12 2 2 4 Ungeordnete Stichprobe o Z 2 5 Unabhängigkeit
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2.4. Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen Satz: Einer Gesamtheit von n verschiedenen Elementen kann man (sprich: „n über k“) ⎛ n ⎞ n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1) n! ⎜⎜ ⎟⎟ = = 1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k k!⋅(n − k )! ⎝k ⎠ ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen vom Umfang k ( k ≤ n) entnehmen. Bemerkung: a) Dem „Ziehen mit einem Griff“ entspricht in unserem Urnenmodell das Ziehen mehrerer Kugeln ohne auf die Reihenfolge der Kugeln zu achten (LOTTO-Zahlen-Ziehen). ⎛n⎞ b) Die Zahlen ⎜⎜ ⎟⎟ heißen Binomialkoeffizienten, weil sie bei der Berechnung des Binoms (a + b ) ⎝k ⎠ n auftreten. Übungsaufgaben: 1.) Auf wie viele Arten kann man aus einem Ausschuss von 4 Personen 2 Sprecher wählen? 2.) Auf wie viele Arten kann man aus 12 Personen einen Viererausschuss bilden? 3.) Von 5 angegebenen Lösungen einer Testfrage sind genau 2 richtig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden die richtigen erraten, wenn der Prüfling ohne Sachkenntnis 2 Antworten ankreuzt? 4.) Bei drei Mitgliedern einer 25-köpfigen Touristengruppe wird das Gepäck an der Grenze kontrolliert. Unter den 25 Touristen befinden sich fünf Schmuggler. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ertappt man dabei: a) genau einen b) höchstens drei Schmuggler? 5.) Beim LOTTO „6 aus 49“ werden jeden Samstag aus einer Trommel nacheinander sechs der von 1 bis 49 nummerierten Kugeln gezogen (die Zusatzzahl bleibt zunächst außer Acht). Auf einem LOTTO-Zettel müssen diese 6 Zahlen durch Ankreuzen erraten werden. a) Wie viele Möglichkeiten der Ziehung gibt es? b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „6 Richtige“ („5 Richtige“; „4 Richtige“; „3 Richtige“)? 2.5. Unabhängigkeit von Ereignissen Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn gilt: P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) , andernfalls heißen A und B voneinander abhängig. Bemerkungen: 1.) Sind A und B unabhängig, dann sind auch A und B , A und B, A und B unabhängig. 2.) Häufig ist bereits aus der Beschreibung des Zufallsexperiments zu erkennen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind oder nicht. Kann man Unabhängigkeit annehmen, so benutzt man die Beziehung P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) zur Berechnung von P ( A ∩ B ) aus P(A) und P(B). In diesem Fall nennt man P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) den speziellen Multiplikationssatz. 3.) Nicht zu verwechseln mit dem Multiplikationssatz ist der Additionssatz: Für beliebige Ereignisse A,B gilt: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) . Übungen: 1. Ein idealer Würfel wird einmal geworfen. Es sei A: Gerade Augenzahl; B: Die Augenzahl ist durch 3 teilbar; C: Die Augenzahl ist eine Primzahl. Untersuchen Sie die 3 Ereignisse paarweise auf Unabhängigkeit. 2. Ein Auto hat zwei voneinander unabhängige Bremskreise. Der eine funktioniert mit 99%, der andere mit 98% Wahrscheinlichkeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide zugleich defekt? 3. Eine Kontrolle der Abfüllanlage ergab: 4 von 1000 Flaschen sind nicht korrekt verschlossen; 2 von 100 Flaschen enthalten nicht die vorgesehene Füllmenge. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine zufällig herausgegriffene Flasche frei von Fehlern? 4. Beweise: Wenn A und B unabhängig sind, dann gilt dies auch für A und B , A und B, A und B . (Anleitung: A = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) ; Additionssatz) 2.6. Verbindung von Additions- und Multiplikationssatz In den Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist meist die Wahrscheinlichkeit P(A), mit der ein Ereignis A bei der Durchführung eines Zufallsexperiments eintritt, gesucht. Folgende Strategie hilft: Aufgabe: Bestimme P(A) Weg 1: Lösung mit Hilfe einer Gleichverteilung - Kann man eine Ereignismenge S so wählen, dass die zugehörige Verteilung eine Gleichverteilung ist? - Ermittle (evtl. mit Hilfe der Kombinatorik) die Anzahl der möglichen und der für A günstigen Ergebnisse. Weg 2: Lösung mittels Additions- oder Multiplikationssatz - Kann man A (mittels ∩ , ∪ ) in einfachere Ereignisse Ai zerlegen, deren Wahrscheinlichkeiten bekannt sind? - Berechne P(A) mit Hilfe des Additions- oder Multiplikationssatzes. Beispiel: Eine Urne enthält 3 weiße und 2 rote Kugeln. Es wird zweimal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kugeln weiß? Lösen Sie auf zwei verschiedenen Wegen.
