Übungsblatt 4 - Universität Bonn

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Blatt 4
02 Mai 2014
SS 2014
Übungen zur Quantenmechanik und
statistischen Physik
Priv.-Doz. Dr. Stefan Förste
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/forste/exercises/la tp2/
–Anwesenheitsaufgaben–
A 2.1 Unschärferelation
Es sei der Hamiltonoperator
1
1
Ĥ = P̂ 2 − g
(1)
2
X̂
im R gegeben. Leite aus der Bedingung, dass es eine untere Schranke für die Grundzustandsenergie gibt die “Unschärferelation”
1
hP̂ 2 i 2 h1/X̂i−1 ≥ ~
(2)
her.
–Hausaufgaben–Abgabe: 09.05.2014
H 4.1 Kommutatoren
(11 points)
Wellenfunktionen ψ(~x, t) sind Vektoren aus einem Vektorraum auf den Operatoren Â,
welche die Observablen der klassischen Mechanik ersetzen, wirken. In Aufgabe H 3.2
wurde gezeigt, dass die Wirkung eines Operators auf einen Vektor, in der Eigenbasis,
durch deren Eigenwerte dargestellt werden kann. Wir benutzen als Basis die Ortsbasis , in
der die Operatoren für den Ort und Impuls durch
X̂i = xi
und P̂i = −i~
∂
∂xi
(3)
gegeben sind. Der Kommutator [Â, B̂] von zwei Operatoren  und B̂ sei definiert durch
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â.
(4)
Die Operatoren werden als Zeitunabhängig betrachtet.
(a) Überzeuge dich davon, dass der Kommutator von zwei Operatoren wieder ein Operator
ist. Berechne die Kommutatoren
(1 point)
(i) [X̂, X̂],
(ii) [P̂ , P̂ ] und
1
(iii) [X̂, P̂ ].
(b) Zeige, dass der Kommutator
(i) linear [α + β B̂, Ĉ] = α[Â, Ĉ] + β[B̂, Ĉ],
(ii) antisymmetrisch [Â, B̂] = −[B̂, Â] und
(iii) die Jacobi-Identität [Â, [B̂, Ĉ]] + [Ĉ, [Â, B̂]] + [B̂, [Ĉ, Â]] = 0 sowie
(iv) die Produktregel [Â, B̂ Ĉ] = [Â, B̂]Ĉ + B̂[Â, Ĉ]
2
erfüllt. Berechne anschließend den Kommutator [X̂, P̂
P]Nund [P̂i , V̂ (x)], wobei V̂ (x) als
ein Polynom in X̂ angesehen werden kann V̂ (x) = i=0 αi X̂ , mit αi ∈ C, N ∈ Z.
(3 points)
~ˆ seien durch
Die Operatoren für den Drehimpuls L
~ˆ = ~xˆ × P~ˆ
L
(5)
gegeben.
~ˆ in der Ortsbasis durch
(c) Zeige, dass die Komponenten von L
∂
∂
−z
,
L̂x = −i~ y
∂z
∂y
∂
∂
−x
L̂y = −i~ z
,
∂x
∂z
∂
∂
−y
L̂x = −i~ x
∂y
∂x
gegeben sind.
(2 points)
(d) Zeige, dass die Drehimpulse L̂x , L̂y , L̂z die Kommutatorrelation
[L̂i , L̂j ] = i~εijk L̂k
(6)
erfüllt, wobei i, j, k ∈ {x, y, z}. Berechne zusätzlich den Kommutator [L̂i , L̂2 ], wobei
~ˆ ist. (2 points)
L̂2 = L̂2x + L̂2y + L̂2z das Quadrat des Gesamtdrehimpulsoperators |L|
(e) Durch die Kommutatorrelation können wir die Drehimpulse auch durch Matrizen
darstellen. Zeige, dass die Matrizen
~ 0 1
~ 0 −i
~ 1 0
, σ2 =
, σ3 =
,
(7)
σ1 =
2 0 −1
2 1 0
2 i 0
den Kommutator in (6) erfüllt und somit eine Darstellung für L̂x , L̂y , L̂z ist. Berechne
den Kommutator [σi , σ 2 ], wobei σ 2 = σ12 + σ22 + σ32 .
(2 points)
2
(f) Wir führen die Operatoren
L̂+ = L̂x + iL̂y
und L̂− = L̂x − iL̂y
ein. Berechne die Kommutatoren [L̂± , L̂z ].
(8)
(1 point)
Wir werden später sehen, dass die Kommutatorrelationen sehr nutzlich sein werden, wenn
wir die Eigenvektoren zu den Drehimpulsoperatoren suchen.
H 4.2 Delta-Funktionen
(4 points)
Die Delta-Distribution δ(x − x0 ) ist ein sehr nützliches Objekt in der Quantemechanik. Sie
sei definiert durch das Integral
Z ∞
dxδ(x0 − x)f (x) = f (x0 ),
(9)
−∞
wobei eine beliebige reguläre Funktion f (x) ist.
(a) Zeige, dass die Funktionen
(i) δ(x) =
(ii) δ(x) =
1
π
limn→∞
sin(nx)
,
x
mit x ∈ R, n ∈ Z
sin2 (nx)
1
limn→∞ nx2 , mit x
π
2 2
√1 limn→∞ ne−n x , mit
π
∈ R, n ∈ Z
x ∈ R, n ∈ Z
(
1/n, für |x| < n/2
(iv) δ(x) = limn→0
0,
sonst
(iii) δ(x) =
die Gleichung (9) erfüllen.
(2,5 points)
(b) Zeige, dass die Integrale der obigen Funktionen für beliebiges n
Z ∞
dxδ(x) = 1
(10)
−∞
sind.
(c) Zeige, dass δ(αx) =
(0,5 points)
δ(x)
|α|
gilt, wobei α ∈ R/{0}.
(1 point)
Die Delta-Distribution wird beispielsweise benutzt um die Zustandsdichte zu beschreiben.
Dabei wird ein Zustand durch eine Delta-Distribution
PN ausgedrückt. Für ein System mit
N Zuständen beträgt die Zustandsdichte ρ(ω) = i=1 δ(ω − ω0 ). Integriert man über R
erhält man genau die Anzahl der Zustände.
Hinweis:
Z ∞
sin x
dx
=π
(11)
x
−∞
Z ∞
sin2 x
dx 2 = π
x
Z −∞
∞
√
2
dxe−x = π
−∞
3
H 4.3 Nochmal eine Welle
(5 points)
Sei eine Wellenfunktion in der Ortsbasis gegeben durch
(
2α3/2 xe−αx x > 0
ψ(x) =
,
0
x<0
(12)
mit α ∈ C.
(a) Berechne das Maximum der Wahrscheinlichkeitsdichte.
(b) Berechne die Mittelwerte von X̂ und X̂ 2 .
(1 point)
(1,5 points)
(c) Wie ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen mit der Wellenfunktion ψ(x) im Interval
x = 0 bis x = 1/α zu finden?
(1 point)
(d) Berechne den Mittelwert von P̂ und P̂ 2 .
(e) Berechne zuletzt die Unschärfe ∆x∆p.
(1 point)
(0,5 points)
4