Arbeitszeit: 240 Minuten

Abiturprüfung 2000
P HY S IK
als Leistungskursfach
Arbeitszeit: 240 Minuten
Der Fachausschuss wählt z w e i Aufgaben zur Bearbeitung aus.
–2–
BE
LPh1
1. Massenspektrograph
Ein Gemisch aus einfach positiv
geladenen Kohlenstoffionen 12C+
und 14C+ tritt durch eine Lochblende L1 in einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand
d = 2,0 cm und der Länge
d
Ionen 2
= 4,0 cm ein. Die gesamte And
2 B1
ordnung befindet sich im VakuL1
um. Das Magnetfeld mit der
Flussdichte B1 ist zunächst abgeschaltet; an den Platten liegt die Spannung U.
Schiene
D1
D2
∆y
x
B2
L2
4
a) Skizzieren Sie die Bahnen zweier Ionen unterschiedlicher Masse, aber
gleicher Geschwindigkeit zwischen L1 und L2. Begründen Sie, welche
Bahn welchem Isotop zuzuordnen ist.
10
b) Die Ionen treten nun mit einer Mindestgeschwindigkeit 1,5·105 m/s in
den Kondensator ein. Wie groß darf die Spannung am Kondensator
höchstens sein, damit die Ionen nicht auf die Kondensatorplatten treffen? Berechnen Sie auch die dabei maximal auftretende Erhöhung der
kinetischen Energie (in eV).
Am Kondensator liegt nun die Spannung U = 700 V. Die Flussdichte B1
soll so eingestellt werden, dass alle Ionen mit der Geschwindigkeit
v0 = 2,5 · 105 m/s den Kondensator unabgelenkt durchqueren.
4
c) Berechnen Sie B1 und begründen Sie, dass Ionen beider Kohlenstoffisotope den Kondensator durch die Blende L2 verlassen.
Das Magnetfeld rechts von L2 hat die Flussdichte B2 = 0,14 T. Die Teilchen, die den Kondensator verlassen, durchlaufen zwei Halbkreise.
5
d) Zeigen Sie, dass für den Abstand ∆y der beiden Punkte, an denen die
Ionen das Magnetfeld wieder verlassen, gilt: ∆y =
2 ⋅ ( m C14 − m C12 ) ⋅ v 0
.
e ⋅ B2
Die Flussdichte B2 wird nun variiert, alle anderen Größen bleiben unverändert. Die Ionen sollen durch zwei verschiebbare Detektoren D1 und D2
registriert werden, die einen Mindestabstand von 1,5 cm haben. Die äußerste Position von D1 ist 60 cm von der x-Achse entfernt.
(Fortsetzung nächste Seite)
–3–
BE
6
e) Berechnen Sie, zwischen welchen Werten die Flussdichte B2 liegen
muss, damit beide Isotope gleichzeitig gezählt werden können.
2. Induktion
8
9
P
Eine Leiterschleife OPQ hat die Form eiω
nes Kreissektors mit dem Mittelpunktsr
winkel 90o und dem Radius r. Sie rotiert
mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit
O ϕ
x
ω im Uhrzeigersinn um den Punkt O. Unterhalb der x-Achse befindet sich ein hoQ
mogenes Magnetfeld
mit der magnetischen
H
Flussdichte B . Zur Zeit t = 0 ist φ = 0, die
B
Umlaufsdauer ist T.
a) Zeigen Sie, dass der magnetische Fluss durch die Leiterschleife am
Anfang nach der Gleichung Φ ( t ) = 12 B r 2 ω t zunimmt.
Stellen Sie in einem Diagramm den magnetischen Fluss durch die
Leiterschleife im Zeitintervall [0;T] qualitativ dar.
Es seien nun B = 0,50 T, r = 10 cm , T = 20 ms und der elektrische Widerstand R der Leiterschleife 5,0 Ω.
b) Stellen Sie die Stromstärke des in der Leiterschleife induzierten
Stroms im Zeitintervall [0;T] in einem Diagramm quantitativ dar.
3. Induktivitätsbestimmung
5
5
4
60
y
I
S
Y
X
Mit der nebenstehenden Schaltung ist es
Diode
+
möglich, die Induktivität L einer Spule zu
L
U
−
C
bestimmen. Bei geschlossenem Schalter S
fließt der konstante Strom I = 7,6 mA.
Z
Durch die Diode kann der Strom von X
nach Y fließen, jedoch nicht von Y nach X. Wegen der Polung der Batterie verhindert die Diode, dass der Kondensator (C = 40 µF) bei geschlossenem Schalter aufgeladen wird. Kurz nach dem Öffnen des Schalters
misst man am Kondensator die konstante Spannung U = 30 V.
a) Erläutern Sie, warum der Kondensator nach dem Öffnen des Schalters
aufgeladen wird. Welche Polaritäten ergeben sich bei X und Z?
b) Bestimmen Sie L unter der Annahme, dass die gesamte magnetische
Energie in elektrische Feldenergie umgewandelt wird.
π
c) Begründen Sie, dass sich mit Hilfe t A = ⋅ L ⋅ C die Aufladezeit des
2
Kondensators abschätzen lässt.
–4–
BE
LPh2
1. Parallelresonanzkreis
Die skizzierte Schaltung enthält einen
Kondensator, dessen Kapazität zwischen 50 pF und 500 pF verändert
werden kann. Die Spule hat die Induktivität 45 µH, ihr ohmscher Widerstand ∼
ist vernachlässigbar. Die SpannungsI
quelle liefert die Wechselspannung
U (t) = U0 · sin ωt mit dem Scheitelwert U0 = 6,0 V und der Frequenz f = 1,5 MHz.
Der Schalter ist zunächst geöffnet, der Kondensator auf kleinste Kapazität
eingestellt.
4
a) Welchen Effektivwert zeigt das Amperemeter an?
[zur Kontrolle: 2,0 mA]
6
b) Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Stromstärke I (t) und der
Spannung U (t) in ein gemeinsames Koordinatensystem.
Nun wird der Schalter geschlossen.
5
7
c) Berechnen Sie den Effektivwert der Stromstärke in der Spule. Welche
Phasenbeziehung besteht zwischen den Stromstärken in der Spule und
im Kondensator? Welchen Wert zeigt das Amperemeter jetzt an?
d) Die Kapazität des Kondensators wird nun kontinuierlich vergrößert.
Begründen Sie, dass dabei die vom Amperemeter angezeigte Stromstärke zunächst abnimmt, ein Minimum erreicht und dann wieder ansteigt. Bei welcher Kapazität zeigt das Amperemeter die kleinste
Stromstärke an?
2. Dipolstrahlung
Die Antennenanlage eines UKW-Senders besteht aus zwei gleich langen,
vertikalen Dipolen D1 und D2; die Verbindungsgerade ihrer Mittelpunkte
verläuft horizontal. Die Dipole schwingen gleichphasig mit der Frequenz
100 MHz, ihr Abstand beträgt 3,75 m.
3
a) Wie lang muss jeder Sendedipol sein, damit er mit maximaler Amplitude schwingt? Geben Sie zwei möglichst kurze Dipollängen an.
Das Sendesignal soll von einem Schiff empfangen werden, das einen Kurs
parallel zur Verbindungsgeraden im Abstand 2,00 km hält (siehe Skizze
auf der nächsten Seite).
(Fortsetzung nächste Seite)
–5–
BE
Vom Empfangsmaximum 0. Ordnung P aus fährt das Schiff in der eingezeichneten Richtung weiter.
5
2
5
b) In welcher Entfernung von
P tritt erstmals minimaler
Empfang auf?
c) Begründen Sie, warum die
Empfangsleistung gegen
null geht, wenn sich das
Schiff weit genug von P
entfernt.
Sender D 2
D1
P
d) Wie viele Stellen mit minimaler Empfangsleistung durchfährt das
Schiff von P aus insgesamt? Begründen Sie Ihr Ergebnis.
3. Beugung und Interferenz von Licht
5
7
Das Licht einer Kohlebogenlampe soll unter Verwendung eines Beugungsgitters untersucht werden. Dabei beobachtet man auf einem Schirm
eine zentrale weiße Linie und auf beiden Seiten daneben farbige Spektren.
a) Fertigen Sie eine beschriftete Skizze der Versuchsanordnung an und
beschreiben Sie den Zweck der einzelnen Komponenten des Aufbaus.
b) Das sichtbare Spektrum 1. Ordnung (Wellenlängenbereich von
380 nm bis 750 nm) hat auf dem 4,60 m vom Gitter entfernten Schirm
eine Breite von 25,5 cm. Berechnen Sie die Anzahl der Gitterstriche
pro Millimeter. (Verwenden Sie dabei die Kleinwinkelnäherung.)
4. Röntgenstrahlung
Eine Röntgenröhre wird mit der Spannung 20,0 kV betrieben. Der Röntgenstrahl trifft nach der Reflexion an einem Kristall (Netzebenenabstand
222 pm) auf einen Detektor.
5
6
60
a) Welche Glanzwinkel ϑ können bei der Wellenlänge 200 pm auftreten?
b) Die Messanordnung wird nun auf den Glanzwinkel ϑ = 26,8° eingestellt. Welche Wellenlängen aus dem kontinuierlichem Spektrum der
Röntgenstrahlung treten in der vom Detektor registrierten Strahlung
auf?
–6–
BE
LPh3
1. Laserbremsung eines Atomstrahls
In einem Atomofen befindet sich Cäsium-Gas der Temperatur T. Die
mittlere Geschwindigkeit der Teilchen beträgt v = 300 m/s. Durch ein
kleines Loch in der Ofenwand tritt ein Strahl von Atomen in einen evakuierten Raum ein.
7
a) Skizzieren und erläutern Sie eine Versuchsanordnung, mit der die Geschwindigkeit der Cäsium-Atome nach Verlassen des Ofens bestimmt
werden kann.
5
b) Welche Temperatur ergibt sich für den Ofen?
Die Atome sollen nun durch Resonanzabsorption von Photonen abgebremst werden. Dabei geht ein Atom in einen angeregten Zustand über
und übernimmt gleichzeitig den Photonenims
puls. Zur Abbremsung
Licht des
Bremszone
wird der Atomstrahl entBremslasers
gegen seiner Bewegungsrichtung mit einem gebündelten Laserstrahl der
Wellenlänge λ = 852 nm
Cäsium-Atomofen
beleuchtet (siehe Zeichnung).
4
c) Welche Geschwindigkeitsänderung ∆v erfährt ein Cäsium-Atom bei
der Absorption eines Photons?
[zur Kontrolle: |∆v| = 3,5 mm/s]
Gehen Sie im Folgenden davon aus, dass die Cäsium-Atome den Ofen mit
der einheitlichen Geschwindigkeit v = 300 m/s verlassen. Die Teilchen
werden innerhalb der Strecke s = 100 cm auf die Endgeschwindigkeit
v' = 50 m/s abgebremst. Der Einfluss der Gravitation ist zu vernachlässigen. Nach einer mittleren Lebensdauer von τ = 30 ns geht ein angeregtes
Cäsium-Atom unter Aussendung eines Photons wieder in den Grundzustand über und kann erneut ein Photon absorbieren.
7
d) Erklären Sie, warum trotz des dabei auftretenden Rückstoßes nach
Mittelung über viele Absorptions- und Emissionszyklen eine Abbremsung des Atoms erfolgt. Wie viele Photonen werden für die Abbremsung eines Atoms benötigt?
[zur Kontrolle: N = 7,1 · 104]
(Fortsetzung nächste Seite)
–7–
BE
6
e) Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung und die Zeit für die Abbremsung eines Atoms längs der Strecke s auf die Geschwindigkeit
v' = 50 m/s.
[zur Kontrolle: ∆t = 5,7 ms]
6
f) Mit einem Bremslaser der Leistung 10 mW (λ = 852 nm) werden
107 Atome (praktisch gleichzeitig) abgebremst. Berechnen Sie, welcher Prozentsatz der vom Laser in der Bremszeit ausgesandten Photonen von den Atomen absorbiert wird.
6
g) Ermitteln Sie unter Berücksichtigung der mittleren Lebensdauer=τ des
angeregten Zustands, ob man mit entsprechend intensiverer Laserstrahlung bei gleich bleibender Wellenlänge die Cäsium-Atome schon
innerhalb der Strecke s' = 10 cm abbremsen könnte. Begründen Sie
Ihre Antwort.
2. Eindimensionaler Potentialtopf
In dem organischen Molekül β-Carotin können sich 22 Elektronen praktisch frei entlang einer Kohlenwasserstoffkette bewegen, das Molekül aber nicht verlassen. Das Verhalten dieser Elektronen kann näherungsweise durch das quantenmechanische Modell des eindimensionalen Potentialtopfs der Länge a beschrieben werden.
7
a) Leiten Sie einen Ausdruck für die möglichen Energien eines Elektrons
in einem solchen Potentialtopf her und erklären Sie den Begriff Null2
punktsenergie.
[zur Kontrolle: E n = h 2 n 2 ]
8 me a
5
b) Beschreiben Sie mit einer Skizze den Verlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Zustand n = 2.
7
c) Im Grundzustand sind die tiefsten der in Teilaufgabe 2a berechneten
Energieniveaus mit jeweils 2 Elektronen besetzt. Im Absorptionsspektrum von β-Carotin findet man eine Linie mit der Wellenlänge
λ = 451 nm. Diese Linie entspricht dem Übergang vom Grundzustand
des Moleküls in den ersten angeregten Zustand. Berechnen Sie die
Länge der Kohlenwasserstoffkette.
60
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BE
LPh4
1. Alphazerfall von 238Pu
Das Nuklid 238Pu ist ein α-Strahler. Die Kerne des Tochternuklids entstehen im Grundzustand oder im ersten angeregten Zustand (Anregungsenergie 43 keV), der anschließend durch Emission eines Gammaquants in
den Grundzustand übergeht.
5
a) Geben Sie die Gleichung des Zerfalls von 238Pu an und berechnen Sie
die gesamte bei einem Zerfall frei werdende Energie Q. Die benötigten Atommassen sind der Formelsammlung zu entnehmen.
[zur Kontrolle: Q = 5,59 MeV]
4
b) Skizzieren Sie das Energieniveauschema für den Zerfall von 238Pu und
berechnen Sie die Wellenlänge der emittierten γ-Strahlung.
9
c) Erstellen Sie die beschriftete Skizze einer Versuchsanordnung, mit der
man das Energiespektrum der α-Teilchen mit Hilfe eines Magnetfeldes experimentell bestimmen kann. Leiten Sie (nichtrelativistisch) eine Beziehung für die kinetische Energie der α-Teilchen in Abhängigkeit von Messgrößen und Naturkonstanten her.
7
d) Die Messung ergibt, dass die maximale kinetische Energie der αTeilchen 5,50 MeV beträgt. Dieser Wert unterscheidet sich deutlich
vom Q-Wert aus Teilaufgabe 1a. Zeigen Sie durch eine nichtrelativistische Rechnung, dass der Rückstoß des Zerfallsproduktes für diese
Energiedifferenz verantwortlich ist.
5
e) Auch das Tochternuklid des 238Pu und mehrere Zerfallsprodukte des
Tochternuklids sind instabil. Welches Nuklid ist das stabile Endprodukt? Wie viele α-Zerfälle und wie viele β-Zerfälle erfolgen insgesamt?
(Fortsetzung nächste Seite)
–9–
BE
2. Modellvorstellung zum Alphazerfall von 238Pu
Zunächst soll das folgende „klassische“ Modell für den Zerfall von 238Pu betrachtet
werden: Das α-Teilchen beginnt gerade sich
vom Restkern zu lösen (v ≈ 0). Beide Teilchen werden als kugelförmig angenommen.
7
Restkern
α
r1
r2
a) Berechnen Sie die Kernradien und
schätzen Sie die beim Auseinanderfliegen der Bruchstücke auf Grund der elektrischen Abstoßung entstehende kinetische Energie Ekin ab. [zur Kontrolle: Ekin ≈ 24 MeV]
Das Ergebnis von Teilaufgabe 2a widerspricht dem in Teilaufgabe 1a berechneten Q-Wert. Der Widerspruch kann mit einer quantenmechanischen
Modellvorstellung erklärt werden.
7
b) Erläutern Sie diese Modellvorstellung. Skizzieren Sie dazu den Potentialtopf des Restkerns für α-Teilchen und machen Sie in der Skizze
deutlich, wo die beiden berechneten Energiewerte erscheinen (Maßstab für die Ordinate: 5 MeV =ˆ 1 cm).
3. Altersbestimmung mit der Kalium-Argon-Methode
Bei Altersbestimmungen in der Geologie spielt die Kalium-ArgonMethode eine große Rolle. Das Nuklid 40K zerfällt mit einer Halbwertszeit TH = 1,3 · 109 Jahre. 11% der Zerfälle führen zu stabilem 40Ar, der
Rest zu stabilem Calcium. Aus geschmolzenem Gestein entweicht das Edelgas Argon durch Diffusion, so dass eine heute untersuchte Probe nur
das seit der Erstarrung entstandene 40Ar enthält. Über das Mutter-TochterIsotopenverhältnis lässt sich die verstrichene Zeit t seit der Erstarrung
bestimmen.
æ
N Ar ö
TH
⋅ ln çç1 +
ln 2 è 0,11 ⋅ N K
her. Dabei ist NAr die Zahl der (nach Erstarrung) gebildeten 40Ar-Atome und NK die Zahl der noch vorhandenen 40K-Atome in der Probe.
8
a) Leiten Sie für diese Zeit t die Gleichung t =
8
b) Aus dem Nördlinger Ries wird eine Gesteinsprobe genommen. Die
Masse des 40Ar in der Probe wird zu mAr = 2,8 · 10–5 g bestimmt. Die
Messung der Aktivität des enthaltenen 40K ergibt 7,7 kBq. Berechnen
Sie NAr und NK in der Probe. Vor wie vielen Jahren erstarrte das Gestein?
60
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BE
LPh5
1. Kondensatoren
Ein „Goldcap“ ist ein Kondensator mit sehr hoher Kapazität, der sich im
Vergleich zu Folienkondensatoren durch eine sehr kleine Baugröße auszeichnet. Für einen bestimmten Typ gelten folgende Daten: Kapazität
1,0 F; Größe des zylinderförmigen Gehäuses: Durchmesser 21 mm, Höhe 10 mm.
3
a) Wie groß müsste die Plattenfläche A eines Plattenkondensators sein,
der bei einem Plattenabstand von 50 µm die Kapazität 1,0 F aufweist?
Rechnen Sie mit der Dielektrizitätskonstanten von Vakuum.
[zur Kontrolle: A = 5,6 km2]
5
b) Wie groß ist das Verhältnis der Volumina des angegebenen Goldcaps
und des Plattenkondensators aus Teilaufgabe 1a, wenn das Eigenvolumen der Platten außer Acht gelassen wird? Wie verändert sich dieses Verhältnis, wenn es unter Beibehaltung der Kapazität gelingt, den
Abstand der Platten beim Plattenkondensator zu halbieren?
Nach dem Aufladen beträgt die Spannung
am Goldcap U0 = 4,5 V. Die Entladung erfolgt über einen äußeren Widerstand
Ra = 60 Ω. Dabei wird folgende Messreihe
ermittelt:
Ri
Ra
Goldcap
A
6
10
t in s
0
10
30
50
70
90
I in mA
38,0
34,9
29,4
24,9
21,1
17,8
c) Zeichnen Sie das zugehörige t-I-Diagramm und zeigen Sie, dass der
Innenwiderstand des Goldcaps Ri = 58 Ω beträgt. Der Innenwiderstand des Amperemeters kann vernachlässigt werden.
d) Fertigen Sie das zugehörige t- ln
I
-Diagramm an. Begründen Sie, wie
I0
mit diesem Diagramm die Gesetzmäßigkeit I( t ) = I 0 ⋅ e − k t überprüft
werden kann. Bestätigen Sie mit den verwendeten Daten den Zusam1
.
menhang k =
(R i + R a ) ⋅ C
(Fortsetzung nächste Seite)
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BE
Das Goldcap mit der Kapazität 1,0 F wird zur „Pufferung“ eines elektronischen Datenspeichers bei Stromausfall verwendet. Die Anfangsspannung beträgt 5,0 V, der Widerstand R des Datenspeichers 4,8 MΩ.
6
e) Berechnen Sie unter Verwendung der Angaben aus Teilaufgabe 1d,
nach wie vielen Tagen die Spannung an einem Datenspeicher nach einem Stromausfall auf 3,5 V absinkt. Der Innenwiderstand des Goldcaps kann dabei vernachlässigt werden.
2. Eigenschaften des Elektrons
Millikan gelang im Jahr 1916 die Bestimmung der Elektronenladung.
7
a) Beschreiben und skizzieren Sie den Versuchsaufbau des ÖltröpfchenVersuchs. Erläutern Sie die Vorgehensweise für den Fall, dass ein Öltröpfchen mit bekanntem Radius r und der Dichte ρ im Plattenkondensator schwebt. Leiten Sie eine Formel für die Ladung q des Tröpfchens in Abhängigkeit von r, ρ und den Messgrößen her. Der Auftrieb
in Luft soll vernachlässigt werden.
7
b) Nennen Sie Gründe, warum die direkte mikroskopische Bestimmung
des Tröpfchenradius nicht möglich ist. Erläutern Sie ein Verfahren,
mit dem man Tröpfchenladung und -radius zugleich bestimmen kann,
und stellen Sie die nötigen Kräftegleichungen (ohne Auftrieb) in Abhängigkeit von r und q auf. Das Auflösen nach r und q ist nicht erforderlich.
Im Jahr 1960 gelang es Jönsson zu zeigen, dass sich ein intensiver Elektronenstrahl an einem geeigneten Doppelspalt analog zu einem Lichtstrahl
verhält. Die Elektronen hatten eine kinetische Energie von 50 keV.
4
c) Erläutern Sie kurz, warum die Versuchsergebnisse der Teilchenvorstellung widersprechen.
8
d) Berechnen Sie relativistisch die Geschwindigkeit v und die
de-Broglie-Wellenlänge λ der verwendeten Elektronen.
[zur Kontrolle: λ = 5,4 pm]
4
e) Beim Jönsson-Versuch war es extrem schwierig, einen geeigneten
Doppelspalt zu realisieren. Berechnen Sie den Spaltabstand, wenn das
nullte Maximum und das erste Minimum einen Winkel von 0,30“
(Winkelsekunden) einschließen.
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