Übungen - Mathematik

Übungen
Stereometrie – fünfseitige Pyramide
Übungen zu Frage 62:
Nr. 1:
Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind gegeben:
Grundkante a = 7,5 cm
Mantelfläche M = 190 cm2
hs
Berechnen Sie die Höhe hs der Seitenfläche und den Winkel ε.
.
ε
a
(Die Lösung finden Sie auf Seite 2.)
Nr. 2:
Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind bekannt:
Grundkante a = 6,8 cm und Körperhöhe h = 12,5 cm.
Berechnen Sie die Seitenkante s und die Höhe hs einer Seitenfläche.
(Die Lösung finden Sie ab Seite 3.)
Nr. 3:
Von einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide sind gegeben:
Höhe einer Seitenfläche hs = 9,8 cm
hs
ε = 47,2° (Winkel zwischen hs und der Grundfläche)
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide.
.
a
(Die Lösung finden Sie auf Seite 4.)
Nr. 4:
Ein regelmäßiges Fünfeck hat die Seitenlänge a = 4,8 cm.
Verlängert man alle Fünfeckseiten, so entsteht das Netz einer
regelmäßigen Pyramide.
Berechnen Sie die Mantelfläche und das Volumen der
Pyramide.
(Die Lösung finden Sie auf Seite 5.)
© Mathematik-Verlag, www.matheverlag.com
-1-
a
ε
Lösung zu Nr. 1:
Berechnung der Höhe hs :
Die Höhe hs kann mit der vorgegebenen Mantelfläche M = 190 cm2 berechnet werden. Der Mantel besteht aus
5 gleichen Dreiecken. Es gilt also: M = 5 ⋅
a ⋅ hs
2
= 2,5 ⋅ a ⋅ hs
Mit den Werten M = 190 cm2 und a = 7,5 cm ergibt sich:
190 = 2,5 ⋅ 7,5 ⋅ hs
⇔
⇔
190 = 18,75 ⋅ hs
| :18,75
10,13 = hs bzw. hs = 10,13 cm
Berechnung des Winkels ε :
Im Dreieck TMS gilt: cos ε =
S
h1
10,13
10,1
Die Strecke h1 ist die Höhe im gleichschenkligen Dreieck TAB. Da die
Grundfläche der Pyramide aus 5 dieser Dreiecke besteht, beträgt
der Winkel ŒATB 72° (= 360°: 5).
3 cm
Die Höhe h1 wird mit der Tangensfunktion im Dreieck AMT
berechnet:
tan 36° =
3,75
h1
⇔
h1 ⋅ tan 36° = 3,75
⇔
.
| ⋅ h1
T
7,5 cm
| : tan 36°
h1
A
ε
B
M
h1 = 5,16 cm
T
Damit folgt für den Winkel ε :
cos ε =
5,16
10,13
36°36°
⇒ ε = 59,4°
h1
A
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-2-
3,75 cm
.
M
3,75 cm
B
Lösung zu Nr. 2:
Berechnung der Seitenkante s:
Zur Berechnung von s und hs benötigt man die beiden Seiten b und die Höhe h1 des gleichschenkligen Dreiecks
ABM (grau):
P
M
s
h = 12,5 cm
36° 36°
hs
b
b
h1
.
A
M
.
3,4 cm
A
a = 6,8 cm
.
3,4 cm
B
Ma
B
→ Berechnung von b und h1 :
Da die Grundfläche ein regelmäßiges Fünfeck ist, beträgt der Winkel bei M
360°: 5 = 72°. Dieser Winkel wird durch die Höhe h1 halbiert. Für die Seite b gilt dann im
rechtwinkligen Dreieck AMaM:
sin 36° =
3,4
b
3,4
⇔
0,59 =
⇔
0,59 ⋅ b = 3,4
⇔
b
| ⋅b
| : 0,59
b = 5,76 cm
Für die Höhe h1 gilt im rechtwinkligen Dreieck AMaM:
tan 36° =
3,4
h1
3,4
⇔
0,73 =
⇔
0,73 ⋅ h1 = 3,4
⇔
h1
| ⋅ h1
| : 0,73
h1 = 4,66 cm
Die Länge der Seitenkante s kann nun mithilfe des Dreiecks AMP
berechnet werden. Es gilt der Satz des Pythagoras:
P
s2 = h2 + b2
⇔ s2 = 12,52 + 5,762
⇔ s2 = 189,43
⇔
s
|
h = 12,5 cm
s = 13,76 cm
A
5,76 cm
. M
.
B
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-3-
Berechnung der Höhe hs:
Die Länge der Höhe hs kann nun entweder im Dreieck MaMP oder im
Dreieck AMaP berechnet werden. Im Dreieck MaMP lautet der Satz des
Pythagoras:
P
hs2 = h12 + h2
⇔
hs2 = 4,662 + 12,52
⇔
hs2 = 177,97
⇔
hs = 13,34 cm
h = 12,5 cm
hs
|
. M
A
.
Ma
h1 = 4,66 cm
B
Lösung zu Nr. 3:
Berechnung der Grundfläche G:
S
Die Grundfläche besteht aus 5 gleichschenkligen Dreiecken.
Für den Flächeninhalt G gilt: G = 5 ⋅ 0,5 ⋅ a ⋅ h1 = 2,5 ⋅ a ⋅ h1
(h1 ist die Höhe eines dieser Dreiecke.)
h
Man benötigt also noch die Grundkante a und die Dreieckshöhe h1.
hs = 9,8 cm
Berechnung der Höhe h1:
Im Dreieck TMS gilt: cos ε =
h1
.
9,8
T
Mit ε = 47,2° erhält man: h1 = 6,66 cm
a
h1
ε
A
B
M
Berechnung der Grundkante a:
T
Im markierten Dreieck AMT gilt:
tan 36° =
0,5a
6,66
⇔
⇔
| ⋅ 6,66
4,84 = 0,5a
36°36°
h1 = 6,66 cm
| : 0,5
a = 9,68 cm
A
Damit folgt für die Grundfläche G = 2,5 ⋅ a ⋅ h1 :
G = 161,17 cm2
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-4-
0,5a
.
M
0,5a
B
Lösung zu Nr. 4:
Berechnung der Mantelfläche:
Die Mantelfläche M besteht aus den 5 markierten
gleichschenkligen Dreiecken.
Die Fläche eines dieser Dreiecke ist A =
1
2
a ⋅ hs .
a
.
1
hs
Damit ist die Mantelfläche M = 5 ⋅ a ⋅ h s = 2,5 ⋅ a ⋅ hs
2
Und mit a = 4,8 cm: M = 12 ⋅ hs
Man muss also noch die Höhe hs berechnen.
Figur 1
→ Berechnung der Höhe hs:
Die Höhe hs kann mit der Tangensfunktion im
markierten Dreieck berechnet werden.
Man beachte:
C
.
2,4 cm
• Ein Innenwinkel des Fünfecks beträgt
α = (5 − 2) 180°: 5 = 108° (siehe Formelsammlung)
Damit ist der entsprechende Nebenwinkel 72°.
hs
108°72°
B
A
• Weil das Dreieck ABC gleichschenklig ist,
halbiert die Höhe hs die Basis a = 4,8 cm.
Figur 2
Im markierten Dreieck gilt also:
tan 72° =
hs
2,4
| ⋅2,4
⇔ 7,39 = hs bzw. hs = 7,39 cm
Damit erhält man für die Mantelfläche M = 12 ⋅ hs : M = 88,68 cm2
Berechnung des Pyramidenvolumens V:
Für das Pyramidenvolumen gilt: V =
1
3
S
G⋅h
Man muss also G und h berechnen.
h
→ Berechnung der Grundfläche G:
Die Grundfläche G setzt sich aus 5 identischen,
gleichschenkligen Dreiecken zusammen (siehe Figur 3).
Für die Fläche A1 eines dieser Dreiecke gilt:
A1 =
1
2
a ⋅ h1 . Und mit a = 4,8 cm folgt: A1 = 2,4 h1
Die Höhe h1 kann im schraffierten Dreieck berechnet
werden (siehe Figur 4).
.
G
h1
a = 4,8 cm
Figur 3
Man beachte: Der Winkel bei M ist 360°: 5 = 72°.
Die Höhe h1 halbiert den Winkel bei M und die Seite a.
Es gilt also:
tan 36° =
2,4
h1
M
⇔ h1 = 3,30 cm
36°36°
h1
Daraus folgt:
.
A1 = 7,92 cm2 und G = 5 ⋅ A1 = 39,6 cm2
2,4
Figur 4
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-5-
a