervall
ist breiter?
  0,01
 0,01 
1
z    1 1 
   (0,995)  2,575
1
2 

2
 ist bekannt:   30

30
30 
;80  2,575
  72,27;87,73 €
So das Konfidenzintervall ist  80  2,575
100
100 

Dieses Intervall ist breiter als diejenige mit nur 95% Sicherheit.
2.) Wir haben die Ergebnisse von fünf Studenten in einer Klausur (in Punkte): 80,
47, 73, 58, 67.
a.) Geben Sie ein Konfidenzintervll für das durchschnittliche Ergebnis in der
Klasse mit 90% Einfallwahrscheinlichkeit! Wie verändert sich die Antwort,
wenn wir wissen, dass die Standardabweichung der Ergebnisse 15 Punkte
ist?
n5
  0,1
 ist unbekannt, deshalb müssen wir es mit der korrigierten Standardabweichung
schätzen.
x  65 und s 5  12,9
t
5 1;1
0 ,1
2
 t 4;0,95  2,132

12,9
12,9 
;65  2,132
  52,7;77,3 P
So das Konfidenzintervall ist  65  2,132
5
5 

Wenn wir wissen, dass   15 ist:
 0,1 
z    1 1     1 (0,95)  1,645
1
2 

2

15
15 
;65  1,645
  53,97;76,03 P
So das Konfidenzintervall ist  65  1,645
5
5

b.) Was ist das Konfidenzintervall, wenn wir wissen, dass die Klasse aus
insgesamt 30 Studenten besteht (und die Standardabweichung 15 Punkte
ist)?
n5
N  30
  0,1
  15
z   1,645
1
2
So das Konfidenzintervall ist

15 30  5
15 30  5 
 65  1,645
  54,76;75,24 P
;65  1,645

5 30  1
5 30  1 

3.) In einer Meinungsumfrage im September wurden 1000 deutsche Bürger (500
Frauen und 500 Männer) darüber gefragt, welchen Kandidat sie wählen.
a.) Bestimmen Sie mit 95% Sicherheit den Anteil der Merkel-Wähler!
n  1000
pˆ  0,48
  0,05
 0,05 
1
  1 1 
   (0,975)  1,96
2 

2
So das Konfidenzintervall ist

0,48(1  0,48)
0,48(1  0,48) 
 0,48  1,96
  44,9;51,1 %
;
0
,
48

1
,
96


1000
1000


z
1

b.) Wieviel Menschen sollen befragt werden, wenn wir eine Genauigkeit von
1% erreichen wollen?
Merkel
Steinmeier
Andere
Frauen
230
240
30
Männer
250
220
30
Insgesamt
480
460
60
  0,02
pˆ  0,48
 0,02 
1
z    1 1 
   (0,99)  2,33
1
2


2
die Intervallbreite soll höchstens d  0,02 sein
4  2,332  0,48(1  0.48)
 13550,5
0,02 2
also man soll mindestens 13551 Menschen fragen.
So wir haben n 
c.) Bestimmen Sie mit 98% Sicherheit den Anteil der Merkel-Wähler unter den
Frauen!
n  500
pˆ  0,46
  0,02
 0,02 
1
z    1 1 
   (0,99)  2,33
1
2 

2
So das Konfidenzintervall ist

0,46(1  0,46)
0,46(1  0,46) 
 0,46  2,33
  40,8;51,2  %
;
0
,
46

2
,
33


500
500


4.) Erklaren Sie den Unterschied zwischen der t-Verteilungen und der Standard
Normalverteilung. Wann werden sie angewandt?
Beide sind symmetrisch, aber bei der t-Verteilungen bekommen wir öfter grössere Werte.
Falls die Freiheitsgrad sich dem Unendlich nähert, nähert sich die t-Verteilung der
Standard Normalverteilung. Beide kann man bei Konfidenz-intervall konstruktion für die
Erwartungswert benutzen, nähmlich die Normalverteilungs-Quantile bei bekannter
Varianz, und die t-Verteilungsquantile bei unbekannter Varianz.