1Semester Mathe

Mathematik
VWA Betriebswirtschaft 1 Semester
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Dokumentersteller: .......... Carsten Engel
Verändert von: ............... Carsten Engel
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3
1
Formelsammlung
4
2
Eigenschaften von Graphen
7
3
Differenzieren
12
4
Markformenlehre
22
5
Elastizität
24
6
Kostenrechnung
33
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Seite|4
1 Formelsammlung
1.1 Formelsammlung Differenzieren
Funktion
I
=
Ableitung
+
Beispiel
′=
= 2 +3
′=2
=2
II
=
= ^2
′=
2
= 2
′=2
=3
′=3
=
III
=
IV
=
∓
∗
= ′
+
=
∓ ′
=
∗
+
=4∗
=2 +3
=4∗3
′ = 12
+2
Konstante Summanden fallen beim differenzieren weg
Konstante Faktoren bleiben beim differenzieren erhalten
1.2 Notwendige- und hinreichende Bedingungen für die Kurvendiskussion
notwendige Bedingung
hinreichende Bedingung
ob Maximalwert vorliegt
=0
′′ < 0
ob Minimalwert vorliegt
=0
> 0
ob Wendepunkt vorliegt
′ =0
≠ 0
1.3
Formelsammlung Kostenrechnung
=
Gesamtkosten
+
= "
Stückkosten
!
+ "!
wobei:
"
Grenzkosten
=
,"
=
$ % "!
=
!
a) geben den Anstieg / Ableitung der Gesamtkostenkurve an
b) geben an, um wieviel die Gesamtkosten steigen, wenn eine Einheit mehr
produziert wird.
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5
1.4 Vordruck Rezept Differenzieren
notwendige Bedingung
hinreichende Bedingung
ob Maximalwert vorliegt
=0
′′ < 0
ob Minimalwert vorliegt
=0
> 0
ob Wendepunkt vorliegt
′ =0
≠ 0
Normalform
Notwendige Bedingung -> erste Ableitung bilden
Erste Ableitung 0 setzen und nach x auflösen
-> Wo befindet sich das MIN oder MAX auf der x-Achse
Hinreichende Bedingung -> zweite Ableitung erstellen
Prüfen, wie sich ermittelter Wert im Vergleich zur MIN /
MAX Hinreichenden Bedingung verhält.
Den gefunden Wert aus der ersten Ableitung in die Funktion einsetzen um y-Koordinate des Scheitelpunkt zu finden.
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Funktionen
2 = 4
X ist eine Unbekannte -> das ist keine Funktion
=2 x ist eine Variable, y ist die von x abhängige Variable
Schreibweise: y ist eine Funktion von x ->
= ( )
Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen unabhängiger und abhängiger Variable
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7
2 Eigenschaften von Graphen
2.1 Monotonie
=
( ) = sin(
=& +3
Abbildung 1 - monoton wachsend
Abbildung 2 - monoton fallend
)
Abbildung 3 - nicht monoton
2.2 Krümmung
( )=&
5
Abbildung 4 - konkav
( )=
Abbildung 5 - konvex
&1
( ) = (x
Abbildung 6 - Hoch-, Wende- Tiefpunkt
2.3 Stetigkeit
Kf = Fixkosten
Kv(x)=variable Kosten
Abbildung 7 - sprungfixe Kosten
1,5) ∗ (x & 0,5
K(x)=Kf + Kv(x)
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2.4 Polstellen
2.4.1 Berechnung der Selbstkosten
Beispiel: Herstellung von Gummibärchen - Enkel bekommt von Oma eine Garage für 100J vermietet und produziert Gummibärchen => Fixe Kosten Kf = 100J
100 J Fixkosten für Garage müssen durch die produzierten Gummibärchen finanziert werden ->
variable Kosten =100J/Anzahl der produzierten Gummibärchen.
!
100€
x
100€/
Kf 10000J
1/100
Gummibär
1/10
Gummibär
1
Gummibär
100
Gummibär
1000
Gummibär
1000J
100J
1J
0,10J
2.4.2 Polstellengraph
Kf = Fixkosten
Kv(x) = Variable Kosten
K(x)=Kf + Kv(x)
Je mehr Bären produziert werden,
desto weniger muss ein Bär kosten
um die Miete zu bezahlen
Fixkostendegression
Abbildung 8 - Fixkostendegression
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9
2.5 Spezielle Funktionen
2.5.1 Geraden
2.5.1.1 Normalform
2
3
Wobei 2 die Steigung ist
(pro ein y wird x 2 größer)
& +2
6
und
3 die Höhe des Schnittes der YAchse ist (y-Achsen-Abschnitt)
Abbildung 9 - Gerade
∗
Wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
2.5.1.2 Übung
3
2
= &3
• schneidet y bei +2
• Pro 1y wächst x um 3
=3 &2
2
• schneidet y bei +2
• Pro 1y wird x um 3 kleiner
= &3 & 2
• schneidet y bei -2
• Pro 1y wächst x um 3
• schneidet y bei -2
• Pro 1y wird x um 3 kleiner
Abbildung 10 - Geradensteigung und y-A-A
2.5.2 Achsenabschnitt
Auch Budget- oder Haushaltsgerade
Annahme: beliebige Teilbarkeit der Güter und Modell ohne Sparfunktion
1 Bier = 3 J = x
1 Wurstsalat = 6 J = y
Geldbeutel E = 30 J = E
3
6
30
(ist NICHT in Normalform!!!)
6 = 30 & 3 | 6
= 5 & 0,5
= &0,5 + 5
= &0,5 + 5
y-Achse wird bei +5 geschnitten
für jedes 1y wir x 0,5 kleiner
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Grüne Linien:
• für 1 y nach rechts, 0,5 x
runter
Orange Linien:
• Bei 6 Bier gehen 2
Wurstsalat
• Bei 8 Bier geht 1
Wurstsalat
Abbildung 11 - Budgetgerade
Inflation
Bier = 6 J | Wurstsalat = 12 J
Deflation
Bier = 1,5 J | Wurstsalat = 3 J
30
12
30
3
6 12 30 & 3 &0,5
2,5
1,5
3 &1,5
30
&0,5
10
rote Linie:
y-AA bei 2,5 Steigung -0,5
grüne Linie:
y-AA bei 10 Steigung -0,5
Abbildung 12 - Budgetgerade Deflation | Inflation
2.5.3 Polynome
gerade Polynome
y ist immer positiv
x ist immer positiv
x² = x * x
x³ = x * x * x
x4 = x * x * x * x
x5 = x * x * x * x * x
ungerade Polynome
^2
^3
^4
^5
^6
^7
2²=2*2
2³=2*2*2
24=2*2*2*2
25 =2*2*2*2*2
y ist immer positiv bei x > 0
y ist immer negativ bei x < 0
=4
=8
=16
=32
Polynome sind die abgekürzte Schreibform von x*x*x…
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11
x2
x3
x4
x5
-3
9
-27
81
-243
-2
4
-8
16
-32
-1
1
-1
1
-1
-1/2
1/4
-1/8
1/16
-1/32
0
0
0
0
0
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
1
1
1
1
1
2
4
8
16
32
3
9
27
81
243
Alle geraden Polynome sind
U-förmig
symmetrisch zur y-Achse
konvex
haben ihr Minimum im Ursprung
schneiden sich in y=1
Abbildung 13 - gerade Polynome
Alle ungeraden Polynome sind
S-förmig
monoton wachsend
von konkav nach konvex wechselnd
im Ursprung ist Wendepunkt
Schneiden sich bei -1 und +1
Abbildung 14 - ungerade Polynome
2.5.3.1 Standardformen von geraden Polynomen
2.5.3.2 Standardformen von ungeraden Polynomen
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3 Differenzieren
Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und damit
ein Gebiet der Mathematik. Sie ist eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der
Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differentialrechnung ist die Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen.
Hierzu dienlich und gleichzeitig Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion (auch Differentialquotient genannt), deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung
ist. Die Ableitung ist (nach der Vorstellung von Leibniz) der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt
als diejenige lineare Abbildung definiert, die unter allen linearen Abbildungen die Änderung der
Funktion lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung
der Funktion genannt.
In vielen Fällen ist die Differentialrechnung ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Bildung von mathematischen Modellen, die versuchen die Wirklichkeit abzubilden, sowie zu deren nachfolgender Analyse. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate; in den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten (z. B. Grenzkosten, Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors etc.).
Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Differenzenquotient, Differentialquotient, Differentiation, stetig differenzierbar, glatt, partielle Ableitung, totale Ableitung, Reduktion des
Grades eines Polynoms.
In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion an einer Stelle
definiert man als die Steigung der
Tangenten im Punkt
des Graphen von .
In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion für jedes
an, wie groß der lineare
Anteil der Änderung von
ist (die Änderung 1. Ordnung), wenn sich um einen beliebig kleinen Betrag
ändert. Für die exakte Formulierung dieses Sachverhalts wird der Begriff Grenzwert
(oder Limes) verwendet.
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13
3.1 Differenzieren ist eine Frage der Steigung
Abbildung 15 - Steigung einer Geraden
Im Gegensatz zu Geraden ändert sich bei Kurven die Steigung laufend.
Unter dem Anstieg bei einer gekrümmten Kurve verstehen wir den Anstieg der Tangente in einem
bestimmten Punkt der gekrümmten Kurve.
Mit Hilfsdreiecken versuchen wir uns an die
Steigung einer gekrümmten Kurve anzunähern.
St (P1) =
1
2
=>
3
5
34
54
-> das grüne Dreieck
Steigung im Punkt P1 ist das Verhältnis des
Delta aus y1-y0 durch das Delta aus x1-x0
St (P2) =
St (P3) =
1
2
1
2
=>
=>
3
5
3
5
34
54
34
54
-> das gelbe Dreieck
-> das lila Dreieck
Je kleiner die Differenz von y3 und y0 ist, desto
besser, aber eine Kurve hat viele Punkte.
Nicht jeder kann berechnet (angenähert) werden.
Abbildung 16 - Annäherung Steigung über Hilfsdreiecke
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3.2 Schreibweisen für Grenzwertberechnung
Bildung des Grenzwert von
Delta X gegen 0
lim
∆x -> 0
6
6
lim
∆x -> 0
%
%
1
2
6
6
∆ = griechisches D für Delta
= Differenz zwischen zwei Werten
%
′= ′
%
3
4
Die Schreibweisen 1 bis 4 sagen dasselbe aus. Sie sind gleichwertig.
3.3 Formelsammlung Differenzieren
Funktion
I
=
Ableitung
+
′=
Beispiel
= 2 +3
′=2
=2
II
=
= ^2
′=
2
= 2
′=2
=3
′=3
=
III
=
IV
=
∓
∗
= ′
+
=
∓ ′
∗
=
=4∗
+
=2 +3
+2
=4∗3
′ = 12
Konstante Summanden fallen beim differenzieren weg
Konstante Faktoren bleiben beim differenzieren erhalten
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15
3.4 Notwendige- und hinreichende Bedingungen für die Kurvendiskussion
notwendige Bedingung
hinreichende Bedingung
ob Maximalwert vorliegt
=0
ob Minimalwert vorliegt
0
0
0
0
ob Wendepunkt vorliegt
′
′′
0
Abbildung 17 - notw. und hinr. Bedingung für Maximale
Abbildung 18 - notw. und hinr. Bedingung für Minimale
Abbildung 19 - Wechselpunkt bei monoton steigend
Abbildung 20 - Wechselpunkt bei monoton fallend
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3.5 Übungen zur Ableitung
7
=
7
8
&2
8
&2 ∗ 7
3
:
9
3∗4
&2
&2
&2
&3
&2 ∗ 3
&2 ∗ 2
&3
10
12
&2 ∗ 11
12
&22
4
4
4
10 ∗ 10
100
;
&
;
;
2
5
:
&9
7
2∗6
&9
7
12
=
3
&5
3∗2
&5
6
-5
=
3.6 Höhere Ableitungen
=
y=
5
y'=
9
Anstieg von y
y''=
4∗5
20
Anstieg von y'
y'''=
3 ∗ 20
60
Anstieg von y''
y''''=
2 ∗ 60 120
Anstieg von y'''
y'''''=
120
Anstieg von y''''
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2
17
3.7 Min und Max Berechnung (Rezept und Beispiel)
=2
Normalform
&8
8
4 &8
Notwendige Bedingung -> erste Ableitung bilden
0
Erste Ableitung 0 setzen und nach x auflösen
-> Wo befindet sich das MIN oder MAX auf der x-Achse
0
4 &8
8
4
2
4
Hinreichende Bedingung -> zweite Ableitung erstellen
4
Prüfen, wie sich ermittelter Wert im Vergleich zur MIN / MAX Hinreichenden Bedingung verhält. (vgl. Notwendige- und hinreichende
Bedingungen für die Kurvendiskussion S.15)
0 -> MIN
2
Den gefunden Wert aus der ersten Ableitung in die Funktion einsetzen um y-Koordinate des Scheitelpunkt zu finden.
2
2
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&8
8
2∗2 &8∗2
8 & 16
8
8
0
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3.8 Übungen zur Min/Max Berechnung
4
= &2
Normalform
&4
Notwendige Bedingung -> erste Ableitung bilden
0
Erste Ableitung 0 setzen und nach x auflösen
-> Wo befindet sich das MIN oder MAX auf der x-Achse
&4
4
4
4
4
4
1
&4
Hinreichende Bedingung -> zweite Ableitung erstellen
&4
0 -> MAX
&2
Den gefunden Wert aus der ersten Ableitung in die Funktion einsetzen um y-Koordinate des Scheitelpunkt zu finden.
2
4
&2 ∗ 1
2
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4
4
0
Prüfen, wie sich ermittelter Wert im Vergleich zur MIN / MAX Hinreichenden Bedingung verhält. (vgl. Notwendige- und hinreichende
Bedingungen für die Kurvendiskussion S.15)
4
&2
4∗1
4
2
19
3.9 Wendepunkte
Bei der Betrachtung der Wendepunkte stellt sich die gleiche Frage für die erste Ableitung, wie bei
der Betrachtung des MIN/MAX der Funktion.
&3
=
Normalform
=3∗ &3
3 &3
erste Ableitung bilden
0
3
Erste Ableitung 0 setzen und nach x auflösen
-> Wo befindet sich das MIN oder MAX auf der x-Achse
3
=
zwei Lösungen
-> zwei MIN/MAX
1
&3
1
&1 | 2 = +1
3∗2
= 0 = 6
Notwendige Bedingung -> zweite Ableitung erstellen
0
Lösung = 0
Wendepunkt
0
6
Hinreichende Bedingung -> dritte Ableitung erstellen
0
0
Prüfen, wie sich ermittelter Wert der dritten Ableitung im Vergleich
zur Wendepunkt Hinreichenden Bedingung verhält. (vgl. Notwendige- und hinreichende Bedingungen für die Kurvendiskussion S.15)
Den gefunden Wert aus der ersten Ableitung in die Funktion einsetzen um y-Koordinate der Scheitelpunkte zu finden.
3
3
3
&1
&1
^3 & 3
&1^3 & 3 ∗ &1
&1 & &1 &2
= ^3 & 3
1
1^3 & 3 ∗ 1
1
3&1 2
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3.10 Übungsaufgabe Kostenkurven
=2
& 12
+ 24 + 64
variabler Anteil
( )=2∗3
Gesamtkosten:
& 12 ∗ 2 + 24 = 6
( )=
Stückkosten: "( ) =
"!( ) =
fixer Anteil
?(5)
,
5
( )
& 24
24
!( )
" ( )=
?@
5
und "!( ) =
2
& 12
+ 24
"
= 2
& 12 + 24 +
=2
?A(5)
5
variable Stückkosten
& 12 + 24
64
Gesamtstückkosten
3.10.1.1 Minimum der Grenzkosten K'(x)
( )=6
& 24
24
( ) = 12 & 24
0 = 12 & 24 => 12 = 24 =>
′′′
′′′
Erste Ableitung
9
=
=>
=2
= 12
Setze y = 0
Zweite Ableitung
> 0 => MIN
2 = 6 ∗ 2 & 24 ∗ 2 + 2 = 0
Wert der ersten Ableitung in Funktion eintragen
Minimum von K'(2) bei 0
Wendepunkt von K(x) = 2
3.10.1.2 Stückkosten einer Kostenfunktion
"
"!
2
wobei:
"
& 12
+ 24 + 64
variabler Anteil
,"
=
$ %"!
fixer Anteil
!
"!( ) =
"!
"
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2
=2
= 2
& 12
& 12 + 24
24
& 12 + 24 +
64
21
ertragsgesetzliche Kostenfunktion:
Minimum der Grenzkosten:
Minimum von K'(2) bei 0
Wendepunkt von K(x) = 2
Stückkostenfunktionen:
K'(x) = Grenzkosten
k(x) = Gesamtstückkosten
kv(x) = variable Stückkosten
Die ertragsgesetzliche Kostenkurve K(x) verläuft S-förmig. Das heißt, sie hat einen WP.
Die Grenzkostenkurve K'(x) verläuft U-förmig und hat ihr Minimum dort wo die Gesamtkostenkurve
K'(x) ihren WP hat.
Auch die Kurve der variablen Stückkosten kv(x) verläuft U-förmig; sie beginnt auf der y-Achse an
derselben Stelle wie die Grenzkosten und ihr Minimum liegt auf der Grenzkostenkurve.
Auch die Kurve der totalen Stückkosten k(x) verläuft U-förmig; auch ihr Minimum liegt auf der
Grenzkostenkurve K'(x)und sie näher sich von oben der Kurve der variablen Stückkosten kv(x) an
(Fixkostendegression)
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4 Markformenlehre
4.1 Markformen
AT
ein
wenig
viel
Beidseitigen Monopol
Eingeschränktes
Nachfragemonopol
Nachfrage Monopol
Eingeschränktes
Angebotsmonopol
Beidseitiges
Oligopol
Nachfrage
Oligopol
NE
ein
wenig
Polypol
viel
AT Monopol
Angebots
Oligopol
- vollständige
Konkurrenz
- PD=PreisDatum
4.2 Polypol
Auf dem Marktplatz stehen vier Markstände. Drei
Markstände sind bereits besetzt und die gleiche
Ware ist mit 1 J ausgezeichnet.
Bedingungen für ein Polypol
Ein Händler Bobsna hat verschlafen und kommt
zu spät auf den Markt. Um den heutigen Tagespreis zu ermitteln läuft er über den Markt.
Marktübersicht
Der Markt ist der einzige Markt der ganzen
Welt, deshalb sind Transportkosten oder Entfernungen nicht relevant
-> Punktmarkt
Alle Händler haben gleichviel Ware und das
gleiche Marketing. Auch sind die Verkäufer einander gleichartig.
Die angebotene Ware wird unter absolut identischen Bedingungen gefertigt, sodaß jedes einzelne Gut absolut vergleichbar ist
Die Käufer haben auf diesem Markt keinerlei
Verhältnis zu den Verkäufern. Sie kaufen immer
zufällig beim einen oder anderen Händler.
-> vollständige Information / vollkommene
-> gleiche Marktmacht
-> homogenität der Ware
-> Keine Käuferpräferenz
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23
Szenario 1:
Bobsna zeichnet seine Ware mit 50 ct aus. Ergebnis:
• Seine Ware ist am schnellsten verkauft
• Umsatz = ½ Umsatz der jeweiligen anderen
Händler
Szenario 2:
Bobsna zeichnet seine Ware mit 2J aus. Ergebnis:
• Seine Ware ist als letzter verkauft
• Umsatz = doppelter Umsatz der jeweiligen
anderen Händler
In einem Polypol gehen wir davon aus, dass der Preis ein Datum (von lateinisch dare ‚geben‘,
PPP datum ‚Gegebenes‘) ist und damit feststeht.
PD=Preis Datum
4.3 Angebotsmonopol
Bedingung ist Rationalverhalten
Lineare PreisAbsatzFunktion
PAF
PAF -> p=120-12x
120 Prohibitionspreis - Nachfrage ist Null
10 Sättigungsmenge - Preis ist Null
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Seite|24
5 Elastizität
Zwei Monopolisten treffen sich. Ein Monopolist von Stahl in Brasilien fragt den anderen Monopolisten für Milch in Deutschland, welche der beiden Kostenkurven die Bessere ist:
In den Wirtschaftswissenschaften ist eine Elastizität ein Maß, das die relative Änderung einer abhängigen Variablen auf eine relative Änderung einer ihrer unabhängigen Variablen angibt.
Nicht ganz korrekt, aber anschaulich ist dabei folgende Fragestellung:
Um wie viel Prozent verändert sich eine Variable y als Reaktion auf die einprozentige Änderung
der anderen Variable x? Man nennt diese relative Änderung die Elastizität von y bezüglich x oder
die x-Elastizität von y.
Betrachtet man beispielsweise die relative Änderung der Nachfrage bei einer relativen Änderung
des Preises, ist das die Nachfrageelastizität bezüglich des Preises oder die Preiselastizität der
Nachfrage, auch kurz Preiselastizität genannt.
Die Motivation für die Verwendung der Elastizität ergibt sich daraus, dass die absolute Änderung
der abhängigen Variablen nur unzureichend über die Struktur der Reaktion informiert.
Es wird beispielsweise ein Produkt betrachtet, dessen Preis um 1 J erhöht wird, worauf der Absatz
um 10.000 Stück sinkt. Anhand der absoluten Größen lässt sich nur wenig über die Reichweite der
Nachfrageänderung erkennen. Es fehlt der Vergleichsmaßstab: Betrug der Preis im Ausgangspunkt
10 oder 100 J? Ist der Absatz von 50.000 auf 40.000 oder von 1.000.000 auf 990.000 Stück
gesunken? Ein sinnvolles Maß für die Wirkung eines Instruments ist dagegen die Elastizität, die von
relativen Änderungen ausgeht. Da die Elastizität keine Dimension - wie „J“ oder „Stück“ - enthält,
ermöglicht sie die Vergleichbarkeit von gleichartigen Werten.
5.1 Beispiel
y= 100.000 J Gehalt
dy = 20.000 J Gehaltserhöhung
%
=
20000€
100000€
20000
100000
0,2
20% Gehaltserhöhung
Dividiert man Differenz / Ausgangswert ist das Ergebnis % und Dimensionslos
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25
5.2 Elastizität
y = f(x)
y
=
f(x)
abhängige Variable
unabhängige Variable
Є = Epsilon
Є y|x =
BC
C
BD
D
E3
3
=
∗
5
E5
E3
E5
=
∗
5
3
∗
dimensionslos
Dimensionen kürzen sich
einfache Größe
Є
K|x
=3
Vgl. 3.2 S.14
Der Chef versteht es
wenn ich 3% mehr Produziere brauche ich 1% mehr Geld
5.3 Preiselastizität der Nachfrage (in Bezug auf den Preis)
PAF -> p=120-12x
Є x|P =
I
BD
D
BF
F
PAF:
120 & 12
E5
G
= 5 ∗ EG
12
120 & H
E5
G
=EG ∗ 5
∗
H
1
10 & J K I
12
&
U(x) =Preis * Menge=
U'(x)
120 & 12
∗
120-12*2x
1
120 & 12
∗J
K
12
120 & 12
Umsatz
120-24x
Grenzumsatz
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Є (x=10)
=&
∗L
4
Є (x=5)
=&
∗L
4
Є (x=0)
=&
∗L
4
∗4
M
@NOP 4
4
∗ 4
M
0
∗=
M
-1
=
= -∞
Є
&1
Der Preis steigt um 1% <->
die Nachfrage sinkt um 1%
Keine Umsatzänderung
Є
&2
Der Preis fällt um 1% <->
die Nachfrage steigt um 1%
Umsatzsteigerung
&0,5
Der Preis sinkt um 2% <->
die Nachfrage sinkt um 1%
Umsatzrückgang
Є
Bei einer linearen PAF liegt die Elastizität zwischen -∞und 0.
Der Wert Є=-1wird in der Mitte (bei der Hälfte der Sättigungsmenge) angenommen.
Der Elastizitätsbereich zwischen -∞ und Є=-1heißt elastischer Bereich.
Der Elastizitätsbereich zwischen Є=-1 und Є=0 heißt unelastischer Bereich.
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Abbildungsverzeichnis
Abbildung 1 - monoton wachsend
7
Abbildung 2 - monoton fallend
7
Abbildung 3 - nicht monoton
7
Abbildung 4 - konkav
7
Abbildung 5 - konvex
7
Abbildung 6 - Hoch-, Wende- Tiefpunkt
7
Abbildung 7 - sprungfixe Kosten
7
Abbildung 8 - Fixkostendegression
8
Abbildung 9 - Gerade
9
Abbildung 10 - Geradensteigung und y-A-A
9
Abbildung 11 - Budgetgerade
10
Abbildung 12 - Budgetgerade Deflation | Inflation
10
Abbildung 13 - gerade Polynome
11
Abbildung 14 - ungerade Polynome
11
Abbildung 15 - Steigung einer Geraden
13
Abbildung 16 - Annäherung Steigung über Hilfsdreiecke
13
Abbildung 17 - notw. und hinr. Bedingung für Maximale
15
Abbildung 18 - notw. und hinr. Bedingung für Minimale
15
Abbildung 19 - Wechselpunkt bei monoton steigend
15
Abbildung 20 - Wechselpunkt bei monoton fallend
15
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Tabellenverzeichnis
Es konnten keine Einträge für ein Abbildungsverzeichnis gefunden werden.
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Inhalt
1
Formelsammlung
4
1.1
Formelsammlung Differenzieren ............................................................................... 4
1.2
Notwendige- und hinreichende Bedingungen für die Kurvendiskussion......................... 4
1.3
Formelsammlung Kostenrechnung ............................................................................ 4
1.4
Vordruck Rezept Differenzieren ............................................................................... 5
2
Eigenschaften von Graphen
7
2.1
Monotonie ............................................................................................................ 7
2.2
Krümmung ............................................................................................................ 7
2.3
Stetigkeit............................................................................................................... 7
2.4
Polstellen .............................................................................................................. 8
2.4.1
Berechnung der Selbstkosten ............................................................................ 8
2.4.2
Polstellengraph ............................................................................................... 8
2.5
Spezielle Funktionen .............................................................................................. 9
2.5.1
Geraden ........................................................................................................ 9
2.5.2
Achsenabschnitt .............................................................................................. 9
2.5.3
Polynome ..................................................................................................... 10
3
Differenzieren
12
3.1
Differenzieren ist eine Frage der Steigung .............................................................. 13
3.2
Schreibweisen für Grenzwertberechnung ............................................................... 14
3.3
Formelsammlung Differenzieren ............................................................................. 14
3.4
Notwendige- und hinreichende Bedingungen für die Kurvendiskussion....................... 15
3.5
Übungen zur Ableitung ........................................................................................ 16
3.6
Höhere Ableitungen ............................................................................................. 16
3.7
Min und Max Berechnung (Rezept und Beispiel) ...................................................... 17
3.8
Übungen zur Min/Max Berechnung ...................................................................... 18
3.9
Wendepunkte ..................................................................................................... 19
3.10 Übungsaufgabe Kostenkurven ............................................................................... 20
4
Markformenlehre
22
4.1
Markformen ........................................................................................................ 22
4.2
Polypol ............................................................................................................... 22
4.3
Angebotsmonopol ............................................................................................... 23
5
Elastizität
24
5.1
Beispiel .............................................................................................................. 24
5.2
Elastizität ............................................................................................................ 25
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31
5.3
6
Preiselastizität der Nachfrage (in Bezug auf den Preis)............................................. 25
Kostenrechnung
6.1
33
Formelsammlung Kostenrechnung .......................................................................... 33
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Seite|32
Endnoten
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33
6 Kostenrechnung
6.1 Formelsammlung Kostenrechnung
Gesamtkosten
=
Stückkosten
!
"
"!
=
$ %"!
wobei:
"
Grenzkosten
,"
!
a) geben den Anstieg / Ableitung der Gesamtkostenkurve an
b) geben an, um wieviel die Gesamtkosten steigen, wenn eine Einheit mehr
produziert wird.
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