¨Ubungsaufgaben zur Halbleiterphysik

Prof. Dr. Roland Kersting
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Übungsaufgaben zur Halbleiterphysik
Stand: 26. September 2008
Aufgabe 1: Primitives Gitter
Für das BCC-Gitter benutzt man üblicherweise primitve Gittervektoren gleichen Betrags.
a) Geben Sie Vektoren an, die die primitive Einheitszelle aufspannen!
b) Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren?
c) Berechnen Sie das Volumen der primitiven Einheitszelle!
d) Wie groß ist die Koordinationszahl?
e) Berechnen Sie die reziproken Gittervektoren der ersten Brillouin Zone.
f) Berechnen Sie das Volumen der ersten BZ.
Aufgabe 2: Photostrom
Zwei Photoleiter aus Si und GaAs habe jeweils Abmessungen von 1 cm*1cm*100µm. Eine der
großen Flächen wird mit einer Lichtleistung von 1 W bei einer Wellenlänge von 900 nm beschienen. Wie groß ist der Photostrom im Halbleiter und wie groß ist der extern messbare Strom?
Vernachlässigen Sie alle Verlustprozesse.
Aufgabe 3: Elastizitätsmodul
In einem einfach kubischen Gitter denke man sich die nächsten Gitterpunkte durch Federn
verbunden. Die Gitterkonstante sei a = 2.8 ∗ 10−10 m und die Masse der Gitterpunkte jeweils
m = 2.3 ∗ 10−26 kg. Das Elastizitätsmodul sei E = 12 ∗ 1010 Nm−2 .
a) Das Elastizitätsmodul E beschreibt, um welche Strecke ∆L sich ein Körper der Länge L und
der Fläche A under der Wirkung der Kraft F ausdehnt. Geben Sie einen Audruck für die relative
Ausdehnung an.
b) Wieviel (relevante!) Federn gibt es pro Flächeneinheit?
c) Welche Kraft pro Flächeneinheit wird benötigt um, um jede einzelne Feder um δx auszudehnen? Leiten Sie einen Ausdruck für die Federkonstante k in Abhängigkeit vom Elastizitätsmodul
her!
d) Geben Sie eine Abschätzung zur Eigenfrequenz der Gitterschwingung an!
1
Aufgabe 4: Strukturfaktoren
a) Welche Strukturfaktoren treten im monoatomaren Diamant-Gitter auf? Leiten Sie hierfür
zunächst die Basis und die reziproken Gittervektoren des Bravais her und stellen Sie dann den
Gittervektor K als Linearkombination dar.
b) Wie verändert sich der Strukturfaktor wenn man z.B. von Si oder Ge zu GaAs übergeht?
Aufgabe 5: Dispersionsrelation einer 1D-Kette
Ein eindimensionales periodisches Gitter bestehe aus insgesamt 8 Atomen und beinhalte ein
nahezu freies Elektronengas.
a) Zeichnen Sie qualitativ die Dispersionsrelation der untersten vier Bänder!
b) Zeichnen Sie alle möglichen Zustände der Elektronen ein!
Aufgabe 6: Kronig-Penney-Modell
Der rechteckige Potentialkasten eines eindimensionalen Kronig-Penney-Modells beschreibe sich
nach:

−V0


 2
V (x) =


 +V0
2
∀
−l ≤ x < 0
(1)
∀
0≤x<l
und sei periodisch mit 2 l.
Berechnen Sie in Näherung des nahezu freien Elektrons die Bandaufspaltung am Rand der
Brillouin-Zone, ohne das Kronig-Penney-Modell durchzurechnen.
Aufgabe 7: Zyklotron-Orbits
a) Berechnen Sie die Zyklotronresonanz für Elektronen und schwere Löcher in InP für eine
magnetische Induktion von B = 5 T.
b) Vergleichen Sie die Wellenlänge der Zyklotronresonanzabsorption mit der Wellenlänge, bei
der ein optischer Übergang zwischen Valenz- und Leitungsband erfolgen kann.
c) Eine typische Streuzeit für Elektronen in GaAs beträgt τ = 200 fs. Wie groß muss die magnetische Induktion mindestens sein, damit eine eindeutig erkennbare Absorptionslinie auftritt.
2
Aufgabe 8: Bloch-Elektronen
In erster Ordnung Störungstheorie lässt sich die Dispersion der Bloch-Elektronen nach einem
Wellenvektor q entwickeln. Für das lineare Glied ∂E
∂k · q ergibt sich:
h̄2
∂E
=
∂k
m
Z
´
³1
dr u∗nk ∇ + k unk
i
(2)
Zeigen Sie, dass sich hieraus für die Geschwindigkeit des Bloch Elektrons ergibt:
hvi =
1 ∂E
h̄ ∂k
(3)
Aufgabe 9: Bloch-Oszillationen
Ein Elektron werde von einem elektrischen Feld E in einem Band beschleunigt.
Leiten Sie her, dass das Elektron sogenannte Bloch-Oszillationen vollführt, bei denen es periodisch durch die erste Brillouin-Zone läuft.
Aufgabe 10: Zyklotron-Resonanzen in Silizium
Für Elektronen in Si sind die Flächen konstanter Energie Ellipsoiden entlang der sechs [100]Richtungen im reziproken Raum. Es seien ωt und ωl die transversalen und die longitudinalen
Kreisfrequenzen der Zyklotronresonanz. Welche Resonanzen sind beobachtbar, wenn das Magnetfeld entlang der [100], bzw. der [110]-Richtung liegt?
Aufgabe 11: Zustandsdichte im 2D-Gitter
a) Leiten Sie einen Ausdruck für die Zustandsdichte D(E) im 2D-Gitter her.
b) Gegeben sei ein 2D-System aus GaAs mit einer effektiven Elektronenmasse m∗e = 0.067 me .
Wieviel Zustände der Elektronen, deren Energie in einem Intervall von ∆E = 1 meV liegt,
befinden sich in einer Fläche von 1 cm2 ?
3
Aufgabe 12: Dotiertes Silizium
Verwenden Sie folgende Daten von Silizium für Raumtemperatur:
• Bandlücke Eg = 1.11 eV
• effektive Massen: m∗e = 0.19 me und m∗h = 0.52 me
a) Berechnen Sie die effektiven Zustandsdichten des Leitungsbands und des Valenzbands für
Raumtemperatur.
b) Wie groß ist die intrinsische Dichte ni ?
c) Wo liegt bei einer p-Dotierung von NA = 1017 cm−3 die Fermienergie?
d) Nehmen Sie an, dass alle Akzeptoren vollständig ionisiert sind. Wie groß ist die Elektronendichte?
Aufgabe 13: Hall-Messungen
Eine Silizium-Probe der Länge l =1 cm, Breite w = 1 mm und Höhe d = 1 mm wird in
einem Hall-Experiment untersucht. Zwischen den Enden der Probe fließt ein Strom von 10 mA.
Dazu wirkt in senkrechter Richtung eine magnetische Induktion von B = 0.1 T. Entlang der
Probe wird eine Spannung von 5 V gemessen. Die Hall-Spannung in senkrechter Richtung zu
magnetischem Feld und Strom ist 1 mV.
a) Berechnen Sie Ladungsträgerdichte und Mobilität!
b) Da keine Vorzeichen zu den Spannungen angegeben sind, läßt sich nur über Literaturwerte schließen, ob es sich um eine n- oder um einen p-Dotierung handelt. Schließen Sie auf die
Dotierung!
Aufgabe 14: Experiment zur Impulsrelaxationszeit
Sie haben eine leicht n-dotierte GaAs-Probe (n = 1015 cm−3 ) und wollen die Impulsrelaxationszeit der Elektronen experimentell ermitteln. Leider ist Ihre Probe von so unglücklicher
Geometrie, dass Sie nur an den äußeren Enden je einen Kontakt anbringen können. Konsequenz
ist, dass Sie nie genau das elektrische Feld wissen, welches im Halbleiter zwischen den beiden
Kontakten abfällt, da auch Kontaktwiderstände auftreten könnnen. Andererseits habe Sie ein
gut ausgestattetes Labor.
Schlagen Sie ein Experiment vor, mit dem Sie die Streuzeit ermitteln können!
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Aufgabe 15: Hall-Probe
Sie haben eine Halbleiterprobe mit einer dotierten Schicht der Dicke d. Diese Schicht kann zwar
elektrisch kontaktiert werden, aber es treten Kontaktwiderstände auf.
Konstruieren Sie eine Struktur mit verschiedenen Kontakten, so dass verfälschungsfreie HallMessungen möglich sind.
Aufgabe 16: Höchster Widerstand von Silizium
Sie benötigen für ein Experiment Siliziumwafer minimaler Leitfähigkeit. Üblicherweise wird der
spezifische Widerstand in Ωcm angegeben. Welchen spezifischen Widerstand können Sie vom
Händler ernsthaft verlangen?
Benutzen Sie für eine erste Näherung: m∗e = 0.19 · me , m∗h = 0.52 · me und Eg = 1.12 eV.
Aufgabe 17: Freie Weglänge
Ein Elektron befindet sich in einem direkten Halbleiter am Γ-Punkt. Nach Anlegen eines elektrischen Feldes E wird es beschleunigt und streut ins L-Tal sobald es die ausreichende Energie
∆EΓL erreicht hat.
Zeigen Sie, ausgehend von vg =
ΓL
s = ∆E
e|E| zurücklegt!
1 dE
h̄ dk ,
dass das Elektron bis zum Streuprozess die Strecke:
Aufgabe 18: Beschleunigung im Feld
Eine GaAs-Struktur sei minimal n-dotiert. Bei einem Feld von 10 kV/cm betrage die Impulsrelaxationszeit bei 300 K etwa 100 fs.
a) Berechnen Sie die mittlere Energie eines Elektrons!
b) Wie verhält sich die freie Weglänge, die im elektrischen Feld durchlaufen wird, zu der freien
Weglänge der thermischen Bewegung.
c) Der mittlere Energiegewinn kann damit beschrieben werden, dass die Fermi-Energie um den
entsprechenden Betrag steigt. Berechnen Sie über die Elektronendichte und effektive Zustanddichte, um welchen Betrag die Temperatur der Ladungsträger steigen muss.
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Aufgabe 19: Impact-Ionisation
Field
Ei(ki)
E3(k3)
E2(k2)
E1(k1)
Wave vector
Ein Elektron habe die Energie Ei und ionisiere ein
Atom, wodurch es in den Zustand der Energie E3
gestreut wird. Durch die Ionisierung wird ein Elektron der Energie E1 aus dem Valenzband auf einen
Zustand der Energie E2 im Leitungsband angehoben. Nehmen Sie an, dass die Massen im Leitungsband und Valenzband absolut gleich sind und dass
die Dispersion streng parabolisch verläuft.
Zeigen Sie, dass der Prozeß folgende MinimalEnergie des Elektrons i erfordert: Ei = 1.5 Eg .
Tip: Minimieren Sie Wellenvektor und Energie der
Produkte und benutzen Sie: dE = h̄ · v · dk
Aufgabe 20: Haynes-Shockley-Experiment
In einem Experiment ähnlich zum Haynes-Shockley-Versuch beleuchten Sie einen Streifen auf
einem dünnen, hochreinen Halbleiter mit einem kurzen Laserpuls. Die photogenerierten Ladungsträger diffundieren vom Anregungsstreifen bei x = 0 in Richtung ±x. Schlagen Sie vor,
wie aus Messungen zur Dynamik der Photolumineszenz auf die (ambipolare) Diffusionskonstante
geschlossen werden kann. Vernachlässigen Sie hierbei weitere Rekombinationsprozesse.
Aufgabe 21: Raman-Streuung
Eine fiktive diatomare Kette bestehe aus Ga- und As-Atomen. Bei einem Raman-Experiment
mit Licht der Wellenlänge 1239 nm wird im rückgestreuten Licht eine Wellenlänge von 1225 nm
gefunden.
Die Bindungslänge zwischen Ga und As wird mit 2.823Å angenommen.
Wie groß ist die Kraftkonstante zwischen den Atomen?
Aufgabe 22: Avalanche-Prozess
Bei einer Avalanche-Photodiode aus Silizium sei der Kontaktabstand 10 µm. Die Vorspannung
betrage U = 300 V. Unter diesen Bedingungen tragen nur die Elektronen zum Avalanche-Effekt
bei. Wird die Diode mit einer Lichtleistung von 1 µW bei 800 nm bestrahlt, so fließt ein Strom
von 32 µA.
Wie groß ist die Ionisationsrate in cm−1 bei diesem Feld?
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Aufgabe 23: Diatomare Kette
Eine Kette mit zwei Atomen gleicher Masse M pro Basis wird anhand zweier, verschiedener
Kraftkonstanten (z.B. C & D ) der Bindungen beschrieben.
a) Wie lautet die Dispersionsrelation?
b) Skizzieren Sie die Dispersionsrelation und geben Sie Werte für Rand und Zentrum der Brillouinzone an?
Aufgabe 24: Streuung an akustischen Phononen
Ein Ladungsträger habe die effektive Masse m∗ = 0.1 · me und die Energie Ei = 25 meV. Die
Schallgeschwingdigkeit in dem Halbleiter sei vs = 106 cm/s.
a) Berechnen Sie den maximalen Energieverlust, wenn ein akustisches Phonon emittiert wird!
b) Beschreiben Sie qualitativ, wie sich der Wellenvektor des Ladungsträgers ändert!
Aufgabe 25: Emission optischer Phononen
Eine GaAs-Probe wird mit Laserpulsen der Photonenenergie h̄ω = 1.6 eV angeregt, wobei
Elektronen und schwere Löcher generiert werden. Nehmen Sie an, dass die Ladungsträger zu den
Bandkanten relaxieren indem optische Phononen der Energie h̄ω = 30 meV emittiert werden.
Benutzen Sie die Werte Eg = 1.42 eV, m∗e = 0.067me und m∗hh = 0.45me .
Wieviel optische Phonen emittiert unter dieser Annahme ein Elektron?
Aufgabe 26: Abschirmung
Abbildung 1: Ein Femtosekunden-Laserpuls
generiert im Volumen 10mm*10mm*1µm
eines GaAs-Photoleiters eine Ladungsträgerdichte von 1017 cm−3 .
a) Ermitteln Sie in Näherung, ab welchem
Zeitpunkt der Stromfluß durch Abschirmung
zum Erliegen kommt!
b) Welche Bedeutung hat die Abschirmung für die Kennlinie des Photostroms in
Abhängigkeit von der Lichtleistung?
e(GaAs)=12.5
1 mm
10mm
10mm
30mm
1V
7
Aufgabe 27: Energierelaxation bei polar-optischer Streuung
Abbildung 2: Energierelaxations-Rate und
Impulsrelaxationsrate mit zugehöriger Mobilität für Streuung an polar-optischen
Phononen in GaAs. Die Gitter-Temperatur
T ist in Einheiten der Debye-Temperatur
angegeben. Nach Seeger, 2004. Seite 209.
Warum durchläuft die
tionsrate ein Minimum?
Energie-Relaxa-
Aufgabe 28: Bandschema des pn-Übergangs
In einem p+ n-Übergang ist NA À ND .
a) Zeichnen Sie in Abhängigkeit von der Tiefe x den Dotierungsverlauf und den Verlauf des
elektrischen Feldes!
b) Zeigen Sie, dass der Potentialverlauf beschrieben werden kann mit:
µ
ψ(x) =
x
Vbi · x
2−
xn
xn
¶
(4)
wenn das Potential in der p-Region auf Null gesetzt wird!
Aufgabe 29: Ströme im pn-Übergang
Im Gleichgewicht wird an einem p+ n-Übergang bei 300 K eine Leitfähigkeit von σ = 100 Ω−1 cm−1
gemessen. Die Verarmungszone habe die Breite W = 1 µm.
a) Welche Ladungsträger tragen hauptsächlich zum Strom bei?
b) Berechnen Sie den Diffusionsstrom!
Aufgabe 30: Leistungsdissipation in einer pn-Diode
Durch eine Silizium pn-Diode (Eg (Si) = 1.17 eV) fließt ein Strom von I = 1 mA wenn eine
Spannung von V = 100 mV in Durchlassrichtung angelegt wird.
Durch welchen Prozess wird die Leistung dissipiert? Diskutieren Sie den Dissipationsprozess
anhand des Banddiagramms.
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Aufgabe 31: Kapazität einer pn-Diode
Eine p+ n-Diode habe ein eingebautes Potential von 0.7 eV. Bei dem verwendeten Halbleiter sei
dieser Wert unabhängig von der Dotierungsdichte. Die Permittivität sei: ² = 12. Von der Diode
ist die Querschnittsfläche von 10 µm * 10 µm bekannt.
a) Wie groß ist die Verarmungszone?
b) Bei einer Kapazitätsmessung wird eine DC Spannung und eine AC-Spannung bei einer Frequenz von 1 kHz angelegt.
UDC
Uampl
Iampl,reell Iampl,imag
Messung
Die Messwerte sind:
1.
0V
0.5 mV
10 nA
100 nA
2. 0.005 V 0.5 mV
20 nA
94 nA
Wie groß ist die n-Dotierungsdichte nahe des metallurgischen Kontaktes?
Aufgabe 32: Linearer Dotierungsgradient
Für einen pn-Übergang mit linearem Dotierungsgradienten lautet die Poisson-Gleichung:
d2 ψ
e
= − ax
2
dx
²²0
∀
−
W
W
≤x≤
2
2
(5)
wobei W die Breite der Raumladungszone und a der Gradient der Dotierung ist mit [a] = m−4 .
Zeigen Sie, dass sich das eingebaute Potential beschreibt mit:
Vbi =
eaW 3
12²²0
(6)
Aufgabe 33: Kontaktwiderstand
Ziel sei es, den Widerstand eines Stückes n-GaAs unter vernachlässigbarer Spannung bei 300 K
zu messen. Hierfür bringen Sie je zwei Wolfram-Kontakte mit einer Fläche von jeweils 1 mm2
an den Enden der Probe auf. Wie sehr verfälschen bei einer Widerstandsmessung die Kontaktwiderstände den eigentlichen Widerstand der Probe, wenn dieser mit 10 kΩ angenommen wird?
Benutzen Sie: φBn = 0.8 eV !
Aufgabe 34: Stromverstärkung in einem pnp-Transistor
In Basisschaltung wird eine Stromverstärkung von α0 = 0.998 gemessen.
a) Zeichen Sie die Basisschaltung und die Emitterschaltung sowie die Ströme!
b) Die Schaltung wird in eine Emitter-Schaltung geändert und mit einem Basis-Strom von 10 µA
betrieben. Wie groß ist der Kollektorstrom?
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Aufgabe 35: Strom durch einen JFET
Leiten Sie über
dV = ID · dR
unter Verwendung von
s
2²²0 (V (y) + VG + Vbi )
eND
W (y) =
mit Pintch-off Strom
IP =
2 a3
Zµn e2 ND
²²0 L
und der Pintch-off Spannung
eND a2
2²²0
her, dass der Drain-Strom gegeben ist durch:
VP =
Ã
ID = IP
VD
2
−
VP
3
µ
VD + VG + Vbi
VP
¶3/2
2
+
3
µ
VG + Vbi
VP
¶3/2 !
(7)
Aufgabe 36: Ballistischer Transport
Eine GaAs/AlGaAs Heterostruktur ist modulations-n-dotiert, so dass die Elektronen im GaAs
eine Mobilität µ = 105 cm2 /Vs haben. Aus dieser Heterostruktur soll ein n-Kanal HEMT gebaut
werden. Um eine möglichst hohe Schaltfrequenz zu erreichen, soll der Transport der Elektronen
unter dem Gate ballistisch erfolgen, also ohne dass Streuung auftritt.
Wie lang darf die Kanal-Länge unter der Gate-Region maximal sein? Es ist zu berücksichtigen,
dass die Energie der Elektronen kleiner als eine Phononenergie (h̄ωP honon = 30 meV) bleiben
soll, um die Streuraten gering zu halten.
Aufgabe 37: Optische Leitfähigkeit
Leiten Sie für den Lorentz-Oszillator den Real- und den Imaginärteil der optischen Leitfähigkeit
σ(ω) = j(ω)/E(ω) her!
Aufgabe 38: Landau-Zustände in Volumen-Halbleitern
Einen Volumen-Halbleiter durchdringt eine magnetische Induktion Bz . Es kommt zur AusbileB
dung von Landau-Niveaus (Zyklotron-Resonanzen) mit En = (n − 12 )h̄ωc mit ωc = m
∗.
a) Zeichen Sie schematisch die Dispersionen Ei (kz )!
b) Zeichen Sie schematisch den Verlauf der Zustandsdichte!
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Aufgabe 39: Intersubband-Übergänge in einem parabolischen Quantentrog
In einem
parabolischen
Quantentrog sind elektronische Intersubband-Zustände äquidistant: En =
´
³
1
h̄ω n + 2 . Der Dipoloperator läßt sich darstellen mittels:
q
p|ψn i =
´
i ³
m∗e h̄ω √ a† − a |ψn i
2
(8)
a) Zeigen Sie grafisch, dass der optische Intersubband-Übergang 1 → 2 erlaubt, aber 1 → 3
verboten ist.
b) Zeigen Sie mit Hilfe obiger Gleichung, dass nur optische Übergänge zwischen benachbarten
Niveaus erlaubt sind.
Aufgabe 40: Lorentz-Modell
Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung von
mẍ + γmẋ + βx = eE0 exp {−iωt}
½
x(t) = x0 exp −it
¾
q
ω02
−
γ 2 /4
γ, β, m > 0
½
γ
exp −t
2
(9)
¾
+ x̂p exp {−iωt}
(10)
ist mit:
x̂p (ω) =
e
1
E0 (ω)
m ω02 − ω 2 − iωγ
(11)
Aufgabe 41: Direkter Übergang in der Interband-Absorption
Es kann gezeigt werden, dass für Übergänge vom Zustand |kvi zu Bändern j 6= v mit gleichem
k für die reduzierte Oszillatorstärke gilt:
m ∂ 2 Ek v
m
fˆvj (k) = 1 − 2
=1+ ∗
2
∂k
m
h̄
h
v6=j
X
(12)
Gehen Sie im folgenden von lediglich einem Valenz- und einem Leitungsband aus. Im Valenzband
sei die effektive Masse m∗h /m = 1/2 und gleichzeitig viel größer als die Elektronenmasse. Hieraus
folgt m̄∗ ≈ m∗h . Der Brechungsindex ist: n(ω) = 4. Der Halbleiter werde mit Licht der Energie
h̄ω − Eg = 0.01 eV angeregt.
Berechnen Sie den Absorptionskoeffizienten bei dieser Energie!
11
Aufgabe 42: Drude-Modell
Bei einem treibenden Feld E = E0 exp(−iωt) gilt innerhalb des Drude-Modells für die Auslenkung des Elektrons:
x=
eE
+ iγ)
(13)
m∗ ω(ω
Zeigen Sie über den Realteil der Leitfähigkeit, dass bei kleinen Frequenzen gilt:
ne2
ne2 τ
=
m∗ γ
m∗
(14)
wobei n die Elektronendichte und τ die Impulsrelaxationszeit ist.
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