Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS

Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS
Kursleiter: Manfred Gurtner
Stoff für den Einstufungstest Mathematik in das 2. Jahr AHS
1) Gleichungen/ Gleichungssysteme/ Terme
• Lineare Gleichungen
• Quadratische Gleichungen (kleine und große Lösungsformel)
• Sätze von Vieta (Anwendung)
• Wurzelgleichungen (Bestimmung der Definitionsmenge, Probe)
• Bruchgleichungen (mit Bestimmung der Definitionsmenge)
• Gleichungssysteme von zwei Gleichungen in 2 Variablen (rechnerische und graphische
Lösung, Textaufgaben: Bewegungs-, Mischungs- und Leistungsaufgaben)
• Potenzen (Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Klammern
• mit Potenzen )
• Wurzeln (teilweise Wurzelziehen, Multiplikation, Division )
• Ungleichungen
2) Funktionen
• Lineare Funktionen (zeichnen, y = kx + d, Berechnung der Nullstelle)
• Quadratische Funktionen (Wertetabelle, Berechnung der Nullstellen)
• Rationale Funktionen (Bestimmen der Definitionsmenge, Asymptote)
3) Trigonometrie und Vermessungsaufgaben
• Sinus, Kosinus, Tangens am Einheitskreis (Berechnungen in allen vier Quadranten
[0°; 360°])
• Beziehungen zwischen sin, cos, tan
• Berechnung des rechtwinkeligen Dreiecks mit sin, cos, tan
• Berechnung des allgemeinen Dreiecks mit Hilfe von Sin- und Cos-Satz
• Trigonometrische Flächenformel
• Berechnung von Vermessungsaufgaben
4) Vektorrechnung
•
•
•
•
•
•
•
Richtungsvektor (Länge, Einheitsvektor)
Normalvektor (linksgekippt, rechtsgekippt)
Strecken abtragen
Parameterdarstellung der Geradengleichung
Schnittpunkt und Schnittwinkel von 2 Geraden
Lagebezeichnung zweier Geraden
Dreieck (Berechnung der Winkel, des Umfangs, der Fläche)
Vorbereitung
Mathematik positiv! 5, ISBN: 978-3-7074-0955-0, Thorwartl et al
Mathematik positiv! 6, ISBN: 978-3-7074-0957-4, Thorwartl et al
bzw. Mathematik verstehen 5, ISBN: 978-3-209-07040-1, Malle et al
Mathematik verstehen 6, ISBN: 978-3-209-04624-6, Malle et al
www.2bw.eu/workroom/inhalte/mathematik.htm ... Website zur Wiederholung des Unterstufenstoffes sowie
mit Lernpfaden zu den Oberstufen-Themen
Taschenrechner, Schreibzeug, Geodreieck, kariertes Papier (mindestens 8 Seiten) nicht
vergessen!
AHS-Matura für ExternistInnen
VHS 21 – Juli 2013
Einstufung Mathematik 2. Jahr
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PROBEEINSTUFUNGSTEST – Mathematik / 2. Jahr:
Gleichungen, Funktionen:
1) Lösen Sie folgende lineare Gleichung und machen Sie die Probe:
(2x – 3)² = (2x – 3) (2x + 4) – 12x + 9
2) Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:
(x – 3)² – 20 = (x – 4)² – (2x + 3)²
3) Zeichnen Sie folgende Funktion und bestimmen Sie rechnerisch und zeichnerisch
die Nullstellen dieser Funktion (in RxR):
y = x² + 2x – 8
4) Bestimmen Sie bei dieser Funktion die Asymptote und die Definitionsmenge und zeichnen
Sie die Funktion:
y=
1
2x + 2
5) Lösen Sie folgende Gleichungssysteme:
a) rechnerisch:
b) graphisch (mit Hilfe von k und d):
I) x – 4y = 2
II) 3x – 7y = 11
I) y = 2x – 1
II) y = 3x – 3
6) Vom Ort A fährt um 6:30 Uhr ein Personenzug ab und holt den um 5:00 Uhr abgefahrenen
Güterzug um 8:30 Uhr ein. Wenn der Personenzug um 9:30 Uhr im Ort B einfährt, ist der
Güterzug noch 30 km von B entfernt. Berechnen Sie
a) die mittlere Geschwindigkeit beider Züge,
b) um wie viel Uhr der Güterzug in B ankommt,
c) wie weit der Ort B vom Ort A entfernt ist.
7) Aus 80%igem und 70%igem Alkohol sollen durch Mischen 5 Liter eines 74%igen Alkohols
hergestellt werden. Wie viel Liter jeder Sorte müssen genommen werden?
8) Ein Vater ist 30 Jahre älter als sein Sohn. In 15 Jahren wird er zweimal so alt wie sein
Sohn sein. Wie alt ist der Vater und wie alt ist der Sohn heute?
Potenzen, Wurzeln, Wurzelgleichungen, Ungleichungen:
1) Vereinfachen Sie und stellen Sie mit positiven Hochzahlen dar:
a) 5x-3.7y-5.x2
14x4. 15y-7
b) 3.(2xy)4.(-2x)3.7.(5y)-2 =
( )
( )
−3
c)
−1
 b − 2 c 3  b.c −2
 4  .
−2
a −3
 a 
 x − 2
d)  −3 − 2
 y z
3
  y −2 z 
 :  2 
  x 
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3
 b −2 c 
 =
.
a


−2
 y − 2 z −2
.
=
3
 x − 2
(
)
( )
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2) Ziehen Sie teilweise die Wurzel:
a) 675
b) 1008
c) 2450
3) Vereinfachen Sie:
a) (14 – 3. 6 ) . ( 5 + 2. 6 ) =
b) 4. 27 +
243 –
48 – 5. 108 + 147 =
4) Lösen Sie folgende Gleichung:
4. x + 20 – 3. x + 6 = 7. x + 2
5) Lösen Sie folgende Ungleichung:
(x – 3)² – (2x – 1)(x + 5) ≥ (2x – 5)² – 5x² + 7x – 17
6) Lösen Sie folgende Gleichung und bestimmen Sie die Definitionsmenge:
4x + 7
1
3x − 1
−
=
x² − 4 x + 2 x² − 4 x + 4
Trigonometrie, Vermessungsaufgaben:
1) Berechnen Sie die Winkel im Intervall [0°; 360°] auf 2 Dezimalstellen genau:
b) cos α = - 0,8276
c) tan α = 7,2345
a) sin α = 0,3428
2) Von einem rechtwinkeligen Dreieck ist gegeben:
a= 36,25 cm
β = 56,25°
Berechnen Sie mit Hilfe der Winkelfunktionen (auf 2 Dezimalstellen genau): b, c, α , A.
3) Wie hoch ist der Eiffelturm, wenn er bei einem Sonnenstand von 65,45° einen 146,51m
langen Schatten wirft? (Auf 2 Dezimalstellen genau)
4) Von einem allgemeinen Dreieck ist gegeben:
γ = 109,22°
a = 22,40 cm
b = 16,70 cm
Berechnen Sie (auf 2 Dezimalstellen genau): α , β , c, A
5) Auf einem Berg der Höhe H befindet sich ein Turm. Von einem Geländepunkt P aus
sieht man die Spitze des Turmes unter dem Höhenwinkel α und den Fußpunkt des
Turmes unter dem Höhenwinkel β . Berechnen Sie die Höhe des Turmes (auf 2
Dezimalstellen genau).
α = 34,41°
β = 32,87°
H= 315 m
6) Von einem ebenen viereckigen Grundstück ABCD ist gegeben:
AB = a = 41,53m
BC = b = 57,34m
AD = d = 49,65m
α = 127,35° β = 84,97°
Berechnen Sie den Umfang und die Diagonalen des Grundstücks (auf 2 Dezimalstellen
genau).
7) Die Spitze eines 22 m hohen Kirchturms wird von einem Aussichtsplatz unter einem
Tiefenwinkel α=11,5° gesehen. Wie weit ist die Turmspitze von der beobachtenden Person
entfernt, wenn vom Fußpunkt des Turmes zum Aussichtsplatz ein Höhenwinkel β=15,2°
gemessen wird?
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Vektorrechnung:
1
 − 2

1) Geben Sie eine Parameterdarstellung der zu g : X =   + t.
 5  3 
a) parallelen
b) normalen
Geraden durch den Punkt P (4/ -1) an.
2) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden g und h:
 3
1
g: X =   + t. 
6
2
   
 − 5
3
 + s. 
h: X = 
 − 1
 − 2
3) Von einem Rechteck kennt man die beiden Eckpunkte A und B und die Länge der anderen
Seite:
A (-2/ 0)
B (5/-1)
b= 2. 50
Berechnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte C und D und des Mittelpunkts des Rechtecks.
4) Von einem Dreieck kennt man die Eckpunkte A, B und C: A (-3/1), B (9/7), C (1/10).
Berechnen Sie:
a) den Umfang des Dreiecks
b) die Winkel des Dreiecks
c) den Flächeninhalt des Dreiecks
5) Tragen Sie auf der Gerade g [A(1/3), B(7/6)] von A aus nach beiden Seiten eine Strecke
von der Länge 2. 5 ab, und berechnen Sie die Koordinaten der Endpunkt X1, X2. Stellen
Sie auch die Lösung graphisch dar.
6) Untersuchen Sie rechnerisch, wie die beiden Geraden g und h zu einander liegen. Ermitteln
Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes.
 2
 3
 − 1

2
g: X=   + t.
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2  2 
 + s. 
 − 1  − 4 
h: X= 
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Lösungen: PROBEEINSTUFUNGSTEST – Mathematik 2. Jahr:
Gleichungen, Funktionen:
1)
2)
3)
4)
x=6
x1 = 1
x2 = - 4,5
N1 (2/0)
N2 (- 4/0)
Asymptote: x = -1
D= R
{− 1}
5) a) x = 6, y = 1
b) x = 2, y = 3
6) a) Personenzug: 70 km/h, Güterzug: 40km/h
7) 80-prozentig: 2 Liter
70-prozentig: 3 Liter
8) Vater: 45, Sohn: 15
b) 10:15 Uhr
c) 210km
Potenzen, Wurzeln, Wurzelgleichungen, Ungleichungen:
1) a)
y²
6x5
2) a) 15. 3
2688 x 7 y 2
a3
c)
25
b.c 4
b) 12. 7
c) 35. 2
b) -
d)
y9 z6
x4
3) a) 34 + 13. 6
b) – 6. 3
4) x = 0,25
5) x ≤ 3
6) x = -8 L = {−8} , D=R\{-2, 2}
Trigonometrie, Vermessungsaufgaben:
1) a) 20,05° ; 159,95° b) 145,85° ; 214,15° c) 82,13° ; 262,13°
2) α = 33,75° b = 54,25cm c = 65,25cm A = 983,28cm²
3) h = 320,74m
4) α = 41,30°
β = 29,48° c = 32,05cm A = 176,61cm²
5) h = 18,91m
6) U = 227,21m e = 67,79m f = 81,80m
7) 328,99 m
Vektorrechnung:
 4   − 2
 + t. 
 − 1  3 
1) a) X = 
2)
3)
4)
5)
6)
 4   3
 + t. 
 − 1  2 
b) X = 
S (1/-4)
C (7/13)
D (0/14)
M (2,5/6,5)
a) U = 31,81 b) α = 39,47° β = 47,12°
X1(5/5), X2(-3/1)
h liegt parallel zu g
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γ = 93,41° c) A = 42
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