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ETWR – Teil B
Urnenexperimente
Stephan Schosser
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Urnenexperimente
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Motivation – Geburtstagswette
•  Ihnen werden die folgenden beiden Wetten angeboten.
Welche favorisieren Sie?
•  Wette 1
•  Alternative A
100 Euro, falls zwei (oder mehr) Personen in diesem Hörsaal am selben
Tag (innerhalb eines Jahres) Geburtstag haben (ungefähr 400 Personen
im Hörsaal).
•  Alternative B
80 Euro so mitnehmen
•  Wette 2
•  Alternative A
100 Euro, falls eine (oder mehr) Personen in diesem Hörsaal heute
Geburtstag haben (ungefähr 400 Personen im Hörsaal).
•  Alternative B
80 Euro so mitnehmen
•  Am Ende dieses Kapitels können Sie dies „objektiv“ beantworten.
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Voriges Kapitel
Stephan Schosser
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Urnenexperimente
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Motivation - Formal
•  Wahrscheinlichkeit von Ereignis A
Anzahl Ergebnisse in A
P(A) =
Anzahl Ergebnisse in Ω
•  Kombinatorik liefert strukturiertes Vorgehen für
•  Bestimmung der Anzahl Ergebnisse in A
•  Bestimmung der Anzahl Ergebnisse in Ω
•  Kombinatorik ermöglicht also Bestimmung von p
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Urnenexperimente
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Ziele
•  Bisher
•  Mathematische Beschreibung von Mengen
•  Einführung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
•  Ziel des Kapitels
•  Einführung in die Kombinatorik
•  Ziel der Kombinatorik
•  Systematisierung bei der Ermittlung der Anzahl möglicher Ereignisse
•  Beispiel:
•  Ein Mann hat drei Pullover (rot, gelb, blau) und zwei Hosen (schwarz,
weiß)
•  Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat er sich zu kleiden?
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Urnenexperimente
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Kartesisches Produkt
•  Satz
Seien A = {a1 ,..., am }und B = {b1 ,..., bn } Mengen. Für das kartesische
Produkt
A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B}
gilt
| A × B |=| A | ⋅ | B |= m ⋅ n .
•  Beispiel (forts.)
•  Ein Mann hat drei Pullover (rot, gelb, blau) und zwei Hosen (schwarz,
weiß)
•  Der Mann hat 3 · 2 = 6 Möglichkeiten sich zu kleiden.
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Urnenexperimente
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Kartesisches Produkt – Beweis
•  Beweis:
•  Der Beweis ist offensichtlich, wenn man sich die möglichen Ergebnisse
folgendermaßen aufschreibt.
b1
a1
a2
(a1 , b1 ) (a1 , b2 )
(a2 , b1 ) (a2 , b2 )


ai (ai , b1 )


am (am , b1 )
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b2

(ai , b2 )

(am , b2 )
 bj

bn
 (a1 , b j ) 
 (a2 , b j ) 
(a1 , bn )
(a2 , bn )
 
 (ai , b j )
 
(am , b j )

(ai , bn )

(am , bn )




Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Urnenexperimente
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Kartesisches Produkt – Verallgemeinerung
•  Daraus folgt sofort folgende Verallgemeinerung:
•  Satz
Seien A1, …, Ar endliche Mengen. Für das kartesische Produkt
gilt
A1 ×…× Ar = { (a1 ,…, ar ) ai ∈ Ai , i = 1,…, r}
| A1 ×…× Ar |=| A1 | ⋅…⋅ | Ar | .
•  Beispiel (forts.)
•  Ein Mann hat drei Pullover (rot, gelb, blau) und zwei Hosen (schwarz,
weiß)?
•  Der Mann hat 3 · 2 = 6 Möglichkeiten sich zu kleiden.
•  Der Mann besitzt noch eine lila und eine orange Krawatte. Wie viele
Möglichkeiten hat er jetzt sich unterschiedlich zu kleiden?
•  Zu jeder der 6 Hosen-Pullover-Kombinationen kann er eine Krawatte
anziehen. D.h. 2 · 6 = 12 Möglichkeiten
•  ... oder direkt: |Hosen| · |Pullover| · |Krawatte| = 2 · 3 · 2 = 12
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Mit Berücksichtigung der Anordnung
•  Ohne Berücksichtigung der Anordnung
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Urnenexperimente
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Urnenexperimente
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Urnenexperiment
•  Klassische Fragestellung der Kombinatorik
•  Eine Urne enthält n Kugeln, die von 1 bis n durchnummeriert sind.
•  Der Urne werden nacheinander k Kugeln entnommen.
•  Nach jedem Zug notiert man die Nummer der gezogenen Kugel
•  Dann wird die Kugel
•  (a) entweder zurück (Ziehen mit Zurücklegen) gelegt oder ...
•  (b) zur Seite gelegt (Ziehen ohne Zurücklegen).
•  Außerdem unterscheiden wir noch, ob
•  (a) die Anordnung der gezogenen Kugeln berücksichtigt oder ...
•  (b) nicht berücksichtigt wird.
Zurücklegen
Urnenmatrix
Anordnung
berücksichtigt
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ohne
mit
nein
?
?
ja
?
?
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Urnenexperimente
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Ziehen mit Zurücklegen I
•  Ziehen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Reihenfolge
•  Urne mit 4 Kugeln
•  U = {1, 2, 3, 4}
•  Möglichkeiten bei 2 mal Ziehen
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
•  Anzahl der Möglichkeiten: 4 · 4 = 4²
•  |U x U| = |U| · |U| = 4 · 4 = 4² = 16
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Ziehen mit Zurücklegen II
•  Satz
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Die Anzahl der geordneten Stichproben vom Umfang k aus einer Menge vom
Umfang n beträgt beim Ziehen mit Zurücklegen nk.
•  Beispiel (forts.)
•  Urne mit 4 Kugeln (U = {1, 2, 3, 4}), 2x Ziehen
•  n = 4, k = 2 → 42 = 16 geordnete Stichproben
Zurücklegen
Urnenmatrix
Anordnung
berücksichtigt
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ohne
mit
nein
?
?
ja
?
nk
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Urnenexperimente
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Ziehen mit Zurücklegen – Beweis
•  Beweis
Sei U eine Menge mit n Elementen. Die Menge aller möglichen geordneten
Stichproben ist beim Ziehen mit Zurücklegen:
A = { (a1 ,…, ak ) ai ∈U , i = 1,…, k}= U ×U ×…×U
die Kardinalität dieser Menge ist
| A| = |U ×…×U| = |U | ⋅…⋅ | U| = |U |k = n k
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Urnenexperimente
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Ziehen mit Zurücklegen – Beispiel I
•  Beispiel
•  Ein Bit ist die kleinste Informationseinheit
•  Ein Bit kann zwei Zustände (0 oder 1) haben
•  Ein Byte besteht aus 8 Bits
•  Wie viele Informationen in einem Byte?
•  Visualisierung (1 Byte)
0 oder 1
•  Experiment: Ziehe 8 Mal aus der Menge B = {0, 1}
•  In einem Byte können also 2 · 2 · 2 ·... · 2 = 28 = 256
unterschiedliche Informationen gespeichert werden
•  Hinweis für Informatiker:
•  1 Byte speichert Binäzahlen mit 8 Elementen
•  Binärzahl 11111111 entspricht Dezimalzahl 255
•  Es können also 256 Zahlen (0 bis 255) gespeichert werden
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Urnenexperimente
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Ziehen mit Zurücklegen – Beispiel II
•  Beispiel
•  Gegeben sei eine Menge M = {1, 2, 3, ..., n−1, n} vom Umfang n.
•  Wie viele Teilmengen A hat die Menge M?
•  Lösungsidee
!#
•  Vektor: v = (v1, v2, ..., vn) mit vi = "
1
#$ 0
falls i in der Teilmenge
sonst
•  Ordne jeder (möglichen) Teilmenge einen solchen Vektor zu:
•  Für n = 6:
•  M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
•  A = {1, 2, 3} → vA = (1, 1, 1, 0, 0, 0)
•  Mit Wissen über Bits und Bytes folgt daraus:
•  Teilmengen A ⊂ M wobei |M| = n repräsentierbar mit 2n Vektoren
•  Es gibt also auch 2n Teilmengen
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Ziehen mit Zurücklegen – Beispiel III
•  Beispiel
•  Gegeben seien die zwei Muster rechts
•  Lösungsidee
•  Man kann auf beliebigen X der 1. Zeile
starten und in jeder folgenden Zeile genau
ein X treffen.
•  Anzahl Pfade
•  Muster 1: 29 = 512
•  Muster 2: 83 = 512
•  Es gibt in beiden Mustern gleich viele (512) Pfade.
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Muster 1:
(Muster 1, Muster 2)
•  Bei welchem der Muster gibt es weniger
Pfade von der 1. bis zur letzten Zeile?
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Muster 2:
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Ziehen ohne Zurücklegen I
•  Ziehen ohne Zurücklegen und mit Berücksichtigung der Anordnung
•  Urne mit 4 Kugeln
•  U = {1, 2, 3, 4}
•  Möglichkeiten bei 2 mal Ziehen
(1,2) (1,3) (1,4)
(2,1) (2,3) (2,4)
(3,1) (3,2) (3,4)
(4,1) (4,2) (4,3)
•  Anzahl der Möglichkeiten: 4 · 3 = n · (n-1) = 12
Möglichkeiten
erster Zug (n)
Möglichkeiten
zweiter Zug (n−1)
•  Was ändert sich, wenn 3 mal gezogen wird?
•  Anzahl Möglichkeiten: n · (n-1) · (n-2)
•  Im Beispiel: 4 · 3 · 2 = 24 Möglichkeiten
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Ziehen ohne Zurücklegen II
•  Satz
Die Anzahl der geordneten Stichproben vom Umfang k aus einer Menge vom
Umfang n beträgt beim Ziehen ohne Zurücklegen:
(n)k =
n ·
„n sub k“ 1.Zug
(n-1) ·
2.Zug 3.Zug
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·
(n-k+1)
k-ter Zug
Zurücklegen
Urnenmatrix
Anordnung
berücksichtigt
(n-2) · ...
ohne
mit
nein
?
?
ja
(n)k
nk
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Ziehen ohne Zurücklegen III
•  Wiederholung “Fakultät”
•  Notation:
n! (sprich: n Fakultät)
•  Berechnung:
n! = n · (n−1) · (n−2) · (n−3) · ... · 1
•  Spezialfall n = 0:
0! = 1
•  Berechnung
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n!
1
1
2
6
24
120
720
5040
40320
n! ermittelbar durch Multiplikation von n und (n-1)!
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Ziehen ohne Zurücklegen IV
•  Satz
Es gilt (n) k =
•  Beweis (n)
k
n!
(n − k )!
= n ⋅ (n − 1) ⋅… ⋅ (n − k + 1)
n ⋅ (n − 1) ⋅… ⋅ (n − k + 1) ⋅ (n − k ) ⋅ (n − k − 1) ⋅… ⋅ 2 ⋅1
(n − k ) ⋅ (n − k − 1) ⋅… ⋅ 2 ⋅1
n!
=
(n − k )!
=
Zurücklegen
Urnenmatrix
Anordnung
berücksichtigt
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ohne
mit
?
?
n!
(n − k)!
nk
nein
ja
(n)k =
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53
Permutation
•  Interpretation n!
•  n! ist Anzahl der Möglichkeiten, aus Urne n Kugeln zu ziehen (ohne
Zurücklegen und mit Beachtung der Anordnung)
entspricht
Menge aller möglichen geordneten Stichproben
vom Umfang n aus einer Menge mit n Elementen
→
Permutationen einer Menge
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Permutation - Beispiel
•  Beispiel
•  Urne U = {1, 2, 3, 4}
•  Wie viele Permutationen der Elemente der Menge U existieren?
•  Mögliche Permutationen
(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (2, 1, 3, 4), ...
•  Insgesamt
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Permutationen
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Bestimmung von p – Beispiel I
•  Anordnung Familie an Weihnachten
•  Die Familie hat 6 Mitglieder, am Tisch sind 6 Stühle
•  Wie viele Sitzmöglichkeiten gibt es?
•  Es gibt: 6! = 720 Möglichkeiten
•  Fairer Würfel
•  Ein fairer Würfel wird 6 Mal hintereinander geworfen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 Augenzahlen auftreten?
•  Anwendung „Gleichmöglichkeitsmodell“
•  Anzahl möglicher Fälle: nn = 66 = 46656
(Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Anordnung)
•  Anzahl günstiger Fälle: n! = 6! = 720
(Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Anordnung)
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeit
Anzahl günstige Fälle 6!
720
= 6=
= 0, 0154
Anzahl mögliche Fälle 6
46656
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Bestimmung von p – Beispiel II
•  Geburtstagswette (siehe Einstieg in dieses Thema)
Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass zwei (oder mehr) Personen von 400
am selben Tag (innerhalb eines Jahres) Geburtstag haben?
•  Zunächst am Beispiel: 3 Personen
•  Ereignis A3:
mindestens zwei der drei Personen haben am gleichen Tag des Jahres
Geburtstag
•  Ereignis A3:
jede der drei Personen hat an einem anderen Tag des Jahres Geburtstag
•  Anwendung „Gleichmöglichkeitsmodell“
•  Anzahl möglicher Fälle: 3653 = 48.627.125
(Ziehen mit Zurücklegen und mit Beachtung der Anordnung)
•  Günstige Fälle fürA3: (365)3 = 365 · 364 · 363 = 48.228.180
(Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Anordnung)
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeiten
P( A3 ) =
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(365)3
= 0,9917
3653
P(A3 ) = 1− P(A3 ) = 1− 0, 9917 = 0, 0083
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Bestimmung von p – Beispiel III
•  Geburtstagswette (siehe Einstieg in dieses Thema) (forts.)
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Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass zwei (oder mehr) Personen von 400
am selben Tag (innerhalb eines Jahres) Geburtstag haben?
•  Jetzt allgemein und Beispiele:
(365) k
365k
20
= 0, 4114
•  20 Personen P(A20 ) = 1− (365)
20
365
•  25 Personen P(A25 ) = 1− (365)2525 = 0, 5687
365
•  75 Personen P(A75 ) = 1− (365)7575 = 0, 9997
365
•  Ab 148 Personen größer 0,9...9 mit 15x 9
•  Ab 366 Personen 1 (logisch?)
•  k Personen
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P( Ak ) = 1 −
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Bestimmung von p – Beispiel IV
•  Geburtstagswette (siehe Einstieg in dieses Thema) (forts.)
•  Alternative A
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Urnenexperimente
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100 Euro, falls zwei (oder mehr) Personen in diesem Hörsaal an dem
selben Tag (innerhalb eines Jahres) Geburtstag haben (ungefähr 400
Personen im Hörsaal).
•  Alternative B
80 Euro so mitnehmen
•  Wie würden Sie sich entscheiden?
•  Alternative A
100 Euro
(wegen Wahrscheinlichkeit für 2 Geburtstage an einem Tag = 1)
•  Alternative B
80 Euro
•  Wählen Sie Alternative A!
•  Technische Anmerkungen
•  Berechnung mit Taschenrechner / Excel nicht (mehr) möglich
•  Taschenrechner unterstützen (normalerweise) bis ca. 65!
•  Excel unterstützt bis ca. 170! (Excel 2011 für Mac)
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Bestimmung von p – Beispiel V
•  Geburtstagswette (siehe Einstieg in dieses Thema) (forts.)
Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass eine (oder mehr) Personen in diesem
Hörsaal heute Geburtstag haben (ungefähr 400 Personen im Hörsaal)?
•  Hinweise:
•  Bisher:
Berechnete Wahrscheinlichkeiten für den Fall, dass von k Personen
mindestens zwei am gleichen Tag im Jahr Geburtstag haben
•  Aber:
Nicht an einem festgelegten Datum!
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Bestimmung von p – Beispiel VI
•  Geburtstagswette 2 (siehe Einstieg in dieses Thema)
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Urnenexperimente
53
Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass eine (oder mehr) Personen in diesem
Hörsaal heute Geburtstag haben (ungefähr 400 Personen im Hörsaal)?
•  Zwei Ereignisse
•  Ereignis Bk:
mindestens eine von k Personen hat heute Geburtstag
•  Ereignis Bk:
keine von k Personen hat heute Geburtstag
•  Berechnung P(B ):
•  Anzahl günstige Fälle: 364k
k
(Ziehen mit Zurücklegen)
•  Anzahl mögliche Fälle: 365k
(Ziehen mit Zurücklegen)
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeiten
364 k
P(Bk ) =
365 k
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364 k
P(Bk ) = 1− P(Bk ) = 1−
365 k
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Urnenexperimente
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Bestimmung von p – Beispiel VII
•  Geburtstagswette 2 (siehe Einstieg in dieses Thema) (forts.)
Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass eine (oder mehr) Personen in diesem
Hörsaal heute Geburtstag haben (ungefähr 400 Personen im Hörsaal)?
•  Jetzt allgemein und Beispiele:
364 k
•  k Personen P(Bk ) = 1− 365 k
364 75
•  75 Personen P(B75 ) = 1− 365 75 = 0,1860
364 253
•  253 Personen P(B253 ) = 1− 365 253 = 0, 5005
364 400
•  400 Personen P(B400 ) = 1− 365 400 = 0, 6663
•  Ab 840 Personen größer 0,9 mit 1x 9
•  Ab 1679 Personen größer 0,9 mit 2x 9
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Wahrscheinlichkeit, dass
von 400 Personen
mindestens eine Person
heute Geburtstag hat.
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Bestimmung von p – Beispiel VIII
•  Geburtstagswette 2 (siehe Einstieg in dieses Thema) (forts.)
•  Alternative A
100 Euro, falls eine (oder mehr) Personen in diesem Hörsaal heute
Geburtstag haben (ungefähr 400 Personen im Hörsaal).
•  Alternative B
80 Euro so mitnehmen
•  Wie würden Sie sich entscheiden?
•  Alternative A
100 Euro mit Wahrscheinlichkeit 66,6% bei 400 Studenten
•  Alternative B
80 Euro
•  Kommt auf Ihre Risikopräferenz an ...
... dazu mehr in einer anderen Vorlesung
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Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Mit Berücksichtigung der Anordnung
•  Ohne Berücksichtigung der Anordnung
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Urnenexperimente
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Ziehen ohne Zurücklegen I
•  Urne mit 4 Kugeln
•  U = {1, 2, 3, 4}
•  Möglichkeiten bei 2 mal Ziehen
(1,2) (1,3) (1,4)
(2,3) (2,4)
(3,4)
•  Anzahl der Möglichkeiten: 3 + 2 + 1 = 6
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Urnenexperimente
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Ziehen ohne Zurücklegen II
•  Satz
( n)
Eine Menge vom Umfang n hat
⎛ n ⎞ (n) k
Wir setzen ⎜⎜ k ⎟⎟ = k!
⎝ ⎠
k
k!
Zurücklegen
Urnenmatrix
Anordnung
berücksichtigt
WS12/13
Teilmengen vom Umfang k.
nein
ja
ohne
! n $ (n)
#
&= k
" k % k!
(n)k =
n!
(n − k)!
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
mit
?
nk
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Ziehen ohne Zurücklegen III
•  Satz
! n $
n!
=
#
&
Es gilt
" k % k!(n − k)!
•  Beweis
n!
! n $ (n)
n!
(n − k)!
=
#
&= k =
k!
k!(n − k)!
" k % k!
Urnenmatrix
Anordnung
berücksichtigt
WS12/13
Zurücklegen
ohne
! n $
n!
&=
nein #
" k % k!(n − k)!
ja
(n)k =
n!
(n − k)!
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
mit
?
nk
Ziehen ohne Zurücklegen – Beispiel I
•  Beispiel: Lotto
•  Lotto “6 aus 49”
•  Wie viele unterschiedliche Ziehungen gibt es?
•  Typ Ziehung
•  Ziehen ohne Zurücklegen
•  Anordnung der Kugeln spielt keine Rolle
•  Anzahl Möglichkeiten
• 
! 49 $ (49)6
# &=
6!
"6 %
• 
! 49 $ 49 ⋅ 48⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45⋅ 44
= 13.983.816
# &=
6
6
⋅
5⋅
4
⋅
3⋅
2
⋅1
" %
•  Die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige ist 1 / 13.983.816
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Ziehen ohne Zurücklegen – Beispiel II
•  Beispiel
•  Von n Kugeln sind k schwarz, (n-k) weiß
•  Wie viele Folgen kann man bilden?
•  Lösungsidee
•  Folge ist eindeutig festgelegt, wenn
Position der schwarzen Kugeln bekannt
•  Wahl von k aus n Positionen ohne Zurücklegen
Reihenfolge ist irrelevant.
• 
⎛ n ⎞
Es gibt also ⎜⎜ ⎟⎟ mögliche Folgen.
⎝ k ⎠
•  Zahlenbeispiel
•  4 Kugeln: 2 schwarz, 2 weiß
•  Es gibt also ⎛⎜⎜ 42 ⎞⎟⎟ = 42⋅⋅13 = 6 mögliche Folgen
⎝ ⎠
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Ziehen ohne Zurücklegen – Beispiel III
•  Beispiel (forts.)
•  Visualisierung der Lösung
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gezogene Position
Folge
(1,2)
SSWW
(1,3)
SWSW
(1,4)
SWWS
(2,3)
WSSW
(2,4)
WSWS
(3,4)
WWSS
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Ziehen mit Zurücklegen I
•  Urne mit 4 Kugeln
•  U = {1, 2, 3, 4}
•  Möglichkeiten bei 2 mal Ziehen
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
(2,2) (2,3) (2,4)
(3,3) (3,4)
(4,4)
•  Anzahl der Möglichkeiten: 4 + 3 + 2 + 1 = 10
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Ziehen mit Zurücklegen II
•  Satz
Die Anzahl der ungeordneten Stichproben vom Umfang k aus einer
Menge vom Umfang n beträgt beim Ziehen mit Zurücklegen
" n + k −1 %
$
'.
k
#
&
Zurücklegen
Urnenmatrix
Anordnung
berücksichtigt
WS12/13
nein
ja
ohne
! n $ (n)
#
&= k
" k % k!
(n)k =
n!
(n − k)!
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
mit
" n + k −1 %
$
'
k
#
&
nk
Stephan Schosser
39
Urnenexperimente
53
Ziehen mit Zurücklegen – Illustration I
Posi%on Häufigkeit Zeichenke3e •  Beispiel:
1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 k = 3, n = 4
WS12/13
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 2 2 2 3 3 4 3 3 4 4 1 2 3 4 2 3 4 3 4 4 2 3 4 3 4 4 3 4 4 4 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ 1 -­‐ -­‐ 2 1 1 -­‐ -­‐ -­‐ 3 2 2 1 1 1 -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ 1 -­‐ -­‐ 1 -­‐ 2 1 -­‐ -­‐ 1 -­‐ 2 1 -­‐ 3 2 1 -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ 1 -­‐ -­‐ 1 -­‐ 1 2 -­‐ -­‐ 1 -­‐ 1 2 -­‐ 1 2 3 * * * * * * * * * * | | | | | | | | | | * * * * | | | | | | * * * * * * | | | | Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
* | | | * * * | | | * * * | | | * * * | | * | | * | | * * | * | | * * | * * | * | | * | | * | * | * | * | * | * * | * * | | | * | | * | * * | | * | * * | * * * 1 Num. Kugeln 2 3 4 5 6 Stephan Schosser
40
Urnenexperimente
53
Ziehen mit Zurücklegen – Illustration II
•  Idee: Abbildung als Zeichenkette
•  Mit Zurücklegen: Einzelne Elemente dürfen wiederholt vorkommen
•  Anordnung nicht berücksichtigt: Position des Zuges egal
•  Zeichenkette aus * und |
•  * Zeichen kommt vor
•  | Nächstes Element
•  Für jede Zeichenkette gibt es genau eine Entsprechung bei Ziehen
•  Beispiel
•  Mögliche Werte: G = {1, 2, 3, 4}
•  Ein Zug: M = {1, 1, 3}, Kodierung des Zugs M: **||*|
•  Anzahl möglicher Zeichenketten
•  k Sterne *: k Elemente werden gezogen
•  n-1 Trennstriche |: n verschiedene Elemente zu trennen
•  Ziehen ohne Zurücklegen von k Elementen aus
Grundmenge mit n+k-1 Elementen: " n + k −1 %
$
'
k
#
&
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
41
Urnenexperimente
53
Ziehen mit Zurücklegen - Beispiel
•  Sonderangebot von Getränkekisten
•  Eine Kiste (12 Fl.) aus 3 Getränkesorten beliebig kombinierbar
•  Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?
•  Lösungsidee
•  Ziehen mit Zurücklegen, da unbegrenzt Flaschen vorhanden
•  Anordnung nicht relevant
(Getränkesorten müssen im Kasten nicht geordnet werten)
• 
" n + k −1 %
' mögliche Folgen.
Es gibt also $
k
#
&
•  Im Zahlenbeispiel:
" n + k −1 % " 3+12 −1 % " 14 %
14!
14!
=
= 91
$
'=$
'=$
'=
k
12
& # 12 & 12!(14 −12)! 12!2!
#
& #
•  Es gibt also über 91 Möglichkeiten die Getränkesorten zu kombinieren.
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Rechenregeln I
•  Satz
Es gilt
⎛ n ⎞
•  Eigenschaft 1: ⎜⎜⎝ 0 ⎟⎟⎠ = 1
•  Eigenschaft 2: ⎛⎜⎜1n ⎞⎟⎟ = n
• 
• 
• 
⎝ ⎠
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
⎟⎟
Eigenschaft 3: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ k ⎠ ⎝ n − k ⎠
⎛ n ⎞ n ⎛ n − 1⎞
⎟⎟
Eigenschaft 4: ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
⎝ k ⎠ k ⎝ k − 1⎠
⎛ n ⎞
n ⎛ n − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
Eigenschaft 5: ⎜⎜ ⎟⎟ =
k
k
n
−
k
⎝ ⎠
⎝
⎠
•  Eigenschaft 6: ⎛⎜⎜ nk ⎞⎟⎟ = ⎛⎜⎜ nk− 1⎞⎟⎟ + ⎛⎜⎜ nk −−11⎞⎟⎟
⎝ ⎠ ⎝
WS12/13
⎠ ⎝
⎠
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
42
Urnenexperimente
53
Rechenregeln – Beweis I
•  Beweis
⎛ n ⎞
•  Eigenschaft 1: ⎜⎜ 0 ⎟⎟ = 1
⎝ ⎠
Genau eine Menge vom Umfang 0: Ø
Ø ist Teilmenge jeder Menge
• 
⎛ n ⎞
Eigenschaft 2: ⎜⎜ ⎟⎟ = n
⎝1 ⎠
Jede Menge M vom Umfang n hat
n Teilmengen vom Umfang 1
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
43
Urnenexperimente
53
Rechenregeln – Beweis II
•  Beweis
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞
•  Eigenschaft 3: ⎜⎜⎝ k ⎟⎟⎠ = ⎜⎜⎝ n − k ⎟⎟⎠
Vorgehen:
" n %
n!
n!
=
$
'=
# n − k & (n − k)!(n − (n − k))! (n − k)!⋅ k!
" n %
n!
=
=$
'
k!(n − k)! # k &
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
44
Urnenexperimente
53
Rechenregeln – Beweis III
•  Beweis
• 
! n $ n ! n −1$
Eigenschaft 4: # k & = k # k −1&
" %
"
%
•  Vorgehen:
WS12/13
⎛ n ⎞
n(n − 1)(n − 2) ... 2 ⋅ 1
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k (k − 1)(k − 2) ... 2 ⋅ 1⋅ (n − k )(n − k − 1) ... 2 ⋅1
=
n
(n − 1)!
⋅
k (k − 1)!(n − k )!
=
n
(n − 1)!
⋅
=
k (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)] !
n ⎛ n − 1⎞
⎜⎜
⎟⎟
k ⎝ k − 1⎠
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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45
Urnenexperimente
53
Rechenregeln – Beweis IV
•  Beweis
• 
!n$
n ! n −1 $
#
&
Eigenschaft 5: # & =
"k % n − k " k %
•  Vorgehen:
⎛ n ⎞
n(n − 1)!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k!(n − k )(n − k − 1)!
=
n
(n − 1)!
⋅
n − k k!(n − k − 1)!
n ⎛ n − 1⎞
⎟⎟
=
⋅ ⎜⎜
k
n − k ⎝
⎠
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
46
Urnenexperimente
53
Stephan Schosser
47
Urnenexperimente
53
Rechenregeln – Beweis V
•  Beweis
• 
! n $ ! n −1 $ ! n −1 $
&+#
&
Eigenschaft 6: # & = #
" k % " k % " k −1 %
•  Vorgehen:
" n −1 % " n −1 %
(n −1)!
(n −1)!
+
$
'+$
'=
# k & # k −1 & k!(n −1− k)! (k −1)!(n −1− k +1)!
WS12/13
=
(n −1)!
(n −1)!
+
k(k −1)!(n − k −1)! (k −1)!(n − k)(n − k −1)!
=
(n − k)(n −1)!
k(n −1)!
+
k(k −1)!(n − k)(n − k −1)! k(k −1)!(n − k)(n − k −1)!
=
"n%
(n − k + k)(n −1)!
n(n −1)!
n!
=
=
=$ '
(k)!(n − k)!
(k)!(n − k)! (k)!(n − k)! # k &
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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48
Urnenexperimente
53
Kombinatorik – Beispiel I
•  Beispiel
•  Urne mit N durchnummerierten Kugeln (1, …, N)
•  K Kugeln sind schwarz, N-K sind weiß
•  n Kugeln werden mit Zurücklegen gezogen werden
•  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass k davon schwarz sind?
•  Zwei Ereignisse
•  Ereignis Ak:
Ereignis, dass k der gezogenen Kugeln schwarz sind
•  Ereignis A k:
Ereignis, dass mehr oder weniger als k Kugeln schwarz sind
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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49
Urnenexperimente
53
Kombinatorik – Beispiel II
•  Beispiel (forts.)
•  Berechnung P(Ak):
•  Anzahl mögliche Fälle: Nn
(Ziehen mit Zurücklegen)
•  Anzahl günstige Fälle:
•  k schwarze, (n - k) weiße Kugeln gezogen
•  Anordnung nach Farben: ⎛⎜⎜⎝ kn ⎞⎟⎟⎠ Möglichkeiten
n
•  Unterschiedliche Zahlen: zu jeder dieser ⎛⎜⎜⎝ k ⎞⎟⎟⎠Positionen
k
n-k
gibt es K (N - K)
unterscheidbare n-Tupel
⎛ n ⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ K ⋅ ( N − K ) n − k
⎝ k ⎠
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeit
!n$ k
n−k
# & ⋅ K ⋅ (N − K )
! n $ ! K $k ! N − K $n−k ! n $ k
Ak " k %
n−k
P(Ak ) =
=
= # &⋅# & ⋅#
& = # & p (1− p)
n
Ω
N
"k % " N % " N %
"k %
mit p =
WS12/13
K
N
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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50
Urnenexperimente
53
Kombinatorik – Beispiel III
•  Beispiel (forts.)
•  Urne mit N durchnummerierten Kugeln (1, …, N)
•  K Kugeln sind schwarz, N-K sind weiß
•  n Kugeln werden ohne Zurücklegen gezogen werden
•  Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass k davon schwarz sind?
•  Zwei Ereignisse
•  Ereignis Ak:
Ereignis, dass k der gezogenen Kugeln schwarz sind
•  Ereignis A k :
Ereignis, dass mehr oder weniger als k Kugeln schwarz sind
•  Berechnung P(Ak) :
•  Anzahl mögliche Fälle: (N)n
(Ziehen ohne Zurücklegen)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
51
Urnenexperimente
53
Kombinatorik – Beispiel IV
•  Beispiel (forts.)
•  Berechnung P(Ak):
•  Anzahl mögliche Fälle: (N)n
(Ziehen ohne Zurücklegen)
•  Anzahl günstige Fälle:
•  k schwarze, (n - k) weiße Kugeln gezogen
•  Anordnung nach
•  Unterschiedliche
⎛ n ⎞
Farben: ⎜⎜⎝ k ⎟⎟⎠ Möglichkeiten (siehe letztes Bsp.)
⎛ n ⎞
Zahlen: zu jeder dieser ⎜⎜⎝ k ⎟⎟⎠Positionen gibt es
(K)k(N - K)n - k unterscheidbare n-Tupel
!n$
# & ⋅ (K ) k ⋅ (N − K ) n−k
"k %
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Kombinatorik – Beispiel V
•  Beispiel (forts.)
•  Berechnung P(Ak):
•  Gesuchte Wahrscheinlichkeit
Stephan Schosser
52
Urnenexperimente
53
!n$
# & ⋅ (K ) k ⋅ (N − K ) n−k
(K ) k ⋅ (N − K ) n−k
Ak " k %
n!
P(Ak ) =
=
=
Ω
(N )n
k!(n − k)!
(N )n
(K ) k (N − K ) n−k
⋅
k!
(n − k)!
=
(N )n
n!
! a $ (a)
b
mit # b & = b!
"
%
! K $ ! N −K $
&
#
&⋅#
" k % " n−k %
P(Ak ) =
! N $
#
&
n
"
%
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
53
Urnenexperimente
53
Urnenexperimente - Übersicht
Urnenmatrix
Anordnung
berücksichtigt
WS12/13
Zurücklegen
ohne
mit
" n + k −1 % (n + k −1)!
! n $
n!
$
'=
&=
nein #
k
& k!(n −1)!
" k % k!(n − k)! #
ja
(n)k =
n!
(n − k)!
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
nk