§ 4. Division mit Rest

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Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2017)
§ 4. Division mit Rest
Unter allen ganzzahligen Vielfachen von 5, die kleiner–gleich 67 sind, gibt es ein größtes,
nämlich 13 · 5 ; denn 14 · 5 ist schon echt größer als 67 . Veranschaulicht an der Zahlengeraden:
50
55
60
10 · 5
11 · 5
12 · 5
65 67
13 · 5
70
75
14 · 5
15 · 5
Wir können daher 67 in der Form
67 = 13 · 5 + 2
schreiben. Diesen Vorgang bezeichnen wir als ”Division von 67 durch 5 mit Rest”. Der Rest
ergibt sich als
67 − 13 · 5 = 2 .
Der Rest ist auf jeden Fall ≥ 0 , und in diesem Beispiel ist er < 5 . Allgemein gilt:
(4.1) SATZ: Division mit Rest
Z
Zu jeder ganzen Zahl a ∈ und jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 gibt es eindeutig bestimmte
ganze Zahlen q und r mit folgenden Eigenschaften:
a = q·n+r
und 0 ≤ r < n .
Dabei heißt q der Quotient bei Division von a durch n und r der Rest bei Division
von a durch n.
Bezeichnungen:
q =: qn (a) , r =: rn (a)
a = qn (a) · n + rn (a)
Beispiele: a = 67 , n = 5 :
a = 36 , n = 6 :
(0 ≤ rn (a) < n)
67 = 13 · 5 + 2
36 = 6 · 6 + 0
a = −25 , n = 7 : −25 = (−4) · 7 + 3
a = 0, n = 8 :
!
0=0·8+0
Der Rest ist immer eine nichtnegative Zahl!
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Die Beweisidee ist zu Beginn des Paragraphen an einem Beispiel beschrieben worden. Ist
a > 0 , so bestimmen wir q ∈ 0 so, dass q · n das größte Vielfache von n ist, das kleiner–
gleich a ist. Ein solches q existiert auf Grund von (3.13). Dann setzen wir r := a − q · n .
Diese beiden Größen erfüllen dann die in dem Satz geforderten Eigenschaften, d.h. es gilt
a = q · n + r und 0 ≤ r < n . Den Fall a < 0 führen wir auf den ersten Fall zurück, indem
wir −a betrachten (ist a < 0 , so ist −a > 0).
N
Eine ganze Zahl a hat bei Division durch n immer einen Rest r , für den
d.h. der Rest ist ein Element der Menge
0 ≤ r < n gilt,
Rn := { 0, 1, 2, 3, . . . , n − 2, n − 1 }
Umgekehrt gibt es zu jeder Zahl r ∈ Rn auch eine Zahl a, die den Rest r bei Division durch
n hat, es gibt sogar unendlich viele Zahlen mit Rest r bei Division durch n . Jede der Zahlen
aus
{r + k · n|k ∈ }
Z
hat nämlich den Rest r bei Division durch n .
Die durch n teilbaren Zahlen haben den Rest 0 bei Division durch n und umgekehrt. Genauer
gilt:
(4.2) SATZ: Für a ∈
Z und n ∈ N gilt:
n | a ⇐⇒ rn (a) = 0 .
Betrachten wir den Spezialfall n = 2 , so hat jede ganze Zahl a bei Division durch 2 entweder
den Rest 0 oder 1 . Damit kommen wir zu der bekannten Definition:
(4.3) DEF: Eine ganze Zahl heißt gerade , wenn sie durch 2 teilbar ist, ansonsten ungerade.
(4.4) SATZ:
a = 2 · k.
a) Eine ganze Zahl a ist genau dann gerade, wenn es ein k ∈
b) Eine ganze Zahl a ist genau dann ungerade, wenn es ein l ∈
Z gibt mit
Z gibt mit
a = 2 · l + 1.
(4.5) BEM: a) Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade.
b) Die Summe zweier ganzer Zahlen ist genau dann ungerade, wenn ein Summand gerade und
der andere ungerade ist.
c) Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist genau dann ungerade, wenn beide Faktoren ungerade
sind.
d) Es gelten die folgenden ”Verknüpfungstafeln” (g: gerade, u: ungerade):
+
g
u
·
g
u
g
u
g
u
u
g
g
u
g
g
g
u
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(4.6) SATZ: Von drei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ist genau eine durch 3 teilbar.
(4.7) SATZ:
Für n ∈
Regeln für das Rechnen mit Resten
N und a, b ∈ Z gilt:
a) rn (a) ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1 } = Rn
b) rn (r) = r für alle r ∈ Rn
c) rn (rn (a)) = rn (a)
d) rn (a + k · n) = rn (a) für alle k ∈
e) rn (a) = rn (b)
⇐⇒
Z
n | (a − b)
f) rn (a + b) = rn (rn (a) + rn (b))
g) rn (a · b) = rn (rn (a) · rn (b))
h) rn (am ) = rn (rn (a)m ) für alle m ∈
N
0