diesem Skript

Kantonsschule Frauenfeld
Mathematik an der Handelsmittelschule
7. Juni 2005
1 Mengenlehre
1.1 Mengen, Aussagen und Aussageformen
1.1.1 Mengen
Der Begriff der „Menge“, welcher heute in der Mathematik sehr wichtig ist, wurde 1895 in ähnlicher
Weise erstmals vom deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845–1918) verwendet. Sie kennen wahrscheinlich schon die Bezeichnung für die Menge der natürlichen Zahlen (N) oder der ganzen Zahlen
(Z).
Definition 1 Eine Ansammlung von Elementen heisst Menge.
Mengen werden in der Regel mit grossen Buchstaben mit einem zusätzlichen Strich bezeichnet: A, B, C
und so weiter. Die Elemente einer Menge werden durch die Mengenklammern { und } eingeschlossen.
Um zu zeigen, dass ein Element zu einer Menge gehört, schreiben wir das Zeichen ∈. Entsprechend
schreiben wir ∈,
/ wenn das Element nicht zur Menge gehört.
Beispiel 1 Wir betrachten M = {7, 9, 16}. Diese Menge besteht aus den drei Elementen 7, 9 und 16.
Es gilt beispielsweise 9 ∈ M oder 11 ∈
/ M.
2
Die wohl bekanntesten Mengen sind die Zahlenmengen.
• N ist die Menge der natürlichen Zahlen. N = {1, 2, 3, 4, . . . }. Wenn die Zahl Null auch noch
dazugenommen wird, schreibt man N0 . N0 = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
• Z ist die Menge der ganzen Zahlen. Hier kommen noch die den natürlichen Zahlen entsprechenden negativen dazu. Z = {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
• Q ist die Menge der rationalen Zahlen. Darunter versteht man die Menge aller Brüche qp , wobei
p ∈ Z und q ∈ Z gelten muss.
• R ist die Menge der reellen Zahlen.
R besteht aus den Zahlen aus Q und allen nichtrationalen
√
Zahlen (zum Beispiel π oder 2).
Man kann einer Menge ein hochgestelltes Plus oder Minus beifügen. Dann meint man alle Zahlen der
Menge, welche entsprechend grösser bzw. kleiner als Null sind: zum Beispiel Z+ = N. Wenn die Null
auch noch zur Menge gehören soll, so wird der Menge der Index 0 angehängt: R−
0 ist beispielsweise
die Menge aller negativen reellen Zahlen inklusive der Null.
1.1.2 Aussagen und Aussageformen
Wir alle sprechen eine oder mehrere Sprachen: Deutsch, Französisch, Englisch, Griechisch usw. Man
kann auch die Mathematik als eine Sprache auffassen; eine Sprache, in welcher zum Beispiel Physiker,
Biologen oder Chemiker miteinander sprechen. Auch Wirtschaftswissenschafter verwenden gelegentlich
die „Sprache der Mathematik“. Darum ist es nicht verwunderlich, dass man in der Mathematik auch
von „Aussagen“ spricht.
Ein Schweizer könnte die Aussage machen: „Hüt regnets!“. Dies ist entweder wahr oder falsch. Ein
Franzose könnte sagen: „La France est plus grande que la Suisse!“. Diese Aussage ist immer wahr.
Eine typische mathematische Aussage wäre 3 · 3 < 10 (wahr) oder π = 3 (falsch).
Definition 2 Aussagen sind sinnvolle sprachliche Äusserungen beziehungsweise entsprechende Zeichenketten, die entweder wahr oder falsch sind.
Es gibt auch Aussagen über Grössen, welche nicht klar bestimmt sind (Variable): Das Zehnfache einer
Zahl ist grösser als 50. Hier ist nicht klar, über welche Zahl man spricht. Wenn für sie 3 eingesetzt
wird, dann entsteht eine falsche Aussage, wenn man aber beispielsweise 9 einsetzt, so entsteht etwas
Wahres.
3
Definition 3 Eine Formulierung, welche eine Unbekannte (Variable) enthält, nennt man Aussageform.
Wenn für diese Variable ein Wert eingesetzt wird, so entsteht eine Aussage. Die Menge, aus welcher
die Werte für die Variable stammen, heisst Grundmenge und wird mit G bezeichnet.
Aussageformen bezeichnet man meistens mit grossen kalligrafischen Buchstaben (A, B, C usw.).
Wenn nichts anderes angegeben ist, nehmen wir immer R als Grundmenge an.
Typische Aussageformen in der Mathematik sind Gleichungen: Beispielsweise x − 9 = 15 − 2x. Wenn
man für die Variable x einen Wert einsetzt, entsteht eine Aussage, welche entweder wahr oder falsch ist:
x
x
x
x
x
x
=
6
= 6.1
=
7
=
8
= 8.75
=
9
..
.
=⇒
−3 =
=⇒ −2.9 =
=⇒
−2 =
=⇒
−1 =
=⇒ −0.25 =
=⇒
0 =
..
.
3
2.8
1
−1
−2.5
−3
(falsch)
(falsch)
(falsch)
(wahr)
(falsch)
(falsch)
Uns interessieren natürlich nur diejenigen Zahlen, welche aus der Aussageform eine wahre Aussage
machen, denn diese Zahlen „lösen die Gleichung“ (und sind somit Elemente der Lösungsmenge).
Definition 4 Alle x ∈ G, welche beim Einsetzen in eine Aussageform A eine wahre Aussage erzeugen,
gehören zur Lösungsmenge LA .
Beispiel 2 Gegeben ist die Aussageform A = „x ist ein Teiler von 12“. Die Grundmenge G sei N.
In diesem Fall ist die Lösungsmenge
L = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Dieser Form der Mengenangabe sagt man „aufzählende Form“. Eine Menge kann aber auch in „beschreibender Form“ angegeben werden, indem man sie mithilfe ihrer Aussageform darstellt:
L = {x ∈ N | x ist ein Teiler von 12}.
(Lies: Die Menge aller x, für welche gilt: „x ist ein Teiler von 12.“)
4
1.2 Folgerungen (Implikationen) und Äquivalenzen
Wir beginnen mit einem Beispiel.
Beispiel 3 Gegeben sind die folgenden zwei Aussageformen A und B:
A = „x ist eine einstellige, ungerade Primzahl.“
B = „x ist ungerade, grösser als 2 und kleiner als 8.“
Die entsprechenden Lösungsmengen sind
LA = {3, 5, 7} und LB = {3, 5, 7}.
Sie sehen, dass diese Lösungsmengen identisch sind. In diesem Fall heissen die ursprünglichen Aussageformen äquivalent zueinander.
Definition 5 Aussageformen mit gleichen Lösungsmengen heissen äquivalent. Man schreibt A ⇐⇒ B.
Definition 6 Eine Menge M1 heisst Teilmenge von M2 , wenn alle Elemente von M1 auch zu M2
gehören. Man schreibt M1 ⊂ M2 .
Vorsicht: Verwechseln Sie nie die Zeichen ∈ (Element von) und ⊂ (Teilmenge von). ∈ steht zwischen
einem Element und einer Menge, wobei ⊂ immer zwischen zwei Mengen steht!
Wir haben oben den Begriff „äquivalent“ eingeführt. Wenn wir nun zwei Aussageformen gegeben haben,
bei welchen die entsprechenden Lösungsmengen nicht gleich sind, dann kann es immer noch sein, dass
eine die Teilmenge der anderen ist.
Definition 7 Wenn für die Lösungsmengen LA und LB der Aussageformen A bzw. B gilt, dass LA ⊂
LB , dann schreibt man A =⇒ B (lies: „Aus A folgt B.“ oder „A impliziert B.“).
Hier einige Beispiele:
B
„x ist Teiler von 12.“ =⇒ „x ist Teiler von 24.“
B
x = 2 =⇒ x 2 = 4 (Das Umgekehrte gilt nicht!)
B
x > 7 =⇒ x > 3
5
1.3 Mengenoperationen
Wie auch bei Zahlen, kann mit Mengen gerechnet werden. Man spricht von Mengenoperationen.
1.3.1 Schnittmenge
Definition 8 Gegeben sind zwei Mengen A und B. Die Schnittmenge A ∩ B ist die Menge aller
Elemente, welche zu A und zu B gehören.
Abbildung 1.1: Der schraffierte Bereich ist A ∩ B.
1.3.2 Vereinigungsmenge
Definition 9 Gegeben sind zwei Mengen A und B. Die Schnittmenge A ∪ B ist die Menge aller
Elemente, welche zu A oder zu B gehören.
Abbildung 1.2: Der gesamte schraffierte Bereich ist A ∪ B.
1.3.3 Ergänzungsmenge
Definition 10 Gegeben ist eine Grundmenge G = M. Die Menge A (lies: A quer) ist die Menge aller
Elemente aus M, welche nicht zu A gehören. A heisst Ergänzungsmenge bzw. Komplementärmenge
von A bezüglich der Grundmenge M.
6
Abbildung 1.3: Der schraffierte Bereich ist A.
1.3.4 Differenzmenge
Definition 11 Die Differenzmenge A \ B (lies: A ohne B) ist die Menge aller Elemente, welche zu A
aber nicht zu B gehören. Es gilt: A \ B = A ∩ B.
Abbildung 1.4: Der schraffierte Bereich ist A \ B.
7
2 Algebraische Grundlagen
2.1 Faktorisieren
Das Ziel dieses Abschnittes ist es, zu lernen, wie man Terme in Faktoren zerlegt. Als Motivation soll
das folgende Beispiel dienen.
Beispiel 4 Wir wollen die Gleichung x 2 − x = 2 lösen. Das ist gar nicht so einfach, wie es aussieht!
Versuchen Sie es einmal!
Es gibt aber einen Trick, den wir in der Mathematik immer wieder antreffen werden: Die Gleichung
wird so umgeschrieben, dass auf der einen Seite der Gleichung die Zahl 0 steht:
x 2 − x − 2 = 0.
Nun zerlegt man den Term auf der linken Seite in ein Produkt aus den zwei Faktoren x + 1 und x − 2.
Somit ergibt sich:
(x + 1) · (x − 2) = 0.
Wie Sie wissen, ist ein Produkt genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. In unserem Beispiel ist
also entweder x + 1 = 0 oder x − 2 = 0.
Somit hat die Gleichung x 2 − x = 2 die zwei Lösungen x = −1 und x = 2.
Es gibt hauptsächlich drei Methoden, wie Terme faktorisiert werden können:
• Ausklammern
• Faktorzerlegung mithilfe von Formeln
• Klammeransatz bei geeigneten Trinomen
Wichtig: Wenn ein Term faktorisiert werden soll, dann ist immer die Reihenfolge „Ausklammern, Formeln, Klammeransatz“ zu wählen!
8
2.1.1 Ausklammern
Enthalten alle Glieder einer Summe einen gemeinsamen Faktor, so erhält man aus dieser Summe ein
Produkt, indem man den gemeinsamen Faktor mit der Summe der übrigen Faktoren multipliziert. Hier
einige Beispiele:
B
3a − 3b2 = 3(a − b2 )
B
a2 − ab2 = a(a − b2 )
B
3a2 − 3ab2 = 3a(a − b2 )
Ein wichtiger Sonderfall ist das Ausklammern von −1, was allerdings zu keinem „echten“ Produkt
führt:
Beispiel 5 −a + b − c = (−1) · (a − b + c) = −(a − b + c).
2.1.2 Faktorzerlegung mithilfe von Formeln
In der Mathematik vereinfachen Formeln das Leben! So kennen Sie ja bestimmt die binomischen Formeln:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Diese binomischen Formeln (vom Grad zwei) werden wir am häufigsten brauchen.
Wenn ein Term faktorisiert werden soll, dann klammert man zuerst immer soweit wie möglich aus und
überprüft dann, ob eine (binomische) Formel anwendbar ist.
Beispiel 6 12a4 +3a2 b2 −12a3 b = 3a2 (4a2 +b2 −4ab) = 3a2 (2a)2 − 2 · 2a · b + b2 = 3a2 (2a−b)2
Beispiel 7 16x 5 − 100x 3 = 4x 3 4x 2 − 25 = 4x 3 (2x + 5) (2x − 5)
9
2.1.3 Klammeransatz bei geeigneten Trinomen
Betrachten Sie noch einmal das Beispiel 4 auf Seite 8. Dort haben wir den Term x 2 − x − 2 in
(x + 1) · (x − 2) umgeformt. Aber wie funktioniert das? Dazu berechnen wir einmal das Folgende:
(x + p) · (x + q) = x 2 + px + qx + p · q = x 2 + (p + q) · x + p · q.
Man bemerkt: Es entsteht ein Term, welcher mit x 2 beginnt, dann folgt eine Zahl mal x und zulezt
steht eine Zahl. Weiter sieht man, dass die Zahl vor dem x die Summe und die Zahl am Schluss das
Produkt von p und q ist:
(x + p) · (x + q) = x 2 + (p + q) ·x + p · q .
|{z}
| {z }
Summe
Produkt
Wenn man also ein Trinom1 von der Form x 2 + ax + b faktorisieren will, dann muss man zwei Zahlen
p und q finden, für welche gilt, dass
a = p + q und b = p · q.
Beispiel 8 Wenn man das Trinom x 2 − x − 2 faktorisieren will, sind zwei Zahlen zu finden, deren
Summe −1 und deren Produkt −2 beträgt. Das wird von 1 und −2 erfüllt, denn 1 + (−2) = −1 und
1 · (−2) = −2. Es gilt also, dass x 2 − x − 2 = (x + 1) · (x − 2) ist.
Beispiel 9 Der Term 5x 2 − 45x − 180 soll in Faktoren zerlegt werden. Als erstes kann man 5 ausklammern:
5x 2 − 45x − 180 = 5 x 2 − 9x − 36 .
Jetzt sind noch zwei Zahlen zu finden, die addiert −9 und multipliziert −36 ergeben. 3 und −12 haben
diese Eigenschaft. Somit kann der Term wie folgt umgeformt werden:
5 x 2 − 9x − 36 = 5 (x + 3) (x − 12) .
1
Ein dreigliedriger Term heisst Trinom, entsprechend heisst ein zweigliedriger Term Binom und ein mehrgliedriger
Polynom.
10
2.2 Bruchterme
Bruchterme sind mathematische Objekte mit einem Zähler und einem Nenner. Eigentlich handelt es
sich um nichts anderes als eine umgeschriebene Division. Zum Beispiel
Zähler
z
}|
{
3
2
x
−
3x
+
2x
−
1
x 3 − 3x 2 + 2x − 1 : x 4 + x + 1 =
.
x| 4 +{zx + 1}
Nenner
Etwas Wichtiges ist noch zu bemerken: Der Nenner eines Bruches darf nie Null sein, denn sonst würde
man durch Null dividieren, was keinen Sinn ergibt!
2.2.1 Kürzen von Bruchtermen
Das Kürzen von Bruchtermen funktioniert genau gleich wie das Kürzen bei Brüchen mit Zahlen: Vor
dem Kürzen müssen Zähler und Nenner als Produkte vorliegen. Beim Kürzen wird der gemeinsame
Faktor bzw. die gemeinsamen Faktoren weggelassen (rausgekürzt). Betrachten Sie dazu folgende
Beipsiele.
B
2
2a
= 2
ab2
b
B
a(a − b)
a
a2 − ab
=
=
2a − 2b
2(a − b)
2
B
(x + 1)(x − 1)
x −1
x2 − 1
=
=
2
x +x
x(x + 1)
x
2.2.2 Gleichnamigmachen von Bruchtermen (Erweitern)
Um Brüche gleichnamig zu machen, bestimmt man ein gemeinsames Vielfaches aller gegebenen Nenner. Um möglichst kleine Zahlen zu erhalten, ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) am geeignetsten. Das kgV aller Nenner heisst Hauptnenner. Wir können das kgV ermitteln, indem wir die
Nenner in Primfaktoren zerlegen.
11
B
Machen Sie die folgenden drei Brüche gleichnamig:
7
3 5
,
und
.
8 12
18

8 = 2·2·2 
12 = 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3
B
Hauptnenner: 2 · 2 · 2 · 3 · 3
3
8
=
3
2·2·2
=
3·3·3
2·2·2·3·3
=
27
72
5
12
=
5
2·2·3
=
5·2·3
2·2·2·3·3
=
30
72
7
18
=
7
2·3·3
=
7·2·2
2·2·2·3·3
=
28
72
Machen Sie die folgenden drei Brüche gleichnamig:
ab
b
3
, 2
und 2 .
2
2
ab − b a − b
a b

ab − b2 = b(a − b)

a2 − b2 = (a + b)(a − b)

a2 b
= a2 b
Hauptnenner: a2 b(a + b)(a − b)
ab
ab − b2
=
ab
a2 (a + b)
· 2
b(a − b) a (a + b)
=
a3 b(a + b)
a2 b(a + b)(a − b)
b
2
a − b2
=
b
a2 b
· 2
(a + b)(a − b) a b
=
a2 b 2
a2 b(a + b)(a − b)
3
a2 b
=
=
3(a + b)(a − b)
a2 b(a + b)(a − b)
3
a2 b)
·
(a + b)(a − b)
(a + b)(a − b)
2.2.3 Addition und Subtraktion von Bruchtermen
Ungleichnamige Bruchterme werden vor dem addieren oder Subtrahieren gleichnamig gemacht. Gleichnamige Brüche werden addiert beziehungsweise subtrahiert, indem man ihre Zähler addiert respektive
subtrahiert und den gemeinsamen Nenner beibehält. Am Schluss ist noch zu prüfen, ob gekürzt werden
12
kann.
Beispiel 10 Vereinfachen Sie den Term
x +1
1
2.5x − 0.5
−
−
.
2x 2 − 2x
2x − 2 4x
x +1
1
2.5x − 0.5
x +1
1
2.5x − 0.5
−
−
=
−
−
2x 2 − 2x
2x − 2 4x
2x(x − 1)
2(x − 1) 2 · 2x
=
2(2.5x − 0.5)
2x(x + 1)
x −1
2(2.5x − 0.5) − 2x(x + 1) − (x − 1)
−
−
=
2 · 2x(x − 1)
2 · 2x(x − 1) 2 · 2x(x − 1)
2 · 2x(x − 1)
=
5x − 1 − 2x 2 − 2x − x + 1
−2x 2 + 2x
−2x(x − 1)
1
=
=
=−
4x(x − 1)
4x(x − 1)
4x(x − 1)
2
Beachten Sie: Wenn vor einem Bruch ein Minus steht, dann wird beim Subtrahieren das Minus vor den
Term im Zähler gesetzt, wobei dieser in Klammern eingeschlossen werden muss! So gilt zum Beispiel
das Folgende:
x −2
7 − (x − 2)
7−x +2
9−x
7
−
=
=
=
.
x −1 x −1
x −1
x −1
x −1
2.2.4 Multiplikation von Bruchtermen
Bruchterme werden multipliziert, indem man das Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner
dividiert:
a c
ac
· =
.
b d
bd
Danach ist immer noch zu prüfen, ob der entstandene Bruch vereinfacht werden kann.
Beispiel 11
3a + 3b
2a
(3a + 3b) · 2a
3(a + b) · 2a
3a
·
=
=
=
2a − 2b a + b
(2a − 2b) · (a + b)
2(a − b)(a + b)
a−b
2.2.5 Division von Bruchtermen
Definition 12 (Kehrbruch) Vertauscht man in einem Bruch den Zähler und den Nenner, so erhält
man den so genannten Kehrbruch. Dem Kehrbruch sagt man auch reziproker Bruch.
13
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert:
a d
ad
a c
: = · =
.
b d
b c
bc
Werden Brüche verschachtelt dargestellt, so spricht man von Doppelbrüchen:
a
b
c
d
=
a c
: .
b d
14
3 Gleichungen und Ungleichungen
3.1 Gleichungen
Aufgabe 1 Von einer Zahl weiss man folgendes: Wird sie mit 3 multipliziert und dann 4 dazugezählt,
so erhält man dasselbe, wie wenn man die Zahl mit 2 multipliziert und dann 5 dazuaddiert. Wie heisst
die Zahl?
Sie wissen natürlich, wie man dieses Problem löst. Für die Zahl setzt man eine Variable ein, zum
Beispiel x, und stellt eine entsprechende Bedingung auf:
3x+4=2x+5
Somit entsteht eine Gleichung.
Definition 13 Wenn zwei Terme gleichgesetzt werden, dann entsteht eine Gleichung. Eine Gleichung
ist eine Aussageform.
Uns interessiert nun natürlich, welchen Wert x hat. Dazu formen wir die Gleichung so um, dass sich
die Lösungsmenge nicht verändert (Äquivalenzumformung). Zum Beispiel kann auf beiden Seiten der
Gleichung dasselbe dazugezählt bzw. abgezählt werden. Ebenso kann auf beiden Seiten mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die selbe Zahl dividiert werden (sofern diese Zahl nicht 0 ist).
Vorsicht: Es gibt viele Operationen, welche nicht zu einer äquivalenten Gleichung führen. Beim Quadrieren entsteht zum Beispiel in der Regel eine Gleichung, die zur ursprünglichen nicht äquivalent ist!
x = 4 hat die Lösungsmenge L = {4}, wobei x 2 = 16 die Lösungsmenge L = {−4, 4} besitzt.
Wir wollen jetzt noch unsere Gleichung lösen.
15
3x + 4
x +4
x
=
=
=
2x + 5
5
1
| −2x
| −4
Somit ist die Lösungsmenge L = {1}.
Bei schwierigeren Gleichungen werden, wenn möglich, beide Seiten zuerst soweit wie möglich vereinfacht.
B Lösen Sie die Gleichung 2(x + 3) − (3 − 2x) = 9x + 2 − (6x + 1).
2(x + 3) − (3 − 2x)
2x + 6 − 3 + 2x)
4x + 3
x +3
x
=
=
=
=
=
9x + 2 − (6x + 1)
9x + 2 − 6x − 1
3x + 1
1
−2
| −3x
| −3
Es gibt auch Gleichungen, bei welchen man für x einstzen kann, was man will, und es entsteht immer
eine wahre Aussage. Eine solche Gleichung heisst „allgemeingültig“. x + 4 = 4 + x ist zum Beispiel
immer richtig. Somit gilt, L = R.
Im Gegensatz dazu kann eine Gleichung auch unerfüllbar sein, nämlich dann, wenn für jedes mögliche x eine falsche Aussage entsteht. Ein Beispiel dafür ist x + 4 = 7 + x. Hier ist L = ∅.
3.2 Bruchgleichungen
Wenn in einer Gleichung das x in einem Nenner vorkommt, so spricht man von einer Bruchgleichung.
Eine solche Gleichung löst man, indem man zuerst mit dem kgV aller Nenner (Hauptnenner) multipliziert. Damit wird erreicht, dass alle Brüche verschwinden. Zu beachten ist bei Bruchungleichungen,
dass die Nenner der Brüche nie Null werden dürfen, da sonst eine Nulldivision entsteht.
Einige Beispiele dazu:
16
B
1
2
+
x +3 x −3
=
3
21
+ 3
x
x − 9x
1
2
+
x +3 x −3
=
3
21
+
x
x(x − 3)(x + 3)
x(x − 3) + 2x(x + 3)
=
3(x − 3)(x + 3) + 21
x 2 − 3x + 2x 2 + 6x
=
3(x 2 − 9) + 21
3x 2 + 3x
=
3x 2 − 6
| −3x 2
3x
=
−6
|: 3
x
=
−2
| ·x(x − 3)(x + 3)
Die Lösung muss noch in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt werden (Überprüfung Nulldivision).
In diesem Beispiel ist x = −2 eine Lösung.
B
1
6
−
x − 3 x2 − 9
=
0
x +3−6
=
0
x −3
=
0
x
=
3
| ·(x − 3)(x + 3)
| +3
Wenn man in diesem Beispiel x = 3 oben einsetzt, so entsteht eine Nulldivision. Somit ist L = ∅.
B
3
3x
−
2x − 6 2
=
4.5
x −3
3x − 3(x − 3)
=
2 · 4.5
3x − 3x + 9
=
9
9
=
9
0
=
0
| ·2(x − 3)
| −9
Diese Bruchgleichung ist also äquivalent zu einer wahren Aussage.
Somit können alle Zahlen eingesetzt werden, welche nicht auf eine Nulldivision führen. L = R \ {3}.
17
3.3 Bruchungleichungen
3.3.1 Intervallschreibweise
Sobald man es mit Ungleichungen zu tun hat (zum Beispiel x < 9 oder x5 ≤ 7), bestehen die Lösungsmengen in der Regel nicht mehr aus nur einem Element, sondern aus unendlich vielen (zum Beispiel
alle Zahlen aus R, welche grösser als 9 sind).
Dazu führen wir Schreibweisen ein:
[a; b]
=
{x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
[a; b[
=
{x ∈ R | a ≤ x < b}
]a; b]
=
{x ∈ R | a < x ≤ b}
]a; b[
=
{x ∈ R | a < x < b}
[a; ∞[
=
{x ∈ R | a ≤ x}
]a; ∞[
=
{x ∈ R | a < x}
] − ∞; b]
=
{x ∈ R | x ≤ b}
] − ∞; b[
=
{x ∈ R | x < b}
abgeschlossenes Intervall
(alle Zahlen zwischen a und b inklusive a und b)
halboffenes Intervall
(alle Zahlen zwischen a und b inklusive a aber ohne b)
halboffenes Intervall
(alle Zahlen zwischen a und b ohne a aber inklusive b)
offenes Intervall
(alle Zahlen zwischen a und b aber ohne die Randwerte a und b)
nach rechts unbegrenztes, abgeschlossenes Intervall
(alle Zahlen, welche grösser oder gleich sind wie a)
nach rechts unbegrenztes, offenes Intervall
(alle Zahlen, welche grösser sind wie a)
nach links unbegrenztes, abgeschlossenes Intervall
(alle Zahlen, welche kleiner oder gleich sind wie b)
nach links unbegrenztes, offenes Intervall
(alle Zahlen, welche kleiner sind wie b)
3.3.2 Bruchungleichungen
Wir wollen nun Bruchungleichungen lösen, beispielsweise
x −1
< 2.
x −2
Beim Umformen einer solchen Aussageform entstehen dann Probleme, wenn auf beiden Seiten mit
einer Zahl multipliziert wird, von der nicht bekannt ist, ob sie positiv oder negativ ist. Denn wir erinnern
uns:
Man erhält zu einer Ungleichung eine äquivalente Ungleichung, wenn man
• auf beiden Seiten dieselbe Zahl addiert bzw. subtrahiert,
18
• beide Seiten mit derselben positiven Zahl multipliziert bzw. durch dieselbe positive Zahl dividiert,
• beide Seiten mit derselben negativen Zahl multipliziert bzw. durch dieselbe Zahl dividiert und
gleichzeitig das Vergleichszeichen umkehrt (< zu > bzw. umgekehrt).
Wenn man also auf beiden Seiten mit einem Term multipliziert, der zum Beispiel ein x enthält, so
kann man nicht entscheiden, ob dieser positiv oder negativ ist, wenn der Wert von x nicht bekannt
ist. Dieses Problem löst man durch Fallunterscheidungen.
Beispiel 12 Zu lösen ist die Ungleichung
x −1
< 2.
x −2
Um den Nenner wegzubringen multiplizieren wir beide Seiten mit (x − 2). Dieser Term ist positiv
für x > 2 (1. Fall) und negativ für x < 2 (2. Fall). Im ersten Fall bleibt das Vergleichszeichen der
ursprünglichen Ungleichung (<) stehen. Im zweiten Fall wird aus dem Zeichen < das umgekehrte
Zeichen >.
1. Fall: x > 2
x −1
x −1
−x
x
<
<
<
>
2(x − 2)
2x − 4
−3
3
2. Fall: x < 2
x −1
x −1
−x
x
| −2x + 1
| ·(−1)
Da in diesem Fall x > 2 gilt,
ist die Lösungsmenge
>
>
>
<
2(x − 2)
2x − 4
−3
3
| −2x + 1
| ·(−1)
Da in diesem Fall x < 2 gilt,
ist die Lösungsmenge
L1.F all =]3; ∞[
L2.F all =] − ∞; 2[
Zusammenfassend erhält man die Lösungsmenge L = L1.F all ∪ L2.F all =] − ∞; 2[ ∪ ]3; ∞[.
19
4 Lineare Funktionen
4.1 Funktionsbegriff
Beispiel 13 In den USA wird für Temperaturangaben nicht die Celsius-Gradskala sondern die FahrenheitGradskala verwendet. Benannt ist sie nach Gabriel Daniel Fahrenheit aus Danzig, der 1714 das erste
brauchbare Quecksilberthermometer entwickelte. Folgende Werte entsprechen sich:
◦C
◦F
30
20
10
0
−10
−20
86
68
50
32
14
−4
Mathematisch gesprochen sagt man, dass dem Wert 30 ◦ C der Wert 86 ◦ F zugeordnet wird, dem
Wert 20 ◦ C der Wert 68 ◦ F usw. Wenn dem Wert x ◦ C der Wert y ◦ F zugeordnet wird, so schreibt
man x 7−→ y (dem x wird das y zugeordnet). Die Tabelle sieht dann wie folgt aus:
30
20
10
0
−10
−20
7−→
7−→
7−→
7−→
7−→
7−→
86
68
50
32
14
−4
Die Frage stellt sich nun natürlich, wie man ein allgemeines y berechnet, wenn das x bekannt ist.
Haben Sie eine Idee?
20
Die Gleichung, welche die Abhängigkeit zwischen x und y beschreibt, lautet y =
Sie die Richtigkeit dieses Zusammenhangs.
9
5
· x + 32. Überprüfen
Wenn das Thermometer also in der Schweiz 16.5 ◦ C anzeigt und ich diese Temperatur einem Kollegen
in Amerika mitteilen will, so muss ich sie wie oben beschrieben umrechnen:
y=
9
5
· 16.5 + 32 = 61.7
Die Temperatur zu besagtem Zeitpunkt ist also 61.7 ◦ F.
Solche Zuordnungen, durch welche einem Wert (im Beispiel: x) eindeutig ein Wert (hier: y ) zugeordnet
wird, werden als „Funktionen“ bezeichnet.
Definition 14 Wenn einer Zahl x ∈ D eindeutig eine Zahl y ∈ W zugeordnet wird, dann spricht man
von einer Funktion.
Funktionen werden meistens mit kleinen Buchstaben bezeichnet (f , g, h usw.). Häufig verwendet man
folgende Schreibweise:
f :
x
D
7−→
−→
y
W
x heisst Argument oder Stelle der Funktion f und das y Funktionswert oder schlicht Wert der Funktion.
D nennt man Definitionsmenge und W Wertemenge.
Es gibt noch andere Möglichkeiten, eine Funktion darzustellen:
Statt f : x 7−→ y schreibt man zuweilen auch x 7−→ f (x) (lies: „Dem x wird f von x zugeordnet.“)
oder y = f (x).
Häufig dient es dem Verständnis, wenn man eine Funktion grafisch darstellt. Betrachten wir noch
einmal das Beispiel 13 auf Seite 20. Wenn wir die x-Werte und die entsprechenden y -Werte aus der
Tabelle (welche übrigens Wertetabelle genannt wird) als Punkte (x, y ) in einem Koordinatensystem
interpretieren, dann entsteht folgendes Bild (Abbildung 4.1). Die gestrichelte Linie zeigt an, dass in
unserem Beispiel alle Punkte auf einer Geraden liegen.
21
y
5
x
5
Abbildung 4.1: Zusammenhang zwischen x ◦ C und y ◦ F
Diese Darstellung nennt man den Graphen der Funktion.
Definition 15 Die Menge aller Punkte (x, f (x)) heisst Graph der Funktion f .
Wir betrachten noch ein weiteres Beispiel.
Beispiel 14 Gegeben ist die folgende Funktion f .
f :
x
R
7−→
−→
x2
R+
0
Einer Zahl wird also immer ihr Quadrat zugeordnet. Da dabei nur positive Zahlen oder die Null entstehen können, ist die Wertemenge W = R+
0 . Tabellieren wir nun einige Zuordnungen in der Wertetabelle:
x
f (x)
−2
4
−1
1
0
0
1
1
1.5
2.25
2
4
3
9
Beim Eintragen aller Punkte in einem Koordinatensystem sieht man, dass alle Punkte auf einer Kurve
liegen. Die Kurve, welche durch die Funktion y = x 2 entsteht, nennt man Stammparabel (Abbildung
4.2).
22
y
1
x
1
Abbildung 4.2: Graph der Funktion f (x) = x 2
In der Abbildung 4.2 sind die Punkte aus unserer Wertetabelle der Funktion eingetragen: (−2, 4),
(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (1.5, 2.25), (2, 4) und (3, 9).
4.2 Proportionalitäten
Wir betrachten in diesem Abschnitt einen ersten Funktionstyp: die (direkte) Proportionalität. Dazu
ein Beispiel:
Beispiel 15 Ein Salat kostet 3 Fr. x Salate kosten y Franken.
Durch diese Zuordnung ist eine Funktion definiert. Wir erstellen eine Wertetabelle.
x
f (x)
1
3
2
6
3
9
4
12
5
15
6
18
7
21
Die Funktionsgleichung lautet in diesem Fall y = 3·x. Bei der Darstellung der Punkte in einem Graphen
stellt man fest, dass diese auf einer Geraden durch den Nullpunkt liegen (Abbildung 4.3).
Definition 16 Eine Proportionalität ist eine Funktion f : y = m · x. m ∈ R heisst Proportionalitätskonstante bzw. -faktor. Der Graph dieser Funktion ist eine Gerade durch den Nullpunkt mit der
Steigung m.
23
y
3
x
1
Abbildung 4.3: Darstellung der Funktion y = 3 · x
y
m
x
1
Abbildung 4.4: Graph der Proportionalität f (x) = m · x
4.3 Lineare Funktionen
Wir wollen nun natürlich nicht nur Funktionen betrachten, welche als Graph eine Gerade durch den
Nullpunkt darstellen. Im Folgenden kümmern wir uns um Geraden, die beliebig im zweidimensionalen
Raum liegen können.
Als Grundlage betrachten wir wiederum die Proportionalität y = mx. Wir verschieben nun diese
Gerade parallel um eine Zahl q ∈ R in Richtung der y -Achse (Abbildung 4.5). Dann entsteht als
Funktionsgleichung y = mx + q.
Definition 17 Eine lineare Funktion hat die Form f : y = mx + q, wobei m ∈ R und q ∈ R.
Der Graph ist eine allgemeine Gerade. m heisst Steigung und q nennt man y -Achsenabschnitt oder
Ordinatenabschnitt.
24
y
m
q
x
1
Abbildung 4.5: Parallelverschiebung der Geraden y = mx um q in y -Richtung
y
m
1
q
x
Abbildung 4.6: Die Gerade y = mx + q mit Steigungsdreieck
Die Steigung einer Geraden stellt man gerne mithilfe eines sogenannten Steigungsdreiecks dar. Eine
Gerade der Form y = mx + q steigt nämlich pro Einheit um m nach oben (bzw. nach unten, wenn
das m negativ ist). Vergleichen Sie dazu die Abbildung 4.6.
25
5 Lineare Gleichungssysteme
5.1 Lineare Gleichungssysteme
Sie wissen, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist. Aus der Geometrie ist ebenfalls
bekannt, dass sich zwei Geraden in der Regel in einem Punkt schneiden.
Überträgt man diese Idee auf die Algebra, so kann dieser Schnittpunkt also durch zwei Funktionsgleichungen von linearen Funktionen dargestellt werden. Betrachten Sie dazu das folgende Beispiel.
Beispiel 16 Gegeben sind zwei Funktionen in impliziter Darstellung: 3x + 6y = 15 und 2x − y = 0.
Diese zwei Geraden schneiden sich im Punkt (1, 2).
y
1
x
1
Abbildung 5.1: Die Geraden 3x + 6y = 15 und 2x − y = 0 schneiden sich im Punkt (1, 2).
Anders gesagt bedeutet dies, dass x = 1 und y = 2 beide Gleichungen erfüllt. Wenn zwei (oder
mehr) Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein sollen, spricht man von einem Gleichungssystem. In unserem
Beispiel schreiben wir:
3x + 6y
2x − y
=
=
15
0
Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist L = {(1, 2)}.
26
Definition 18 Die Verknüpfung von zwei (oder mehr) linearen Gleichungen durch „und“ 1 nennt man
lineares Gleichungssystem.
Wir betrachten vorerst lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen (und zwei Variablen2 ). Da die
entsprechendnen Geraden auch parallel sein können, besteht die Lösungsmenge eines Gleichungssystems nicht immer aus genau einem Element. Es gibt drei mögliche Fälle:
Der Graph besteht aus ...
Die Lösungsmenge ...
... zwei Geraden, welche sich schneiden.
... zwei echt parallelen Geraden.
... zwei identischen Geraden.
... besteht aus genau einem Zahlenpaar.
... ist leer.
... besteht aus unendlich vielen Elementen
(aus allen Punkten der Gerade).
Beispiel 17 Der Graph des folgenden Gleichungssystems besteht aus zwei parallelen Geraden.
2x + y
2x + y
=
=
4
3
Somit ist die Lösungsmenge L = ∅.
Beispiel 18 Im folgenden Gleichungssystem ist die obere Gleichung zur unteren äquivalent. Somit
wird eigentlich nur eine Gerade beschrieben.
x +y
3x + 3y
=
=
4
12
Somit ist die Lösungsmenge L = {(x, y ) | x + y = 4}.
1
2
Eine Verknüpfung mit „und“ bedeutet, dass die Lösungsmengen geschnitten werden.
Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen können nur dann eine eindeutige Lösung haben, wenn sie auch mehr
als zwei Variable beinhalten.
27
5.2 Lösungsverfahren
Für Gleichungssysteme gibt es verschiedene Lösungsverfahren. Je nach Fall führt das eine oder andere
schneller zur Lösung. Häufig werden die Verfahren auch vermischt.
5.2.1 Substitutionsmethode
Bei der Substitutionmethode3 wird eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst. Den
Lösungsterm setzt man in die andere Gleichung ein und löst diese auf.
Beispiel 19 Im folgenden System lösen wir die zweite Gleichung nach x auf und setzen den Term in
die erste Gleichung ein.
(I)
(II)
4x + 3y
6x − 5y
=
=
15
13
Es entsteht eine zu (II) äquivalente Gleichung (II’): x =
5
6
·y +
13
6 .
Beim Einsetzen in die Gleichung (I) ensteht die Gleichung 4 ·
26
dass 10
3 · y + 3y = 15 − 3 .
Somit ist
19
3
·y =
19
3
5
6
·y +
13
6
+ 3y = 15. Also gilt,
=⇒ y = 1.
Durch Einsetzen in (II’) ergibt sich dann x = 3.
Somit ist die Lösungsmenge L = {(3, 1)}.
5.2.2 Additionsmethode
Bei der Additionsmethode wird zuerst eine Variable eliminiert, indem beide Gleichungen addiert werden.
Die Lösung kann danach in eine Gleichung eingesetzt werden. Dadurch erhält man noch die zweite
Lösung.
Beispiel 20 Im folgenden System werden beide Gleichungen addiert. Dadurch fällt das y raus.
3
Die Substitutionsmethode wird auch Einsetzverfahren genannt.
28
(I)
(II)
x +y
x −y
=
=
17
5
Bei der Addition von (I) und (II) entsteht 2x = 22. Das heisst, x = 11.
Durch Einsetzen von x in die Gleichung (I) entsteht die Gleichung 11 + y = 17.
Daraus folgt, dass y = 6.
Somit ist die Lösungsmenge L = {(11, 6)}.
Beispiel 21 Im Allgemeinen müssen vor der Addition beide Gleichungen des Systems mit je einem
Faktor multipliziert werden.
(I)
(II)
4x + 3y
6x − 5y
=
=
(I’)
(II’)
20x + 15y
18x − 15y
| ·5
| ·3
15
13
=
=
75
39
Bei der Addition von (I) und (II) entsteht 38x = 114. Das heisst, x = 3.
Durch Einsetzen von x in die Gleichung (I) entsteht die Gleichung 12 + 3y = 15.
Daraus folgt, dass y = 1.
Somit ist die Lösungsmenge L = {(3, 1)}.
29
6 Quadratische Gleichungen
Definition 19 Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei a ∈ R \ {0} und b, c ∈ R heisst
quadratische Gleichung.
Wir betrachten zuerst einige Beispiele, um eine Methode kennenzulernen, quadratische Gleichungen
zu lösen.
Beispiel 22 Lösen Sie die Gleichung x 2 + 6x − 20 = 0.
Damit man auf beiden Seiten die Wurzel ziehen kann, muss die Gleichung in eine Form gebracht
werden, wo auf der einen Seite ein ausmultipliziertes Binom und auf der anderen Seite eine Zahl steht.
x 2 + 6x − 20
6x + 9} −29
|x + {z
(x + 3)2
−29
(x + 3)2
x +3
x
2
=
=
0
0
quadratisches Ergänzen
=
=
=
=
0
29√
± 29√
−3 ± 29
√
√ Die Gleichung besitzt also zwei Lösungen. Somit ist die Lösungsmenge L = −3 + 29, −3 − 29 .
Beispiel 23 Lösen Sie die Gleichung x 2 − 4x + 1 = 0.
x 2 − 4x + 1
4x + 4} −3
|x − {z
(x − 2)2
−3
(x − 2)2
x −2
x
2
=
=
0
0
quadratisches Ergänzen
=
=
=
=
0
3√
± 3√
2± 3
30
√ √
Die Lösungsmenge ist also L = 2 + 3, 2 − 3 .
Beispiel 24 Lösen Sie die Gleichung 3x 2 − 4x − 4 = 0.
Hier stellt sich zusätzlich das Problem, dass vor dem x 2 noch eine Zahl steht. Die Lösung ist natürlich
einfach, denn man braucht nur auf beiden Seiten durch diese Zahl zu dividieren.
3x 2 − 4x − 4
=
0
|: 3
4
3
=
0
quadratisches Ergänzen
− 16
9
=
0
− 16
9
2 2
x−3
=
0
=
2
3
=
16
9q
±
x
=
2
3
x 2 − 43 x −
x 2 − 43 x + 49
{z
}
|
2 2
x−3
x−
±
16
9
=
4
3
4
3
Somit ist die Lösungsmenge L = − 23 , 2 .
Um das Auflösen von quadratischen Gelichungen zu vereinfachen, wollen wir nun eine allgemeine Lösungsformel herleiten.
x 2 + ba x +
|
{z
x+
b
2a
b 2
2a
2
ax 2 + bx + c
=
0
|: a
c
a
=
0
quadratisches Ergänzen
c
a
=
0
b
c
− 4a
2 + a
b 2
x + 2a
b 2
x + 2a
=
0
=
b2
4a2
=
b2 −4ac
4a2
x+
b
2a
=
q
2 −4ac
± b 4a
2
x+
b
2a
=
±
x
=
x 2 + ba x +
b 2
− 2a
+
}
2
√
−
c
a
b2 −4ac
2a
√
−b
b2 −4ac
±
2a
2a
31
Somit gilt für eine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 mit a 6= 0 die folgende Lösungsformel.
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Der Term b2 − 4ac, welcher unter der Wurzel steht, heisst Diskriminante1 . Wenn die Diskriminante
negativ ist, so ist die Wurzel nicht definiert und die Gleichung hat dann keine Lösung. Im Fall, in
welchem b2 − 4ac = 0 ist, gibt es genau eine Lösung, denn ob man Null addiert oder subtrahiert
macht keinen Unterschied.
Zusammenfassend kann man das Folgende aussagen:
(
Diskriminante D =
b2
Diskriminante D =
b2
− 4ac > 0
zwei Lösungen
√
)
√
b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
,
2a
2a
− 4ac = 0
eine Lösung
Diskriminante D = b2 − 4ac < 0
keine Lösung
1
L=
−b +
L=
L=∅
Dieses Wort stammt vom lateinischen Wort discriminare, was soviel heisst wie trennen.
32
−b
2a
7 Potenzen
7.1 Potenzen mit Exponenten aus N
Wie Sie wissen, kann man gewisse Terme zusammenfassen. Niemand schreibt a + a + a + a + a + a.
Dafür wurde die Multiplikations-Schreibweise 6 · a eingeführt.
Ebenso kann beispielsweise der Term a · a · a · a · a · a als a6 (sprich: „a hoch 6“) geschrieben werden.
Man spricht hier von der sogenannten Potenz-Schreibweise.
Definition 20 Die Multiplikation von n identischen Faktoren a ∈ R kürzt man mit an ab.
an = a| · a ·{z. . . · a}. an heisst Potenz, a Basis und n Hochzahl oder Exponent der Potenz.
n-mal
Für das Rechnen mit Potenzen können einfache Regeln aufgestellt werden (Potenzgesetze):
am · an
am : an
an · b n
an : b n
(an )m
=
=
=
=
=
am+n
am−n , falls m > n
(ab)n
(a : b)n
anm
Vorsicht: Im letzten der oben erwähnten Gesetze dürfen die Klammern nicht weggelassen werden.
4
Wenn man zum Beispiel 23 berechnen will, ist nicht klar, ob zuerst 23 oder 34 gerechnet werden
muss. Es gilt
23
4
= 84 = 4 096, aber
34
2( ) = 281 = 2 417 851 639 229 258 349 412 352.
Im Folgenden sind die Beweise dieser fünf Gesetze dargestellt:
33
B
am · an = a| · a ·{z. . . · a} · a| · a ·{z. . . · a} = am+n
| m-mal {z n-mal }
(m+n)-mal
m-mal
B
}|
{
z
a · a · a · a · ... · a
am
m
n
= |a · a ·{z. . . · a} = am−n
a :a = n =
a
a| · a ·{z. . . · a}
(m−n)-mal
n-mal
B
n
an · bn = a| · a ·{z. . . · a} · b
| · b ·{z. . . · b} = ab
| · ab · ab
{z · . . . · ab} = (ab)
n-mal
n-mal
n-mal
n-mal
B
}|
{
z
an
a a
a · a · ... · a
a a n
n
n
a :b = n =
= · · ... · =
b
b
b}
b
| · b ·{z. . . · b} |b b {z
n-mal
B
n-mal
(am )n = a| · a ·{z. . . · a} · a| · a ·{z. . . · a} · . . . · |a · a ·{z. . . · a} = |a · a ·{z. . . · a} = an·m
m-mal
m-mal
(n·m)-mal
{z
}
| m-mal
n-mal
Hier einige Beispiele für die Anwendung der Potenzgesetze:
B
a3 · a7 = a3+7 = a10
B
x9
= x 9−6 = x 3
x6
B
(xy )4 = x 4 y 4
B
64
=
34
B
z3
B
2
4
6
= 24 = 16
3
= z6
x8
x5 · x3
=
= x6
x2
x2
7.2 Potenzen mit Exponenten aus Z
Wir wollen im Folgenden untersuchen, was geschieht, wenn wir als Hochzahlen bei Potenzen auch
negative ganze Zahlen zulassen. Wir setzen voraus, dass die Potenzgesetze weiterhin gelten.
Zuerst beantworten wir die Frage, was a0 gibt.
34
an
Unter der Voraussetzung, dass die Potenzgesetze weiterhin gültig sind, gilt n = an−n = a0 . Da aber
a
an
0
= 1 ist, gilt a = 1.
an
Weiter fragen wir uns, was a−n ergibt: Wir stellen dazu eine Gleichung auf.
a−n · an = a0 = 1
Wenn wir auf beiden Seiten durch an dividieren, erhalten wir
a−n =
1
.
an
Unter der Voraussetzung, dass die Potenzgesetze weiterhin gelten, gilt also
a0 = 1
und
1
−n
a = n.
a
Auch hierzu einige Beispiele:
B
2−3 =
1
1
=
3
2
8
B
7−1 =
1
1
=
1
7
7
B
−3
1
=
4
1
1 3
4
=
1
1
43
= 43 = 64
35
7.3 Der allgemeine Wurzelbegriff
Bevor der Potenzbegriff auch für Exponenten aus Q definiert werden kann, müssen wir den Wurzelbegriff erweitern:
2
Wir wollen dazu die Gleichung x n = a mit a ∈ R+
0 und n ∈ N lösen. Wenn n = 2 ist (x = a), sind
√
die Lösungen dieser Gleichung x = ± a. Wenn das n nun eine beliebige natürliche Zahl ist, führt das
auf den allgemeinen Wurzelbegriff.
Beispiel 25 Die
Lösung der Gleichung x 3 = 7 ist ungefähr x ≈ 1.913. Wir führen für diese Zahl die
√
3
Bezeichnung 7 ein.
Definition 21 Die nichtnegative Lösung der Gleichung x n = a (a ∈ R+
0 und n ∈ N) heisst n-te Wurzel
√
aus a. Wir schreiben für diese Lösung n a. a heisst Radikand und n heisst Wurzelexpnonent.
Beispiel 26
√
3
8 = 2,
√
10
r
1024 = 2,
4
1
1
=
16
2
7.4 Potenzen mit Exponenten aus Q
Wir setzen weiterhin voraus, dass die Potenzgesetze gültig sind. Wir betrachten – wie im letzten Abschnitt – die Lösung der Gleichung x n = a mit a ∈ R+
0.
xn = a
Wir rechnen nun auf beiden Seiten hoch n1 .
1
1
(x n ) n = a n
1
Gemäss den Potenzgesetzen gilt (x n ) n = x 1 = x. Somit ist
36
1
x = an .
Es gilt also
m
an
√
1
an = n a
1 m
√ m
= an
= na
1
m
a n = (am ) n =
m
a− n =
1
m
an
37
=
√
n
am
1
√
n m.
a
8 Logarithmen
Bei der Einführung des allgemeinen Wurzelbegriffes haben wir die Gleichung x n = a betrachtet. In
der Praxis können aber auch Gleichungen auftreten, in welchen das x im Exponenten der Potenz und
nicht in der Basis steht.
Für das Lösen solcher Gleichungen der Form ax = b muss ein neuer Begriff eingeführt werden: der
Logarithmus.
8.1 Definition des Logarithmus
Definition 22 Der Logarithmus zur Basis a ∈ R+ \ {1} einer Zahl b ∈ R+ (man schreibt: loga (b))
ist derjenige Exponent x, für welchen gilt, dass ax = b. Somit ist x = loga (b).
Beim Logarithmus handelt es sich um eine Funktion: Einem Wert x wird eindeutig ein Wert loga (x) zugeordnet. Wenn keine Zweideutigkeiten entstehen, kann die Klammer weggelassen werden: loga (x) =
loga x.
Hier einige Beispiele:
B
Die Lösung der Gleichung 10x = 100 ist x = log10 100 = 2.
B
Die Lösung der Gleichung 10x = 150 ist x = log10 150 ≈ 2.176.
Dieser Wert ist nicht mehr exakt angebbar.
B
Die Lösung der Gleichung 2x = 9 ist x = log2 9 ≈ 3.170.
Auch hier ist nur ein Näherungswert anzugeben.
Für drei Logarithmen zu speziellen Basen haben sich eigene Bezeichnungen durchgesetzt:
38
B
log10 x = lg x
Den Logarithmus zur Basis 10 nennt man auch den dekadischen Logarithmus.
B
log2 x = lb x
Den Logarithmus zur Basis 2 nennt man auch den binären Logarithmus.
Er spielt in der theoretischen Informatik eine wichtige Rolle.
B
loge x = ln x
Den Logarithmus zur Basis e nennt man den natürlichen Logarithmus.
e ist eine konstante Zahl (ähnlich wie die Kreiszahl π). e ≈ 2.71828182846.
Weitere Beispiele:
B
10x = 9
x = lg 9 ≈ 0.9542
B
3x = 7
x = log3 7 ≈ 1.7712
B
e x = 16
x = ln 16 ≈ 2.7726
B
2x = 19
x = lb 19 ≈ 4.2479
8.2 Logarithmengesetze
Die Gesetze für den Logarithmus folgen direkt aus den Potenzgesetzen:
loga (x · y )
loga (x : y )
loga (x n )
=
=
=
loga x + loga y
loga x − loga y
n · loga x
8.3 Basiswecheselsatz
Für das Berechnen von Logarithmen (zum Beispiel mit einem Taschenrechner) ist der folgende Satz
von grosser Wichtigkeit. Der sogenannte Basiswechselsatz wandelt einen Logarithmus in einen Bruch
um, welcher zwei Logarithmen zu einer beliebigen Basis enthält.
Satz 1 (Basiswechselsatz) Für eine beliebige Basis c gilt, loga b =
39
logc b
.
logc a
Für den Beweis dieses Satzes löst man die Gleichung ax = b auf zwei Arten:
1. Art (Definition):
2. Art (Umformungen):
x
=
loga b
ax
=
b
logc (ax )
=
logc (b)
x · logc (a)
=
logc (b)
x
=
logc (b)
logc (a)
| logc ()
|: logc (a)
Beispiel 27 log3 7 =
lg 7
ln 7
=
≈ 1.7712
lg 3
ln 3
40
Index
Äquivalenz, 5
Logarithmus, 38
Definition, 38
Achsenabschnitt, 24
Additionsmethode, 28
Argument, 21
Ausklammern, 9
Aussage, 3
Aussageform, 3
Menge, 2
aufzählende Form, 4
beschreibende Form, 4
Differenzmenge, 7
Ergänzungsmenge, 6
Komplementärmenge, 6
Lösungsmenge, 4
Mengenoperationen, 6
Schnittmenge, 6
Teilmenge, 5
Vereinigungsmenge, 6
Zahlenmenge, 3
Basiswechselsatz, 39
binomische Formeln, 9
Bruchgleichung, 16
Bruchterm, 11
Addition, 12
Division, 13
Erweitern, 11
gleichnamig machen, 11
Multiplikation, 13
Subtraktion, 12
Bruchungleichung, 18
Ordinatenabschnitt, 24
Potenzen, 33
Potenzgesetze, 33
Proportionalität, 23
Definition, 23
Definitionsmenge, 21
Diskriminante, 32
Doppelbruch, 14
quadratische Gleichung, 30
Stammparabel, 22
Steigungsdreieck, 25
Stelle, 21
Substitutionsmethode, 28
Faktorisieren, 8
Funktion, 20
Definition, 21
lineare, 24
Funktionswert, 21
Trinom, 10
Gleichung, 15
Definition, 15
Graph, 22
Wertemenge, 21
Wertetabelle, 21
Wurzeln, 36
Implikation, 5
Intervall, 18
lineare Gleichungssysteme, 26
Logarithmengesetze, 39
41
Inhaltsverzeichnis
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2
3
5
6
6
6
6
7
Algebraische Grundlagen
2.1 Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Ausklammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Faktorzerlegung mithilfe von Formeln . . . . . . .
2.1.3 Klammeransatz bei geeigneten Trinomen . . . . .
2.2 Bruchterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Kürzen von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Gleichnamigmachen von Bruchtermen (Erweitern)
2.2.3 Addition und Subtraktion von Bruchtermen . . . .
2.2.4 Multiplikation von Bruchtermen . . . . . . . . . .
2.2.5 Division von Bruchtermen . . . . . . . . . . . . .
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13
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15
15
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18
18
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4
Lineare Funktionen
4.1 Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Proportionalitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
23
24
5
Lineare Gleichungssysteme
5.1 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Substitutionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
28
28
2
3
Mengenlehre
1.1 Mengen, Aussagen und Aussageformen . . .
1.1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Aussagen und Aussageformen . . . .
1.2 Folgerungen (Implikationen) und Äquivalenzen
1.3 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Schnittmenge . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Vereinigungsmenge . . . . . . . . . .
1.3.3 Ergänzungsmenge . . . . . . . . . . .
1.3.4 Differenzmenge . . . . . . . . . . . .
Gleichungen und Ungleichungen
3.1 Gleichungen . . . . . . . . .
3.2 Bruchgleichungen . . . . . .
3.3 Bruchungleichungen . . . . .
3.3.1 Intervallschreibweise
3.3.2 Bruchungleichungen
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5.2.2
Additionsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6
Quadratische Gleichungen
7
Potenzen
7.1 Potenzen mit Exponenten aus N
7.2 Potenzen mit Exponenten aus Z
7.3 Der allgemeine Wurzelbegriff . .
7.4 Potenzen mit Exponenten aus Q
8
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33
33
34
36
36
Logarithmen
38
8.1 Definition des Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8.2 Logarithmengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.3 Basiswecheselsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
43