Mathematik macht Freu(n)de Vektorrechnung, I KOMPETENZHEFT

Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
KOMPETENZHEFT ZUR VEKTORRECHNUNG IN DER EBENE
1. Aufgabenstellungen
#»
2
Aufgabe 1.1. Gegeben sind die Vektoren #»
a = ( −3
2 ) und b = ( 4 ).
Bestimme die folgenden Vektoren rechnerisch und grafisch:
a) 2 · #»
a =
#»
b) − b =
c)
1 #»
· b =
2
#»
d) #»
a+ b =
#»
e) #»
a− b =
#»
f) b − 2 · #»
a =
Aufgabe 1.2. Gegeben sind die Punkte A = (2 | 3), B = (1 | −3), C = (−1 | −1).
# » # »
# »
a) Berechne die Vektoren AB, BA und BC und
stelle sie grafisch dar.
b) Berechne den Abstand zwischen den Punkten
A und C, sowie den Abstand zwischen den
Punkten B und C.
c) Bestimme rechnerisch und grafisch zwei ver# »
schiedene Normalvektoren zum Ortsvektor OA.
Datum: 18. Mai 2017.
1
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
−3
~
Aufgabe 1.3. Gegeben sind die Vektoren ~a = ( −2
1 ) und b = ( b2 ). Berechne jenen Wert b2 , sodass die
beiden Vektoren normal zueinander stehen. Für welche Werte ist der eingeschlossene Winkel spitz,
für welche stumpf?
Aufgabe 1.4. Von einem Parallelogramm sind die Punkte A = (2 | 3), B = (−1 | −1) und
C = (1 | −4) gegeben.
– Bestimme die Koordinaten des fehlenden Eckpunkts D grafisch und rechnerisch.
– Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.
3+x
Aufgabe 1.5. Gib alle möglichen Werte x ∈ R an, sodass die Vektoren ( 3−x
7 ) und ( 1 ) normal
zueinander stehen.
Aufgabe 1.6. Die geradlinige Schiffsroute zweier Schiffe ist in Parameterdarstellung gegeben:
Die Position des ersten Schiffs zum Zeitpunkt t ≥ 0 (in Sekunden) beträgt
7 ) + t · ( 0 ).
X = ( −10
1
Das zweite Schiff befindet sich zum Zeitpunkt s ≥ 0 (in Sekunden) im Punkt
1
X = ( −9
50 ) + s · ( −2 ).
Für alle Koordinatenangaben gilt: 1 Einheit entspricht 5 m.
a) Berechne die Geschwindigkeit der beiden Schiffe in m/s.
b) Berechne jenen Punkt, in dem sich die beiden Schiffsrouten kreuzen.
c) Sollten sich die Zeitpunkte, an denen die Schiffe den Schnittpunkt erreichen, um weniger als
8 Sekunden unterscheiden, kommt es zu einer Kollision.
Begründe, ob sich die beiden Schiffe auf Kollisionskurs befinden.
Aufgabe 1.7. Ein Vogel fliegt vom Punkt A = (−1 | 8) geradlinig zum Punkt B = (7 | 2).
Berechne seine Position P , nachdem er 30% der Flugstrecke zurückgelegt hat.
2
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Aufgabe 1.8.
Brieftauben werden bei Wettkämpfen an einen Ort gebracht, von dem sie
selbstständig wieder zurück nach Hause fliegen. Bei der vorliegenden Aufgabe wird angenommen,
dass Brieftauben stets den kürzesten Weg nach Hause suchen.
Die nachstehende Grafik zeigt einige Städte in Oberösterreich, in denen es Taubenzüchter/innen
gibt, in einem Koordinatensystem. Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einer
Entfernung von 10 Kilometern.
a) Eine Taube wird in Freistadt losgelassen und fliegt auf direktem Weg nach Steyr.
– Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Vektors (Pfeil von Anfangspunkt zu Endpunkt des
Fluges), der die Flugstrecke der Taube beschreibt.
b) Eine Brieftaube fliegt von Ried i. I. in ihre Heimatstadt. Dieser Flug wird durch den Vektor
#»
v = ( 83 ) beschrieben.
– Lesen Sie die Heimatstadt dieser Brieftaube ab.
– Berechnen Sie den Betrag des Vektors #»
v.
c) Eine Taube startet in Linz. Sie fliegt eine Strecke von 67,08 km Länge in Richtung des Vektors ( −1
−2 ).
– Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Vektors, den die Taube von Linz bis zu ihrem Ziel
entlangfliegt. Geben Sie die Koordinaten dabei in den Längeneinheiten des obigen Koordinatensystems an.
3
Mathematik macht Freu(n)de
Aufgabe 1.9.
Vektorrechnung in der Ebene
Es findet ein Fahrradrennen statt.
Die Rennstrecke führt geradlinig von A über B nach C.
C hat die Koordinaten (8 | y0 ).
2 )
Die Richtung von B nach C ist durch den Vektor ( 1,5
gegeben.
– Berechnen Sie die Länge des Weges von A nach B.
– Zeichnen Sie den Punkt C in die nebenstehende Grafik
ein.
# »
# »
– Beschreiben Sie, was mit dem Ausdruck − AB + BC
berechnet wird.
Aufgabe 1.10.
Ein Segelboot startet im Punkt R und fährt geradlinig zum Punkt C. Dort
findet eine Kursänderung statt, um den Punkt D zu erreichen.
– Lesen Sie die Koordinaten des Vektors #»
c ab.
– Zeichnen Sie den Punkt D ein, der ausgehend vom
#»
−1 ) angefahren wird.
Punkt C mit dem Vektor d = ( −0,5
#»
– Berechnen Sie das Skalarprodukt #»
c · d.
– Interpretieren Sie dieses Skalarprodukt geometrisch.
Aufgabe 1.11. Forme die Gerade
−2
X = ( −1
5 )+t·( 3 )
von der Parameterdarstellung um in
a) eine allgemeine Geradenform a · x + b · y = c.
b) die Normalform y = k · x + d.
4
#»
1 #»
−2
1.1 a) 2 · #»
a = ( −6
b) − b = ( −4
) c) · b = ( 21 )
4 )
2
# »
# »
# »
−1
1.2 a) AB = ( −6
), BA = ( 61 ), BC = ( −2
2 )
√
# »
# »
b) |AC| = 5, |BC| = 8
#»=
c) # » =
nL
( −3
2 ),
nR
= 4,
x2
#»
d) #»
a + b = ( −1
6 )
#»
−5
e) #»
a − b = ( −2
)
#»
f) b − 2 · #»
a = ( 08 )
3
( −2
)
1.3 Rechter Winkel: b2 = −6,
1.4 D = (4 | 0),
1.5
x1
5
Spitzer Winkel: b2 > −6,
Stumpfer Winkel: b2 < −6
A = 17
= −4
1.6 a) v1 = 5 m/s,
v2 = 11,18... m/s
b) S = (7 | 18)
c) Das erste Schiff befindet sich nach 28 Sekunden bei S, das zweite Schiff nach 16 Sekunden. Da sich die Zeitpunkte
um 12 Sekunden unterscheiden, befinden sich die Schiffe nicht auf Kollisionskurs.
1.7 P = ( 1,4 )
6,2
# »
−1
1.8 a) F S = ( −5
),
b) Freistadt (8 | 6), | #»
v | = 8,544...,
c)
6,708
√
5
−1
−3
· ( −2
) ≈ ( −6
)
# »
|AB| = 10,198... km
1.9
# » # »
# »
−(AB + BC) = CA.
Es wird also der Vektor vom Punkt C zum Punkt A berechnet.
#»
1
c = ( −2
)
#»
1.10 #»
c · d =0
=⇒ Die beiden Vektoren stehen normal zueinander.
1.11 a) 3 · x + 2 · y = 7
b) y = −
7
3
·x+
2
2
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
2. Vektorrechnung in der Ebene
Die Quadrate, aus denen sich das folgende Raster zusammensetzt, haben Seitenlänge 1:
1) Berechne die Seitenlängen a, b und c mit dem Satz von Pythagoras.
2) Berechne die Winkel α, β und γ mit dem Cosinussatz.
Um den Weg von einem Punkt A zu einem anderen Punkt B zu beschreiben, brauchen wir die exakten
Koordinaten der Punkte nicht zu kennen. Uns kümmert nur, um wie viel sich die Koordinaten auf
dem Weg von A nach B verändern. In obigem Fenster sieht das so aus:
Bewege dich horizontal1 um +24 Einheiten, und dann vertikal2 um +7 Einheiten.
Die Anleitung für eine solche Verschiebung fassen wir kurz in einem sogenannten Vektor
#»
v = ( +24
+7 )
zusammen. Die Zahlen, die den Vektor bilden, heißen die Komponenten des Vektors. Der Vektor
beschreibt, wie wir einen beliebigen Anfangspunkt zu einem Endpunkt verschieben. Der Pfeil von
Anfangspunkt zum Endpunkt ist eine Darstellung des Vektors.
1
2
Himmel und Meer treffen sich am Horizont, besonders in kitschigen Texten.
Im Mittelpunkt des Filmklassikers „Vertigo“ von A. Hitchcock steht ein Polizist mit Höhenangst.
6
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Zu jedem Vektor gibt es unendlich viele Pfeile, die ihn darstellen:
Und zwar genau einen Pfeil für jeden möglichen Anfangspunkt.
Vektoren sind Zahlenpaare, mit denen wir auf die folgende Art und Weise rechnen.
Vektorrechnen
#» = ( w1 ) und r ∈ R vereinbaren wir folgende Operationen:
Für Vektoren #»
v = ( vv12 ), w
w2
#» = ( v1 ) + ( w1 ) = ( v1 +w1 )
• Addition zweier Vektoren: #»
v +w
v2
w2
v2 +w2
• Vielfaches eines Vektors:
1
r · #»
v = r · ( vv12 ) = ( r·v
r·v2 )
Wir können uns das mit Verschiebungspfeilen vorstellen, müssen das aber nicht. Du wirst sehen,
dass sich Vektorrechnen in vielen Bereichen aufdrängt, z.B. in der Mechanik oder der Ökonomie.
Geometrische Interpretation der Vektoraddition
#» einem HinErkläre, warum die Verschiebung durch den Vektor #»
v +w
#» entspricht.
tereinanderausführen der Verschiebungen durch #»
v und w
Richtung und Orientierung
#» haben die gleiche Richtung, wenn es eine Zahl r 6= 0 gibt, sodass
Zwei Vektoren #»
v und w
#»
#»
v = r · w.
Sie haben sogar die gleiche Orientierung, wenn es eine Zahl r > 0 gibt, sodass
#»
#»
v = r · w.
In beiden Fällen ist der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors.
7
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Geometrische Interpretation des Skalierens
Sei #»
v = ( vv12 ) ein Vektor. Beachte, dass
2 · #»
v = #»
v + #»
v
3 · #»
v = #»
v + #»
v + #»
v.
Siehst du das im Bild? Wie sieht ein Pfeil zu
1 #»
·v
2
aus?
Bei r· #»
v wird der Vektor #»
v um den Faktor r skaliert. Dabei bleibt
die Richtung dieselbe. Der Vektor wird gestreckt oder gestaucht.
1
1
v + · #»
v = #»
v?
Siehst du ein, dass · #»
2
2
Zeichne einen Pfeil für (−1) · #»
v.
Die Richtung bleibt gleich, aber die Orientierung ändert sich.
Vektor und Gegenvektor
Jeder Vektor #»
v = ( vv12 ) hat einen sogenannten Gegenvektor
#» = ( −v1 ).
−v
−v2
Das ist wie bei der Zahl 42 und ihrer Gegenzahl −42. Das „−“ ist ein Vorzeichen.
Die Summe von Vektor und Gegenvektor ergibt den Nullvektor:
#»
1
v + (− #»
v ) = ( vv12 ) + ( −v
−v2 ) =
v1 +(−v1 )
v2 +(−v2 )
0
1
= ( vv12 −v
−v2 ) = ( 0 ).
Geometrische Interpretation des Gegenvektors
Zeichne zum Vektor #»
v seinen Gegenvektor − #»
v ein.
Es ist also − #»
v = (−1) · #»
v , genauso wie −42 = (−1) · 42.
Subtraktion zweier Vektoren
#» = #»
#» Freilich ist das einfach
Genau wie bei Zahlen vereinbaren wir #»
v −w
v + (− w).
#» − w
#» = ( v1 ) + ( −w1 ) = ( v1 −w1 ).
v
v2
−w2
v2 −w2
8
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Geometrische Interpretation der Vektorsubtraktion
#» grafisch darzustellen, gibt es zwei Möglichkeiten:
Um #»
v −w
#» = #»
#»
1) #»
v −w
v + (− w)
#» + ( #»
#» = #»
2) w
v − w)
v
#» dazu.
Wir zählen zu #»
v den Gegenvektor von w
#» auf #»
Wieviel fehlt von w
v?
Erkläre die beiden Möglichkeiten anhand der Skizze.
Das Wort Skalar wird uns beim Vektorrechnen immer wieder begegnen. Es kommt vom lateinischen
Wort scala für Leiter. Kannst du dir denken, wie in der Mathematik aus Skalar das Fremdwort der
Wahl für Zahl wurde? Es ist uns wichtig, dass du Skalare aufmerksam von Vektoren unterscheidest.
Betrag eines Vektors
Für die Länge („Betrag“) eines Vektors #»
v schreiben wir | #»
v |.
#»
v1
Erkläre, warum die Länge eines Vektors v = ( v2 ) wie folgt berechnet werden kann:
q
#»| = v 2 + v 2 .
|v
1
2
Betrag vom Vielfachen eines Vektors
Sei #»
v = ( vv12 ) und r ∈ R ein Skalar.
r·v1
Berechne die Länge von r · #»
v = ( r·v
) und vergleiche mit der Länge von #»
v . Schließe daraus, dass
2
|r · #»
v | = |r| · | #»
v |.
Warum brauchen wir rechts den Absolutbetrag von r?
Einheitsvektor
Jeden Vektor mit Länge 1 nennen wir auch Einheitsvektor. Erkläre, warum der Vektor
1
v#»0 = #» · #»
v
|v|
ein Einheitsvektor ist, der die gleiche Richtung und Orientierung wie #»
v hat.
Erkläre, weshalb der Vektor t · v#»0 die Länge t hat (t ≥ 0).
9
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
4 ) hat,
Beispiel 2.1. Berechne jenen Vektor, der die gleiche Richtung und Orientierung wie #»
a = ( −3
aber die Länge 7.
Lösung. Die Länge von #»
a beträgt
Der Einheitsvektor
| #»
a| =
a#»0 =
√
42 + 32 = 5.
1
5
4 ) =
4/5
· ( −3
−3/5
hat die gleiche Richtung und Orientierung wie #»
a , aber Länge 1.
Der Vektor
28/5
7 · a#»0 = −21/5
hat also die gleiche Richtung und Orientierung wie #»
a , aber Länge 7.
#»
#»
#»
1
1
−1
Aufgabe 2.2. Gegeben sind die Vektoren #»
a = ( −1
2 ), b = ( 1 ), c = ( −1 ) und d = ( −2 ).
Stelle ausgehend vom Punkt H die folgende Verschiebung grafisch dar:
#»
#»
#»
2 · #»
a + b + #»
c + b + #»
c +2· d
Kontrolliere das Ergebnis rechnerisch.
#» und #»
#» grafisch dar.
Aufgabe 2.3. Stelle die Vektoren #»
v +w
v −w
10
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Normalvektoren
Du stehst am Punkt P und machst dich bereit, dem Vektor #»
v = ( 42 ) zu folgen.
Du hast dir das auch gut überlegt: Zuerst +4 Einheiten horizontal, dann +2 Einheiten vertikal.
a) Du bist wieder einmal sprunghaft und drehst dich um 90◦
„nach links“ (gegen den Uhrzeigersinn), bevor du die eingeübten Schritte tust. Du gehst also
Einheiten in
Richtung, und dann
Einheiten in
Richtung.
#»
Zeichne den Verschiebungsvektor vL ein und schreibe ihn als
Zahlenpaar an:
v#»
L =
b) Wie bei a), nur dass du dich spontan um 90◦ „nach rechts“ (im Uhrzeigersinn) drehst. Zeichne
» in der Skizze ein und schreibe ihn als Zahlenpaar an:
den Verschiebungsvektor v#R
Die beiden Vektoren
»=
v#R
#»
v2
−v2
v# »
L = ( v1 ) und vR = ( −v1 )
#».
stehen im rechten Winkel auf #»
v = ( vv12 ). Wir nennen sie daher auch Normalvektoren von v
Skalarprodukt zweier Vektoren
#» = ( w1 ) ist
Das Skalarprodukt zweier Vektoren #»
v = ( vv12 ) und w
w2
#» · w
#» = ( v1 ) · ( w1 ) = v · w + v · w .
v
1
1
2
2
v2
w2
Rechne nach, dass für jeden Vektor #»
v = ( vv12 ) folgende Gleichheit gilt:
#»
v · #»
v = | #»
v |2 .
Aufgabe 2.4. Berechne das Skalarprodukt der angegebenen Vektoren.
#»
#»
a· b =
#»
#»
c ·d =
#»
#»
e ·f =
#»
#»
g ·h =
11
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Cosinussatz
Erinnere dich an den Cosinussatz, der für beliebige Dreiecke gilt:
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(γ)
Erkläre mit dem Cosinussatz folgende beiden Aussagen:
1) Wenn γ = 90◦ ist, dann gilt: c2 = a2 + b2 .
2) Wenn γ 6= 90◦ ist, dann gilt: c2 6= a2 + b2 .
Gibt es im Dreieck mit Seitenlängen 4, 6 und 7 einen rechten Winkel?
Skalarprodukt und Winkel
#» so dar, dass sie den gleichen AnfangsWir stellen zwei Vektoren #»
v und w
punkt haben. Wie können wir den eingeschlossenen Winkel ϕ berechnen?
#» und #»
#» spannen jedenfalls ein Dreieck auf. Erkläre, warum also
Die Vektoren #»
v, w
v −w
#» 2 = | #»
#» 2 − 2 · | #»
#» · cos(ϕ).
| #»
v − w|
v |2 + | w|
v | · | w|
Rechne nach, dass
#» 2 = (v − w )2 + (v − w )2
| #»
v − w|
1
1
2
2
#» 2 = v 2 + v 2 + w2 + w2 .
| #»
v |2 + | w|
1
Folgere daraus
2
1
und
2
#» 2 = | #»
#» 2 − 2 · #»
#»
| #»
v − w|
v |2 + | w|
v ·w
und erkläre damit folgende Aussage:
#» und w
#» eingeschlossene Winkel ϕ erfüllt
Der von zwei Vektoren v
#» · w
#»
v
cos(ϕ) = #»
#» .
| v | · |w|
#» und #»
#» ein rechtwinkeliges Dreieck?
Wann bilden #»
v, w
v −w
#» und w
#» stehen genau dann im rechten Winkel zueinander, wenn
Zwei Vektoren v
#» · w
#» = 0.
v
12
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
#» = ( −1 ) eingeschlossenen Winkel rechnerisch und
Aufgabe 2.5. Bestimme den von #»
v = ( 52 ) und w
2
grafisch.
Vorzeichen des Skalarprodukts
Erinnere dich daran, dass
(Definition von Cosinus im Einheitskreis)
cos(ϕ) > 0,
falls 0◦ ≤ ϕ < 90◦ ,
cos(ϕ) = 0,
falls ϕ = 90◦ ,
cos(ϕ) < 0,
falls 90◦ < ϕ ≤ 180◦ .
Leite daraus einen Schnelltest ab, wie du nur durch Berechnung des Skalarprodukts feststellen
kannst, ob zwei Vektoren einen spitzen, rechten oder stumpfen Winkel einschließen.
Normalprojektion
Nicht nur das Vorzeichen, sondern auch der Betrag des Skalarprodukts hat eine geometrische
#» dargestellt, der durch Normalprojektion von
Bedeutung. In der Skizze ist der Vektor nor~v w
#» auf #»
w
v entsteht:
#» schließen einen spitzen Winkel ϕ ein.
Die Vektoren #»
v und w
Erkläre die folgende Umformung:
#»
#» = | #»
#» · cos(ϕ) = | #»
#»
v ·w
v | · | w|
v | · | nor~v w|
#» die Länge 2,
Hat zum Beispiel #»
v die Länge 5 und nor~v w
#» den Betrag 10.
dann hat das Skalarprodukt von #»
v und w
Diese geometrische Interpretation des Skalarprodukts wird uns noch öfters begegnen.
#» und welche Länge hat er?
In welche Richtung zeigt der Vektor nor~v w
Erkläre damit die folgende Formel:
#» · w
#»
v
#»
(1)
nor~v w = #» · v#»0 ,
|v |
wobei v = #»1 · #»
v der Einheitsvektor von #»
v ist. (Gleiche Richtung und Orientierung wie #»v , aber Länge 1.)
0
|v|
Was passiert, wenn ϕ = 90◦ ist?
Die Formel (1) gilt selbst dann, wenn der Winkel ϕ stumpf ist:
Erinnere dich, dass cos(180◦ − ϕ) = − cos(ϕ). (Einheitskreis)
Erkläre, weshalb in diesem Fall
#» #»
#» = − cos(ϕ) · | w|
#» = − v · w
| nor~v w|
| #»
v|
gilt. Womit hebt sich das Vorzeichen für Formel (1) wieder auf?
13
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Geometrische Interpretation des Skalarprodukts
#» Erkläre, warum der Vektor #»
Gegeben sind Vektoren #»
v und w.
x in der Skizze die Gleichung
#»
#» = #»
v ·w
v · #»
x
erfüllt.
Diese Gleichung hat viele Lösungen #»
x . Wie würdest du
die Lösungen der Gleichung geometrisch beschreiben?
Arbeit als Skalarprodukt
Wirkt auf einen Körper entlang einer geraden Strecke der Länge s eine konstante Kraft F in
Wegrichtung, dann ist
W =F ·s
die dabei verrichtete Arbeit (Work). Wird ein Körper um den Vektor #»
s verschoben, während
#»
die konstante Kraft F wirkt, dann ist die dabei verrichtete Arbeit
#»
W = F · #»
s.
Beispiel 2.6. Eine Straßenbahn wird von einem Einsatzfahrzeug abgeschleppt.
m
Auf einem geraden Abschnitt in Richtung #»
s = ( 40
20 m ) wirkt
#»
2,5 kN ).
auf die Straßenbahn eine konstante Kraft F = ( −0,5
kN
#»
In Wegrichtung wirkt dann also genau die Kraft nor~s F .
Die dabei verrichtete Arbeit ist somit
#»
#»
W = | nor~s F | · | #»
s | = F · #»
s = 90 kJ.
(1 J = 1 N · m)
nor~s F~
~s
·
F~
Zwei verschiedene Multiplikationen
1
Die Definition des Skalarprodukts zweier Vektoren ( vv12 ) und ( w
w2 ) scheint auf den ersten Blick
·w1
sehr willkürlich. Das Ergebnis ist nicht der Vektor ( vv21 ·w
), sondern die Zahl („Skalar“)
2
1
( vv12 ) · ( w
w2 ) = v1 · w1 + v2 · w2 .
Wir müssen das Skalarprodukt sorgsam vom skalaren Vielfachen eines Vektors unterscheiden:
#» werden zwei Vektoren multipliziert.
• Beim Skalarprodukt #»
v ·w
Das Ergebnis v1 · w1 + v2 · w2 ist ein Skalar.
1
• Bei r· #»
v werden ein Skalar und ein Vektor multipliziert. Das Ergebnis ( r·v
r·v2 ) ist ein Vektor.
14
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
3. Koordinatengeometrie
Bisher haben wir Vektoren als Verschiebungen in einem Raster veranschaulicht. Ist kein Anfangspunkt gegeben, können wir die gleiche Wegbeschreibung von jedem beliebigen Punkt aus einzeichnen.
Wir erweitern das Raster zu einem Koordinatensystem, indem wir einen Koordinatenursprung O =
(0 | 0) wählen. Jeder Punkt in der Zahlenebene ist dann durch seine zwei Koordinaten festgelegt.
„Spitze minus Schaft – Regel“
# »
Für den Vektor mit Anfangspunkt A und Endpunkt B schreiben wir auch kurz AB.
# »
Betrachte die beiden Punkte A = (2 | 1), B = (5 | 3) und den zugehörigen Vektor AB = ( 32 ).
Erkläre, warum für alle Punkte A = (a1 | a2 ) und B = (b1 | b2 )
# »
1
AB = ( bb12 −a
−a2 )
gilt.
Wie üblich bei Pfeilen heißt der Anfangspunkt A Schaft und der Endpunkt B Spitze.
Rechne die folgenden Eigenschaften von Vektoren nach:
# » # » # »
1) AB + BC = AC
# »
# »
2) AB = −BA
Erkläre anhand von Verschiebungen in der Skizze.
Befindet sich der Anfangspunkt im Koordinatenursprung O = (0 | 0), nennen wir den Vektor
# »
# »
OB = ( bb12 ) auch Ortsvektor. Zwischen dem Punkt B = (b1 | b2 ) und dem Ortsvektor OB = ( bb12 )
unterscheiden wir anhand der Schreibweise in Zeilen- bzw. Spaltenform.
Rechne nach, dass
# » # » # »
AB = OB − OA.
15
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Beispiel 3.1. Berechne den Abstand der beiden Punkte A = (3 | −2) und B = (−1 | 1).
Lösung. Der Vektor von A nach B – also die pfeilgerade Verschiebung, um von A nach B zu gelangen
– ist
# » # » # »
3
−4
AB = OB − OA = ( −1
1 ) − ( −2 ) = ( 3 ).
Der Abstand der beiden Punkte ist die Länge des Vektors:
q
# »
AB = (−4)2 + 32 = 5.
Du befindest dich im Punkt A = (1 | 2) und folgst dem Vektor #»
v = ( 42 ). Danach befindest du
dich im Punkt B = (5 | 4):
# »
Erkläre, warum man den Ortsvektor OB berechnen kann, indem
# »
man zum Ortsvektor OA den Vektor #»
v dazu addiert.
# »
# »
Man schreibt auch gerne A + #»
v = B anstelle von OA + #»
v = OB
und liest „der Punkt A versetzt um den Vektor #»
v ergibt den
Punkt B“ – oder schreibt im Interesse der Übersicht einfach
( 12 ) + ( 42 ) = ( 54 ) „Anfangspunkt + Vektor = Endpunkt“.
Man meint dabei immer dasselbe. Entscheide du, was dir am liebsten ist.
Beispiel 3.2. Von einem Parallelogramm sind die Eckpunkte A = (−2 | −5), B = (5 | −4) und
C = (9 | 2) bekannt. Berechne den vierten Eckpunkt D und den Flächeninhalt des Parallelogramms.
Lösung.
# »
# »
4
2
D = A + AD = A + BC = ( −2
−5 ) + ( 6 ) = ( 1 )
=⇒ D = (2 | 1)
# »
# »
AB = ( 71 ), AD = ( 46 )
 # » # » 
!
AB · AD 
34

√
ϕ = arccos # » # » = arccos √
50 · 52
|AB| · |AD|
=⇒ ϕ = 48,17...◦
# » # »
A = a · h = |AB| · |AD| · sin(ϕ) = 38
16
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Parameterdarstellung einer Gerade
Eine Gerade kann durch einen Punkt und einen Richtungsvektor eindeutig festgelegt werden.
Der Punkt A = (3 | 1) und der Richtungsvektor #»
v = ( 12 ) legen zum Beispiel die dargestellte
Gerade g fest:
Genau die gleiche Gerade kann auch durch andere Kombinationen von Punkt und Richtungsvektor erzeugt werden, zum
Beispiel A = (5 | 5) und #»
v = ( −2
−4 ).
Kannst du weitere Beispiele für Punkte und Richtungsvektoren angeben, die die gleiche Gerade festlegen?
Welche Punkte kommen in Frage? Was haben alle möglichen
Richtungsvektoren gemeinsam?
Allgemein liegt ein Punkt X genau dann auf der Gerade g, wenn es eine Zahl t ∈ R gibt, sodass
(2)
#».
X =A+t· v
Die Zahl t wird dann auch Parameter genannt, und (2) eine Parameterdarstellung der
Gerade.
Eine mögliche Parameterdarstellung von g ist also
X = ( 31 ) + t · ( 12 ).
Der Punkt P = (5 | 5) liegt auf der Gerade, weil
A + 2 · #»
v = P,
und der Punkt Q = (2 | −1) liegt auf der Gerade, weil
A + (−1) · #»
v = Q.
Rechne nach, dass der Punkt R = (3,5 | 2) auf der Gerade
liegt.
Erkläre, wie du aus einem Richtungsvektor die Steigung der Gerade berechnen kannst.
17
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Beispiel 3.3. Gegeben ist eine Gerade g in Parameterdarstellung:
2
g : X = ( −3
4 ) + t · ( −2 ).
Bestimme rechnerisch und grafisch, ob die Punkte P = (4 | −3) bzw. Q = (3 | −1) auf der Gerade
liegen.
Lösung.
Wenn P auf der Gerade liegt, muss es einen passenden
Wert für t geben, sodass
4 ) = ( −3 ) + t · ( 2 ).
( −3
4
−2
Aus der ersten Komponente können wir den einzigen Kandidaten für t berechnen:
4 = −3 + 2 · t =⇒ t = 3,5.
Mit dem Parameterwert t = 3,5 landen wir im Punkt
2
4
( −3
4 ) + 3,5 · ( −2 ) = ( −3 ),
also liegt P = (4 | −3) auf der Gerade.
Gibt es einen Wert für t, mit dem wir in Q = (3 | −1) landen? Also suchen wir eine Lösung von
3 ) = ( −3 ) + t · ( 2 ). Aus der ersten Komponente erhalten wir
( −1
4
−2
3 = −3 + t · 2 =⇒ t = 3
2
3
Mit t = 3 landen wir aber in ( −3
4 ) + 3 · ( −2 ) = ( −2 ), also liegt Q nicht auf der Gerade.
Beispiel 3.4. Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden
1
1
1
g : X = ( −2
−1 ) + t · ( 1 ) und h : X = ( 5 ) + s · ( −2 ).
Lösung. Wir suchen einen Wert für t und einen Wert für s, sodass
1
1
1
( −2
−1 ) + t · ( 1 ) = ( 5 ) + s · ( −2 ).
Das lineare Gleichungssystem
I : −2 + t = 1 + s
II : −1 + t = 5 − 2 · s
hat die Lösung s = 1, t = 4.
Durch Einsetzen in die Parameterdarstellung erhalten wir den Schnittpunkt S:
1
2
1
1
S = ( −2
−1 ) + 4 · ( 1 ) = ( 3 ) (= ( 5 ) + 1 · ( −2 ))
18
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
Wird der Minigolfball in das Loch fallen, wenn er die richtige Geschwindigkeit hat?
Beantworte die Frage grafisch und rechnerisch:
B=
L=
#»
v =
Der Punkt P = (3 | 1) und der Vektor #»
n = ( 21 ) sind gegeben.
# »
Für welche Punkte X = (x | y) steht #»
n normal auf den Verbindungsvektor P X = ( x−3
y−1 )?
Wir lösen dazu die Gleichung
# »
#»
n · P X = 0,
also
( 21 ) · ( x−3
y−1 ) = 0
2 · (x − 3) + 1 · (y − 1) = 0
2·x+1·y =7
#»
Komponenten von n
y = −2 · x + 7
Diese Punkte bilden also eine Gerade – zeichne sie ein.
Weise zurückblickend, war die Rechnung wirklich nötig?
Normalvektorform einer Gerade
Die Lösungen der Gleichung
# »
#» · P
n
X=0
#»
n 6= ( 00 )
sind genau die Punkte auf jener Gerade, die durch den Punkt P verläuft, und die normal auf den
Vektor #»
n steht. Diese Darstellung der Gerade nennen wir daher auch Normalvektorform.
19
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
4. Weitere Aufgabenstellungen
#»
Aufgabe 4.1. Gegeben sind die Vektoren #»
a = ( 43 ) und b = ( 14 ).
a)
b)
c)
d)
e)
Berechne den Einheitsvektor a#»0 .
Berechne den Vektor 3 · #»
a und gib seine Länge an.
Gib den Vektor in Richtung #»
a mit der Länge 4 an. (Der Vektor soll auch die gleiche Orientierung wie #»a haben.)
#»
#»
Berechne die Länge der Normalprojektion nor~a b von b auf #»
a.
#»
Berechne den Vektor nor~a b .
#» halbiert.
Aufgabe 4.2. Wir suchen einen Vektor, der den Winkel zwischen #»
v und w
Erkläre anhand der Skizze, warum
#»
v#»0 + w
0
in Richtung dieser Winkelsymmetrale zeigt.
Aufgabe 4.3.
Zwei Personen halten einen Gegenstand an zwei Seilen wie in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
#»
#»
Beide halten das Seil unter demselben Winkel zur Horizontalen, also gilt: |F1 | = |F2 |.
#»
#»
Für die Kraft FR gilt: |FR | = 50 N
#»
– Stellen Sie eine Funktion für den Betrag des Vektors F1 in Abhängigkeit vom Winkel α auf.
– Zeichnen Sie den Graphen der aufgestellten Funktion für 10◦ < α < 90◦ .
20
Mathematik macht Freu(n)de
Vektorrechnung in der Ebene
#»
Aufgabe 4.4.
Durch eine Kraft F Zug = ( 260
140 ) Newton (N ) wird eine Last von A nach B
und danach von B nach C gezogen (siehe nachstehende Skizze).
#»
– Berechnen Sie die durch die Kraft F Zug an der Last verrichtete Arbeit.
Aufgabe 4.5. Der Flächeninhalt eines Parallelogramms mit Seitenlänge a und zugehöriger Höhe ha
kann bekannterweise mit A = a · ha berechnet werden.
a) Begründe, warum der Flächeninhalt des von #»
v = ( vv12 )
#» = ( w1 ) aufgespannten Parallelogramms
und w
w2
#» · sin(ϕ)
A = | #»
v | · | w|
beträgt.
b) Begründe, warum wir den Flächeninhalt noch einfacher mit
A = |v1 · w2 − v2 · w1 |
berechnen können.
#» und Pythagoras zur Berechnung der Höhe.)
(Hinweis: Verwende die geometrische Interpretation von #»
v ·w
Aufgabe 4.6. Schau dir die Landkarte von Oberösterreich nochmals an (Aufgabe 1.8 auf S. 3).
Hast du eine Idee, wie man anhand der Landkarte die Fläche Oberösterreichs näherungsweise bestimmen kann. Wie groß ist sie mindestens bzw. höchstens? Recherchiere die tatsächliche Fläche im
Internet und vergleiche sie mit deinem Ergebnis. Wie könntest du die Abschätzungen verbessern?
=⇒ Flächeninhalt liegt zwischen 8500 km2 und 15 900 km2 .
4.6 Enthaltene Quadrate: 85
p
=
p
=
p
=
Flächeninhalt pro Quadrat: 100 km2
(v1 · w2 − v2 · w1 )2 = |v1 · w2 − v2 · w1 |
v12 · w22 + v22 − w12 − 2 · v1 · v2 · w1 · w2 =
#» 2 =
(v12 + v22 ) · (w12 + w22 ) − ( #»
v · w)
A = | #»
v|·
b)
4.5 a) a = | #»
v |,
Überlappende Quadrate: 159
p
#» 2 − | nor w|
#» 2 =
| w|
~
v
p
#» 2 − (| #»
#» 2 =
| #»
v |2 · | w|
v | · | nor~v w|)
ha
4.4 W = 55 400 N · m = 55 400 J
#» · sin(ϕ)
= | w|
#»
25 N
4.3 |F1 (α)| =
sin(α)
#»
#»
#»
12
4/5
16/5
64/25
d)
16/5,
e) a#»0 · 16
,
b)
3
·
a
=
(
c)
4
·
a
4.1 a) a0 = 3/5
= 48/25
0 = 12/5 ,
9 ), |3 · a | = 15,
5
# » aufgespannten Raute halbiert der Vektor v#» + w
# » den Winkel.
4.2 Als Diagonale der von v#»0 und w
0
0
0
Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.
http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at