Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und ¨Okonometrie

Universität des Saarlandes
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
Prof. Dr. Volker Steinmetz
Dipl. Math. Christoph Stahl
3. Übungsblatt zur Vorlesung Schließende Statistik WS 2000/2001
Aufgabe 15
In einem Büro arbeiten 4 Sekretärinnen. Sekretärin S1 ordnet 40% der Unterlagen ein,
Sekretärin S2 30%, Sekretärin S3 20% und Sekretärin S4 10%. Die Wahrscheinlichkeit, daß
hierbei Fehler gemacht werden, beträgt für die einzelnen Sekretärinnen
p1 =
1
,
100
p2 =
4
,
100
p3 =
6
,
100
p4 =
1
.
10
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß Akten falsch eingeordnet wurden ?
(b) Bei der Aktensuche wurde eine falsch eingeordnete Akte gefunden. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß sie von Sekretärin S3 eingeordnet wurde ?
(c) Eine dringend benötigte Akte wurde richtig eingeordnet gefunden. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, daß sie von Sekretärin S2 eingeordnet wurde ?
Aufgabe 16
Z = (X, Y ) sei eine zweidimensionale diskrete Zufallsvariable. In der folgenden Tabelle
sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten P {X = xi | Y = yk } angegeben:
yk
1
2
3
2
1
3
2
3
3
0
5
13
2
13
6
13
8
15
1
3
2
15
xi
1
(also z.B. P {X = 2 | Y = 1} = 23 )
Ferner sei die Randverteilung der Zufallsvariable Y bekannt:
yk
QY (yk )
1
2
3
3
10
13
40
3
8
(a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable Z in einer Tabelle
an.
(b) Berechnen Sie die Randverteilung von X.
(c) Berechnen Sie P {1 < X ≤ 2, 2 ≤ Y ≤ 3}, P {Y > 2}, FX (1), FZ (1, 2).
(d) Berechnen Sie die Erwartungswerte von X, Y, Z sowie die Varianzen von X und Y ,
die Varianz-Kovarianz-Matrix von Z und den Korrelationskoeffizienten von X und
Y.
Aufgabe 17
X und Y seien Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte
(
e−x−y : 0 < x < ∞, 0 < y < ∞
f(X,Y ) (x, y) :=
.
0 :
sonst
(a) Sind die Zufallsvariablen unabhängig?
(b) Weiterhin sei g : R2 → R2 die Abbildung mit
r+s
g(r, s) :=
.
r−s
Bestimmen Sie eine Dichte zu g(X, Y ).
Aufgabe 18
Die ZV X = (X1 , X2 , X3 )0 sei

 

1
1 0
0
N  0  ;  0 2 −2  verteilt.
2
0 −2 4
(a) Berechnen Sie Korr (X1 , X2 ), Korr (X2 , X3 ).
(b) Bestimmen Sie eine Dichte fX für X.
(c) Bestimmen Sie die Randverteilung von U:=
X1
X3
.
(d) Wie ist W := 2X1 + X2 verteilt ?
3X1 + X2
(e) Geben Sie eine Dichte zu Y :=
an.
X1 + 3X2
Aufgabe 19
Es bezeichne Y die Zufallsvariable für den Output, X die Zufallsvariable für den Input
eines elektrischen Gerätes. Das Gerät heißt Zweiweg- Gleichrichter“, wenn Y = |X| gilt.
”
Für den Input sei Standardnormalverteilung unterstellt.
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion für einen Zweiweg-Gleichrichter.
(b) Ermitteln Sie eine Dichtefunktion für einen Zweiweg-Gleichrichter.
Aufgabe 20
Bereiten Sie den 1. Umdruck zur Vorlesung vor.
Aufgabe 21
Wie oft muß man einen fairen Würfel durchschnittlich werfen, bis alle Zahlen von 1 bis 6
mindestens einmal erschienen sind ?
Hinweis: Finden Sie heraus, wie oft man im Schnitt den Würfel werfen muß, um eine noch
nicht gewürfelte Zahl zu werfen, wenn man bereits n ∈ {0, 1, . . . , 5} verschiedene Zahlen
erhalten hat.