Ubungen zur Geometrie — Blatt 3 - Fachbereich Mathematik und
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Universität Konstanz Fachbereich Mathematik Dr. Florian Berchtold Übungen zur Geometrie — Blatt 3 Abgabe bis Donnerstag, 1.6.2017 Aufgabe 3.1 Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn es eine Ähnlichkeitstransformation gibt, die die beiden Dreiecke ineinander überführt. Man zeige, dass zwei Dreiecke genau dann ähnlich sind, wenn sie in entsprechenden Winkeln übereinstimmen. Trifft dies auch auf Vierecke zu? Aufgabe 3.2 Es seien ABC ein Dreieck mit Umkreis K, wA die Winkelhalbierende bei A und A0 der von A verschiedene Schnittpunkt von wA mit dem Kreis K. Ferner sei MBC der Mittelpunkt von BC. Man zeige, dass der Winkel ∠A0 MBC B ein Rechter ist, d.h. A0 MBC ist die Mittelsenkrechte von BC. Aufgabe 3.3 Es seien A, B, P paarweise verschiedene Punkte der Geraden AB. Für das Teilverhältnis [P ; A, B] von P bzgl. (A, B) zeige man: 1. Das Teilverhältnis von P bzgl. (B, A) ist der Kehrwert des Teilverhältnisses von P bzgl. (A, B): 1 [P ; B, A] = [P ; A, B] . 2. Der Punkt P liegt genau dann zwischen A und B, wenn [P ; A, B] > 0 gilt. 3. Es gilt |AP | = [P ; A, B]. |BP | Aufgabe 3.4 Es sei ABC ein Dreieck mit Inkreismittelpunkt I. Weiter seien A0 , B 0 und C 0 die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden von ABC mit den gegenüberliegenden Seiten. Die Punkte La , Lb und Lc seien die Lotfußpunkte von I auf die entsprechenden Seiten von ABC. Man zeige: 1. Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten, d.h. |AB| |BA0 | = 0 . |AC| |A C| 2. |AI| |AB| + |AC| = . 0 |IA | |BC| 3. Die Geraden ALa , BLb und CLc schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt G. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik Dr. Florian Berchtold Übungen zur Geometrie — Blatt 3 Abgabe bis Donnerstag, 1.6.2017 Aufgabe 3.1 Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn es eine Ähnlichkeitstransformation gibt, die die beiden Dreiecke ineinander überführt. Man zeige, dass zwei Dreiecke genau dann ähnlich sind, wenn sie in entsprechenden Winkeln übereinstimmen. Trifft dies auch auf Vierecke zu? Aufgabe 3.2 Es seien ABC ein Dreieck mit Umkreis K, wA die Winkelhalbierende bei A und A0 der von A verschiedene Schnittpunkt von wA mit dem Kreis K. Ferner sei MBC der Mittelpunkt von BC. Man zeige, dass der Winkel ∠A0 MBC B ein Rechter ist, d.h. A0 MBC ist die Mittelsenkrechte von BC. Aufgabe 3.3 Es seien A, B, P paarweise verschiedene Punkte der Geraden AB. Für das Teilverhältnis [P ; A, B] von P bzgl. (A, B) zeige man: 1. Das Teilverhältnis von P bzgl. (B, A) ist der Kehrwert des Teilverhältnisses von P bzgl. (A, B): 1 [P ; B, A] = [P ; A, B] . 2. Der Punkt P liegt genau dann zwischen A und B, wenn [P ; A, B] > 0 gilt. 3. Es gilt |AP | = [P ; A, B]. |BP | Aufgabe 3.4 Es sei ABC ein Dreieck mit Inkreismittelpunkt I. Weiter seien A0 , B 0 und C 0 die Schnittpunkte der Winkelhalbierenden von ABC mit den gegenüberliegenden Seiten. Die Punkte La , Lb und Lc seien die Lotfußpunkte von I auf die entsprechenden Seiten von ABC. Man zeige: 1. Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten, d.h. |AB| |BA0 | = 0 . |AC| |A C| 2. |AI| |AB| + |AC| = . 0 |IA | |BC| 3. Die Geraden ALa , BLb und CLc schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt G.
