Didaktische Grundlagen Arithmetik

Didaktische Grundlagen
Arithmetik
Vertiefung
www.math-edu.de/DGArithmetikV
Zur Division durch die Zahl 0
Folien erstellt auf der Grundlage von:
Köhler, Hartmut (Hrsg.). 2008. Kreative Ideenbörse
Mathematik Sekundarstufe I, Ausgabe 14. München:
Olzog Verlag.
Kapitel 1.16: Zur Division durch die Zahl 0, S. 1–28.
In dieser Literatur finden Sie auch Kopiervorlagen und
Übungsaufgaben für den Schulunterricht.
Zur Division durch die Zahl 0
I.
Rechnen in ℤ bzw. ℚ
Verteilen und Aufteilen einer Menge von Objekten

Frage: Wie können 24 Bonbons gerecht an 12 Kinder verteilt werden?
Rechnung: 24 : 12 = 2
Antwort: Jedes Kind erhält 2 Bonbons.

Frage: Wie können 24 Bonbons in Tüten zu je 8 Bonbons aufgeteilt
werden?
Rechnung: 24 : 8 = 3
Antwort: Man benötigt 3 Tüten.
Entsprechende Fragen für eine Division durch 0:

Frage: Wie können 24 Bonbons gerecht an 0 Kinder verteilt werden?

Frage: Wie können 24 Bonbons in Tüten zu je 0 Bonbons aufgeteilt
werden?
Diese Fragen sind im täglichen Leben unsinnig!
Zur Division durch die Zahl 0
Die Division als wiederholte Subtraktion

Handelt es sich bei 14 : 7 um eine natürliche Zahl?
Es ist 14 – 7 = 7, 7 – 7 = 0. Wird 7 zweimal von 14 subtrahiert, so
ergibt sich 0. Ergebnis: 14 : 7 = 2.

Handelt es sich bei 14 : 0 um eine natürliche Zahl?
Ausgangszahl ist 14. Wie oft muss 0 von der 14 subtrahiert werden,
um 0 zu erhalten? Es ist 14 – 0 = 14, 14 – 0 = 14, …
Ergebnis: Es gibt keine natürliche Zahl, die angibt, nach wie vielen
Rechenschritten 0 erreicht ist. Der Ausdruck 14 : 0 ist kein Name für
eine natürliche Zahl.

Handelt es sich bei 0 : 0 um eine natürliche Zahl?
Ausgangszahl ist 0. Wie oft muss 0 von der 0 subtrahiert werden, um 0
zu erhalten? Es ist 0 – 0 = 0, 0 – 0 = 0, …
Ergebnis: Die Zahl 0 ist nach jeder festen Anzahl von Schritten erreicht.
Der Ausdruck 0 : 0 ist kein Name für eine einzige natürliche Zahl.
Zur Division durch die Zahl 0
Die Division als Umkehroperation der Multiplikation

a : b = c ist gleichwertig zu c ⋅ b = a.

Ist 10 : 5 = x, dann ist x ⋅ 5 = 10. Ergebnis: 10 : 5 = 2.

Ist 2 : 5 = x, dann ist x ⋅ 5 = 2. Ergebnis: 2 : 5 = 2/5.

Ist 0 : 5 = x, dann ist x ⋅ 5 = 0. Ergebnis: 0 : 5 = 0.

Ist 2 : 0 = x, dann ist x ⋅ 0 = 2. Aber: x ⋅ 0 ergibt stets 0, gleichgültig
wie x gewählt wird. Ergebnis: 2 : 0 bezeichnet keine Zahl.

Ist 0 : 0 = x, dann ist x ⋅ 0 = 0. Diese Forderung erfüllt jede Zahl.
Ergebnis: 0 : 0 bezeichnet keine eindeutig bestimmte Zahl.
Gleichgültig welche Zahl a gewählt wird, gilt: a : 0 bezeichnet keine
eindeutig bestimmte Zahl.
0 : 0 kann nicht zwingend eine einzige Zahl zugewiesen werden und ist
a ≠ 0, dann kann a : 0 keine Zahl zugewiesen werden.
Man sagt: „Für keine Zahl a ist a : 0 definiert.“
Zur Division durch die Zahl 0
II.
Wird durch 1/0 eine Zahl erfasst, die nicht
zu gehört?
Die Menge der rationalen Zahlen ist gegen die Subtraktion abgeschlossen,
das bedeutet, dass die Differenz von zwei rationalen Zahlen stets eine
rationale Zahl ist.
Die Menge der rationalen Zahlen ist gegen die Division nicht
abgeschlossen, denn eine Division durch die Zahl 0 ergibt keine
rationale Zahl.
Können zu den rationalen Zahlen weitere Zahlen so eingeführt werden,
dass in der neuen Menge die Division durch 0 möglich ist?
Zur Division durch die Zahl 0



Vorüberlegung (Annäherung an die Zahl 1 : 0, falls sie existiert):
Es ist 1 : 0,1 = 10, 1 : 0,01 = 100, 1 : 0,001 = 1000, 1 : 0,0001 =
10000, …
Vorschlag: 1 : 0 = ∞. Wird mit ∞ eine Zahl erfasst?
Annahme: Mit ∞ wird eine Zahl erfasst, mit der man nach den üblichen
Rechenregeln arbeiten kann.
Folgerung, z. B.:
Es ist: 1 1  2 2


0 02 0
Da zwei Brüche mit gleichem Nenner genau dann gleich sind, wenn die
Zähler gleich sind, folgt 1 = 2. Diese Aussage ist falsch. Das bedeutet,
dass die Annahme falsch ist.
Ergebnis: Mit ∞ wird keine Zahl bezeichnet, mit der nach den Regeln
des Zahlenrechnens gearbeitet werden kann.
… (ähnliche Überlegungen für a/0 mit beliebigen Zahlen für a)
Zur Division durch die Zahl 0
Ergebnis:
Zu keiner Zahl a kann die Division a : 0 so erklärt
werden, dass sich eindeutig eine Zahl ergibt, mit der
in der für Zahlen üblichen Weise widerspruchsfrei
gerechnet werden kann.
a/0 bezeichnet keine Zahl.
Man sagt: „Durch 0 kann nicht dividiert werden.“
Taschenrechner zeigen auf die Eingabe von 1 : 0 die
Fehlermeldung „E“ (error).