Blatt 7

Übungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie für
Lehramtsstudierende
Sommersemester 2015
Priv.-Doz. Dr. M. Gnewuch
C. Kleinschmidt
Blatt 7
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Sei p ∈ (0, 1). Sie führen wiederholt den Wurf einer gezinkten Münze mit Seiten
0 und 1 durch, bis zum ersten Mal eine 1 erscheint. Dabei tritt bei jedem Wurf
die 1 mit Wahrscheinlichkeit p und die 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 − p auf. Sei
X die Zufallsvariable „Anzahl der Würfe bis zum Auftreten der ersten 1“.
1. Modellieren Sie dieses Zufallsexperiment und geben Sie die Verteilung P X
von X an.
2. Zeigen Sie, dass P X gedächtnislos ist, i.e., dass gilt
P (X = n + k | X ≥ n + 1) = P (X = k) für alle k, n ∈
N.
(1)
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Seien Ω = und p ∈ (0, 1). Für beliebiges k ∈ setze Qp ({k}) = p(1 − p)k−1 .
Es seien X, Y zwei unabhängige Zufallsvariablen mit P (X = k) = Qp ({k}) =
P (Y = k) für alle k ∈ . Sei Z = max{X, Y }. Bestimmen Sie die Verteilung
von Z und die gemeinsame Verteilung von X und Z (also die Verteilung der
durch ω 7→ (X(ω), Z(ω)) definierten Zufallsvariable).
N
N
N
Aufgabe 3 (4 Punkte)
1. Es wird mit zwei 4-seitigen Würfeln geworfen. Die Zufallsvariable Z misst
das Produkt der Augenzahlen. Berechnen Sie E[Z] und Var(Z)
2. Ein 6-seitiger Würfel wird dreimal (unbhängig voneinander) nacheinander
geworfen. Sei dabei Xi das Ergebnis des i-ten Wurfs und X := X1 X2 +2X3
sowie Y := 2(X1 −X2 ). Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen
von X und Y sowie die Kovarianz von X und Y .
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Die Post im fiktiven Land Thomorus stellt zwar früher oder später alle Briefe
zu, ist aber als nicht besonders schnell bekannt. Ein Test der „Stiftung Dienstleistungstest“, bei dem eine sehr große Anzahl von Briefen verschickt wurde, hat
ergeben, dass die Anzahl der Briefe, auf die man k Tage, k ∈ , warten muss,
sich proportional zu 1/k 2 verhält.
N
1. Modellieren Sie die Wartezeit auf einen Brief als Zufallsexperiment. Was
ist ein adäquater Ergebnisraum, was ist ein adäquates Wahrscheinlichkeitsmaß?
2. Was ist die erwartete Wartezeit (i.e., der Erwartungswert der Wartezeit)
auf einen Brief?
Aufgabe 5 („Sternchenaufgabe“; 4 Zusatzpunkte)
In der Spielshow „Completely Random!“ lädt Sie der Moderator zu folgendem
Glücksspiel ein: Sie erhalten zwei Urnen und 150 weiße sowie 150 schwarze
Kugeln, die Sie nach Belieben auf beide Urnen verteilen dürfen, solange nur
keine der Urnen leer bleibt. Dann wird eine der beiden Urnen zufällig ausgewählt
und daraus eine Kugel zufällig gezogen. Wenn diese Kugel weiß ist, erhalten Sie
den Hauptpreis, eine zufällige Irrfahrt nach Monte Carlo auf unbestimmte Zeit
für zwei Personen. Wie sollten Sie die Kugeln auf die beiden Urnen verteilen,
um Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit zu maximieren und wie groß ist diese dann?
Beweisen Sie, dass die von Ihnen gewählte Kugelverteilung wirklich optimal ist!
Abgabe bis Freitag, den 12.6.2015, 10:15 Uhr im Schrein (1. Stock) bzw. im
Briefkasten (3. Stock).