6.4.1 Grundversuch der Induktion ****** 1 Motivation 2

V060401
Grundversuch der Induktion
6.4.1 Grundversuch der Induktion
******
1 Motivation
Ein permanenter Stabmagnet wird koaxial durch die geschlossene Fläche eines Leiterkreises
gestossen. Dies induziert eine Spannung im Leiterkreis, so dass ein Induktionsstrom fliesst, der
mit einem ballistischen Galvanometer gemessen wird.
2 Experiment
Abbildung 1: Versuchsaufbau Grundversuch der Induktion“
”
Eine Leiterschleife ist an ein ballistisches Galvanometer angeschlossen (siehe Abb. 1). Mit einem
Stabmagneten führt man die verschiedenen aspekte der Induktion vor:
a) Man stösst den Stabmagneten mit dem roten Ende in den Leiterkreis hinein. Das Galvanometer schlägt aus (siehe Abb. 2).
b) Man zieht den Stab wieder heraus. Das Galvanometer schlägt in die umgekehrte Richtung
aus.
c) Man stösst den Stab sehr schnell hinein. Das Galvanometer schlägt stärker aus.
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Abbildung 2: Das Durchstossen des Stabmagneten durch den Leiterkreis erzeugt in diesem einen
Stromstoss.
d) Man stösst den Stabmagneten mit dem blauen Ende in den Leiterkreis hinein. Das Galvanometer schlägt in die umgekehrte Richtung aus.
e) Man verwendet eine Leiterschleife mit n Schleifen. Der Ausschlag des Galvanometers beträgt das n-Fache des Ausschlags für eine Schleife.
Das Feld eines Stabmagneten ist inhomogen (siehe Abb. 3). Beim Hineinstossen des Magneten
in die Drahtschleife ändert sich deshalb der magnetische Fluss
Z
Φ = B · dA
(1)
A
Dabei bedeuten dA die differentiele Flächennormale der Querschittsfläche A und B(r) das
ortsabhängige Magnetfeld. Die zeitliche Änderung des Flusses erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld
E, das im Leiterkreis der Leitfähigkeit σ einen Strom mit der Stromdichte
j = σE
(2)
hervorruft. Dieser Strom erzeugt wiederum ein Magnetfeld B 0 , das dem ursprünglichen Feld
entgegengesetzt gerichtet ist und die Flussänderung dΦ schwächt.
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Magnetfeld B
Abbildung 3: Magnetfeld eines Stabmagneten
3 Theorie
3.1 Das Induktionsgesetz
Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld erzeugt nach Maxwell ein elektrisches Wirbelfeld (siehe
Abb. 4):
∂B
∇×E =−
(3)
∂t
Wir integrieren Gl. (3) über die von der Kurve C umrandeten Fläche A und formen das Oberflächenintegral auf der linken Seite mithilfe des Stokesschen Satzes in ein Linienintegral über C
um; beim Integral auf der rechten Seite nehmen wir an, dass sich die Geometrie zeitlich nicht
ändert, so dass wir das Flächenintegral mit der Zeitableitung vertauschen können:
Z
Z ∂B
− (∇ × E) · dA =
· dA
(4)
∂t
A
A
I
Z
∂
⇒ − E · dr =
B · dA = Φ̇
(5)
∂t | {z }
C
A
≡dΦ
Damit erhalten wir für die induzierte Spannung Uind :
Uind = +Φ̇ ,
wobei Φ der magnetische Fluss durch die von C umschlossenen Kurve ist.
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(6)
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∂B
∂t
B
dr
Rechte-Hand-Regel
E
∇×E =−
∂B
∂t
Abbildung 4: Die Richtung der induzierten E-Feldes. Das Magnetfeld B zeigt nach oben und
nimmt mit der Zeit zu.
In den meisten Lehrbüchern erscheint fälschlicherweise ein negatives Vorzeichen in dieser Gleichung. Um dies aber zu erreichen, wird die Spannung U1(0) eines Punktes (1) bezüglich eines
Punktes (0) für elektrische Wirbelfelder entgegengesetzt zur Spannung in Potentialfeldern definiert:
Z1
U1(0) = − E · dr Potentialfeld
Falsch!
0
Z1
(7)
E · dr Wirbelfeld
U1(0) = +
0
Zum Beweis für unsere Behauptung berechnen wir die elektrische Spannung U1(0) des Punktes 1
bezüglich des Punktes 0 für ein Potential- und für ein Wirbelfeld (siehe Abb. 5). Wir verwenden
dazu jeweils eine positive Probeladung q, auf die ja die Kraft F in Richtung des elektrischen
Feldes gemäss
F = qE
(8)
wirkt, was einer negativen Spannung entspricht.
Als Beispiel für ein Potentialfeld wählen wir das Feld eines Plattenkondensators:
Z1
U1(0) = −
E · dr < 0
(9)
0
Das Wirbelfeld werde durch die zeitliche Änderung Ḃ der magnetischen Flussdichte B erzeugt,
welche im Bild in die Zeichenebene hineinzeigt. Damit ist das induzierte E-Feld entgegengesetzt
zum Uhrzeigersinn gerichtet. Beim Verschieben der Probeladung auf dem Kreisbogen vom Punkt
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q
0
E(r)
dr
E
1
Ḃ
1
dr
q
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Z1
U1(0) = −
Z1
E · dr < 0
U1(0) = −
0
E · dr < 0
0
Abbildung 5: Elektrische Spannung U1(0) des Punktes 1 bezüglich des Punktes 0 für ein
Potential- und für ein Wirbelfeld. Die zeitliche Änderung Ḃ der magnetischen Flussdichte B
zeigt in die Zeichenebene hinein. In beiden Fällen gilt dieselbe Definition der Spannung, die
bei beiden Beispielen negativ ist, so dass die positive Ladung q beschleunigt wird und das Feld
Arbeit leistet.
0 zum Punkt 1 gewinnt die Ladung Energie, so dass für die Spannung gilt:
Z1
U1(0) = −
E · dr < 0
(10)
0
Wir müssen nun noch zeigen, dass für das Ringintegral Gln. (5) und (6) gelten. Die in Richtung
des E-Feldes berechnete Spannung ist
I
Uind = − E · dr < 0
(11)
Der zu dieser Orientierung gehörende Flächenvektor A zeigt aus der Papierebene heraus, so dass
für die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses folgt:
Φ̇ = Ḃ · A = −|Ḃ| · |A| < 0
(12)
Aus den identischen Vorzeichen von Uind und Φ̇ folgt schliesslich die Gültigkeit der Gl. (6).
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E
Ḃ
B
A
I
UB(A) = −
E · dr
Abbildung 6: Die in der Schleife induzierte Spannung ist gleich dem Linienintegral des elektrischen Feldes über die Schleife. Das Innere der Leiterschleife ist feldfrei!
Wenn wir nun die Integrationsrichtung in Gl. (9) umkehren,
Z0
U0(1) = −
E · dr > 0
(13)
1
erhalten wir die positive Spannung
U0(1) = −U1(0) > 0 ,
(14)
so dass auch das Ringintegral in Gl. (11) das Vorzeichen wechselt und bei dieser Integrationsrichtung positiv wird. Nun hängt aber der Flächenvektor A als Axialvektor vom Drehsinn seiner
Umrandung ab, das heisst, A wechselt ebenfalls das Vorzeichen, so dass auch der Fluss des
Magnetfeldes nun positiv ist. Damit gilt unabhängig von der Integrationsrichtung
Uind = +Φ̇
(15)
3.2 Offene Leiterschleife im veränderlichen Magnetfeld
Wir betrachten eine Leiterschleife in einem Magnetfeld. Wir nehmen an, dass sich das Feld
mit der Zeit ändert. Eine Spannung wird induziert. Siehe Abb. 6. Da die Leitungselektronen
im Metall beweglich sind, werden sie im Uhrzeigersinn so lange verschoben, bis das von ihnen
erzeugte elektrische Feld das äussere, induzierte Feld kompensiert. Aus diesem Grund ist der
Pol B negativ, der Pol A dagegen positiv geladen. Weil das Ringintegral über den Kreis nicht
verschwindet, gilt
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I
UB(A) = −
E · dr
(16)
Demnach fällt die gesamte Spannung zwischen den beiden Polen ab, und die elektrische
Feldstärke ist entsprechend dem Verhältnis von Polspalt zu Kreisumfang vergrössert! Da der
Leiter nicht geschlossen ist, fliesst kein Strom.
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