zufallsvariablen µ

ETWR – Teil B
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
Ziele
•  Bisher
•  (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen
•  Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen
•  Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen
•  Ziel des Kapitels
•  Übertragung des gelernten auf stetige Verteilungen
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
2
26
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
•  Gleichverteilung
•  Normalverteilung
•  Exponentialverteilung
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
3
26
Stephan Schosser
4
Wiederholung Stetige Gleichverteilung
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Visualisierung
•  Gleichverteilung mit N = 6
fx bzw. FX
1,00
0
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
6
x
Stephan Schosser
5
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Visualisierung
•  Gleichverteilung mit N = ∞ auf Intervall [1,6]
fx bzw. FX
1,00
0
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
6
x
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
Stetige Gleichverteilung
•  Definition: (Stetige Gleichverteilung)
Die Zufallsvariable X heißt auf Intervall [a, b] gleichverteilt, wenn
Dichtefunktion f(x) und Verteilungsfunktion F(x) gegeben sind als
$ 0
x≤a
# 1
&
%
& x−a
a≤x≤b
f (x) = $ b − a
F(x) = %
a<x<b
b
−
a
% 0
&
sonst
&
&' 1
x≥b
•  Satz
Der Erwartungswert einer stetig gleichverteilten Zufallsvariable X ist
E(x) =
und die Varianz von X ist
Var(x) =
WS12/13
a+b
2
1
(b − a)2
12
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
6
26
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
Beweise
•  Erwartungswert
E(X) = E(X) =
b
1
1
b
∫ x b − a dx = b − a ∫
a
a
7
26
b
1 " x2 %
x dx =
$ '
b − a # 2 &a
1 b2 − a2
1 (b + a)(b − a) a + b
=
=
=
b−a 2
b−a
2
2
•  Varianz
b
E(X 2 ) =
∫
a
1
1
x2
dx =
b−a
b−a
b
∫
a
b
1 # x3 &
2
x dx =
% (
b − a $ 3 'a
b3 − a 3 (b − a)(a 2 + ab + b 2 ) a 2 + ab + b 2
=
=
=
3(b − a)
3(b − a)
3
a 2 + ab + b 2 (a + b)2 4a 2 + 4ab + 4b 2 − 3a 2 − 6ab − 3b 2
Var(X) = E(X ) − E(X) =
−
=
3
4
12
2
2
a 2 − 2ab + b 2 (a − b)2
=
=
12
12
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
•  Gleichverteilung
•  Normalverteilung
•  Exponentialverteilung
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
8
26
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
Motivation
•  Produktionsprozess Hilti
•  Maschinelle Fertigung von Bohreinsätzen (kurz: Bohrer)
•  Bohrer aus hochwertigem Stahl ...
... dadurch Formen schwierig
•  Konsequenz: Es kommt zu zufälligen Abweichungen in der Länge
•  Problem
•  Qualitätssicherung
Bohrer mit starker Abweichung unverkäuflich
•  Planung
Wie viele Bohrer Ausschuss bei Tagesproduktion von n = 10.000
•  Idee
•  Anteil Ausschuss mit passender Verteilung schätzen
•  Im Folgenden
•  Verteilung mit Zielwert und zufälligen Abweichungen
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
9
26
Stephan Schosser
10
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Normalverteilung
•  Definition: (Normalverteilung)
Die Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ2, wenn
ihre Dichtefunktion für x ∈ R gegeben ist durch
f X ( x) =
1
e
σ 2π
−
( x− µ )2
2σ 2
•  Satz
Eine normalverteilte Zufallsvariable besitzt den Erwartungswert
E(X) = µ und die Varianz Var(X) = σ2
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
11
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Visualisierung I
•  Dichtefunktion der Standardnormalverteilung (µ = 0, σ2 = 1):
µ → Lage der Verteilung
σ2 → Streuung der Verteilung
f X (x)
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-4
WS12/13
-2
0
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
2
4
x
Stephan Schosser
12
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Visualisierung II
•  Dichtefunktion der Normalverteilung (µ=5 bzw. µ=6, σ2=1):
0,5
f X (x)
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
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2
4
6
8
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
10
x
Stephan Schosser
13
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Visualisierung III
•  Dichtefunktion der Normalverteilung (µ=5, σ2=1 bzw. σ2=4):
0,5
f X (x)
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
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x
2
4
6
8
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
10
Stephan Schosser
14
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Beispiel
•  Körpergröße männlicher Studienanfänger
•  Normalverteilung
→ geeignetes Modell für Körpergröße (siehe folgende Abb.)
•  Histogramm der Körpergröße männlicher Studienanfänger mit
Dichtefunktion der Normalverteilung mit µ=183,1 und σ2=48,7
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
160
WS12/13
170
180
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
190
200
Stephan Schosser
15
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Standardisierung
•  Ist X normalverteilt mit den Parametern µ und σ2, so ist Z = X − µ
standardnormalverteilt.
1
−0,5z 2
e
•  Dichtefunktion ϕ (z) =
2π
0
1
−0,5u2
•  Verteilungsfunktion Φ(z) = ∫
e
du
−∞ 2π
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
σ
Stephan Schosser
16
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Illustration
•  Gesucht:
Wahrscheinlichkeit P(X ≤ x) = FX(x) für eine mit µ und σ2 normal-verteilte
Zufallsvariable.
X − µ x − µ ⎞
≤
⎟
σ ⎠
⎝ σ
•  FX ( x) = P( X ≤ x) = P( X − µ ≤ x − µ) = P⎛⎜
x − µ ⎞
⎛
⎛ x − µ ⎞
= P⎜ Z ≤
⎟ = Φ⎜
⎟
σ ⎠
⎝
⎝ σ ⎠
# x−µ&
•  FX (x) = Φ %
(
$ σ '
•  Dabei gilt: Φ ( z ) = 1− Φ (−z )
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
17
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Beispiel
•  Fahrzeit zur Universität
•  Fahrzeit X ist normalverteilt mit E(X) = 40 und Var(X) = 4
•  Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass Fahrzeit max. 36 Minuten?
•  Es gilt:
$ 36 − 40 '
P(X ≤ 36) = FX (36) = Φ &
) = Φ(−2)
% 2 (
Φ(2) = 0, 977
→ P(X ≤ 36) = Φ(−2) = 1− Φ(2) = 1− 0, 977 = 0, 023
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
18
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Quantil
•  Quantil normalverteilte Zufallsvariablen (µ, σ2)
xp = µ + zpσ
•  Quantil Standardnormalverteilte Zufallsvariable zp
•  Nur für p mit p < 0,5 oder p > 0,5, ...
•  ... denn es gilt: zp = −z1−p
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
19
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Quantil – Beispiel
•  Fahrzeit zur Universität
•  Fahrzeit X ist normalverteilt mit E(X) = 40 und Var(X) = 4
•  Welche Fahrzeit wird an 20 Prozent der Tage nicht überschritten?
•  Es gilt:
•  z0,2 = −z0,8 → z0,8 = 0,842 → z0,2 = −0,842
•  x0,20 = 40 + z0,20 · 2 = 40 − 0,842 · 2 = 38,316
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
20
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
•  Gleichverteilung
•  Normalverteilung
•  Exponentialverteilung
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
21
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Exponentialverteilung
•  Bei einem Poisson-Prozess im Intervall ]0, t] ist die absolute Häufigkeit des
Ereignisses A poissonverteilt mit Parameter λt.
( λt ) x − λt
•  Es gilt: P( X = x) =
e
x!
für x = 0,1,...
•  Poisson-Prozess wird so lange beobachtet, bis A zum 1. Mal eintritt.
Gesucht:
•  Dichtefunktion fT(t)
•  Verteilungsfunktion FT(t)
der Wartezeit T bis zum ersten Eintreten von A
•  Für t < 0: FT(t) = 0
•  Für t ≥ 0: FT(t) = P(T ≤ t) = 1 − P(T > t) = 1 − P(X = 0) = 1 − e−λt
⎧1 − e − λt
•  FT (t ) = ⎨ 0
⎩
WS12/13
für t ≥ 0
sonst
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
22
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Exponentialverteilung
•  Definition: (Exponentialverteilung)
Die Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt mit Parameter λ, wenn ihre
Dichtefunktion gegeben ist durch:
⎧ λe − λx
f X ( x) = ⎨
⎩ 0
für x ≥ 0
sonst
•  Satz
Die Exponentialverteilung hat den Erwartungswert E(X) =
Varianz Var(X) =
WS12/13
1
λ2
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
1
und die
λ
Stephan Schosser
23
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Quantil
•  Für das p-Quantil der Exponentialverteilung gilt
1− e
− λx p
= p ⇔ e
− λx p
= 1− p
⇔ − λx p = ln(1 − p)
1
⇔ x p = − ln(1 − p)
λ
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
24
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Beispiel I
•  Tankstelle
•  30 Minuten Beobachtung
•  Ankunft der Kunden
•  Häufigkeiten
Zeit
WS12/13
Absolute Häufigkeit
0s bis unter 45s
19
45s bis unter 90s
8
90s bis unter 135s
2
135s bis unter 180s
2
180s bis unter 225s
1
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
25
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Beispiel II
•  Histogramm der Wartezeit mit der Dichtefunktion der Exponential-verteilung
mit Parameter λ = 0,019:
0,015
0,010
0,005
Zeit
0,000
0
WS12/13
50
100
150
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
200
250
Stephan Schosser
26
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
26
Stetige Verteilungen - Übersicht
•  Gleichverteilung
# 1
%
f (x) = $ b − a
% 0
&
a≤x≤b
sonst
a+b
E(x) =
2
1
Var(x) = (b − a)2
12
E(x) = µ
Var(x) = σ 2
•  Normalverteilung
f X ( x) =
1
e
σ 2π
−
( x− µ )2
2σ 2
•  Exponentialverteilung
⎧ λe − λx
f X ( x) = ⎨
⎩ 0
WS12/13
für x ≥ 0
sonst
E(X) =
1
λ
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Var(X) =
1
λ2