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Einige Grundbegriffe zur Vorlesung
Ergodentheorie geodätischer Flüsse“
”
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Topologie
Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, T ) bestehend aus einer Menge X und einem
System von Teilmengen von X, sodass gilt
X, ∅ ∈ T
U, V ∈ T
=⇒
(Ui )i∈N ⊆ T
=⇒
U ∩V ∈T
[
Ui ∈ T .
i∈N
Das Teilmengensystem T nennt man eine Topologie von X, die Elemente von T heißen
offene Teilmengen von X. Eine Menge F ⊆ X heißt abgeschlossen genau dann, wenn ihr
Komplement F c := X \ F offen ist.
Eine Basis von T ist eine Teilmenge B ⊆ T mit der Eigenschaft, dass sich jedes U ∈ T
als Vereinigung von Mengen aus B schreiben lässt.
Eine Teilmenge A ⊆ X eines topologischen Raumes (X, T ) ist selbst wieder ein topologischer Raum versehen mit der Teilraumtopologie: Eine Menge O ⊆ A ist offen genau dann,
wenn U ∈ T existiert mit U ∩ A = O.
Sei x ∈ X. Eine Teilmenge V ⊆ X heißt Umgebung von x ∈ X, wenn es eine offene Menge
U ∈ T gibt mit x ∈ U ⊆ V . Ein topologischer Raum ist hausdorffsch, wenn zu je zwei
verschiedenen Punkten in X disjunkte offene Umgebungen existieren.
Sei A ⊆ X eine Menge. Das Innere Ao von A ist die Vereinigung aller offenen Teilmengen
von A, der Abschluss A von A ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die A
enthalten. A heißt dicht in X, falls A = X.
Eine Teilmenge K ⊆ X heißt kompakt, wenn jede Überdeckung von K durch offene
Mengen eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn er sich nicht in zwei nichtleere
disjunkte offene Teilmengen zerlegen lässt.
Eine Metrik d auf einer Menge X ist eine Abbildung d : X × X → R sodass für alle
x, y, z ∈ X gilt:
d(x, y) ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn x = y
d(x, y) = d(y, x)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) .
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Ein metrischer Raum ist ein Paar (X, d) bestehend aus einer Menge X und einer Metrik
d auf X. Eine Metrik auf X induziert in natürlicher Weise eine Topologie auf X: Eine
Menge O ⊆ X ist offen, falls für alle x ∈ O ein ε > 0 existiert sodass der Ball Bε (x) :=
{y ∈ X : d(x, y) < ε} ganz in O enthalten ist. Umgekehrt heißt ein topologischer Raum
(X, T ) metrisierbar, wenn eine Metrik auf X existiert, die T induziert.
Seien (X, T ) und (Y, S) topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung. f heißt
stetig, falls die Urbilder von offenen Mengen in Y offen in X sind. Ist f bijektiv und
stetig mit stetiger Umkehrabbildung f −1 , so heißt f Homöomorphismus. Eine Abbildung
f : X → Y heißt eigentlich genau dann, wenn die Urbilder kompakter Mengen in Y
kompakte Teilmengen von X sind.
Seien I eine
Q abzählbare Indexmenge, {(Xi , Ti ) : i ∈ I} eine Menge topologischer Räume
und Y := i∈I Xi das kartesische Produkt der Mengen Xi , i ∈ I.
Y
B := {
Ui : Ui ∈ Ti , ∃ F ⊆ I endlich mit Ui = Xi
∀ i ∈ I \ F}
i∈I
ist Basis einer Topologie auf Y , der sogenannten Produkttopologie.
Sei (X, T ) ein topologischer Raum und ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Für x ∈ X
bezeichne [x] := {z ∈ X : z ∼ x} die Äquivalenzklasse von x. Sei X/∼ die Menge der
Äquivalenzklassen und π : X → X/∼, x 7→ [x] die natürliche Projektion. Die Quotiententopologie auf X/∼ ist folgendermaßen definiert: Eine Menge U ⊆ X/∼ ist offen genau
dann, wenn π −1 (U ) offen ist in X. Diese Konstruktion der Topologie für den Quotientenraum X/∼ macht π zu einer stetigen Abbildung.
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Maßtheorie
Sei X eine Menge. Eine Familie A von Teilmengen von X heißt Algebra, falls
∅∈A
A∈A
A, B ∈ A
Ac := X \ A ∈ A
A ∪ B ∈ A.
=⇒
=⇒
Gilt außerdem
(Ai )i∈N ⊆ A
=⇒
[
Ai ∈ A ,
i∈N
so heisst A σ-Algebra.
Eine σ-Algebra A heißt von einer Familie F von Teilmengen von X erzeugt, falls jede
σ-Algebra, die F enthält, auch A enthält.
Sind X, Y Mengen und A, B σ-Algebren auf X bzw. Y , so heißt die von den Mengen
{A × B : A ∈ A , B ∈ B}
erzeugte σ-Algebra A×B auf dem kartesischen Produkt X ×Y das Produkt der σ-Algebren
A und B.
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Ist X ein topologischer Raum, so heißt die von den offenen Mengen T von X erzeugte
σ-Algebra B die Borel’sche σ-Algebra von X. Elemente der Borel’schen σ-Algebra werden
auch Borelmengen genannt.
Sei A eine σ-Algebra auf einer Menge X, und µ : A → [0, ∞] eine Abbildung. µ heißt Maß
auf X, falls µ(∅) = 0 und µ abzählbar additiv ist, d.h. falls für jede Familie (Ai )i∈N ⊂ A
paarweise disjunkter Teilmengen von X folgende Gleichung gilt:
!
[
X
µ
Ai =
µ(Ai ) .
i∈N
i∈N
Satz (Hahn-Kolmogorov Erweiterungssatz)
Sei X eine Menge, A0 eine Algebra
von X und µ0 : A0 → [0, ∞] eine
S von Teilmengen
P
Abbildung mit µ0 (∅) = 0 und µ0
i∈N Ai = S i∈N µ0 (Ai ) für jede Familie (Ai )i∈N ⊂ A0
paarweise disjunkter Teilmengen von X mit i∈N Ai ∈ A0 . Ist A die von A0 erzeugte
σ-Algebra, so existiert ein eindeutiges Maß µ : A → [0, ∞] mit µ|A0 = µ0 .
Ein Maßraum ist ein Tripel (X, A, µ), wobei A eine σ-Algebra und µ : A → [0, ∞] ein
Maß auf X ist. X heißt σ-endlich unter µ, falls X als abzählbare Vereinigung X = ∪i∈N Ai
geschrieben werden kann mit Ai ∈ A und µ(Ai ) < ∞ für alle i ∈ N. Gilt µ(X) = 1, so
heißt X Wahrscheinlichkeitsraum und µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf X.
Das Lebesgue-Maß auf der Borel’schen σ-Algebra B des RN ist das eindeutige Maß λ mit
der Eigenschaft
λ([a1 , b1 ] × . . . × [aN , bN ]) = (b1 − a1 ) · . . . · (bN − aN ) .
Eine Menge C ⊆ X heißt Nullmenge, falls A ∈ A existiert mit C ⊆ A und µ(A) = 0. Zwei
Mengen C, D ⊂ X heißen äquivalent modulo Null (C = D(mod 0) falls
C M D := C \ (C ∩ D) ∪ D \ (C ∩ D)
eine Nullmenge ist.
Wir sagen, eine Eigenschaft für Punkte einer Menge S ⊆ X gilt fast überall (f.ü.) in S,
falls die Menge von Punkten in S, für die die Eigenschaft nicht gilt, eine Nullmenge ist.
Insbesondere schreiben wir für Teilmengen A, B ⊆ X
A⊆B
f.ü. ,
falls A \ (A ∩ B) eine Nullmenge ist.
Satz (Produktmaß)
Seien (X, A, µ), (Y, B, ν) σ-endliche Maßräume und A × B das Produkt der σ-Algebren
A, B. Dann existiert ein eindeutiges Maß µ ⊗ ν auf A × B mit
(µ ⊗ ν)(A × B) = µ(A)ν(B) ∀ A ∈ A
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∀ B ∈ B.
(X × Y, A × B, µ ⊗ ν) heißt das Produkt der Maßräume (X, A, µ) und (Y, B, ν).
Seien (X, A, µ) und (Y, B, ν) Maßräume. Eine Abbildung f : X → Y heißt messbar, falls
Urbilder von Elementen in B in A liegen. Insbesondere ist eine Funktion f : X → C
messbar, falls Urbilder von Borelmengen in C Elemente von A sind.
Sind f : X → Y und g : X → Y messbare Abbildungen, so schreiben wir f = g f.ü. genau
dann, wenn die Menge {x ∈ X : f (x) 6= g(x)} eine Nullmenge in X ist. Diese Eigenschaft
definiert eine Äquivalenzrelation ∼ auf der Menge aller messbaren Abbildungen von X
nach Y :
f ∼ g :⇐⇒
f = g f.ü.
Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Für C ⊆ X bezeichne IC die charakteristische Funktion von C,
d.h. I(x) = 1 für x ∈ C und I(x) = 0 für x ∈ C c . Eine Funktion s : X → C heißt einfach,
falls s in der Form
N
X
λi IAi
s=
i=1
mit λi ∈ C, Ai ∈ A, 1 ≤ i ≤ N , geschrieben werden kann. Gilt außerdem
N
X
λi µ(Ai ) < ∞ ,
i=1
so heißt s integrierbar und
Z
s dµ =
X
N
X
λi µ(Ai )
i=1
das Integral von s. Man kann zeigen, dass diese Zahl nicht von der Zerlegung von s in
charakteristische Funktionen abhängt. Eine Funktion g : X → C, die nicht einfach ist,
heißt integrierbar, falls eine Folge (sn )n∈N einfacher integrierbarer Funktionen sn : X → C
existiert mit den Eigenschaften
lim sn (x) = g(x) für fast alle x ∈ X .
Z
lim
|sn − sm | dµ = 0 .
n→∞
n,m→∞
X
In diesem Fall wird das Integral von g definiert durch
Z
Z
g dµ := lim
sn dµ .
n→∞
X
X
Es kann gezeigt werden, dass dieser Limes existiert und unabhängig von der gewählten
Folge (sn ) ist. Integrierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise messbar, stimmen
aber mit einer solchen f.ü. überein.
Für p ∈ N und K ∈ {R, C} definieren wir nun mit Hilfe obiger Äquivalenzrelation ∼ die
Banachräume
Z
p
L (µ, K) := {f : X → K : f messbar,
|f |p dµ < ∞}/ ∼ .
X
Mit dem Skalarprodukt hf, gi :=
R
p
X
f ·ḡ dµ wird L (µ, K) zu einem Banachraum.
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