a teilchens

ETWR – Teil B
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
Motivation
•  Problem
Verteilungsfunktion eines Zufallsprozesses oft schwer beobachtbar
•  Größe eines Menschen
•  Anzahl der Tore beim Fußball
•  Aber
Charakteristika einiger Zufallsprozesse oft ähnlich
•  Beispiel
•  X: Anzahl der Mädchen bei 6 Kindern
•  Y: Anzahl der Einsen bei 6 Würfen eines Würfels
•  Z: Anzahl der Kursanstiege einer Aktie an den folgenden 6 Tagen
•  W: Anzahl der richtigen Antworten bei 6 Multiple Choice Fragen
•  Beobachtung
Gemeinsamkeiten der vier Zufallsvariablen X, Y, Z, W
•  6 unabhängige Beobachtungen
•  Jede Beobachtung hat genau zwei Ergebnisse
•  Jetzt: Ableitung von Verteilungen für solche und ähnliche Probleme
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
2
48
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
Ziele
•  Bisher
•  (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen
•  Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen
•  Ziel des Kapitels
•  Übertragung des gelernten auf häufig auftretende Verteilungen
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
3
48
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Gleichverteilung
•  Binomialverteilung
•  Geometrische Verteilung
•  Hypergeometrische Verteilung
•  Poissonverteilung
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
4
48
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
Motivation
•  Gleichverteilter Zufallsprozess
•  Vorgang hat genau N Ausgänge
•  Alle N Ausgänge sind exakt gleich wahrscheinlich
•  Beispiele
•  Werfen eines Würfels
•  Werfen einer Münze
•  Zahl beim Roulette
•  Geburtstage wie in den bisherigen Beispielen behandelt
(Gegenargument: saisonale bzw. Feiertagsschwankungen)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
5
48
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
Diskrete Gleichverteilung
•  Definition: (Diskrete Gleichverteilung)
Eine Zufallsvariable X heißt gleichverteilt, wenn gilt P( X = x) =
für x = 1, ..., N.
•  Satz
Der Erwartungswert einer gleichverteilten Zufallsvariable X ist
E(X) =
und die Varianz von X ist
WS12/13
N +1
2
N 2 −1
Var(X) =
12
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
1
N
6
48
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
Beweise
•  ErwartungswertN
1 1
E( X ) = ∑ x
=
N N
x =1
•  Varianz
N
∑x =
x =1
1 N ( N + 1) N + 1
=
N
2
2
N
1 1 N 2 1 N(N +1)(2N +1) (N +1)(2N +1)
E(X ) = ∑ x
= ∑x =
=
N N x=1
N
6
6
x=1
2
2
2
(N
+1)(2N
+1)
(N
+1)
Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 =
−
6
4
N +1
(N +1)(N −1) N 2 −1
=
[4N + 2 − 3N − 3] =
=
12
12
12
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
7
48
Stephan Schosser
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
Beispiel
•  Einmaliger Wurf eines fairen Würfels
1
•  Es gilt P(X = x) = für x = 1, ..., 6.
6
•  Erwartungswert E(X) = N +1 = 6 +1 = 3, 5
2
2
N 2 −1 6 2 −1 36 −1 35
•  Varianz Var(X) =
=
=
=
≈ 2, 92
12
12
12
12
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
fx
0,17
0
WS12/13
6
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
x
8
48
Stephan Schosser
9
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Visualisierung
•  Gleichverteilung mit N = 6
fx bzw. FX
1,00
0
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
6
x
Stephan Schosser
10
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Gleichverteilung
•  Binomialverteilung
•  Geometrische Verteilung
•  Hypergeometrische Verteilung
•  Poissonverteilung
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
11
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Bernoulliprozess - Beispiel
•  Zufällige Bewegung eines Teilchens (vgl. letzte Kapitel)
•  Teilchen startet im Nullpunkt
•  Teilchen bewegt sich nur auf ganzen Zahlen
•  Teilchen geht bei jedem Schritt zufällig nach links oder rechts
•  Ereignisse
•  A : Teilchen geht nach links
•  A : Teilchen geht nach rechts
•  Bewegung des Teilchens ist ein Bernoulliprozess
•  P(A) = p = 0,5
•  Entscheidungen des Teilchens sind bei jedem Schritt unabhängig.
•  Erfolgswahrscheinlichkeit p bleibt konstant
•  Betrachtung von n Schritten: Bernoulliprozess der Länge n.
•  Beim Bernoulliprozess sind zwei Zufallsvariablen interessant
•  Anzahl der Erfolge bei n Durchführungen
•  Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
12
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Bernoulliprozess
•  Bernoullivorgang
Ereignis A (Erfolg) mit P(A) = p
•  Definition: (Bernoulliprozess)
Einen Bernoulliprozess erhält man dadurch, dass man einen Bernoullivorgang mehrmals beobachtet, wobei folgende Annahmen getroffen
werden:
•  Die einzelnen Bernoullivorgänge sind voneinander unabhängig.
•  Die Erfolgswahrscheinlichkeit p bleibt konstant.
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
13
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Binomialverteilung - Intuition
•  Zufallsvariable
•  X = Anzahl der Erfolge bei Bernoulliprozess der Länge n
•  X kann Werte 0, ..., n annehmen
•  Anzahl Erfolge und Misserfolge
•  x Erfolge
•  n-x Misserfolge
•  Ableitung Wahrscheinlichkeit Bernoulliprozesses (ohne Reihenfolge)
•  x Erfolge mit Wahrscheinlichkeit p: px
•  n-x Missverfolge mit Wahrscheinlichkeit (1-p): (1-p)n-x
•  Wahrscheinlichkeit gesamter Bernoulliprozess: px (1-p)n-x
•  Ableitung Wahrscheinlichkeit Bernoulliprozesses (mit Reihenfolge)
•  Möglichkeiten die x Positionen der Erfolge zu wählen
⎛ n ⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ x ⎠ x!(n-x)!
⎛ n ⎞ x
•  Also gilt P( X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p) n− x
⎝ x ⎠
WS12/13
für x = 0,1, ..., n
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
14
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Binomivalverteilung
•  Definition: (Binomialverteilung)
Die Zufallsvariable X heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p, wenn
ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch:
⎛ n ⎞ x
P( X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 − p) n − x für x = 1, ..., N.
⎝ x ⎠
•  Satz
Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist E(X) = np und die Varianz ist
Var(X) = np(1-p)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
15
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Beweise
•  Erwartungswert
E(Xi) = p · 1 + (1-p) · 0 = p
E(X) = E(X1+...+Xn) = E(X1) + ... + E(Xn) = nE(Xi) = np
•  Varianz
E(Xi2) = p · 12 + (1-p) · 02 = p
Var(Xi) = E(Xi2) - E(Xi)2 = p – p2 = p(1-p)
Var(X) = Var(X1+...+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn) = nVar(Xi)=np(1-p)
Gilt, da alle Xi
unabhängig!
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
16
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Beispiel I
•  Zufällige Bewegung eines Teilchens (forts.)
•  Teilchen startet im Nullpunkt
•  Teilchen bewegt sich nur auf ganzen Zahlen
•  Teilchen geht beim jedem Schritt zufällig nach links oder rechts
•  Eigenschaften des Bernoulliprozesses
•  X: Anzahl der Schritte nach links
•  p = 0,5: Wahrscheinlichkeit nach links gehen
•  n = 3: Anzahl Schritte
•  Sprich:
Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit Parametern n=3 und p=0,5.
•  Es gilt für x = 0, 1, 2, 3:
! 3 $
! 3 $ 3
x
3−x
P(X = x) = #
& 0,5 (1− 0, 5) = #
& 0, 5
x
x
"
%
"
%
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
WS12/13
x
0
1
2
3
P(X=x)
0,125
0,375
0,375
0,125
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
17
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Beispiel II
x
0
1
2
3
P(X=x)
0,125
0,375
0,375
0,125
•  Erwartungswert
•  Berechnung mit Formel
E(X) = np = 3 · 0,5 = 1,5
•  … oder aus Wahrscheinlichkeitsfunktion:
E(X) = 0,125 · 0 +0,375 · 1 + 0,375 · 2 + 0,125 · 3 = 1,5
•  Varianz
•  Berechnung mit Formel
Var(X) = np(1-p) = 3 · 0,5 · 0,5 = 0,75
•  ... oder aus Wahrscheinlichkeitsfunktion
E(X2) = 0,125 · 02 +0,375 · 12 + 0,375 · 22 + 0,125 · 32 =3
Var(X) = E(X2) - E(X)2 =3 – 1,52 = 0,75
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
18
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Visualisierung I
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Binomialverteilung für n = 10 und p = 0,1; p = 0,2.
50%
n=10, p=0,1
40%
40%
30%
30%
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
WS12/13
n=10, p=0,2
50%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
19
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Visualisierung II
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Binomialverteilung für n = 10 und p = 0,5; p = 0,8.
50%
n=10, p=0,5
40%
40%
30%
30%
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
WS12/13
n=10, p=0,8
50%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
20
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Bernoulliverteilung
•  Binomialverteilung mit n = 1 heißt Bernoulliverteilung
•  Wahrscheinlichkeitsverteilung der Bernoulliverteilung
P(X=x) = px(1-p)1-x für x = 0,1
x
0
1
P(X=x)
1-p
p
•  Erwartungswert
•  Berechnung mit Formel
E(X) = np = 1 · p = p
•  … oder aus Wahrscheinlichkeitsfunktion:
E(X) = (1-p) · 0 +p · 1 = p
•  Varianz
•  Berechnung mit Formel
Var(X) = np(1-p) = 1 · p · (1-p) = p · (1-p)
•  ... oder aus Wahrscheinlichkeitsfunktion
E(X2) = (1-p) · 02 +p · 12 = p
Var(X) = E(X2) - E(X)2 =p – p2 = p · (1-p)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
21
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Gleichverteilung
•  Binomialverteilung
•  Geometrische Verteilung
•  Hypergeometrische Verteilung
•  Poissonverteilung
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Wiederholung Bernoulliprozes
Stephan Schosser
22
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Bernoulliprozess - Beispiel
•  Zufällige Bewegung eines Teilchens (vgl. letzte Kapitel)
•  Teilchen startet im Nullpunkt
•  Teilchen bewegt sich nur auf ganzen Zahlen
•  Teilchen geht beim jedem Schritt zufällig nach links oder rechts
•  Ereignisse
•  A : Teilchen geht nach links
•  A : Teilchen geht nach rechts
•  Bewegung des Teilchens ist ein Bernoulliprozess
•  P(A) = p = 0,5
•  Entscheidungen des Teilchens sind bei jedem Schritt unabhängig.
•  Erfolgswahrscheinlichkeit p bleibt konstant
•  Betrachtung von n Schritten: Bernoulliprozess der Länge n.
•  Beim Bernoulliprozess sind zwei Zufallsvariablen interessant
•  Anzahl der Erfolge bei n Durchführungen (Binomialverteilung!)
•  Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg (jetzt!)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
23
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Geometrische Verteilung - Intuition
•  Zufallsvariable
•  X: Anzahl der Misserfolge vor erstem Erfolg bei Bernoulliprozess
•  X kann Werte 0, ... annehmen
•  Anzahl Misserfolge x vor erstem Erfolg
A
A
...
A A
•  

x-mal
•  Ableitung Wahrscheinlichkeit Bernoulliprozesses
•  Erfolg mit Wahrscheinlichkeit p
•  P(X=0) = p
•  P(X=1) =(1-p) p
•  P(X=2) =(1-p)(1-p) p
x
p)(1−
p)(1−
p)
p
=
(1−
p)
p
•  P(X = x) = (1−

x−mal
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
24
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Geometrische Verteilung
•  Definition: (Geometrische Verteilung)
Die Zufallsvariable X heißt geometrisch verteilt mit Parameter p, wenn ihre
Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch
P(X = x) = p (1 − p)x für x = 0, 1, ...
•  Satz
Der Erwartungswert der geometrischen Verteilung ist
E(X) =
1− p
p
Var(X) =
1− p
p2
die Varianz ist
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
25
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Beispiel
•  Zufällige Bewegung eines Teilchens (forts.)
•  Teilchen startet im Nullpunkt
•  Teilchen bewegt sich nur auf ganzen Zahlen
•  Teilchen geht beim jedem Schritt zufällig nach links oder rechts
•  Eigenschaften des Bernoulliprozesses
•  X: Anzahl der Schritte nach rechts bis erstes Mal nach links
•  p = 0,5: Wahrscheinlichkeit nach links gehen
•  Sprich:
X ist geometrisch verteilt mit p=0,5.
•  Es gilt für x = 0, 1, ...: P(X = x) = (1− p)x p = 0, 5x+1
•  Erwartungswert 1− p 1− 0, 5
E(X) =
•  Varianz
Var(X) =
WS12/13
p
=
0, 5
=1
1− p 1− 0, 5
=
=2
2
2
p
0, 5
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
26
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Modifikation
•  Oft anstatt ...
•  Anzahl X der Misserfolge
•  Anzahl Y der Versuche bis zum ersten Erfolg (Erfolg mitgezählt)
•  Neues Ereignis
Y=X+1
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
P(Y = y) = p (1 - p)y-1 für y = 1, ...
•  Erwartungswert
E(Y ) =
•  Varianz
Var(Y ) =
WS12/13
1
p
1− p
p2
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
27
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Visualisierung I
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Geometrischen Verteilung für p = 0,1; p = 0,2.
80%
p=0,1
70%
70%
60%
60%
50%
50%
40%
40%
30%
30%
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
WS12/13
p=0,2
80%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
28
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Visualisierung II
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Geometrischen Verteilung für p = 0,5; p = 0,8.
80%
p=0,5
70%
70%
60%
60%
50%
50%
40%
40%
30%
30%
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
WS12/13
p=0,8
80%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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29
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Gleichverteilung
•  Binomialverteilung
•  Geometrische Verteilung
•  Hypergeometrische Verteilung
•  Poissonverteilung
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
30
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Motivation
•  Urnenexperiment
•  W Kugeln sind weiß
•  N-W Kugeln sind schwarz
•  W/N Anteil weißer Kugeln
•  Urnenexperiment und Binomialverteilung
•  X: Anzahl der weißen Kugeln bei n Zügen
•  Wahrscheinlichkeit p (=W/N) ist immer konstant
→ Binomialverteilung: Ziehen der weißen Kugeln mit Zurücklegen
•  Jetzt
Ziehen der weißen (schwarzen) Kugeln ohne Zurücklegen
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
31
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Intuition
•  Urnenexperiment
•  W Kugeln sind weiß
•  N-W Kugeln sind schwarz
•  W/N Anteil weißer Kugeln
•  X: Anzahl weiße Kugeln bei n-maligem Ziehen ohne Zurücklegen
•  Anzahl möglicher Ergebnisse
⎛ N ⎞
Von N Kugeln n ohne Zurücklegen ziehen ⎜⎜ n ⎟⎟
⎝ ⎠
•  Anzahl günstige Ergebnisse
•  Von W weißen Kugeln x Kugeln ziehen
! W $
#
&
" x %
•  Von N-W schwarzen Kugeln n–x Kugeln ziehen
• 
" N −W %
$
'
n
−
x
#
&
! W $! N −W $
&
#
&#
" x %" n − x %
Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x) =
! N $
#
&
n
"
%
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
32
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Hypergeometrische Verteilung
•  Definition: (Hypergeometrische Verteilung)
Die Zufallsvariable X heißt hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M
und n, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch
! M $! N − M $
&
#
&#
x
n
−
x
"
%"
%
P(X = x) =
! N $
#
&
n
"
%
für max{0, n-(N-M)} ≤ x ≤ min{n,N}
•  Satz
Der Erwartungswert der hypergeometrischen Verteilung ist
E( X ) = n
und die Varianz ist
Var( X ) = n
WS12/13
M
N
M N −M N −n
N N N −1
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
33
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Hypergeometrische vs. Binomialverteilung
•  Sei p = M/N, dann gilt für die hypergeometrische Verteilung
• 
E(X) = n
M
= np
N
Der Erwartungswert der Binomialverteilung und der hypergeometrischen
Verteilung sind somit identisch
•  Var(X) = n
M N −M N −n
N −n
= np(1− p)
N N N −1
N −1
N −n
<1
Für n > 1 gilt
N −1
und somit:
Für n > 1 ist Varianz der hypergeometrischen Verteilung kleiner als Varianz
der Binomialverteilung
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
34
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Beispiel I
•  Urnenexperiment
•  Urne enthält 10 Kugeln
•  4 Kugeln sind weiß
•  3 Kugeln werden gezogen
•  Zufallsvariablen
•  X: Anzahl der weißen Kugeln beim Ziehen mit Zurücklegen
•  Y: Anzahl der weißen Kugeln beim Ziehen ohne Zurücklegen
•  Wahrscheinlichkeitsfunktionen
! n
•  P(X = x) = #" x
! M
##
" y
•  P(Y = y) =
WS12/13
$ x
!
n−x
& p (1− p) = #
%
"
$! N − M $ !
& ##
&& ##
&
%" n − y % "
=
! N $
#
&
n
"
%
3 $
& 0, 4 x 0, 6 3−x
x %
4 $! 6 $
&&
&& ##
y % " 3− y %
! 10 $
#
&
3
"
%
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
35
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Beispiel II
•  Wahrscheinlichkeitsverteilung beider Zufallsexperimente
Wert
Binomialverteilung
Hypergeo.
Verteilung
0
0,216
0,167
1
0,432
0,500
2
0,288
0,300
3
0,064
0,033
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
•  Extreme Werte 0 und 3 bei Binomialverteilung wahrscheinlicher als bei
hypergeometrischen Verteilung
→ Begründung für größere Varianz bei der Binomialverteilung
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
36
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Visualisierung I
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Geometrischen Verteilung für n = 10; N = 100 und M = 10; M = 20.
50%
M=10
40%
40%
30%
30%
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
WS12/13
M=20
50%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
37
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Visualisierung II
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Geometrischen Verteilung für n = 10; N = 100 und M = 50; M = 80.
50%
M=50
40%
40%
30%
30%
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
WS12/13
M=80
50%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
38
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Eigenschaften I
•  Satz
Für große Werte von N können wir die hypergeometrische Verteilung durch
die Binomialverteilung approximieren.
•  Intuition
Ziehen einer Kugel aus einer sehr großen Grundgesamtheit mit oder ohne
Zurücklegen → kein Unterschied
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Eigenschaften II
•  Beweis
Wenn N beliebig groß wird p =
⎛ M ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
x
P( X = x) = ⎝ ⎠
!
=#
"
!
=#
"
WS12/13
Stephan Schosser
39
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
M
konstant, dann gilt
N
⎛ N − M ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ n − x ⎠ = ( M ) x ( N − M ) n − x n!
x!(n − x)!( N ) n
⎛ N ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ n ⎠
n $ ( M ) x ( N − M ) n− x
&
( N )n
x %
n $ M M − x +1 N − M N − M − n + x +1

& 
x %N
N − x +1 N − x
N − n +1
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
40
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Eigenschaften III
•  Beweis (forts.)
# n & M M −1 M − x +1 N − M N − M − n + x +1
lim P(X = x) = lim %


(
N→∞
N→∞
N − n +1
$ x ' N N −1 N − x +1 N − x
# n
= lim %
N→∞
$ x
# n
= lim %
N→∞
$ x
M 1
M x −1
M
M n − x −1
−
−
1−
1−
−
&M
N N N
N
N
N
N
(
x −1
x
n −1
' N 1− 1
1−
1−
1−
N
N
N
N
1
x −1
n − x −1
p
−
p
−
1−
p
−
&
N
N 1− p 
N
(p
x −1
x
n −1
' 1− 1
1−
1−
1−
N
N
N
N
⎛ n ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p) n − x
⎝ x ⎠
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
41
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Gleichverteilung
•  Binomialverteilung
•  Geometrische Verteilung
•  Hypergeometrische Verteilung
•  Poissonverteilung
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
42
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Motivation
•  Fußball
•  Tore, die in der Saison 2010/2011 geschossen wurden
•  Bisher: Betrachtung von Spielen mit maximal 5 Toren
•  Jetzt: Häufigkeitsverteilung ohne Beschränkung der Toranzahl
•  Häufigkeitstabelle der Tore für die Saison 2010/2011
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n(X=x)
14
51
68
71
51
28
17
2
2
2
h(X=x)
4,6%
16,7%
22,2%
23,2%
16,7%
9,2%
5,6%
0,7%
0,7%
0,7%
•  Kernfrage also:
•  Im Beispiel: Wie Wahrscheinlich ist eine beliebige Toranzahl (z.B. x=9),
wenn theoretisch unendlich viele Tore möglich sind?
•  Alternativ: Was geschieht mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Bionomialverteilung, wenn n beliebig groß wird?
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
43
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Poissonverteilung
•  Definition: (Poissonverteilung)
Die Zufallsvariable X heißt poissonverteilt mit dem Parameter λ, wenn ihre
Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch:
λ x −λ
P( X = x) = e für x = 0, 1, ...
x!
•  Satz
Die Poissonverteilung hat den Erwartungswert E(X) = λ und
die Varianz Var(X) = λ.
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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44
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Poissonverteilung – Visualisierung I
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung für λ = 1 und λ = 2.
50%
λ=1
40%
40%
30%
30%
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
WS12/13
λ =2
50%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
45
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Poissonverteilung – Visualisierung II
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung für λ=5 und λ=10.
50%
λ=5
40%
40%
30%
30%
20%
20%
10%
10%
0%
0%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
λ = 10
50%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung wird mit wachsendem λ immer
symmetrischer.
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
46
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Beispiel I
•  Fußball
•  Tore, die in der Saison 2010/2011 geschossen wurden
•  Bisher: Betrachtung von Spielen mit maximal 5 Toren
•  Jetzt: Häufigkeitsverteilung ohne Beschränkung der Toranzahl
•  Häufigkeitstabelle der Tore für die Saison 2010/2011
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
n(X=x)
14
51
68
71
51
28
17
2
2
2
h(X=x)
4,6%
16,7%
22,2%
23,2%
16,7%
9,2%
5,6%
0,7%
0,7%
0,7%
•  Mittelwert Tore pro Spiel: 2,92
•  Wahrscheinlichkeitsverteilung der Poissonverteilung mit λ = 2,92
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P(X=x)
5,4%
15,7%
23,0%
22,4%
16,3%
9,6%
4,7%
1,9%
0,7%
0,2%
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
47
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Poissonverstellung – Beispiel II
•  Gegenüberstellung Poissonverteilung vs. Fussballsaison 2010/2011
25.0%
20.0%
15.0%
10.0%
5.0%
0.0%
1
2
3
4
Poissonverteilung
WS12/13
5
6
7
8
Fussballsaison 2010/2011
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
9
10
Stephan Schosser
48
Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
48
Spezielle Verteilungen (diskret) - Übersicht
•  Gleichverteilung
1
P( X = x) =
N
•  Binomialverteilung
⎛ n ⎞
P( X = x) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 − p) n − x
⎝ x ⎠
N +1
E(X) =
2
N 2 −1
Var(X) =
12
E(X) = np
Var(X) = np(1− p)
•  Geometrische Verteilung
P(X = x) = p(1− p) x
E(X) =
•  Hypergeometrische Verteilung
⎛ M ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
X
P( X = x) = ⎝ ⎠
⎛ N − M ⎞
⎜⎜
⎟⎟
n
−
x
⎝
⎠
⎛ N ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ n ⎠
1− p
p
E( X ) = n
M
N
Var(X) =
1− p
p2
Var( X ) = n
•  Poissonverteilung
λ x −λ
P( X = x) = e
x!
WS12/13
E(X) = λ
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Var(X) = λ
M N −M N −n
N N N −1