3 Kinematik des Körpers

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3 Kinematik des Körpers
3.1 Ebene Bewegung eines starren Körpers
Liegen die Bahnkurven aller Punkte eines starren Körpers in parallelen Ebenen, so spricht man
von einer ebenen Bewegung. Solche Bewegungen treten in fast allen Maschinen auf, man denke z.B. an Verbrennungsmotoren, Kolbenpumpen, Stoßmaschinen, landwirtschaftliche Maschinen u.a.m. Zur einfachen Beschreibung dieser Bewegung denkt man sich den Körper
durch Schnitte parallel zur Ebene seiner Bahnkurven in dünne Scheiben zerlegt. Da alle Scheiben gleiche Bewegungen vollführen, ist die Bewegung des ganzen Körpers bekannt, wenn die
einer seiner Scheiben festliegt. Die Bewegung einer Scheibe ist wiederum vollständig und
eindeutig durch die Bewegung zweier ihrer Punkte B und C gegeben (122.1). Da wir die
Scheibe als starr vorausgesetzt haben (die Abstände zweier beliebiger Scheibenpunkte sind
also unveränderlich), kann die Bahnkurve jedes weiteren Punktes E durch Zirkelschläge mit
den Radien r1 und r2 um B und C konstruiert werden, wenn die Bahnen von B und C bekannt
sind. Die ebene Bewegung eines starren Körpers kann damit auf die Bewegung einer Strecke
–—
BC zurückgeführt werden, die wir im Folgenden näher untersuchen.
122.1 Zwei Lagen einer Scheibe
3.1.1 Momentanpol, Polbahnen
––—
Die Lage einer Scheibe, dargestellt durch die Strecke B1C1 (123.1), sei zu der Zeit t1 gegeben,
––—
dann kann die Scheibe in eine neue Lage B2C2 überführt werden, indem sie zunächst um die
––—
Strecke B1B2 parallel zu sich selbst verschoben und anschließend im Punkt B2 um den Winkel
ϕ gedreht wird. Die Parallelverschiebung nennt man auch Translation, die Drehung Rotation.
Der Punkt B ist in diesem Fall der Rotationspunkt.
Eine Translation kann auf beliebiger Bahn erfolgen. So vollführt die Kuppelstange einer Lokomotive eine
Translation, bei der alle Punkte der Stange relativ zur Lokomotive Kreise und für einen ruhenden Beobachter Zykloiden beschreiben. Translation ist also nicht nur eine geradlinige Bewegung. Bei der Translation beschreiben alle Punkte der Scheibe kongruente Bahnkurven, bei der reinen Rotation sind es koaxiale Kreise.
3.1.1 Momentanpol, Polbahnen
123
Die Bewegung der Scheibe aus einer Lage 1 in die Lage 2 kann man sich aus einer Translation
und einer Rotation zusammengesetzt denken. Dabei ist die Drehung unabhängig vom gewählten Rotationspunkt, die Größe und Richtung der Translation dagegen nicht. Wählt man nämlich in Bild 123.1 einen anderen Rotationspunkt E, so kann die Scheibe aus der Lage 1 in die
––—
Lage 2 überführt werden, indem man sie zunächst um die Strecke E1E2 verschiebt und dann
––—
um E2 um den gleichen Winkel ϕ dreht. Die Verschiebung B1B2 stimmt aber weder nach Be––—
trag noch nach ihrer Richtung mit E1E2 überein.
––—
––—
Die Verschiebung E1E2 ist im vorliegenden Fall kleiner als B1B2. Würde man C als Rotationspunkt wählen, so wäre die Verschiebung noch geringer. Das legt die Frage nahe, ob es einen
Punkt der Scheibe gibt, für den die Translation ganz verschwindet, so dass die Scheibe durch
reine Drehung um diesen Punkt aus der Lage 1 in die Lage 2 kommt. Die Punkte B und C
müssten sich in diesem Fall auf Kreisbahnen um diesen Punkt bewegen. Der geometrische Ort
––—
––—
aller Kreise durch B1 und B2 bzw. C1 und C2 ist aber die Mittelsenkrechte auf B1B2 bzw. C1C2
(123.1). Damit ist der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten der gesuchte Punkt, den man
als Drehpol P12 (gesprochen: P eins zwei) bezeichnet. Durch reine Drehung um diesen kann
das Dreieck P12B1C1 als starres Gebilde in das kongruente Dreieck P12B2C2 überführt werden.
(Die beiden Dreiecke sind kongruent, weil sie in den drei Seiten übereinstimmen, denn nach
––—
––—
––—
––—
––—
––—
Voraussetzung ist B1C1 = B2C2, weiterhin ist P12B1 = P12B2 und P12C1 = P12C2, weil die
Dreiecke P12C1C2 und P12B1B2 gleichschenklig sind.) Der Drehwinkel ϕ stimmt mit dem
oben genannten Winkel ϕ überein.
Wir betrachten eine Scheibe, die aus der Lage 1, die sie zur Zeit t1 einnimmt, in die Lage n
gebracht wird. Zu den Zeiten t2, t3, ..., tn – 1 nimmt sie die Zwischenlagen 2, 3, ..., n – 1 an und
zur Zeit tn die Endlage. In Bild 123.2 sind die Anfangs- und Endlage und zwei Zwischenlagen
gezeichnet (n = 4).
123.1 Allgemeine Bewegung einer
Scheibe, zusammengesetzt
aus Translation und Rotation
123.2 Vier Lagen einer Scheibe
mit zugehörigen Drehpolen
124
3.1 Ebene Bewegung eines starren Körpers
Errichtet man auch hier zwischen zwei aufeinanderfolgenden Lagen die Mittelsenkrechten, so
sind ihre Schnittpunkte die Drehpole P12, P23 und P34. Nun erfolgt die Bewegung der Scheibe
aus der Lage 1 in die Lage 4, indem man sie zunächst um P12 aus der Lage 1 nach 2 dreht,
sodann um P23 aus 2 nach 3 und schließlich um P34 aus 3 nach 4. Die Verbindung der Pole
P12P23P34 gibt einen Polygonzug in der festen Ebene. Denkt man sich das starre Viereck
P12P23B2C2 um P12 in die Lage 1 zurückgedreht, so nimmt der Drehpol P23 die neue Lage
1
P23
ein (gesprochen: P zwei drei in der Lage eins). Dabei ist wegen der Drehung um P12 die
–––—1
–––—
Strecke P12P23 = P12P23
. Bringt man ebenso das starre Viereck P23P34B3C3 in die Lage 1
––—
––—
1
zurück, so dass die Strecke B3C3 mit B1C1 zur Deckung kommt, so erhält man
,
den Punkt P34
−−−−−−−
–––—
1
1 1
und P23 fällt wieder mit P23 zusammen. Die Strecke P23P34 ist dann gleich P23 P34 .
1
1
Die Punkte P12, P23
und P34
bilden jetzt einen Polygonzug, der fest mit der bewegten Scheibe in der Lage l verbunden ist. Die Scheibe kann nun aus der Lage 1 über 2 und 3 nach 4 ge1
1
P34
auf dem ruhenden
bracht werden, indem man den scheibenfesten Polygonzug P12 P23
Polygonzug P12P23P34 „abrollen“ lässt.
Lässt man die Lage 2 nahe an die Lage 1 heran- und schließlich in sie hineinrücken, so neh––—
––—
men im Grenzfall die Sehnen B1B2 und C1C2 der Bahnkurven von B und C die Richtungen der
Bahntangenten und die Mittellote die Richtungen der Bahnnormalen in der Lage 1 an. Diese
schneiden sich in dem momentanen Drehpol, der jetzt als Momentanpol P bezeichnet wird.
Die gleiche Überlegung gilt für alle weiteren Punkte der Scheibe. Es gilt also:
Der Momentanpol ist in einem Zeitpunkt der Schnittpunkt der Bahnnormalen aller
Punkte einer Scheibe.
Umgekehrt ist die Verbindungsgerade irgendeines Scheibenpunktes B mit dem Momentanpol
P Bahnnormale, ihre Senkrechte in B Bahntangente (124.1). Betrachtet man mehr Zwischenlagen als in Bild 123.2 angegeben sind, so erhält man für jede Anzahl von n Lagen die zugehöri1
1
gen Polygonzüge P12P23P34, ... , Pi, i + 1, ... , Pn – 1, n und P12 P23
P34
, ..., P1i , i + 1, ..., Pn –1 1, n.
Bildet man den Grenzwert für n → ∞ , wobei gleichzeitig alle Parallelverschiebungen und
Drehungen bei der Bewegung aus einer beliebigen Lage i in die Nachbarlage i + 1 gegen Null
streben, so gehen die Polygonzüge in zwei Grenzkurven über, von denen die ruhende als Rastpolbahn, die scheibenfeste als Gangpolbahn bezeichnet wird (124.1).
Rastpolbahn ist der geometrische Ort aller Punkte in der ruhenden Ebene, die einmal
Momentanpole waren, sind oder sein werden.
124.1 Allgemeine Bewegung der Scheibe durch Abrollen der Gangpolbahn auf der Rastpolbahn
3.1.1 Momentanpol, Polbahnen
125
Gangpolbahn ist der geometrische Ort aller Punkte in der bewegten Ebene, die einmal
Momentanpole waren, sind oder sein werden.
Die Bewegung einer Scheibe in der Ebene kann immer durch das Abrollen (ohne Gleiten) der
beiden Polbahnen aufeinander dargestellt werden. Ihr augenblicklicher Berührungspunkt ist
der Momentanpol. Dieser ist als Punkt der bewegten Scheibe momentan in Ruhe, seine Bahn
hat hier einen Umkehrpunkt. (In Bild 124.1 ist die Bahnkurve desjenigen Scheibenpunktes
angegeben, der in der gezeichneten Stellung zum Momentanpol P wird.) Da sich die Scheibe
augenblicklich um P dreht, ist der Momentanpol der einzige Punkt der Scheibe, dessen Geschwindigkeit Null ist. Umkehrung: Rollen zwei Bahnen, von denen die eine raumfest und die
andere scheibenfest ist, aufeinander ab, ohne zu gleiten, so ist die eine die Rastpolbahn, die
andere die Gangpolbahn und ihr Berührungspunkt der Momentanpol P.
Praktische Bedeutung haben die Polbahnen nur in Sonderfällen, sie stellen aber eine wesentliche Hilfe für theoretische Untersuchungen dar.
Beispiel 1. Ein Rad, das auf einer Ebene abrollt, berührt diese im Momentanpol P (125.1). Der geometrische Ort aller Punkte, die im Laufe der Zeit Momentanpole werden können, liegt auf der Geraden (Rastpolbahn) bzw. für das Rad auf dem Umfang des Kreises (Gangpolbahn) (125.1). Die Bahntangente der
Bahnkurve irgendeines Radpunktes B findet man, wenn man diesen mit P verbindet (Bahnnormale) und
darauf in B die Senkrechte errichtet (vgl. auch Beispiel 23, S. 50).
125.1 Rad auf einer Ebene
125.2 Rad auf einer Kreisscheibe
Beispiel 2. Ein Rad rollt auf einer feststehenden Kreisscheibe ab (z.B. Zylinderrollen eines Zylinderrollenlagers auf feststehendem Innenring, 125.2). Der Kreis ist die Rastpolbahn, das Rad die Gangpolbahn.
Die Senkrechte in B auf der Verbindungsgeraden des Punktes B mit P ist Bahntangente.
Beispiel 3. Doppelschieber und Kardan-Kreispaar. Die Punkte B und C einer Stange der Länge l werden
nach Bild 126.1 auf zwei aufeinander senkrecht stehenden Geraden geführt (Doppelschieber). Der Momentanpol als Schnittpunkt der Bahnnormalen von B und C ist der Punkt P. Wegen der Gleichheit der
–— –—
Diagonalen im Rechteck PBOC hat P von dem festen Punkt O immer den konstanten Abstand PO = BC .
–—
–—
Die Rastpolbahn ist daher ein Kreis mit dem Radius R = BC um O. Als bezüglich der Stange BC fester
–—
Punkt hat P von ihrem Mittelpunkt M stets den Abstand der halben Diagonale r = OP/2. Die Gangpolbahn ist daher ein Kreis um M mit dem Radius r = R/2 und die Bewegung des Doppelschiebers kann
durch das Abrollen der beiden Kreise (Kardan-Kreispaar) ersetzt werden. Bei einem Kreis ist wegen der
Symmetrie kein Punkt vor einem anderen ausgezeichnet, deshalb bewegen sich nicht nur die Punkte B
und C, sondern alle Punkte auf dem Umfang des kleinen Kreises auf geraden Bahnen, die durch O gehen.
–—
Alle Punkte einer mit der Stange BC verbundenen Scheibe beschreiben Ellipsen, der Mittelpunkt M der
–—
Stange einen Kreis um O mit dem Radius r = OM. Das Kardan-Kreispaar kann für exakte Geradführung
verwendet werden.
126
3.1 Ebene Bewegung eines starren Körpers
126.1 Doppelschieber und Kardankreispaar
–—
–—
Beispiel 4. Die Punkte B und C der in Bild 126.2 gezeichneten Doppelschwinge (AB = 10 mm, BC =
–—
–—
14 mm, CD = 18 mm und AD = 24 mm) bewegen sich auf Kreisbahnen um ihre Drehpunkte A und D.
–—
–—
Die Bahnnormalen sind daher Geraden durch AB und CD, die sich im Momentanpol P schneiden. Ändert
man die Getriebestellung und bringt jeweils die Bahnnormalen von B und C zum Schnitt, so gewinnt man
die vollständige Rastpolbahn, von der in Bild 126.2 ein Teil angegeben ist. Die Konstruktion der Gangpolbahn ist für den Punkt P1' erläutert. In der Getriebestellung AB1C1D ist P1 Momentanpol. In dieser
Lage fällt P1 mit dem Punkt P1' der Gangpolbahn zusammen. Dreht man das Getriebe in die Lage
–—
–—
AB0C0D zurück, so erhält man P1' als Schnittpunkt der Kreise mit den Radien B1P1 bzw. C1P1 um die
Punkte B0 bzw. C0.
126.2 Teil der Rast- und Gangpolbahn
einer Doppelschwinge
3.1.2 Aufgaben zu Abschnitt 3.1
1. Für eine zentrische Schubkurbel (Kurbellänge r = 3 cm und Koppellänge l = 8 cm) konstruiere man
die Rast- und Gangpolbahn.
2. Welche Gestalt nehmen die Rast- und Gangpolbahn in der vorhergehenden Aufgabe an, wenn r = l
wird?
–—
3. Man stelle die Gleichung der Bahnkurve eines beliebigen Koppelpunktes E auf der Geraden BC
eines Doppelschiebers auf (127.1, vgl. Beispiel 3, S. 125) und zeige damit, dass die Bahnkurve eine
Ellipse ist.
3.2.1 Momentanpol als Geschwindigkeitspol
127.1 Koordinaten des Koppelpunktes
E eines Doppelschiebers
127
127.2 Zwei Lagen eines Klappsitzes
–—
4. Die Schubrichtungen zweier Scheibenpunkte B und C (BC = 50 mm) schneiden sich im Punkte O
unter einem Winkel von 60º. Man konstruiere mit Hilfe des Kardankreispaares ein Wälzhebelgetriebe, das für die Punkte B und C eine exakte Geradführung zulässt.
5. Man löse die vorstehende Aufgabe mit Hilfe einer zentrischen Schubkurbel, für die r = l ist.
6. Für den Klappsitz eines Kraftfahrzeuges sind zwei Lagen vorgesehen (127.2). a) Der Sitz soll durch
–—
–—
reine Drehung um einen festen Punkt aus der Lage B1C1 in die Lage B2C2 gebracht werden. Man
bestimme dafür den Drehpol P12. b) Kann die Bewegung von 1 nach 2 auch mit Hilfe eines Gelenk–—
vierecks durchgeführt werden? Wo wären die Anlenkpunkte A und D für Kurbel AB und Schwinge
–—
CD zu wählen?
3.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungszustand einer Scheibe
3.2.1 Momentanpol als Geschwindigkeitspol
Nach Abschn. 3.1.1 lässt sich jede ebene Scheibenbewegung durch Abrollen der Gangpolbahn
auf der Rastpolbahn darstellen. Dabei ist der Momentanpol P als Punkt der Scheibe augenblicklich in Ruhe, hat also die Geschwindigkeit vP = 0. Daher gilt:
Für den Geschwindigkeitszustand verhält sich die Scheibe so, als ob sie sich augenblicklich um den Momentanpol dreht.
In diesem Sinne wird der Momentanpol als Geschwindigkeitspol bezeichnet. Ist die momentane Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibe bekannt, so kann für jeden ihrer Punkte die momen–—
–—
tane Geschwindigkeit bestimmt werden. Es seien rB = PB und rC = PC die Abstände der
G
G
Scheibenpunkte B und C vom Momentanpol P (128.1a) und rB bzw. rC die Ortsvektoren.
Dann sind nach Gl. (38.3) die Beträge ihrer Geschwindigkeiten
vB = rB ω
vC = rC ω
(127.1)
G
G
Die Geschwindigkeitsvektoren stehen auf rB und rC senkrecht und können durch Gl. (40.2)
ausgedrückt werden (s. auch Gl. (51.5))
G
G
G
G
G
G
ω × rB = vB
und
ω × rC = vC
(127.2)
und
128
3.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungszustand einer Scheibe
Nach der Definition des Vektorproduktes bilden die drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem. Löst man Gl. (127.1) nach der Winkelgeschwindigkeit ω auf, so folgt
vB vC
=
= ω ~ tan β
rB rC
(128.1)
Die Beträge der Geschwindigkeiten zweier Punkte der Scheibe verhalten sich wie ihre Abstände vom Momentanpol, und der Tangens des Winkels β ist ein Maß für die Winkelgeschwindigkeit ω. Daraus folgen zwei einfache Konstruktionen für die Geschwindigkeitsvektoren:
1. Da die Winkelgeschwindigkeit ω und damit tan β für alle Punkte der Scheibe konstant ist,
kann die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes C aus der des Punktes B gefunden wer–—
den, indem nach Bild 128.1a der Winkel β im Momentanpol an PC gleichsinnig angetragen wird.
G
2. Dreht man den Geschwindigkeitsvektor vB um 90º in die Lage v¬B (gesprochen: vB lotrecht
–—
oder vB gedreht) und zieht eine Parallele zu BC durch die Spitze von v¬B (128.1b), so
–—
schneidet diese auf der Strecke PC die Geschwindigkeit v¬C ab, denn nach dem Strahlensatz
folgt aus Bild 128.1b die Gl. (128.1). Dreht man v¬C entgegen der ursprünglichen DrehrichG
tung um 90º zurück, so erhält man den Geschwindigkeitsvektor vC . Dieses Verfahren wird
das der lotrechten oder gedrehten Geschwindigkeiten genannt.
Diesen beiden Geschwindigkeitskonstruktionen sei noch eine weitere hinzugefügt, die sich
unmittelbar aus der Definition der Starrheit der Scheibe ergibt. Da der Abstand zweier
G
Punkte B und C unveränderlich ist, muss die Projektion der Geschwindigkeiten vB und
G
–—
vC auf die Gerade BC für beide Punkte denselben Wert ergeben, andernfalls würde die
128.1 Geschwindigkeitskonstruktionen mit Hilfe
a) des Momentanpols
b) der lotrechten Geschwindigkeiten
c) der projizierten Geschwindigkeiten
G
Scheibe auseinandergerissen. Sind also vB und die Bahntangente von C bekannt, so projiziert
G
–—
man die Geschwindigkeit vB auf BC und verschiebt die projizierte Geschwindigkeit nach C,
dann schneidet die Senkrechte durch ihren Endpunkt auf der Bahntangente von C die GeG
schwindigkeit vC ab (128.1c). Diese Methode wird als Methode der projizierten Geschwindigkeiten bezeichnet; sie kann zur Kontrolle anderer Konstruktionen verwendet werden.