8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff - Robert-Koch

Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
M 11.5 Wahrscheinlichkeitsbegriff (ca. 10 Std.)
Die Entwicklung eines abstrakten Wahrscheinlichkeitsbegriffs erlaubt es den
Schülern, verschiedene bereits aus den vorhergehenden Jahrgangsstufen bekannte
Begriffe und Vorgehensweisen zu präzisieren und zu erweitern. Sie erkennen, dass
für weitergehende Betrachtungen von Zufallsexperimenten, die nicht der LaplaceAnnahme
genügen,
anwendbarer
ein
tragfähiger,
Wahrscheinlichkeitsbegriff
auf
unterschiedliche
nötig
ist.
Die
Tatsache,
Sachverhalte
dass
auch
bedeutende Mathematiker bis zu seiner axiomatischen Fundierung lange um eine
einwandfreie Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs gerungen haben, macht
den Schülern deutlich, dass in der Mathematik ein ständiger Prozess der
Entwicklung von Begriffen und Aussagen stattfindet.
Die Schüler arbeiten nun formaler mit Ereignissen und vertiefen dabei ihre
bisherigen Kenntnisse. Sie erkennen, wie die Darstellung eines Ereignisses als
Komplement-, Schnitt- oder Vereinigungsmenge es erleichtern kann, dessen
Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Ausgehend vom bereits bekannten Begriff der
bedingten Wahrscheinlichkeit lernen die Schüler, zwischen abhängigen und
unabhängigen Ereignissen zu unterscheiden sowie Aussagen darüber zu machen,
ob Ereignisse einander beeinflussen.

axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit

verknüpfte Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten
8.1
Das Zufallsexperiment
Experimente, deren Ergebnisse vor der Versuchsdurchführung nicht eindeutig
vorhergesagt werden können (selbst bei Wiederholung unter gleichen Bedingungen),
heißen Zufallsexperimente.
Beispiele:
1. Werfen einer Münze
2. Werfen eines Würfels
3. Ziehen aus einer Urne mit verschiedenfarbigen Kugeln
4. Lottospiel „6 aus 49“
8.1
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Beispiel 1: Werfen einer Münze
Versuch:
Eine Münze wird einmal geworfen.
Mögliche Ergebnisse:
Kopf K – Zahl Z
Die Menge aller möglichen Ergebnisse fasst man zum Ergebnisraum  (auch
Ergebnismenge genannt) zusammen.
Hier:  =
Allgemein:
Eine nichtleere, endliche Menge  : 1 , 2 ,..., m   m 

heißt Ergebnisraum eines
Experiments, wenn
(1)
jedes Element i ein Ergebnis des Experiments bezeichnet und
(2)
jedem Ergebnis des Experiments genau ein Element aus  entspricht.
Beispiel 2: Werfen einer Würfels
Versuch:
Einmal einen Würfel werfen.
Mögliche Ergebnisse:
Ergebnisraum:
 =
Beispiel 3: Ziehen aus einer Urne
Eine Urne enthält 15 rote und 5 blaue Kugeln. Die Kugeln werden gut gemischt.
Anschließend wird eine Kugel gezogen und ihre Farbe festgestellt.
Mögliche Ergebnisse:
Ergebnisraum:
 =
Beispiel 4: Lottospiel „6 aus 49“
Ein mögliches Ergebnis:
Beliebiges Ergebnis:
Ergebnisraum:
 =
8.2
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Weitere Beispiele:
a) Gleichzeitiges Werfen von zwei Würfeln: Man interessiert sich für die
Augensumme
 =
b) Gleichzeitiges Werfen zweier unterscheidbarer Würfel (rot und blau). Von
Interesse sind die Augenzahlen der einzelnen Würfel.
 =
c) Aus einer Urne mit roten und blauen Kugeln, die anderweitig nicht
unterscheidbar sind, werden gleichzeitig zwei Kugeln zufällig herausgegriffen.
Mögliche Ergebnisse:
Ergebnisraum:
 =
Änderung des Experiments, so dass es auf die Reihenfolge ankommt:
8.1.1
Der Ergebnisraum zusammengesetzter Zufallsexperimente
Komplizierte Experimente („Werfen zweier unterscheidbarer Würfel“ usw.) lassen
sich oft auf einfache Experimente („Werfen eines Würfels“) zurückführen. Dabei
kann
der
Ergebnisraum
des
zusammengesetzten
Experiments
aus
den
Ergebnisräumen der Einzelexperimente abgeleitet werden.
Beispiel:
Werfen zweier unterscheidbarer Würfel
1. Würfel:
1  1;2;3;4;5;6
Durch Paarbildung ergibt sich der Ergebnis-
2. Würfel:
2  1; 2;3; 4;5;6
raum des zusammengesetzten Experiments.
8.3
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
  1 2  (1;1),(1;2),(1;3),....,(6;5),(6;6)
11. Klasse
Mathematik
kartesisches Produkt (Kreuzprodukt)
Definition:
A1  A2  A3  .... An heißt kartesisches Produkt von n Mengen
Sonderfall: An  A  A  ...  A
8.1.2
Das Zählprinzip
Gegeben ist ein Ergebnisraum   1 2 3  ...n . Bekannt ist außerdem die
Mächtigkeit (Anzahl der enthaltenen Elemente) der einzelnen Mengen: i  ki .
Gesucht ist die Anzahl der Elemente von  .
Baumdiagramm (zur Veranschaulichung des Zustandekommens aller möglichen
Tupel)
n=3
k1  1  2
1  K ; Z 
k2   2  4
2  1;2;3;4
k3  3  3
3  a; b; c
8.4
Unterrichtskonzept
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Mathematik
Anzahl der Elemente beim zusammengesetzten Experiment:

8.5
Unterrichtskonzept
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Mathematik
Allgemein gilt das Zählprinzip:
Besteht ein zusammengesetztes Experiment aus n voneinander unabhängigen
Einzel-experimenten
mit
k1 , k2 ,..., kn
möglichen
Ergebnissen,
so
hat
das
zusammengesetzte Experiment k1  k2  ...  kn mögliche Ergebnisse.
Beispiel:
Werfen zweier unterscheidbarer Würfel

1  6 
   6  6  36
2  6

8.1.3
Vergröberung des Ergebnisraumes
Die Mächtigkeit eines Ergebnisraumes hängt ab von der Information, die man bei
den Versuchen gewinnt. Außerdem wird sie bestimmt von dem Merkmal, für das
man sich bei der Ausführung des Experiments interessiert.
Beispiel:
Kontrolle maschinengefertigter Teile
Experiment: „Zufälliges Entnehmen von 4 Teilen aus jeder Produktionsserie
(Karton)“
b: brauchbar
u: unbrauchbar
Mögliche Ergebnisräume:
a)
   bbbb  ,  bbbu  ,  bbub  ,...,  uuuu 
  24  16
b) Es interessiert nur die Anzahl der unbrauchbaren Stücke innerhalb jeder
Stichprobe:
  0;1; 2;3; 4
  5
 heißt Vergröberung von  .
8.6
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Übungsaufgabe:
Zwei Personen A und B tragen ein Tennisturnier aus. Diejenige Person, die zuerst
zwei Spiele nacheinander oder zuerst insgesamt drei Spiele gewinnt, soll
Turniersieger sein. Wie lauten die möglichen Ergebnisse? (Baumdiagramm!)
8.2
Der Ereignisraum
Einem Ereignis aus dem Ergebnisraum  entspricht eine Teilmenge von  .
Beispiel:
Werfen eines Würfels
G  2; 4;6 bedeutet das Ereignis „eine gerade Zahl wird gewürfelt“.
Ein Ereignis A tritt genau dann ein, wenn das Ergebnis  des Zufallsexperiments ein
Element von A ist.
A

A ist eingetreten
A

A ist nicht eingetreten
Die Menge aller Ereignisse aus  (also die Menge aller Teilmengen von  ) heißt
Ereignisraum () .
Besondere Ereignisse:
a)  ist das „sichere Ereignis“
b)  (leere Menge) ist das „unmögliche Ereignis“
8.2.1
Mächtigkeit des Ereignisraumes ()
Ist die Mächtigkeit eines Ergebnisraumes m, so hat der zugehörige Ereignisraum die
Mächtigkeit 2m .
 m

    2m
8.7
Unterrichtskonzept
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Mathematik
Übungsaufgabe:
1. Beim zweimaligen Würfeln eines Würfels sei der Ergebnisraum dargestellt
durch   1; 2;3; 4;5;6 . Man stelle folgende Ereignisse durch Mengen dar:
2
A:
„Augensumme 10“
B:
„Augensumme  5“
C:
„Augensumme gerade“
D:
„Augensumme 7 oder 10“
E:
„Augensumme k ( 2  k  12 )“
F:
„Augenzahl beim 2. Wurf ist um mind. 1 aber höchstens 2 größer als
die Augenzahl beim 1. Wurf“
2. Aus einer Urne mit 10 roten und 10 weißen Kugeln werden nacheinander mit
Zurücklegen 4 Kugeln entnommen. Gib zu jedem Ereignis Ei die zugehörige
Teilmenge  auf möglichst einfache Weise an.
E1 :
„die 2. Kugel ist rot“
E2 :
„genau die 2. Kugel ist rot“
E3 :
„mindestens eine Kugel ist rot“
E4 :
„die beiden ersten und die beiden letzten Kugeln sind rot“
8.8
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
3. Gib zu jeder der folgenden Teilmengen Ei eine Wortform des Ereignisses an.
E5  rrrw
E6  rrrw, rrrr
E6  rrrw, rrwr , rwrr , wrrr , rrrr
4. Zu einer Party erwartet Susanne 2 Mädchen und 3 Jungen. Die 5 Gäste
treffen nacheinander ein. Beschreibe folgende Ereignisse durch
Ergebnismengen:
8.2.2
A:
„Der erste Gast ist ein Mädchen.“
B:
„Unter den ersten drei Gästen sind die zwei Mädchen.“
C:
„Der letzte Gast ist kein Junge.“
Relationen und Verknüpfungen
Beispiel:
Ein Wurfpfeil wirft auf eine so große quadratische Scheibe
geworfen, dass sie vom Wurfort mit Sicherheit getroffen
werden muss. Jeder Punkt der Scheibe ist ein mögliches
Versuchsergebnis, und da nach Voraussetzung keine weiteren
Ergebnisse eintreten können, ist  die Gesamtfläche der
Scheibe.
Man betrachtet folgende Ereignisse:
A:
Fläche des rot umrandeten Kreises
B:
Fläche des blau umrandeten Kreises
8.9
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
a) Relationen zwischen Ereignissen
Gleichheitsrelation
Mengen
Interpretation bei
Veranschaulichung am
Ereignissen
Beispiel
Zwei Mengen A und B
Zwei Ereignisse A und
heißen
genau
dann
B heißen genau dann
gleich,
wenn
jedes
gleich, wenn mit dem
Element aus A auch
Ereignis A auch das
Element von B ist und
Ereignis B eintritt und
umgekehrt.
umgekehrt.
Teilmengenrelation
Mengen
Interpretation bei
Veranschaulichung am
Ereignissen
Beispiel
Eine Menge A heißt
Gilt für zwei Ereignisse
Teilmenge von B genau
A und B aus einem
dann,
jedes
Ereignisraum A  B, so
Element von A auch
tritt mit dem Ereignis A
Element von B ist.
stets auch das Ereignis
wenn
B ein.
Man sagt: „Das Ereignis
A zieht das Ereignis B
nach sich.“
8.10
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
b) Verknüpfungen von Ereignissen – Operationen mit Ereignisraum
Komplement
Das Komplement von
Das
A, immer bezogen auf
mentäre
die Grundmenge  , ist
auch Gegenereignis zu
die
aller
A genannt, tritt genau
Elemente von  , die
dann ein, wenn A nicht
nicht zu A gehören.
eintritt.
A     |   A
Bezeichnung:
Menge
zu
A
komple-
Ereignis
A,
Ereignis „nicht-A“
Vereinigung
Die Vereinigung zweier
Das Ereignis A  B tritt
Mengen
B
genau dann ein, wenn
enthält alle Elemente,
das Ereignis A oder das
die A oder B oder
Ereignis B oder beide
beiden Mengen ange-
eintreten.
hören.
Bezeichnung:
A
und
Ereignis „A oder B“
Durchschnitt
Der
Durchschnitt
Das Ereignis A  B tritt
zweier Mengen A und B
genau dann ein, wenn
enthält alle Elemente,
sowohl das Ereignis A
die A und B ange-
als auch das Ereignis B
hören.
eintritt.
Bezeichnung:
Ereignis „A und B“
8.11
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
Ist
„A
und
unmögliche
B“
das
Ereignis
A  B=  ),
(also
11. Klasse
Mathematik
so
können A und B nicht
gleichzeitig eintreten.
Sie sind „unvereinbar“.
Relatives Komplement
Das
relative
Komplement
von
A
B A
ist das Ereignis,
das
genau
dann
bzgl. B ist die Menge
eintritt,
aller Elemente von  ,
Ereignis B, aber nicht
die der Menge B und
das Ereignis A eintritt.
nicht
Bezeichnung:
der
angehören.
Menge
A
B A
wenn
das
ist
B A     |   B    A „B und (nicht-A)“
Andere Darstellungsmöglichkeiten von Ereignissen:
a)
b)
8.12
Unterrichtskonzept
Beispiel:
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
A, B   
Diagramm
Umgangssprache
Ereignissprache
Formale Sprache
a) Beide Ereignisse
treten ein.
b) Höchstens eines
der beiden
Ereignisse tritt ein.
c) Keines von
beiden tritt ein.
d) Mindestens
eines von beiden
tritt ein.
e) Genau eines von
beiden tritt ein.
8.13
Unterrichtskonzept
8.2.3
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Umgangssprache, Ereignissprache, formale Sprache
Beispiel:
Werfen eines Würfels
Ereignisse:
A:
„Augenzahl höchstens 3“
B:
„Augenzahl ist durch 3 teilbar“
Gesucht:
Ereignis, für das folgende Aussage gilt:
„Es tritt genau eines der beiden Ereignisse A oder B ein.“
Umgangssprache:
Ereignissprache:
Formale Sprache:
8.2.4
Rechengesetze
8.14
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Beispielaufgabe: „Werfen eines Würfels“
Ergebnisraum   1; 2;3; 4;5;6
Ereignisse:
A:
„Die ersten beiden Zahlen der Ziffernfolge 1;2;3;4;5;6 fallen.“
B:
„Die letzten beiden Zahlen der Ziffernfolge fallen.“
C:
„Nur gerade Ziffern fallen.“
Interpretiere die folgenden Ereignisse:
a)  A  B   C
b) A  B  C
c) A  B  C
Für die Interpretation kann folgendes Diagramm eine wertvolle Hilfe sein:
Mehrfeldertafel
8.15
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Übungsaufgabe:
Bei einer Verlosung, an der Frau Weiß, Frau Schwarz und Frau Roth teilnehmen, wird
als erster Preis eine Ferienreise und als zweiter Preis ein Fernsehapparat verlost.
A, B und C seien die Ereignisse:
A:
„Eine der drei Frauen gewinnt die Ferienreise“
B:
„Frau Weiß gewinnt die Ferienreise nicht“
C:
„Die drei Frauen gewinnen nicht beide Preise“.
Welche der folgenden Ereignisse sind eingetreten, wenn Frau Schwarz die
Ferienreise gewinnt, die beiden anderen Frauen dagegen leer ausgehen?
a)
A
b)
B
c)
C
d)
A B
e)
A B
f)
A
g)
A C
h)
B C
i)
A C
8.16
Unterrichtskonzept
8.3
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Die relative Häufigkeit
Ist A ein Ereignis aus einem Ereignisraum und tritt in einer Folge von n Versuchen A
genau z-mal ein, so nennt man z die absolute Häufigkeit von A und hn  A 
relative Häufigkeit von A (
z
n
die
).
Eigenschaften der relativen Häufigkeit:
hn  A 
1. 0  hn  A  1
z
n
rationale Zahl
2. Ist A   das sichere Ergebnis, dann ist z=n und somit
hn  A  hn     1
3. Ist A   (unmögliches Ereignis), dann ist z=0 und somit
hn  A  hn     0
4. Für zwei unvereinbare Ereignisse A und B, d.h. A  B   , also können A und
B nicht gleichzeitig eintreten, gilt:
hn  A  B   hn     0 .
Dann gilt für hn  A  B  
z1  z2 z1 z2
   hn  A  hn  B 
n
n n
Also:
A B  

hn  A  B   hn  A  hn  B 
5. Für zwei vereinbare Ereignisse A und B, d.h. A  B   , also können A und B
gleichzeitig eintreten, gilt:
z  A  B   z  A  z  B   z  A  B  .
Also:
A B  

hn  A  B   hn  A  hn  B   hn  A  B 
 
6. Es gilt außerdem: hn A  hn  A   1
8.17
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
Es handelt sich dabei um die Eigenschaft, dass sich bei jedem Zufallsexperiment bei
einer großen Anzahl von Versuchen (unter gleich bleibenden Bedingungen) der Wert
der relativen Häufigkeit für ein bestimmtes Ereignis um einen festen Wert stabilisiert.
Übungsaufgaben:
1. In einem Studentenheim wohnen 200 Studenten. 165 von ihnen sprechen
Englisch, 73 Französisch, 49 sprechen beide Sprachen. Wie groß ist die
relative Häufigkeit der Studenten, die a) mindestens eine, b) keine der beiden
Sprachen sprechen.
2. 52% aller Deutschen sind Frauen. 67 % aller Deutschen Männer schnarchen.
Wie groß ist die relative Häufigkeit der schnarchenden Männer unter den
Deutschen?
3. Bei einer Mathematikschulaufgabe ergab sich für die Noten folgende
Verteilung:
Note
1
2
3
4
5
6
Anzahl
2
4
5
8
7
1
Berechne die relative Häufigkeit der einzelnen Noten.
8.18
Unterrichtskonzept
8.4
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Sind bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse aus
„gleich wahrscheinlich“, so
ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gleich der Anzahl der Elemente
von A dividiert durch die Anzahl der Elemente von :
Eine Funktion
, die jedem Ereignis A eine reelle Zahl
zuordnet, heißt
Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgende Eigenschaften besitzt:
Axiom I:
Axiom II:
Axiom III:
Satz 1:
 
P  A  P A  1
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses und seines Gegenereignisses
ist gleich 1.
Satz 2:
P   0
Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist gleich 0.
Satz 3:
Sind A und B zwei Ereignisse mit A  B , so gilt das Monotoniegesetz der
Wahrscheinlichkeitsmaßes:
P  A  P  B 
Satz 4:
0  P  A  1
für alle A  
8.19
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Satz 5:
Sind A1, A2, A3, …., An paarweise unvereinbare Ereignisse, so ist
P  A1  A2  A3  ...  An   P  A1   P  A2   P  A3   ...  P  An 
Satz 6:
Sind A und B zwei beliebige Ereignisse, so ist
P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
Beachte:
1. A  

P (A)  0
Aber: P ( A )  0

A
2. A  

P (A)  0
P (A)  0

A
3. A  

P (A)  1
P (A)  1

A
4. A  

P (A)  1
P (A)  1

A
5. A  B

P (A)  P (B )
P (A)  P (B ) 
A B
6. A  B

P (A)  P (B )
P (A)  P (B ) 
A B
8.4.1 Beispiele für Wahrscheinlichkeitsverteilungen
a)
Münze
Die Münze hat die Seiten W (Wappen) oder Z (Zahl). Geht man von einer
idealen Münze (Laplace-Münze) aus, so darf man davon ausgehen, dass beide
Seiten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit fallen.
Das ergibt für den einfachen Münzwurf die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

W
Z
P ()
1
2
1
2
8.20
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Wirft man eine Münze zweimal so liegt ein zweistufiges Zufallsexperiment mit
den gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen WW, WZ, ZW, ZZ vor.
Man erhält folglich als Wahrscheinlichkeitsverteilung:
b)

WW
WZ
ZW
ZZ
P ()
1
4
1
4
1
4
1
4
Würfel
Ein idealer Würfel (Laplace-Würfel) hat ebenfalls für alle Elementarereignisse
die gleiche Wahrscheinlichkeit.

1
2
3
4
5
6
P ()
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Beim zweimaligen Würfelwurf hat der Ergebnisraum die Mächtigkeit 36. Daher
ergibt sich:
P () 
c)
1
36
, wobei   11;12;13;...;65;66
Urne
Aus einer Urne mit zehn Kugeln (6 rot, 3 schwarz, 1 weiß) wird eine Kugel
gezogen. Man erhält folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Jedes

r
s
w
P ()
6
10
3
10
1
10
Zufallsexperiment
und
dessen
Ausgänge
kann
durch
ein
Urnenexperiment simuliert werden!
8.21
Unterrichtskonzept
d)
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Glücksrad
Die einfachste Form eines Glücksrades ist eine in Sektoren geteilte Scheibe,
die vor einem Zeiger gedreht wird. Hat ein Kreissektor eines idealen
Glücksrades den Mittelpunktswinkel  , dann wird ihm die Wahrscheinlichkeit
p

360
zugeordnet.
8.4.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen mehrstufiger Zufallsexperimente
und Pfadregel
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten wird in der Regel ein Baumdiagramm
gezeichnet.
Beispiel 1:
Aus einer Urne mit zehn Kugeln, von denen 6 rot, 3 schwarz und 1 weiß sind,
werden
zwei
Kugeln
ohne
Zurücklegen
gezogen.
Bestimme
die
Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Elementarereignisse.
Lösung:
8.22
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Man stellt fest:
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, die von einem Verzweigungspunkt
ausgehen, ist stets 1.
Außerdem bestimmt man die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse mithilfe
der Bruchrechnung, z.B. hat das Elementarereignis rr die Wahrscheinlichkeit
5
9
von
6
10
=
1. Pfadregel:
In einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Wahrschein-lichkeit eines
Elementarereignisses als das Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilstrecken
des Pfades, der zu diesem Elementarereignis führt.
Damit ergibt sich im Beispiel 1 die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

rr
rs
rw
sr
ss
sw
wr
ws
P ()
Beispiel 2:
Gleiche Urne wie in Beispiel 1, aber fünfmaliges Ziehen ohne Zurücklegen. Bestimme
die Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses rrswr.
Lösung:
Dieses Experiment führt zu einem riesigen, unübersichtlichen Baum. Da aber nur ein
Elementarereignis interessiert, genügt es den entsprechenden Pfad zu zeichnen:
Man erhält also:
P
rrswr  
8.23
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Beispiel 3:
Gleiche Urne
und gleiches
Experiment wie
in
Beispiel
1. Bestimme
die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: „Die beiden gezogenen Kugeln haben die
gleiche Farbe.“
Lösung:
P (A)  P (rr )  P (ss ) 
2. Pfadregel:
Die
Wahrscheinlichkeit
eines
Ereignisses
erhält
man
als
Summe
der
Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse (Pfade), die zu diesem Ereignis
gehören.
Beispiel 4:
Gleiche Urne wie in Beispiel 1, aber es werden jetzt zwei Kugeln mit Zurücklegen
gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A: „Die beiden gezogenen
Kugeln haben die gleiche Farbe.“
Lösung:
8.24
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Übungsaufgaben
1. In einem fernen Lande werden in den Schulen die 3 Fremdsprachen Deutsch,
Englisch und Französisch angeboten. 40% der Schüler lernen Deutsch, 60%
Englisch und 55% Französisch. Manche der Schüler lernen 2 Fremdsprachen, und
zwar 30% Englisch und Deutsch, 20% Französisch und Deutsch und 35%
Französisch und Englisch. 20% der Schüler wollen später Karriere machen und
lernen daher 3 Fremdsprachen. Ein Tourist, der diese 3 Fremdsprachen
beherrscht, trifft auf einen Einheimischen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann er
sich mit diesem verständigen? (Mehrfeldertafel)
2. In einem Bus sitzt eine Reisegruppe von 20 Personen. Zwei Personen haben
Schmuggelware bei sich, einer dieser Schmuggler ist Herr Anton. Ein Zollbeamter
ruft der Reihe nach 3 Personen aus dem Bus heraus. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass er
a) Herrn Anton,
b) mindestens einen der Schmuggler,
c) beide Schmuggler
bei dieser Kontrolle entdeckt? Zeichne dazu ein Baumdiagramm mit den
Wahrscheinlichkeiten auf den Pfaden.
3. Auf einer Weihnachtsfeier eines Vereins wird eine Tombola veranstaltet. Im
Glückshafen liegen 4 Gewinnlose und 16 Nieten.
a) Theodor zieht 2 Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens ein
Gewinnlos zu ziehen?
b) Wie
viele
Lose
muss
Theodor
mindestens
ziehen,
um
mit
einer
Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% mindestens ein Gewinnlos zu ziehen?
8.25
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
8.5 Unabhängigkeit zweier Ereignisse
Ist das Ereignis B eingetreten, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten eines Ereignisses A gleich
.
Zwei Ereignisse werden als stochastisch unabhängig bezeichnet, wenn das Eintreten
der Bedingung B die Wahrscheinlichkeit von A nicht beeinflusst. Das ist bedeutet
also
bzw.
.
Die Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt
P  A  B   P  A   P B 
Andernfalls heißen die Ereignisse abhängig.
Stochastische Unabhängigkeit in der Vierfeldertafel
Sind A und B stochastisch unabhängig, so steht im Feld A  B der Vierfeldertafel für
Wahrscheinlichkeiten statt P  A  B  nun P  A   P B  .
Im Feld für A  B steht dann


 
P A  B  P (B )  P  A   P B   1  P  A    P B )   P A  P B 
Analog füllt man die Felder für A  B
und A  B
aus und erhält folgende
Vierfeldertafel:
B
B
A
P  A   P B 
P A P B
A
P A  P B 
 
 
P  A   P B 
Satz:
Die Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn die
Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten eine Multiplikationstafel ist.
8.26
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Satz:
Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse bleibt erhalten, wenn man eines davon durch
sein Gegenereignis ersetzt.
A und B unabhängig

A und B unabhängig

A und B unabhängig

A und B unabhängig
VORSICHT!
Die Begriffe der Unvereinbarkeit und Unabhängigkeit dürfen keinesfalls
verwechselt werden!
A und B unvereinbar

A B  
A und B unabhängig

P  A  B   P  A   P B 
8.27
Unterrichtskonzept
8. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff
11. Klasse
Mathematik
Übungsaufgaben
1. Von den Autos, die in regelloser Folge auf einer Straße gefahren kommen,
sind
2
3
PKW und
1
3
LKW. 75 % der PKW sind nur mit 1 Person besetzt, 10 %
der LKW sind mit 2 oder mehr Personen besetzt.
a)
Zeige die Abhängigkeit folgender Ereignisse: „Das nächste Fahrzeug
ist ein LKW“ – „Im nächsten Fahrzeug sitzen mindestens 2
Personen“.
b)
Bei welchem anderen Anteil der LKW und sonst unveränderten
Daten wären die Ereignisse abhängig?
2. Erfahrungsgemäß haben 12 % eines Abiturjahrgangs die 7. Klasse, 9 % die 9.
Klasse wiederholt. Nimm an, dass das Wiederholen dieser Klassen unabhängig
erfolgt. Wie viel Prozent haben
a)
keine der beiden Klassen,
b)
die 7., aber nicht die 9. Klasse wiederholt?
3. Theodor und Dorothea sind öfters montags krank, und zwar Theodor mit der
Wahrscheinlichkeit
1
3
und Dorothea mit der Wahrscheinlichkeit
nur mit der Wahrscheinlichkeit von
2
5
1
2
. Es kommt
vor, dass sie am Montag beide im
Unterricht anwesend sind. Man prüfe durch Rechnung, ob die montägliche
Erkrankung von Theodor und Dorothea unabhängige Ereignisse sind.
4. Herr Anton stellt fest, dass bei 20 Fahrten mit der S-Bahn einmal seine
Fahrkarte kontrolliert wird. Er beschließt daraufhin verwerflicherweise, auf
Kosten anderer zu fahren und bei 3 % seiner Fahren keine Fahrkarte zu
lösen. Dies hat zur Folge, dass er in 2 von 1000 Fahren von einer Kontrolle
ohne
Fahrkarte
überrascht
wird.
Lege
eine
Vierfeldertafel
der
Wahrscheinlichkeiten an. Sind die Ereignisse „Anton besitzt eine gültige
Fahrkarte“ und „A wird kontrolliert“ stochastisch unabhängig?
8.28