Übungsblatt 5

E LEMENTE DER A RITHMETIK UND A LGEBRA
Boris Girnat
Technische Universität Braunschweig
Institut für Didaktik der Mathematik und Elementarmathematik
Sommersemester 2006
Abgabe: 22. Juni 2006
Übungsblatt 5
Aufgabe 1:
1) Ermitteln Sie ord p (15 400) für alle p ∈ P mit dem Algorithmus aus der Vorlesung.
2) Geben Sie die kanonische und die normierte Primfaktorzerlegung von 15 400 an.
3) Geben Sie die kleinste natürliche Zahl n an, sodass n dieselbe Anzahl von Primfaktoren hat und in der
normierten Primfaktorzerlegung von n dieselben Exponenten in derselben Reihenfolge auftreten wie in
der normierten Primfaktorzerlegung von 15 400, und begründen Sie ihre Wahl.
4) Berechnen Sie τ (15 400).
5) Geben Sie die Primfaktorzerlegungen aller Teiler von 504 an.
6) Geben Sie die Schemata der Primfaktorzerlegungen natürlicher Zahlen n an, für die a) τ (n) = 5, b) τ (n) =
6 bzw. c) τ (n) = 8 gilt, und geben Sie jeweils zwei Beispiele an.
7) Geben Sie das Schema der Primfaktorzerlegungen natürlicher Zahlen n und m an, für die a) ggT (n, m) =
15 bzw. b) kgV (n, m) = 210 gilt, und geben Sie jeweils zwei Beispiele an.
Aufgabe 2:
1) Berechnen Sie ggT (21 560, 53 900) und kgV (21 560, 53 900) durch Primfaktorzerlegung und stellen Sie ihre
Ergebnisse in Primfaktorzerlegung und ausmultipliziert dar.
2) Stellen Sie
1
1
1
1
+
+
+
84 189 210 350
als voll gekürzten Bruch dar.
Aufgabe 3: Beweisen Sie:
1) Es seien n, m ∈ N und k = kgV (n, m). Gilt n | v und m | v für ein v ∈ N (d. h. ist v ein gemeinsames
Vielfaches von n und m), so gilt auch k | v.
2) Für alle n, m ∈ N∗ gilt ggT (n, m) · kgV (n, m) = n · m. (Hinweis: Benutzen Sie die Primfaktorzerlegungen
von n · m, ggT (n, m) und kgV (n, m).)
Aufgabe 4:
1) Zeigen Sie, dass durch ggT und kgV Verknüpfungen auf N definiert sind.
2) Gegeben sei T6 . Legen Sie jeweils für ggT und kgV eine Tabelle an, die alle möglichen Verknüpfungen der
Elemente aus T6 bezüglich ggT bzw. kgV enthält. Solche Tabellen nennt man Verknüpfungstafeln.
3) Überprüfen Sie die algebraischen Strukturen ( T6 , ggT ) und ( T6 , kgV ) anhand der beiden Verknüpfungstafeln auf Abgeschlossenheit, Existenz eines neutralen Elementes, Kommutativität und Regularität.
4) Zeigen Sie, dass nur eine der algebraischen Strukturen (N∗ , ggT ) und (N∗ , kgV ) ein Neutralelement hat.
Aufgabe 5: In der Vorlesung wurden ggT und kgV für Paare natürlicher Zahlen definiert.
1) Verallgemeinern Sie die Definitionen von kgV und ggT auf n-Tupeln natürlicher Zahlen, sodass sich die
Definitionen der Vorlesung daraus als Spezialfall für n = 2 ergeben. Knüpfen Sie dabei an die mengentheoretischen Definitionen von ggT und kgV aus der Vorlesung an.
2) Geben Sie zu den von Ihnen mengentheoretisch definierten Begriffen äquivalente an, die auf die Primfaktorzerlegung zurückgreifen (ohne die Äquivalenz nachzuweisen).
3) Ermitteln Sie ggT (120, 72, 42) und kgV (120, 72, 42).
4) Für Paare ( a, b) ∈ N∗ × N∗ gilt ggT ( a, b) · kgV ( a, b) = a · b (wie Sie oben bewiesen haben). Formulieren Sie
(mit den von Ihnen definierten Verallgemeinerungen von ggT und kgV) eine analoge Aussage für Tripel
natürlicher Zahlen und zeigen Sie, dass die Aussage für Tripel (anders als die analoge Aussage für Paare)
falsch ist.
Informationen zur Veranstaltung auf www.girnat.de
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