Lösungsskizzen zu Blatt 2 - Fachbereich Mathematik

Universität Hamburg
Fachbereich Mathematik
Winter 2016/17
Janko Latschev
Grundlagen der Mathematik
Lösungsskizzen 2
Präsenzaufgaben
(P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen:
N | n ist gerade },
- B = {n ∈ N | n ist durch 3 teilbar },
- C = {n ∈ N | n ist kleiner als 20 }.
- A = {n ∈
a) Geben Sie die folgenden Mengen in aufzählender Form an:
• A∩C
• B∩C
• (A ∩ C) \ B
Geben Sie jeweils auch eine Beschreibung in Worten an.
Wir haben
A ∩ C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
B ∩ C = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
(A ∩ C) \ B = {2, 4, 8, 10, 14, 16},
mit den folgenden Beschreibungen:
N
N
- A ∩ C = {n ∈ | n ist gerade und kleiner als 20 },
- B ∩ C = {n ∈ | n ist durch 3 teilbar und kleiner als 20 },
- (A∩C)\B = {n ∈ | n ist gerade und kleiner als 20 und nicht durch 3 teilbar }.
N
b) Sei nun D := (A ∩ C) × (B ∩ C) ⊆
N × N. Wieviele Elemente enthält D?
Da A ∩ C 9 Elemente und B ∩ C 6 Elemente enthält, enthält das Produkt D =
(A ∩ C) × (B ∩ C) genau 54 = 9 · 6 Elemente.
Bitte wenden!
c) Beschreiben Sie die Teilmenge
E := {(a, b) ∈ D | a teilt b} ⊆
N×N
zunächst in Worten („E enthält alle Paare (a, b) natürlicher Zahlen, so dass ... “),
und geben Sie diese Menge dann in aufzählender Form an.
Die Menge E enthält alle Paare (a, b) natürlicher Zahlen, so dass a gerade und
kleiner als 20 ist, und b durch 3 und durch a teilbar und kleiner als 20 ist. Wir
erhalten also
E = {(2, 6), (2, 12), (2, 18), (4, 12), (6, 6), (6, 12), (6, 18), (12, 12), (18, 18)}.
(P3) Eine Tautologie ist eine Aussageform über Aussagen, welche für alle Belegungen
ihrer Variablen stets wahr ist. Zeigen Sie, dass die folgenden aussagenlogischen Formeln
Tautologien sind, und geben Sie jeweils ein Beispiel für Aussagen dieser Form, entweder
aus der Mathematik oder aus dem Leben.
a) A ∨ (¬A) (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten)
b) (A ∧ (A =⇒ B)) =⇒ B
Die Wahrheitstabellen für die beiden Aussagen können schrittweise mit Hilfe der jeweiligen Definitionen wie folgt erstellt werden:
A
w
f
¬A
f
w
A ∨ (¬A)
w
w
und
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A =⇒ B
w
f
w
w
A ∧ (A =⇒ B)
w
f
f
f
(A ∧ (A =⇒ B)) =⇒ B
w
w
w
w
Da die letzte Spalte unabhängig von den Wahrheitswerten von A und B stets wahr ist,
handelt es sich tatsächlich um Tautologien.
Beispiele für a): Ich habe genug Geld oder ich habe nicht genug Geld (. . . um mir einen
Kaffee zu kaufen).
Eine natürliche Zahl ist gerade oder nicht gerade (ungerade).
Beispiele für b): Wenn ich (jetzt) zufrieden bin, und wenn ich immer dann, wenn ich
zufrieden bin, gute Laune habe, dann habe ich (jetzt) gute Laune.
Wenn M eine endliche Menge ist und aus der Tatsache, dass M eine endliche Menge
ist folgt, dass P(M ) eine endliche Menge ist, dann ist P(M ) eine endliche Menge.
Siehe nächstes Blatt!
Übungsaufgaben mit Abgabetermin Mo, 31.10.16, zu Beginn der Vorlesung
(A4) Lösungsmengen
(2+2+4 Punkte)
R
Die Lösungsmenge einer Gleichung f (x) = 0 ist die Menge L = {x ∈
| f (x) = 0}
aller reellen Zahlen x, für die die Gleichung zu einer wahren Aussage wird. So ist zum
Beispiel die Lösungsmenge der Gleichung 3x + 1 = 7 die Menge L = {2}, welche nur
aus der Zahl 2 besteht.
a) Finden Sie eine möglichst einfache Gleichung in einer Variablen, deren Lösungsmenge gerade die Menge {0, 1, 2, 3} ⊂ ist.
R
Hier gibt es sehr viele Möglichkeiten, die vermutlich einfachste lautet
x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0.
R
R
b) Angenommen, wir haben allgemeiner zwei Teilmengen M1 ⊆
und M2 ⊆
als
Lösungsmengen der Gleichungen f1 (x) = 0 bzw. f2 (x) = 0 beschrieben. Wie kann
man dann die Vereinigung M1 ∪M2 als Lösungsmenge einer Gleichung beschreiben?
Wie im ersten Fall können wir benutzen, dass ein Produkt genau dann den Wert
0 annimmt, wenn (mindestens) einer der Faktoren gleich 0 ist. Also ist M1 ∪ M2
die Lösungsmenge der Gleichung
f1 (x) · f2 (x) = 0.
c) Können Sie für zwei Mengen M1 und M2 wie in b) auch den Durchschnitt M1 ∩ M2
als Lösungsmenge einer Gleichung beschreiben? Erläutern Sie auch Ihren Lösungsweg.
Die Summe von zwei Termen kann im allgemeinen auch gleich 0 sein, wenn die
einzelnen Terme nicht 0 sind. Hat man aber zwei nichtnegative Terme, so ist deren
Summe genau dann gleich 0, wenn beide gleich 0 sind. Sind nun M1 und M2
Lösungsmengen von f1 (x) = 0 und f2 (x) = 0, so können wir sie zunächst auch
als Lösungsmengen von (f1 (x))2 = 0 und (f2 (x))2 = 0 beschreiben. Da dies nun
nichtnegative Funktionen sind, erhalten wir M1 ∩ M2 als Lösungsmenge von
(f1 (x))2 + (f2 (x))2 = 0.
(A5) Aussagenlogik I
(3+3 Punkte)
a) Formulieren Sie die folgenden Aussagen jeweils formal mit Hilfe der in der Vorlesung vorgestellten Symbole, und entscheiden Sie, welche dieser Aussagen wahr und
welche falsch sind:
Bitte wenden!
• Für jede natürliche Zahl x und jede natürliche Zahl z gibt es eine natürliche
Zahl y mit x = y + z.
Formal können wir die Aussage schreiben als
∀x ∈
N ∀ z ∈ N ∃ y ∈ N : x = y + z.
Diese Aussage ist falsch, denn wenn z ≥ x, finden wir keine natürliche Zahl y,
welche die Gleichung löst.
• Für jede natürliche Zahl x > 1 gibt es eine natürliche Zahl y und eine natürliche
Zahl z, so dass x = y + z.
Formal können wir die Aussage schreiben als
∀x ∈
N : (x > 1)
=⇒ (∃ y ∈
N ∃ z ∈ N : x = y + z).
Diese Aussage ist richtig, denn wenn x > 1 ist, ist x−1 ebenfalls eine natürliche
Zahl, so dass wir zum Beispiel y = 1 und z = x − 1 wählen können, um die
Gleichung x = y + z zu erfüllen.
Bemerkung: Man kann die Aussage auch anders schreiben, nämlich als
∀ x ∈ {n ∈
N | n > 1} ∃ y ∈ N ∃ z ∈ N : x = y + z.
• Für jede natürliche Zahl x gibt es eine natürliche Zahl y, so dass x > y.
Formal können wir die Aussage schreiben als
∀x ∈
N ∃ y ∈ N : x > y.
Diese Aussage ist falsch, denn für x = 1, finden wir keine solche natürliche Zahl
y.
b) Formulieren Sie auch die Negationen dieser Aussagen formal und in natürlicher
Sprache.
Die Negation der ersten Aussage lautet in formaler Schreibweise
∃x ∈
N ∃ z ∈ N ∀ y ∈ N : x 6= y + z.
In Worten: Es existieren natürliche Zahlen x und z, so dass für alle natürlichen
Zahlen y gilt, dass x 6= y + z.
Schöner ausgedrückt: Es existieren natürliche Zahlen x und z, so dass für keine
natürliche Zahl y die Gleichung x = z + y lösbar ist.
Diese Aussage ist wahr, wie wir uns schon überlegt hatten, denn x = z = 1 ist eine
solche Wahl.
Die Negation einer Implikation A =⇒ B ist äquivalent zur Aussage A ∧ (¬B),
wie Sie in Aufgabe (A6) zeigen sollen. Die Negation der zweiten Aussage lässt sich
in formaler Schreibweise also schreiben als
∃x ∈
N : (x > 1) ∧ (∀ y ∈ N ∀ z ∈ N : x 6= y + z).
Siehe nächstes Blatt!
In Worten: Es existiert eine natürliche Zahl x > 1, so dass für alle natürlichen
Zahlen y und z die Gleichung x = y + z falsch ist.
Schöner ausgedrückt: Es existiert eine natürliche Zahl x > 1, welche sich nicht als
Summe zweier natürlicher Zahlen schreiben lässt.
Diese Aussage ist falsch, da wir ja bereits gesehen haben, dass ihr Gegenteil wahr
ist.
Bemerkung: Benutzt man stattdessen die alternative Formulierung der Aussage, so
ist die formale Negation etwas einfacher, nämlich
∃ x ∈ {n ∈
N | n > 1} ∀ y ∈ N ∀ z ∈ N : x 6= y + z.
Inhaltlich ist dies dieselbe Aussage wie zuvor.
Die Negation der dritten Aussage können wir schreiben als
∃x ∈
N ∀y ∈ N : x ≤ y.
In Worten: Es gibt eine natürliche Zahl, welche kleiner oder gleich jeder natürlichen
Zahl ist.
Diese Aussage ist wie wir schon argumentiert haben wahr, denn x = 1 ist eine
solche Zahl.
(A6) Aussagenlogik II
(3+3 Punkte)
Die folgenden Aussagen sind wichtige Tautologien, da sie jeweils Grundprinzipien für
Beweismethoden liefern.
• ((A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C)) =⇒ (A =⇒ C)
• (A =⇒ B) ⇐⇒ ((¬B) =⇒ (¬A))
• (¬(A =⇒ B)) ⇐⇒ (A ∧ (¬B))
Die erste Tautologie liegt dem direkten Beweis zugrunde, die zweite Tautologie begründet den Beweis durch Kontraposition, und die dritte Tautologie führt mit dem Prinzip
vom ausgeschlossenen Dritten zum Beweis durch Widerspruch.1
a) Formulieren Sie für jede der aussagenlogischen Formeln zunächst ein Beispiel, entweder aus der Mathematik oder aus dem täglichen Leben.
Beispiele zur ersten Tautologie:
A=„Es ist draußen unter 0 Grad.“
B=„Ich finde es kalt.“
C=„Ich ziehe beim Hinausgehen Handschuhe an.“
Wenn ich es kalt finde, falls es draußen unter 0 Grad sind, und ich Handschuhe
anziehe, wenn ich es kalt finde, dann ziehe ich Handschuhe an, wenn es draußen
unter 0 Grad sind.
1
Genaueres zu diesen Beweismethoden folgt demnächst in der Vorlesung, hier ist dies nur der Kontext
der Aufgabe.
Bitte wenden!
Oder mathematisch:
A=„Die natürliche Zahl n ist durch 12 teilbar.“
B=„Die natürliche Zahl n ist durch 4 teilbar.“
C=„Die natürliche Zahl n ist durch 2 teilbar.“
Aus den Tatsachen, dass jede durch 12 teilbare natürliche Zahl durch 4 teilbar ist,
und jede durch 4 teilbare natürliche Zahl durch 2 teilbar ist, folgt, dass jede durch
12 teilbare natürliche Zahl durch 2 teilbar ist.
Beispiele zur zweiten Tautologie:
A=„Es ist mittwochs 9 Uhr.“
B=„Wir sind im Hörsaal H2.“
„Wenn es mittwochs 9 Uhr ist, dann sind wir im Hörsaal H2.“ ist äquivalent zur
Aussage „ Wenn wir nicht im Hörsaal H2 sind, dann kann es nicht mittwochs 9
Uhr sein.“
Oder mathematisch:
A=„Die natürliche Zahl n ist größer als 10.“
B=„Die natürliche Zahl n ist größer als 5.“
„Wenn die natürliche Zahl n größer als 10 ist, dann ist sie größer als 5.“ ist äquivalent zur Aussage „Wenn die natürliche Zahl n kleiner oder gleich 5 ist, dann ist
sie auch kleiner oder gleich 10.“
Beispiele für die dritte Tautologie:
A=„Ich bin aufgestanden.“
B=„Ich bin wach.“
„Aus der Tatsache, dass ich aufgestanden bin, folgt nicht, dass ich wach bin.“ ist
äquivalent zur Aussage „Ich bin aufgestanden und ich bin nicht wach.“
Oder mathematisch:
A=„Alle Primzahlen, die größer als 2 sind, sind ungerade.“
B=„3 ist ungerade.“
„Aus der Tatsache, dass jede Primzahl größer als 2 ungerade ist, folgt nicht, dass 3
ungerade ist.“ ist äquivalent zur Aussage „Jede Primzahl größer als 2 ist ungerade
und 3 ist gerade (nicht ungerade).“ (Beide Aussagen sind natürlich falsch.)
b) Zeigen Sie, dass die angegebenen Formeln tatsächlich Tautologien sind, d.h. für
alle möglichen Wahrheitswerte von A, B und C wahre Aussagen liefern.
Die Tabelle zum Beweis der ersten Tautologie sieht wie folgt aus:
Siehe nächstes Blatt!
((A =⇒ B)∧(B =⇒ C))
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
A =⇒ B
w
w
f
f
w
w
w
w
B =⇒ C
w
f
w
w
w
f
w
w
(A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C)
w
f
f
f
w
f
w
w
A =⇒ C
w
f
w
f
w
w
w
w
=⇒ (A =⇒ C)
w
w
w
w
w
w
w
w
Die Tabelle zum Beweis der zweiten Tautologie hat folgende Form:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A =⇒ B
w
f
w
w
¬B
f
w
f
w
¬A
f
f
w
w
(¬B) =⇒ (¬A)
w
f
w
w
(A =⇒ B) ⇐⇒ ((¬B) =⇒ (¬A))
w
w
w
w
Die Tabelle zum Beweis der dritten Tautologie hat folgende Form:
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A =⇒ B
w
f
w
w
¬(A =⇒ B)
f
w
f
f
¬B
f
w
f
w
A ∧ (¬B)
f
w
f
f
¬(A =⇒ B) ⇐⇒ (A ∧ (¬B))
w
w
w
w