Hartmut Spiegel Grundlagen der Schulmathematik SS 2005

Prof. Dr. H. Spiegel
Hartmut Spiegel
Schulmathematik SS 2005
Aufg.SWS S 1
Grundlagen der Schulmathematik
SS 2005
Aufgaben zum Thema: Nichtdezimale Stellenwertsysteme
5.3
Ordnen von Zahlen in verschiedenen Systemen
a) Ordnen Sie der Größe nach: (Rechnen Sie dabei so wenig wie möglich!)
i)
23145, 20015 , 34215 , 10325
ii)
2110113 , 1111223, 1222223, 2011113
iii)
2103, 1234, 0115, 2436
b) Setzen Sie die Zeichen < oder > ein, so dass wahre Aussagen entstehen.
i)
2113  111112
10002  10003
iii)
ii)
4378  4469
10004  1007
iv)
c) Die Gleichung 212g = 1134 soll richtig sein.
i)
Welche Ordnungsbeziehung gilt dann sicher zwischen g und 4?
g)
Bestimmen Sie g. Gibt es mehrere Lösungen?
5.4
Zahlsysteme und Endstellen
Wenn Sie die Zahl 47 ins Dreiersystem, ins Fünfersystem, ins Neunersystem übersetzen, wird die
letzte Stelle in allen Fällen eine 2 sein.
Konstruieren Sie nun eine mindestens zweistellige Zahl z mit folgender Eigenschaft: Wird z im
Vierer-, Fünfer-, Sechser-, Siebener-, Achter- und Neunersystem geschrieben, so ergibt sich jedesmal
die Endziffer 3.
Schreiben Sie etwas, was die Leserin erkennen lässt, was Sie sich zur Konstruktion der Zahl überlegt
haben.
5.5
Umrechnung einer Zahl aus dem Dezimalsystem in andere Systeme
Die Zahl 423 kann wie folgt ins Vierersystem umgerechnet werden:
423:4= 105 Rest 3
105:4= 26 Rest 1
26:4=
6 Rest 2
6:4=
1 Rest 2
1:4=
0 Rest 1
Also ist 42310=122134
Rechnen Sie mit Hilfe dieses Verfahrens (fortlaufende Division durch die Basis und Bestimmung der
Reste) nachstehend im Zehnersystem angegebene Zahlen
i)
111, 222, 444 ins Zweiersystem
ii)
111, 333, 999 ins Dreiersystem
iii) 111, 777, 5439 ins Siebenersystem um.
(Achtung, hier kann man sich eine Menge Rechenarbeit ersparen! Denn wenn man die erste Zahl
einer jeden Teilaufgabe rechnerisch umgewandelt hat, kann man die anderen Ergebnisse ohne
Rechnung unmittelbar hinschreiben. Wie? und Warum?)
b) Eine Art Umkehrung zum obigen Verfahren stellt folgendes Verfahren dar, eine Zahl vom
nichtdezimalen System ins Zehnersystem zu übersetzen. Erklären Sie, warum es funktioniert:
5247= (5 · 7+2) · 7+4 = 263
Verwandeln Sie nach diesem Schema ins Zehnersystem: 347; 6667; 3579; 5168
c) Bestimmen Sie möglichst geschickt jeweils die Basis b : i) 53=125b
ii) 177=1202b
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Schulmathematik SS 2005
Aufg.SWS S 2
5.6
Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlsystemen
Die Gleichung 212b = 1134 soll richtig sein.
a) Welche Ordnungsbeziehung ("<" oder ">") gilt dann sicherlich zwischen b und 4? Warum?
b) Bestimmen Sie b. Gibt es mehrere Lösungen?
5.7
Umrechnung aus anderen Systemen ins Dezimalsystem
Rechnen Sie die nachfolgend gegebenen Zahldarstellungen auf zwei verschiedene Arten ins
Dezimalsystem um:
a) 4215 b) 31045
c) 243135
d) 1300425
e) 21356
f) 13124
g) 11112
h) 11114
5.8
Umrechnung zwischen binärem und Achtersystem
a) Versuchen Sie, das Vorgehen zu verstehen!
{
{
{
101 011 1112 = 5 3 7 8
b) 110 100 110 0102 = _________8. Können Sie hier entsprechend vorgehen?
c) 120 112 023 = _________9. Und hier?
5.9
Zahlsysteme und Teilbarkeit
Sei z = 9876666543g. Gesucht ist die Basis g eines Stellenwertsystems, in dem die o.a. Zahl durch 2,
3, 4 und 5 teilbar ist. Gibt es mehrere solche g?
Hinweis: Denken Sie an die Verallgemeinerung der im Zehnersystem geltenden Quersummenregel auf
andere Systeme.
5.10
1001 ist durch 11 teilbar
Geben Sie eine schlüssige Erklärung für folgende Tatsache:
In jedem Stellenwertsystem mit einer beliebigen Basis b ist 1001 durch 11 teilbar.
Hinweis: Der Quotient ist jeweils diejenige Zahl, die als erste Ziffer die größte Ziffer des Systems hat
und als zweite Ziffer eine Eins.
5.11
Rechnungen und Aussagen im Achtersystem
Korrigieren Sie die fehlerhaften Rechnungen und Aussagen im Stellenwertsystem zur Basis 8 mit
kurzen Begründungen.
a)
45678
b) 3768 · 638 c) Eine natürliche Zahl, die im 8er-System dargestellt ist, ist
-------------------- genau dann durch 7 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 7
+ 23718
276408 teilbar ist.
70608
11728
-------------------310328
5.12
Gültigkeit von Gleichungen in verschiedenen Zahlensystemen
In welchen Zahlensystemen sind diese Aufgaben jeweils richtig gelöst? Geben Sie zu jeder Gleichung
alle möglichen Basiszahlen derjenigen Stellenwertsysteme an, für die die betreffenden Gleichungen
stimmen.
a) 14+2=21 b) 10101-100=10001 c) 2 · 10=20 d) 11 · 11=1001
Achtung: Sie sollten Ihre Lösungen auch begründen!
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Aufg.SWS S 3
5.13
Gesetzmäßigkeiten in b-Systemen
Überprüfen Sie die folgenden Gleichungen: 9 · 9=81, 78 · 78=618, 67 · 67=517, 56 · 56=416
a) Drücken Sie die angedeutete Gesetzmäßigkeit für ein beliebiges b-System aus.
b) Berechnen Sie 89 · 89 und 43 · 43 direkt mit dieser Gesetzmäßigkeit und überprüfen Sie dann
durch Übertragung ins 10er System.
c) Legen Sie schlüssig dar, warum diese Gesetzmäßigkeit allgemein gültig ist.
5.14
Runden in b-Systemen [BR]
Möchte man in unserem Zehnersystem eine Zahl an einer Stelle runden, so wird abgerundet, wenn an
dieser Stelle eine der Ziffern 0 bis 4 steht, und aufgerundet, wenn dies eine der Ziffern 5 bis 9 ist.
Beschreiben Sie eine ähnliche Regel für das Sechser- und für das Siebener-System.
Runden Sie auf den nächsten Sechsersechsersechser: 50321246 , 25304125016
Runden Sie auf den nächsten Siebenersiebener: 15325367 , 540613657
5.15* (7.21)
Systemabhängige und systemunabhängige Aussagen über Zahlen
Sei b eine natürliche Zahl, b≥2, fest gewählt. Welche der folgenden Aussagen sind im b-System
(Stellenwertsystem mit Basis b) immer richtig, ganz gleich, welches b man wählt? Bei den richtigen
Aussagen ist keine weitere Begründung erforderlich; bei den falschen Aussagen ist ein Gegenbeispiel
anzugeben.
(i) Jede Zahl mit einer ungeraden Anzahl von Teilern ist eine Quadratzahl.
(ii) Jede Zahl, deren Quersumme im b-System durch 3 teilbar ist, ist selbst durch 3 teilbar
(iii) Eine dreistellige Zahl ist kleiner als eine vierstellige Zahl.
(iv) Das Quadrat einer geraden Zahl ist eine gerade Zahl.
(v) Ist die letzte Ziffer einer Zahl gerade, dann ist auch die letzte Ziffer ihrer Quadratzahl gerade
(vi) Eine Zahl wird mit 1000b multipliziert, indem drei Nullen angehängt werden
(vii) Eine Zahl wird mit b3 multipliziert, indem drei Nullen angehängt werden.
5.16
Ermitteln von Bündelungszahlen
Gegeben sind folgende Gleichungen:
53 = 125a
177 = 1202b
170 = 101c
24 = 222d
1134 = 212e
13214 = 79f
a)
Was kann man direkt ohne Rechnung über die unbekannten Bündelungszahlen im Vergleich
zu den jeweils gegebenen Bündelungszahlen aussagen?
b)
Bestimmen Sie in jeder Gleichung die Unbekannte.
5.17
Rechnen in verschiedenen Systemen
Berechnen Sie jeweils im angegebenen Stellenwertsystem:
a) 321032(4) - 20031(4) - 33232(4)
b) 24302(5) + 3342(5) + 440134(5)
c) In welchem Stellenwertsystem wurden folgende Rechnungen durchgeführt? Geben Sie jeweils alle
Möglichkeiten an.
(i) 210 + 102 = 312
(ii) 6205 - 3522 = 2463
5.18
Quadratzahlen in verschiedenen Systemen
a) Zeigen Sie: Für jedes b>3 ist 12321b eine Quadratzahl.
b) Zeigen Sie: Für jedes b>5 ist 123454321b eine Quadratzahl.
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Aufg.SWS S 4
c) Erfinden Sie selbst eine analoge Aufgabe mit einer noch viel längeren Zahl. Warum muss man die
Einschränkung für b machen?
5.19
Quersummen im Siebenersystem
Prüfen Sie bei nachstehend im Siebenersystem angegebenen Zahlen jeweils die Zahl sowie die
Quersumme auf Teilbarkeit durch
i)
6:
32437,
6517,
12037
ii)
3:
10117,
23317,
1027
iii)
2:
10127,
10017,
1167
Dem, was Ihnen dabei auffallen kann, liegt eine Gesetzmäßigkeit zugrunde, nämlich eine zu der uns
schon gekannten Quersummenregel im Zehnersystem analoge Quersummenregel für das 7-System
bzw. g-Systeme bei beliebigem g. Formulieren und beweisen Sie diese.
6.6
Die Waknuks
Die Waknuks sind ein Völkchen, das wenig Verbindung zur übrigen Welt hat. Aber irgendwann
einmal müssen sie von einem Schiffbrüchigen, der an die Gestade ihrer Insel verschlagen wurde, die
vier Grundrechenarten gelernt haben, sogar auch unsere zehn Ziffern (0, 1, …, 9). Ob es an ihrem
Lehrmeister lag oder an ihrem schlechten Gedächtnis weiß man nicht. Jedenfalls gebrauchen die
Waknuks unsere Ziffern-Zeichen auf ihre eigene Art, d.h. die Waknuk-7 kann irgendeine beliebige,
natürlich dann feststehende Ziffer von uns bedeuten, und auch die Zahl der Finger einer Hand wird
eindeutig mit einer Ziffer belegt (nicht notwendig unsere Ziffer 5).
Die Rechnungen der Waknuks sehen daher in unseren Augen recht merkwürdig aus.
Hier sind zum Beispiel vier Rechenaufgaben aus dem Heft eines Waknuk-Schülers. Drei Aufgaben hat
er richtig gelöst, nur die Subtraktion ist falsch:
062
5462
35 · 97
732:9=20
643
-6643
199
+ 487
2145
552
153
9679
Welches wäre (waknukisch!) die richtige Differenz bei der Subtraktion gewesen?
7.26
Primabellas Zauberkarten *
Primabella hat sich neue Zauberkarten ausgedacht. Ihre Zauberkarten sehen so aus:
9
12
15
links
rechts
10 11 18 19 20
13 14 21 22 23
16 17 24 25 26
Karte 1
3
12
21
links
rechts
4
5
6
7
8
13 14 15 16 17
22 23 24 25 26
Karte 2
1
10
19
links
rechts
4
7
2
5
8
13 16 11 14 17
22 25 20 23 26
Karte 3
Sie bittet ihre Freundin Susi, sich eine Zahl zwischen 0 und 26 auszudenken. Dann legt sie ihr
nacheinander die drei Karten vor und bittet sie, ihr zu sagen, wo auf welchen Karten die Zahl zu
finden ist.
"Meine Zahl befindet sich auf Karte 1 in der rechten Hälfte; auf Karte 2 ist sie nicht drauf, und auf
Karte 3 ist sie in der linken Hälfte!"
Primabella überlegt einen Augenblick und sagt dann souverän: "Deine Zahl ist die 19!"
"Das ist doch kein Trick!", sagt Susi, "Auf der ersten Karte kamen noch sechs Zahlen in Frage,
nämlich die Zahlen von 18 bis 26. Von denen fehlen die Zahlen 18, 19 und 20 auf der zweiten Karte,
und von denen ist nur die 19 links auf der Karte drei!"
"Kluges Kind!", antwortet Primabella, "Es gibt auch einen anderen, schnelleren Weg! Im Geiste habe
ich mir deine Antworten folgendermaßen notiert: "2" für deine Antwort zur ersten Karte, "0" für die
der zweiten und schließlich "1" für deine dritte Antwort. Insgesamt also "2 0 1". Dann wusste ich
sofort, dass du die 19 meinst!"
Susi staunt: "Das verstehe ich aber nicht!"
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Schulmathematik SS 2005
Aufg.SWS S 5
"Pass auf", sagt Primabella, "der Trick beruht auf der Verschlüsselung der Zahlen in einem anderen
Zahlendarstellungssystem ..."
Als Primabella ihre lange Erklärung beendet hat, nickt Susi verstehend und meint: "Ach so, dann
hättest du also die 13 mit "1 1 1" und die 25 mit "2 2 1" verschlüsselt, ´ne?"
a) Susi hat den Trick jetzt durchschaut. Sie will sich aber zunächst nur notieren, was sie tun muss, um
auf Primabellas Art die gesuchte Zahl zu ermitteln. Schreiben Sie bitte diese Gebrauchsanweisung auf.
b) Susi hat während der Erklärung von Primabella viele Zwischenfragen gestellt.
i) Auf welchem Zahlensystem basiert der Trick?
ii) Warum steht die Zahl 13 auf allen Karten auf der linken Seite?
ii) Warum haben die Karten eine rechte und eine linke Hälfte?
iii) Warum stehen nicht immer alle Zahlen, die erraten werden können, auf jeder Karte?
iv) Warum ist die Zahl 26 die größte Zahl, die man mit den Karten verschlüsseln kann?
Versuchen Sie, Susis Fragen zu beantworten.
c) Susi bastelt sich nun selbst Zauberkarten. Sie verwendet vier Karten.
i) Welches ist die größte Zahl, die sie jetzt herausfinden kann?
ii) Wo und auf welchen der vier Karten von Susi befinden sich die folgenden Zahlen: 40; 23; 60;
27?
Hier reicht eine Antwort ohne Begründung!
7.27
Subtraktion von Spiegelzahlen im Sechsersystem
Im Folgenden seien alle Zahlen im Stellenwertsystem zur Basis 6 dargestellt.
a) Bilden Sie mehrmals die Differenz zwischen einer zweistelligen Zahl und ihrer Spiegelzahl.
(Beispiel: 42-24=14) Durch welche Zahl ist jede solche Differenz teilbar? Begründung!
b) Begründen Sie die gefundene Regel auf eine deutlich andere Weise.
7.28
Bevölkerungsexplosion auf der Venus?
Mathematisch gesehen ist an der Zahl Zehn nichts Besonderes. Wir hängen an ihr nur deswegen so
stark, weil wir zufällig zehn Finger haben. Hätten die Menschen nur vier Finger, so würden sie
sicherlich zählen
1
2 3 10 11 12 13 20 21 22 … usw.
statt
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 … usw.
Und statt unseres 3+5=8 würden sie sagen 3+11=20. Derartige Überlegungen könnten sich als recht
beschwerlich für Raumfahrer herausstellen, falls man gewisse spintisierenden Schriftstellern glauben
wollte. So hat z.B. einer von ihnen behauptet, die Venus-Leute hätten keine Hände und Finger,
sondern eine Anzahl von "Fühlern, die aus ihren hochgewölbten Stirnen hervorsprießen". Wenn dem
so ist, dann wäre es wahrscheinlich, dass sie nicht bis zehn zählen, sondern bis zur Zahl der Fühler, die
sie besitzen. Man könnte sich etwa folgende Unterhaltung vorstellen:
Erdmann: Ich stelle gerade fest, dass sie hier viel größere Familien haben als wir auf der Erde. Dürfte
ich fragen, wie viele Kinder Sie selbst haben?
Venusmann (wobei er sich mit einem Fühler am Hinterkopf kratzt): Nun, lassen Sie mich mal
nachdenken. Ich habe 43 Söhne und - hm 52 Töchter. Das sind zusammen 125 Kinder, nicht wahr?
Angenommen, seine Rechnung war von seinem Standpunkt aus einwandfrei: Wie viele Kinder hatte er
dann (in irdischen Zahlen) und wie viele "Fühler sprossen aus seiner hochgewölbten Stirn"?
7.29
495 ist ein besondere Zahl
495 ist ein seltsamer Anziehungspunkt für dreistellige Zahlen.
Gehen wir beispielsweise von Zahl 265 aus. Wir ordnen ihre Ziffern in absteigender Reihenfolge an,
also 652, kehren diese um, 256, subtrahieren die zweite von der ersten.
652 – 256 = 396.
Das gleiche für 396:
963 – 369 = 594.
Und für 594:
954 – 459 = 495.
Unabhängig von der Ausgangszahl ergibt sich immer 495. Warum?