2Übungsblatt 2m1 Wahrsch_mit Lösungen

2. Übungsblatt aus der Mathematik im Grundkurs 2m1 (12/2) am 04.03.2008
Definition: Ist jedem der Ereignisse eines Zufallsexperiments mit Ω = {e1 ; e2 ; ...; ek } eine reelle Zahl
P (ei ) so zugeordnet, dass
(1) 0 ≤ P (ei ) für alle i
(2) P (e1 ) + P (e2 ) + ... + P (ek ) = 1
gilt, dann heißen die Zahlen P (ei ) Wahrscheinlichkeiten (P von probability)
Eine Funktion P, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt
Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wahrscheinlichkeitsverteilung).
Aufgabe 1:
Die Kugeln einer Urne tragen die Buchstaben a, b oder c. Nach vielen iehungen einer Kugel und
Feststellen ihres Buchstabens (Ziehen mit Zurücklegen) stellt man fest, dass sich die Häufigkeiten
für die Buchstaben a, b, c verhalten wie 7 : 5 : 4. Legen Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung im
Sinne der angegebenen Definition für das Auftreten jedes dieser Buchstaben fest.
Aufgabe 2:
DieTagesproduktion einer Gartenzwergfirma lässt sich wie folgt zusammen fassen:
Tagesproduktion
6732 Zwerge
Davon
II. Wahl
698 Zwerge
III. Wahl
52 Zwerge
Unverkäuflich
17 Zwerge
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (auf 2 Dezimalen) ist ein produzierter Zwerg I. Wahl?
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (auf 2 Dezimalen) ist ein produzierter Zwerg
unverkäuflich?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit (auf 2 Dezimalen) ist ein produzierter Zwerg verkäuflich?
Definition: Wenn für alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments gleiche Wahrscheinlichkeiten
angenommen werden können (=Gleichverteilung), dann heißt das Zufallsexperiment ein LaplaceExperiment.
Wird jedem Elementarereignis aus Ω die gleiche Wahrscheinlichkeit zugeordnet, so gilt für die
Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses A:
P( A) =
A
Ω
=
Anzahl der für A günstigen Elementarereignisse
Anzahl aller möglichen Elementarereignisse
Aufgabe 3:
Ein Hersteller garantiert, dass unter 50 Nägeln einer Packung höchstens 2 die geforderte
Mindestlänge nicht haben. Man schüttet einen Nagel aus dem Paket.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er zu kurz, wenn die Angabe des Herstellers zutrifft?
(b) Nehmen Sie nun an, dass wirklich genau 2 von 50 Nägeln in der Packung zu kurz sind. Sie
schütten nun drei Nägel aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens ein Nagel zu
kurz? Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle drei Nägel lang genug? Zeichnen Sie dazu
ein Baumdiagramm.
Aufgabe 4:
Aus einer Urne mit 4 roten, 3 weißen und 2 grünen Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln ohne
Zurücklegen entnommen.
(a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung an. (z.B. P (rr ) =
4 3 1
⋅ = ; P (rw) = ... ; ....)
9 8 6
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man 2 gleichfarbene Kugeln?
(c) Beantworten Sie nun die Fragen (a) und (b) für das Ziehen mit Zurücklegen.
Aufgabe 5:
Zwei gleiche Kugeln werden blind auf drei Kästchen mit den Nummern 1,2 und 3 verteilt, wobei
auch beide in einem Kästchen liegen können.
(a) Geben Sie eine Ergebnismenge an und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Notieren Sie dabei einfach die beiden (u.U. auch gleichen) Nummern der Kästchen, in denen
die beiden Kugeln liegen, z.B.: 11, 12, 13, 22, 21,...
(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind genau 2 Kästchen leer? (Lösung:
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist genau ein Kästchen leer?
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