Informationsblatt für den Einstieg in den Mathematikkurs

Informationsblatt für den Einstieg in den Mathematikkurs Matura 2
Kursleiter: Manfred Gurtner
Liebe zukünftigen Teilnehmer_innen des Mathematikkurses!
Herzlich willkommen an der VHS Floridsdorf. Damit Sie dem Unterricht gut folgen können, ist
es wichtig, dass gewissen Vorkenntnisse vorhanden sind.
Wir empfehlen Ihnen daher, die anschließend zur Verfügung gestellten Beispiele durchzurechnen und etwaige Lücken zu schließen (dazu gibt es gleich unten Hinweise, wo Sie
bestimmte Stoffgebiete nachlernen können; natürlich geht dies auch mit Hilfe von Schulbüchern).
Themen, die sie können sollten, sind:
- Potenzen
- Gleichungen (lineare, quadratische, Bruchgleichungen inkl. Textbeispielen)
- Trigonometrie
- Funktionen (lineare, quadratische, Bruchfunktionen) inkl. 2x2 Gleichungssysteme (mit
einfachen Textbeispielen)
- Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene
Im Kursjahr 2015/16 werden wir im Mathematikkurs folgende Themen behandeln:
- Logarithmus-/Exponentialgleichungen, -funktionen (inkl. Wachstum, Zerfall)
- Folgen, Reihen, Grenzwert
- Ungleichungen
- Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (inkl. Binomialverteilung und Normalverteilung)
- Vektorrechnung im R³
Wenn Sie gerne mit Hilfe des Internets lernen, empfehlen wir Ihnen die von Mag.a Renate
Tanzberger erstellte Seite www.2bw.eu/workroom/inhalte/mathematik.htm. Dort finden Sie
unter anderem Lernpfade zur Wiederholung folgender Themen:
•
Lernpfad "Basics": Rechnen mit Zahlen und Termen (Rechnen mit ganzen Zahlen und
Brüchen, binomische Formel). Logarithmus muss noch nicht gekonnt werden!
•
Lernpfad "Gleichungen": Gleichungen (lineare, quadratische, einfache Bruchgleichungen)
lösen können inkl. Probe und – wenn nötig – Definitionsmenge. Wurzel-, Exponential- und
Logarithmusgleichungen müssen noch nicht gekonnt werden!
•
Lernpfad "Gleichungssysteme": 2 lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten lösen +
geometrisch interpretieren können.
•
Lernpfad "Funktionen": lineare und Potenzfunktionen zeichnen können, Nullstellen und
Fixpunkte ablesen bzw. berechnen können. Funktionen (lineare, Potenz-, Bruchfunktionen)
ihren Graphen zuordnen können. Wurzel-, Exponential- und Logarithmusfunktionen müssen
noch nicht gekonnt werden!
•
Lernpfad "Potenzen": Rechnen mit Potenzen mit ganzen Zahlen und Brüchen als
Hochzahlen
•
Lernpfad "Trigonometrie": Winkelfunktionen, Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck,
Berechnungen am schiefwinkligen Dreieck (Sinus- und Cosinussatz), Vermessungsaufgaben.
Polarkoordinaten und Zeichnen von Winkelfunktionen müssen noch nicht gekonnt werden!
•
Lernpfad "Vektorrechnung 5. Klasse": Basics zur Vektorrechnung, Geradengleichung,
Lagebeziehung von Geraden. Die 4 merkwürdige Punkte müssen noch nicht gekonnt werden!
Wir freuen uns, Sie im Kurs zu sehen ;)
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VHS 21 – Juni 2015
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TEST „Potenzen / Gleichungen“
Für die Bearbeitung des Tests stehen 2 Stunden zur Verfügung.
Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 26 Punkte erreicht wurden.
Ab 26 P.
26 – 32 P.
33 – 38 P.
39 – 44 P.
45 – 50 P.
Bestanden
Genügend
Befriedigend
Gut
Sehr gut
1) Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungen (G=R):
a) 5x – 2 = -17 [1 P.]
b) (2x + 1)(3x – 2) = (x – 5)(6x + 2) + 11x
[3 P.]
+ Probe [1 P.]
c) Die Summe aus dem Fünffachen einer Zahl und der Hälfte dieser Zahl ergibt 44. Wie
lautet die Zahl? [2 P.]
2) Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen (G=R):
a) x² – 9x = 0
[1 P.]
b) 4x² – 12x + 9 = 0
[2 P.]
+ Probe [1 P.]
c) Geben Sie die Linearfaktorzerlegung der Gleichung x² + 3x – 28 = 0 an. [3 P.]
d) 4x² – 64 = 0
[2 P.]
e) (3x – 1).(x + 5) – (2x + 5).(x + 1) = – 10 [4 P.]
f) (5x – 3)² + (5x + 3)² = 818
[5 P.]
g) Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben und wovon hängt dies
ab? [1 P.]
3) Lösen Sie die folgenden Bruchgleichungen (G=R):
x+3 x+7
a)
Geben Sie auch die Definitionsmenge an.
=
x − 7 x +1
b) Subtrahieren Sie von einer Zahl ihren Kehrwert, so erhalten Sie
Zahl?
[4 P.]
11
! Wie lautet die
30
[3 P.]
4) Fassen Sie zusammen bzw. berechne Sie (wenn möglich) - [je 1 P.]:
a) 7a³ – 5a³ + 2a³ =
b) 15x5 + 5x³ + 2x² =
c) 3a³ + 2a² – 7a³ + 9a²=
d) 8s³ . 5s³ =
e) (-5x³)3 =
f) 15a³ : 5a =
g) (z4):(-z)4 =
h) -8x8y³.4xy-8 =
i) a0.a.a².a³ =
5) Was bedeutet/ergibt - [je 1 P.]:
a) 2³ =
−
1
e) 2 3 =
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b) (-2)³ =
3
1
f)   =
2
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1
3
-
c) 2 ³ =
d) 2 =
3
 1
g)  −  =
 2
−3
 1
h)  −  =
 2
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TEST „Trigonometrie“
Für die Bearbeitung des Tests stehen 2 Stunden zur Verfügung.
Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 21 Punkte erreicht wurden.
Ab 21 P.
21 – 25 P.
26 – 30 P.
31 – 35 P.
36 – 40 P.
Bestanden
Genügend
Befriedigend
Gut
Sehr gut
1) Die nachfolgenden Beispiele beziehen sich auf ein rechtwinkliges Dreieck (γ=90°)!
Berechnen Sie die fehlenden Größen!
a) Geg.: a=4cm, α=45° Ges.: b, c, β, Umfang
[3 P.]
b) Geg.: c=5cm, β=65° Ges.: b, a, hc, α
[4 P.]
c) Geg.: a=3cm, b=4cm Ges.: c, α, β, Flächeninhalt [3 P.]
2) In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Höhe auf die Basis 7cm lang. Die Basis ist
12cm lang. Machen Sie eine Skizze und überlegen Sie, wie Sie die fehlenden Seiten,
[5 P.]
Winkel, den Umfang und Flächeninhalt berechnen können!
3) Wählen Sie zwei der drei Textbeispiele [je 3 P.]:
a) Ein Förderband reicht über eine horizontale Entfernung von 4 m und steigt in einem
Winkel von 30° an. Wie lang ist das Band?
b) Der Stephansturm ist 137 m hoch. Berechnen Sie die Schattenlänge für den 21. Juni,
wenn Sie wissen, dass an diesem Tag der Sonnenstand 65,3° beträgt!
c) Ein Papierdrache fliegt an einer 70 m langen Schnur, die mit dem Boden einen Winkel
von 70° einschließt. Wie hoch fliegt der Drache?
4) Von einem allgemeinen Dreieck sind c=11cm, α=34°, β=76° bekannt! Berechnen Sie
den Winkel γ, die Seitenlängen von a und b sowie die Höhe ha!
[5 P.]
5) Wählen Sie zwei der drei Textbeispiele [je 7 P.]:
a) Berechnen Sie die Seitenlängen, die Winkel und die Höhe ha des Parallelogramms mit
Diagonalenlängen e=290mm, f=238mm und γ (Winkel zwischen e und f)=71,67°.
b) Auf einem Fernsehturm befindet sich ein Antennenmast der Höhe h=35m. Von einem
Geländepunkt P wird die Spitze des Mastes unter dem Höhenwinkel α =34° der Fußpunkt des Mastes unter dem Höhenwinkel β=16° gesehen. Ermitteln Sie die Gesamthöhe (Turm samt Mast) sowie die Entfernung des Punktes P vom Fußpunkt.
c) Selda geht auf einer geraden Straße. Vom
Punkt P aus sieht sie den Kirchturm von
Zogelsdorf genau vor sich, die Barbarakapelle
40° weiter links und den Sonnwendberg 12,6°
weiter rechts. Nachdem sie 500 m Richtung
Zogelsdorf gegangen ist (Punkt Q), sieht sie
die Barbarakapelle 53,1° links und den
Sonnwendberg 19,5° rechts von der Straße.
Wie weit sind die Barbarakapelle und der
Sonnwendberg voneinander entfernt? Runden
Sie auf Meter.
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TEST „Funktionen, 2x2 Gleichungssysteme“
Für die Bearbeitung des Tests stehen 2 Stunden zur Verfügung.
Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 18 Punkte erreicht wurden.
Ab 18 P.
18 – 22 P.
23 –27 P.
28 – 31 P.
32 – 35 P.
Bestanden
Genügend
Befriedigend
Gut
Sehr gut
1. Gegeben ist die Funktion f: y = 4x–6
[4 P.]
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion.
b) Berechnen Sie die Nullstelle der Funktion.
2. Zeichnen Sie die Funktion f: y = x²–1 für x∈[-3; 3].
[3 P.]
3. Ordnen Sie die Funktionsgleichungen ihren Graphen zu:
[3 P.]
f1: y = (x+2)2
f 2: y =
f 3: y = –x+1
a) Berechnen Sie die Nullstellen von f 5!
f 4: y = 2
f 5: y = x 2 – x
f 6: y = x 2
[1 P.]
b) Liegt der Punkt P (-3/-1) auf der Funktion f1?
[1 P.]
c) Geben Sie die Koordinaten eines Punktes an, der auf der Funktion f6 liegt!
[1 P.]
d) Geben Sie die Koordinaten eines Punktes an, der nicht auf der Funktion f 2 liegt! [1 P.]
4. Gegeben sind die Geraden f: y = x – 1 und g: y = x + 1
[8 P.]
a) Zeichnen Sie f und g!
b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden graphisch und rechnerisch.
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5. Lesen Sie vom Graphen der Funktion k und d ab und stellen Sie die Funktionsgleichung auf!
[2 P.]
6. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem:
[3 P.]
I 3x + 2y = 5
II 4x - 5y = -1
7. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem und geben Sie eine geometrische Interpretation:
[4 P.]
I
y = 9 - 3x
II 6x + 2y = 14
8. In einem Käfig sind Hasen und Hühner. Sie haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füße. Wie
[4 P.]
viele Hasen und Hühner sind im Käfig?
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TEST „Vektorrechnung“
Für die Bearbeitung des Tests stehen 2 Stunden zur Verfügung.
Die Prüfung gilt als bestanden, wenn mindestens 18 Punkte erreicht wurden.
Ab 18 P.
18 – 22 P.
23 –27 P.
28 – 31 P.
32 – 35 P.
Bestanden
Genügend
Befriedigend
Gut
Sehr gut
1) Gegeben sind die Punkte A (-2/-3) und B(4/5). Ermitteln Sie die Länge des Vektors
sowie den Mittelpunkt der Strecke AB rechnerisch und graphisch. [5 P.]
→
 − 1
r  2
2) Bilden Sie das skalare Produkt von a =   und b =   . Was bedeutet es, wenn beim
 3
2
Skalarprodukt zweier Vektoren das Ergebnis 0 lautet? [2 P.]
 − 4
3) a) Stellen Sie einen Normalvektor zu   auf. [1 P.]
3 
 − 6
b) Ergänzen Sie den Vektor   so, dass er zu
y 
3
  normal steht.
 2
[1 P.]
4) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck A(-3/-2), B(4/-3), C(-2/5) rechtwinklig ist. [3 P.]
5) Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis AB [A(0/1), B(4/4)] und hc=10.
Ermitteln Sie die Koordinaten von C. [4 P.]
6) Gegeben ist ein Parallelogramm mit A(-1/2), B(0/-3) und C(7/-1).
a) Berechnen Sie den Umfang des Parallelogramms (runden Sie auf 2 Dezimalstellen). [3 P.]
b) Berechnen Sie die Koordinaten vom Eckpunkt D und vom Diagonalenschnittpunkt. [3 P.]
c) Jemand behauptet, dass das Parallelogramm sogar ein Rechteck ist. Wie könnten Sie
diese Behauptung überprüfen? [1 P.]
7) Gegeben ist eine Gerade g, die durch A (1/-3) und B(-1/-7) geht.
a) Geben Sie die Gerade in Richtungsvektordarstellung und in expliziter Form an. [2 P.]
b) Wie lautet die zu g parallele Gerade h durch C(0/3)? [1 P.]
c) Liegt der Punkt D(4/3) auf der Geraden g? [1 P.]
8) Wie liegen die Geraden g und h zueinander? Berechnen Sie gegebenenfalls den
Schnittpunkt. [je 4 P.]
→
 2 
 − 3
a) g: X =   + s ⋅  
 − 2
 1 
→
 1 
2
h: X =   + t ⋅  
 − 3
 − 1
→
3
 3 
b) g: X =   + s ⋅  
2
 − 2
h: 2x + 3y = 6
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Lösung zum TEST „Potenzen / Gleichungen“ [Lösungen ohne Gewähr]
1) Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungen (G=R):
a) 5x – 2 = -17 Lösung: x = -3
b) (2x + 1)(3x – 2) = (x – 5)(6x + 2) + 11x
Lösung: x = -0,5 Lösung Probe: 0=0
c) Die Summe aus dem Fünffachen einer Zahl und der Hälfte dieser Zahl ergibt 44. Wie
lautet die Zahl? Lösung: Die Zahl lautet 8.
2) Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen (G=R):
a) x² – 9x = 0
Lösung: x1 = 0, x2 = 9
b) 4x² – 12x + 9 = 0
Lösung: x = 1,5
Lösung Probe: 0=0
c) Linearfaktorzerlegung der Gleichung x² + 3x – 28 = 0. Lösung: (x-4).(x+7)
d) 4x² – 64 = 0
Lösung: x1 = -4, x2 = 4
e) (3x – 1).(x + 5) – (2x + 5).(x + 1) = – 10
Lösung: x1 = 0, x2 = -7
f) (5x – 3)² + (5x + 3)² = 818 Lösung: x1 = -4, x2 = 4
g) Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung haben und wovon hängt dies ab?
Eine quadratische Gleichung kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Wenn in die
Lösungsformel eingesetzt wird und unter der Wurzel steht eine negative Zahl, so hat die
quadratische Gleichung keine reelle Lösung. Steht unter der Wurzel 0, hat die
Gleichung eine Lösung, steht eine Zahl größer 0, hat die Gleichung zwei Lösungen.
3) Lösen Sie die folgenden Bruchgleichungen (G=R):
a)
x+3 x+7
=
x − 7 x +1
Lösung: x = -13
D=R/{-1, 7}
b) Subtrahieren Sie von einer Zahl ihren Kehrwert, so erhalten Sie
Zahl?
11
! Wie lautet die
30
Lösung: Die Zahl lautet bzw. .
4) Fassen Sie zusammen bzw. berechne Sie (wenn möglich):
b) 15x5 + 5x³ + 2x² = geht nicht zusammenzufassen
a) 7a³ – 5a³ + 2a³ = 4a³
c) 3a³ + 2a² – 7a³ + 9a²= -4a³+11a²
d) 8s³ . 5s³ = 40s6
f) 15a³ : 5a = 3a²
g) (z4):(-z)4 = 1
h) -8x8y³.4xy-8 = -32x9y-5
i) a0.a.a².a³ = a6
5) Was bedeutet/ergibt:
a) 2³ = 2.2.2 = 8
c) 2-³ =
³
=
3
1
f)   =
2
b) (-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8
1
=
. .
.
d) 2 3 = √2
.
e) (-5x³)3 = -125x9
=
3
 1
g)  −  = −
 2
−
1
e) 2 3 =
. −
. −
√
= −
−3
 1
h)  −  = (-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8
 2
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Lösung zum TEST „Trigonometrie“ [Lösungen ohne Gewähr]
1) Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck (γ=90°)! Berechnen Sie die fehlenden Größen!
a) Geg.: a=4cm, α=45° Lösung: b=4cm, c=5,7cm, β=45°, Umfang U=13,7cm
b) Geg.: c=5cm, β=65° Lösung: b=4,5cm, a=2,1cm, hc=1,9cm, α=25°
c) Geg.: a=3cm, b=4cm Lösung: c=5cm, α=36,9°, β=53,1°, Flächeninhalt A=6cm²
2) In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Höhe auf die Basis 7cm lang. Die Basis ist
12cm lang. Machen Sie eine Skizze und berechnen Sie die fehlenden Seiten und Winkel!
Lösung: a=9,2cm, α=β=49,4°, γ=81,2°, U=30,4cm, A=42cm²
3) Wählen Sie zwei der drei Textbeispiele:
a) Ein Förderband reicht über eine horizontale Entfernung von 4 m und steigt in einem
Winkel von 30° an. Wie lang ist das Band? Lösung: Das Band ist 4,6m lang. [Ansatz:
cos30=4/Bandlänge]
b) Der Stephansturm ist 137 m hoch. Berechnen Sie die Schattenlänge für den 21. Juni,
wenn Sie wissen, dass an diesem Tag der Sonnenstand 65,3° beträgt! Lösung: Die
Schattenlänge beträgt 63m.
c) Ein Papierdrache fliegt an einer 70 m langen Schnur, die mit dem Boden einen Winkel
von 70° einschließt. Wie hoch fliegt der Drache? Lösung: 65,8m
4) Von einem allgemeinen Dreieck sind c=11cm, α=34°, β=76° bekannt! Lösung: γ=70°,
a=6,5cm, b=11,4cm, ha=10,7cm
5) Wählen Sie zwei der drei Textbeispiele:
a) Berechnen Sie die Seitenlängen, die Winkel und die Höhe ha des Parallelogramms mit
Diagonalenlängen e=290mm, f=238mm und γ (Winkel zwischen e und f)=71,67°.
Lösung: a=214,57cm, b=156,16cm, α=78,13°, β=101,87°, ha =152,8cm
b) Auf einem Fernsehturm befindet sich ein Antennenmast der Höhe h=35m. Von einem
Geländepunkt P wird die Spitze des Mastes unter dem Höhenwinkel α =34° der Fußpunkt des Mastes unter dem Höhenwinkel β=16° gesehen. Ermitteln Sie die Gesamthöhe (Turm samt Mast) sowie die Entfernung des Punktes P vom Fußpunkt. Lösung:
der Turm ist 60,88m hoch, P ist vom Fußpunkt
90,26m entfernt.
c) Selda geht auf einer geraden Straße. Vom
Punkt P aus sieht sie den Kirchturm von
Zogelsdorf genau vor sich, die Barbarakapelle
40° weiter links und den Sonnwendberg 12,6°
weiter rechts. Nachdem sie 500 m Richtung
Zogelsdorf gegangen ist (Punkt Q), sieht sie
die Barbarakapelle 53,1° links und den
Sonnwendberg 19,5° rechts von der Straße.
Wie weit sind die Barbarakapelle und der
Sonnwendberg voneinander entfernt? Runden
Sie auf Meter. Lösung: die Barbarakapelle und
der Sonnwendberg sind 1437m voneinander entfernt
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Lösungen zum TEST „Funktionen, 2x2 Gleichungssysteme“ [Lösungen ohne Gewähr]
Die Zeichnungen wurden mit dem Funktionsplotter www.hutschdorf.de/flash/plotter.htm
erstellt.
Zeichnen der Funktion
f: y = 4x–6 durch d=–6 und k=4
1)
oder durch eine Wertetabelle (2
Punkte reichen), also z.B.
x
0
3
y
-6
6
Nullstellenberechnung:
4x – 6 = 0
4x = 6
x = 6/4 = 1,5
N(1,5/0)
2)
Zeichnung mittels Wertetabelle:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
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y=x²-1
8
3
0
-1
0
3
8
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3)
f 3: y = –x+1
f 5: y = x 2 – x
f 1: y = (x+2)2
f 4: y = 2
a) Nullstellen von f 5: x²-x=0
x.(x-1)=0
f 2: y =
f 6:
x1=0, x2=1
y = x2
N1(0/0), N2(1/0)
b) P (-3/-1) ∈ f 1? Nein, da -1≠(-3+2)²
c) P(2/4) liegt z.B. auf der auf der Funktion f 6.
d) P(1/2) liegt z.B. nicht auf der Funktion f 2.
4)
Schnittpunktberechnung mittels
Gleichsetzungsverfahrens:
x+1 = x – 1
x = -2
x=-6
y = -6+1 = -5
S(-6/-5)
5)
d=-2 (dort, wo die Funktion die y-Achse
schneidet)
k: 2 nach rechts, 3 hinauf
k=3/2=1,5
f: y = 1,5x–2
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6) Gegeben: I 3x + 2y = 5
II 4x - 5y = -1
Ich löse mittels Eliminationsverfahren:
Eine oder beide Gleichungen mit jener Zahl multiplizieren, die bewirkt, dass von einer
Variablen gleich viele da sind. Hier:
I
II
3x + 2y = 5 .5
4x – 5y = -1 .2
5.I 15x + 10y = 25
2.II 8x – 10y = -2 die beiden Gleichungen addieren (bei gleichen Vorzeichen
subtrahieren), damit eine Variable wegfällt
23x = 23
x=1
In 1. oder 2. Gleichung einsetzen
y = 1 (ev. noch die Probe machen)
7) Lösen des Gleichungssystems
I
y = 9 - 3x
II 6x + 2y = 14
Wenn ich in die Gleichung II für y = 9 - 3x
einsetze, erhalte ich 6x + 2.(9 – 3x) = 14.
Ausgerechnet ergibt dies 6x + 18 – 6x = 14 und
letztendlich 18 = 14, also eine falsche Aussage
Die Lösungsmenge ist leer (das
Gleichungssystem hat keine Lösung).
Geometrisch bedeutet dies, dass die beiden
Geraden parallel sind (s. Zeichnung rechts).
Fürs Zeichnen der beiden linearen Funktionen
kann ich Wertetabellen erstellen oder k und d
einzeichnen. Es empfiehlt sich, die 2. Funktion
auch nach y umzuformen y = -3x +7 (jetzt lässt
sich d=7 und k=-3 leichter ablesen). Bei der 1.
Funktion ist d=9 und k=-3 (k ist jene Zahl, die vor
dem 3 steht; d jene Zahl, die ohne x steht).
8) Sei x die Anzahl der Hasen und y die Anzahl der Hühner.
Zusammen sollen es 35 Tiere sein x + y = 35
Wir gehen davon aus, dass die Hasen 4 Füße und die Hühner 2 Füße haben. Die Hasen
haben daher 4.x Füße und die Hühner 2.y Füße, zusammen sollen es 94 sein 4x+2y=94
I x + y = 35 .2
II 4x + 2y = 94
2.I 2x + 2y = 70 die beiden Gleichungen subtrahieren, damit eine y wegfällt
2x = 24 x = 12
In die 1. Gleichung für x=12 einsetzen
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y=23
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Es sind 12 Hasen und 23 Hühner.
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Lösungen zum TEST „Vektorrechnung“ [Lösungen ohne Gewähr]
1) Gegeben sind die Punkte A (-2/-3) und B(4/5). Ermitteln Sie die Länge des Vektors
sowie den Mittelpunkt der Strecke AB rechnerisch und graphisch. Lösung:
→
6
| AB |=   = 6² + 8² = 100 = 10 Der Vektor AB ist 10 Einheiten lang.
8 
Lösung zur Mittelpunktberechnung: Die x-Koordinate des Mittelpunkts berechnet sich,
indem die x-Koordinaten der Punkte A und B addiert werden und das Ergebnis halbiert
wird. Die y-Koordinate des Mittelpunkts berechnet sich, indem die y-Koordinaten der
Punkte A und B addiert werden und das Ergebnis halbiert wird M(1/1)
→
 − 1
r →  − 1  2 
r  2
2) Bilden Sie das skalare Produkt von a =   und b =   . Lösung: a . b =  .   =  3
2
 2   3
1.2 + 2.3 = -2 + 6 = 4 stehen nicht normal aufeinander
Wenn beim Skalarprodukt zweier Vektoren das Ergebnis 0 lautet, heißt das, dass die
beiden Vektoren aufeinander normal stehen (einen rechten Winkel bilden).
 − 4
3) a) Stellen Sie einen Normalvektor zu   auf. Lösung:
3 
3
− 3
  oder  
 4
 − 4
 − 6
3
 − 6
b) Ergänzen Sie den Vektor   so, dass er zu   normal steht. Lösung:  
y 
 2
9 
[Lösungsansatz: Da die beiden Vektoren aufeinander normal stehen, muss ihr
Skalarprodukt 0 sein -6.3 + y.2 = 0 y=9)
4) Zeigen Sie rechnerisch, dass das Dreieck A(-3/-2), B(4/-3), C(-2/5) rechtwinklig ist.
Lösung: Hier gibt es zwei Möglichkeiten. Ich kann entweder die Seitenlängen ausrechnen
und mittels des Pythagoräischen Lehrsatzes (a² + b² = c²) nachweisen, dass das Dreieck
rechtwinklig ist oder ich zeige dies mittels des Skalarprodukts. In beiden Fällen muss ich
die Vektoren AB , BC , CA aufstellen:
→
7  →  − 6 →  −1 
AB =   , BC =   , CA =  
 − 1
8 
− 7
→
→
1. Möglichkeit: Die Länge von AB = 50 , die Länge von BC = 100 und die Länge von
→
CA = 50
→
→
→
AB ² + CA ² = BC ² stimmt, da
50 ² +
→
50 ² = 100 ²
Beweis gelungen!
→
2. Möglichkeit: Ich vermute, dass AB auf CA normal steht und weise dies mittels Skalarprodukt nach:
 7   −1 
 .  = -7+7 = 0
 − 1  − 7 
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Beweis gelungen!
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5) Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis AB [A(0/1), B(4/4)] und hc=10.
Ermitteln Sie die Koordinaten von C. Lösung: Um die Koordinaten von C zu berechnen,
→
brauche ich den Mittelpunkt der Strecke AB und den normierten Normalvektor auf AB .
→
→
 4 → 3 
M(2/2,5); AB =   ; n AB =   ; die Länge von n beträgt 5, daher lautet der normierte
3 
 − 4
Normalvektor (also der Normalvektor mit Länge 1) =
1 3 
.  . Nun denke ich so: Um zu C
5  − 4 
→
zu kommen, kann ich zu M gehen und 10 Mal den normierten Normalvektor auf AB
→
→

1 3   2 
1 3  8
anhängen; also: 0C = 0 M + 10. .  =   + 10. .  = 
C(8/-5,5)

5  − 4   2,5 
5  − 4   − 5,5 
[C(-4/10,5) wäre auch eine korrekte Lösung (hier hätte ich mit dem 2. möglichen
→
 − 3
Normalvektor n AB =   gerechnet).
4 
6) Gegeben ist ein Parallelogramm mit A(-1/2), B(0/-3) und C(7/-1).
a) Berechnen Sie den Umfang des Parallelogramms (runden Sie auf 2 Dezimalstellen).
→
→
Lösung: Ich berechne die Länge des Vektors AB und des Vektors BC und setze in die
Formel U = 2.(a + b) ein. U = 2. ( 26 + 53 ) = 24,76 LE
b) Berechnen Sie die Koordinaten vom Eckpunkt D und vom Diagonalenschnittpunkt.
→
→
→
 7   − 1  6 
Lösung zum Eckpunkt D: 0 D = 0C + BA =   +   =  
 − 1  5   4 
D(6/4)
Lösung zum Diagonalenschnittpunkt M: M(3/0,5)
c) Jemand behauptet, dass das Parallelogramm sogar ein Rechteck ist. Wie könnten Sie
diese Behauptung überprüfen? Lösung: Ich überprüfe mittels Skalarprodukt zwischen
→
→
1   7 
dem Vektor AB und dem Vektor BC :  .  = 7 − 10 = −3
da das Skalar − 5  2
produkt nicht 0 ist, weiß ich, dass die beiden Seiten nicht normal aufeinander stehen
das Parallelogramm kann kein Rechteck sein.
7) Gegeben ist eine Gerade g, die durch A (1/-3) und B(-1/-7) geht.
a) Geben Sie die Gerade in Richtungsvektordarstellung und in expliziter Form an.
→
Lösung: Ich stelle den Vektor AB auf und kürze, da es auf seine Länge und seine
→
 − 2  1 
Richtung nicht ankommt: AB =   =  
die Richtungsvektordarstellung der
 − 4  2
→
 1 
1
Geraden lautet: X =   + s ⋅   . Wenn ich die Gleichung in x und y aufspalte und
 − 3
 2
die Variable s eliminiere, komme ich auf 2x – y = 5 (das wäre die implizite
Darstellung der Geraden), nun forme ich noch nach y um und erhalte die explizite
Darstellung der Geraden mit y = 2x – 5
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→
 0
1
b) Wie lautet die zu g parallele Gerade h durch C(0/3)? Lösung: X =   + t ⋅  
 3
 2
c) Liegt der Punkt D(4/3) auf der Geraden g? Lösung: Ja (wenn ich in y = 2x – 5 für x=4
und für y=3 einsetze, erhalte ich ein wahre Aussage)
8) Wie liegen die Geraden g und h zueinander? Berechnen Sie gegebenenfalls den
Schnittpunkt.
→
 2 
 − 3
a) g: X =   + s ⋅  
 1 
 − 2
→
 1 
2
h: X =   + t ⋅  
 − 1
 − 3
Lösung: Ich setze die rechten Seiten der
Geradengleichungen gleich und spalte auf
I 2 – 3s = 1 + 2t
II -2 + s = -3 – t .2c
-4 + 2s = -6 – 2t
-2 – s = -5 s = 3 Die Geraden
schneiden einander S(-7/1)
→
 3 
3
b) g: X =   + s ⋅  
2
 − 2
h: 2x + 3y = 6
Lösung: Die Gerade g nach x und y aufspalten; also:
x = 3 + 3s, y = 2 – 2s
und dann in h einsetzen
2.(3+3s)+3.(2-2s)=6
6+6s+6-6s=6
12=6
Der Parameter s fällt weg und ich erhalte eine falsche
Aussage g und h sind zwei parallele Geraden.
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