Übung - Uni Siegen

1. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2017
1. (a) A und B seien Mengen. Zeigen Sie:
A=∅
⇐⇒
(A ∪ B) \ (A ∩ B) = B.
(b) Seien A, B, C, D Mengen. Zeigen Sie:
(A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D).
(c) Sei M eine nichtleere Menge, A, B j M. Geben Sie für
h
i
M \ (M \ A) ∩ (M \ B)
eine möglichst einfache Darstellung an.
(d) Für welche Mengen A, B, C, D gilt
(A × C) ∪ (B × D) = (A ∪ B) × (C ∪ D)?
(e) Seien A und B Mengen. Zeigen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B).
2. Gegeben seien die nichtleeren Mengen X und Y , nichtleere Teilmengen A1 , A2 von X,
nichtleere Teilmengen B1 , B2 von Y , und eine Funktion f : X → Y . Weiter sei
f (X) := {f (x); x ∈ X},
f −1 (Y ) := {x ∈ X; f (x) ∈ Y }.
Zeigen Sie:
(a) Aus A1 j A2 folgt f (A1 ) j f (A2 ).
(b) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ).
(c) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 ).
(d) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 ).
(e) f −1 (Y \ B) = X \ (f −1 (B)).
3. Seien X, Y nichtleere Mengen, f : X → Y injektiv, A j X nichtleer.
Zeigen Sie:
f −1 (f (A)) = A.
4. Sei A eine nichtleere Menge, f : A → A eine Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie:
(a) f injektiv
=⇒
f surjektiv.
(b) f surjektiv
=⇒
Unterscheiden Sie jeweils die Fälle A endlich bzw. A unendlich.
f injektiv.
5. Geben Sie für folgende Funktionen an, ob sie injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv sind!
Wenn nicht, verändern Sie Definitions- oder Wertemenge so, dass die Funktion injektiv
bzw. surjektiv wird.
(a) f : IR → [0, ∞)
(b) f : IR → IR
(c) f : IR → IR
mit
f (x) = x2 .
mit
f (x) = x3 .
mit
f (x) = 1 + x2 .
6. Geben Sie an, welche der folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind, und geben Sie
gegebenenfalls die Äquivalenzklassen an:
(a) M 6= ∅ und R = {(x, y); x, y ∈ M}.
(b) M 6= ∅ und R = {(x, y); x = y}.
n
o
(c) M = ZZ × IN und R =
(a, b), (c, d) ; a · d = b · c .
7. Seien A und B nichtleere Mengen, f : A → B eine Abbildung. Zeigen Sie:
R = {(x, y) ∈ A × A; f (x) = f (y)} ist eine Äquivalenzrelation auf A.
8. Sei M eine nichtleere Menge, S ⊂ P(M) eine Partition von M, d.h. ein System von
nichtleeren Teilmengen von M mit folgenden Eigenschaften:
(i) Für alle x ∈ M gibt es ein M1 ∈ S mit x ∈ M1 .
(ii) Für alle M1 , M2 ∈ S mit M1 6= M2 gilt M1 ∩ M2 = ∅.
Zeigen Sie: Dann gibt es eine Äquivalenzrelation R auf M, so dass die Äquivalenzklassen
zu R genau die Mengen von S sind.
2. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2017
9. Sei M eine nichtleere Menge, A, B ⊂ M. Geben Sie für die Menge
h
i
X := (A ∪ B) ∩ (M \ A) ∪ (M \ B)
eine möglichst einfache Darstellung an.
(2 Punkte)
10. Gegeben seien die nichtleeren Mengen X und Y und eine Funktion f : X → Y .
(a) Zeigen Sie: Sind B1 , B2 nichtleere Teilmengen von Y mit B1 j B2 , dann gilt f −1 (B1 ) j
f −1 (B2 ).
(b) Seien A1 , A2 nichtleere Teilmengen von X. Welche Beziehung gilt zwischen f (A1 ∩A2 )
und f (A1 ) ∩ f (A2 ) (bei beliebigem f )?
(c) Sei f injektiv. Zeigen Sie: Für alle nichtleeren Teilmengen A1 , A2 von X gilt f (A1 ∩
A2 ) = f (A1 ) ∩ f (A2 ).
(d) Zeigen Sie: Gilt f (A1 ∩ A2 ) = f (A1 ) ∩ f (A2 ) für alle nichtleeren Teilmengen A1 , A2
von X, dann ist f injektiv.
(4 Punkte)
11. Familie Meier fordert Angebote für eine Heizungsreparatur an. Firma A berechnet in
ihrem Angebot für die Fahrtkosten 35, 00 Euro und für jede Arbeitsstunde 80, 00 Euro.
Firma B erhebt eine Pauschale von 200, 00 Euro, mit der die Anfahrt und die ersten beiden
Stunden abgedeckt sind, und jede weitere Arbeitsstunde wird mit 70, 00 Euro berechnet.
(a) Welche Kosten entstehen jeweils, wenn die Reparatur 4, 5 Stunden dauert? Welche
Firma ist in diesem Fall kostengünstiger?
(b) Wie lauten jeweils die Gleichungen der zwei Funktionen, die jeder Arbeitszeit x (in
Stunden) die entstehenden Kosten y (in Euro) zuordnet? Stellen Sie die Funktionen
grafisch dar!
(c) Bei welcher Arbeitszeit wären die Kosten bei beiden Firmen gleich?
(3 Punkte)
12. Sei M ⊆ IR. Geben Sie für folgende Funktion
f : M → IR
mit
f (x) = 1 +
2
|x| − 2
den natürlichen Definitionsbereich M an. Untersuchen Sie, ob f injektiv, surjektiv oder
sogar bijektiv ist! Wenn nicht, verändern Sie Definitions- oder Wertemenge so, dass die
Funktion injektiv, surjektiv bzw. bijektiv wird und bestimmen Sie die Umkehrfunktion.
(3 Punkte)
13. Geben Sie an, welche der folgenden Relationen Äquivalenzrelationen sind, und geben Sie
gegebenenfalls die Äquivalenzklassen an:
n
o
(a) M = IN × IN und R =
(a, b), (c, d) ; a + d = b + c .
(b) M = IR \ {0} und R = {(x, y); x = y1 }.
(4 Punkte)
Abgabe der Aufgaben bis 16.5. vor der Vorlesung.
Gruppenabgabe mit Gruppen zu höchstens 3 Studierenden.
3. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2017
14. Überprüfen Sie für folgende Mengen X mit der angegebenen Nachfolgerfunktion f , welche
Peano-Axiome erfüllt sind und welche nicht!
(Die Kenntnis der Menge IR der reellen Zahlen wird hier vorausgesetzt mit dem Wissen
aus der Schule.)
(a) X := IR \ {0; −1; −2; −3; · · · }; f (x) := x + 1 für alle x ∈ X.
(b) X := {0; 2; 4; 6; 8; · · · }; f (x) := x + 2 für alle x ∈ X.
(c) X := {−1; 0; 1}; f (−1) := 0, f (0) := 1; f (1) := 0.
15. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion:
(a)
n
X
k=1
k2 =
1
n(n + 1)(2n + 1).
6
(b) Zu jedem n ∈ IN gibt es ein k ∈ IN mit 11n+1 + 122n−1 = 133k.
n
X
2n − 1 (n+1) 3
(c)
k · 3k =
·3
+ .
4
4
k=1
16. Wenn man in der Ebene mehrere Geraden zeichnet, entsteht eine Anzahl von Gebieten,
die durch Stücke der Geraden berandet werden. Zeigen Sie:
Man kann die entstehenden Gebiete mit nur zwei Farben so einfärben, dass nie Gebiete mit
gleicher Farbe eine gemeinsame Grenze haben. (Ein Punkt zählt dabei nicht als Grenze.)
17. Prüfen Sie den Beweis für folgende Behauptung:
Für alle n ∈ IN gilt: Sind in einem Raum n Personen, dann sind alle diese Personen gleich
alt.
Beweis (vollst. Induktion nach n):
Ind.-Anfang: Für n = 1 ist die Behauptung wahr.
Ind.-Schluß:
Voraussetzung: Sei n ∈ IN so, dass die Aussage Sind in einem Raum n Personen, dann
”
sind diese gleich alt“ wahr ist.
Behauptung: Sind in einem Raum n + 1 Personen, dann sind diese gleich alt.
Beweis: Seien n + 1 Personen in einem Raum, darunter zum Beispiel Fritz, Karl und
Walter. Walter sei zum Beispiel 25 Jahre alt. Verlässt Fritz den Raum, dann sind nur
noch n Personen in dem Raum, d.h. nach Voraussetzung sind diese alle gleich alt, also
alle 25 Jahre alt. Karl ist also auch 25 Jahre alt. Geht Fritz hinein und Karl hinaus, dann
sind wiederum n Personen im Raum, die nach Voraussetzung alle gleich alt sind, also alle
25 Jahre alt. Damit sind insgesamt alle n + 1 Personen 25 Jahre alt, also alle gleich alt,
und die Behauptung ist bewiesen.
18. Durch
1! := 1;
(n + 1)! := (n!) · (n + 1)
werden die Fakultäten natürlicher Zahlen (induktiv) definiert.
(a) Berechnen Sie n! für n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
(b) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n ∈ IN gilt
n
X
k=1
k · (k!) < (n + 1)!.
19. In Computerprogrammen bezeichnet man oft die Potenz ab mit a∧ b. Zeigen Sie:
(a) Die dadurch definierte Verknüpfung auf IN ist weder kommutativ noch assoziativ.
(b) Für alle a, b, c ∈ IN, a 6= 1, gilt: Aus a∧ b = a∧ c folgt b = c.
20. In Ihrer Strumpf-Schublade sind 10 graue, 10 braune und 10 schwarze Socken der gleichen Art. Das Licht ist ausgefallen, d.h. Sie sehen nichts. Wie viele Socken müssen Sie
herausnehmen, um
(a) garantiert zwei gleichfarbige Socken,
(b) garantiert zwei graue Socken
zu erhalten?
21. Zeigen Sie: Liegen in einem Quadrat der Seitenlänge
√ 2 mindestens 5 Punkte, dann gibt
es zwei (dieser 5) mit Abstand kleiner oder gleich 2.
22. Zeigen Sie: Im Hörsaal sitzen mindestens 2 Personen, die gleich viele Bekannte unter den
im Hörsaal Anwesenden haben.
Es werde vorausgesetzt, daß bekannt“ symmetrisch ist, d.h. wenn Max Bekannter von
”
Thomas ist, dann ist auch Thomas Bekannter von Max. Max ist aber nicht Bekannter
von sich selbst.
Betrachten Sie die Menge Mk der Personen, die genau k Bekannte haben. Zeigen Sie:
Höchstens eine der Mengen M0 und Mn−1 ist nicht leer.
23. Ein Lehrer erzählt seinem Kollegen: Meine Klasse hat 34 Schüler/innen. 19 davon sind
”
Jungen. 29 Schüler/innen stehen im Notendurchschnitt Drei oder besser. Von diesen sind
16 Jungen. 27 Schüler/innen haben Religion, und von diesen sind 17 Jungen, und 15 stehen
Drei oder besser. 13 Jungen mit Fach Religion stehen Drei oder besser.“ Der Kollege, der
zufällig Mathematik unterrichtet, denkt: Hoffentlich ist er im Unterricht ehrlicher.“ Wer
”
hat recht?
24. Welche Endziffer kann eine Quadratzahl im Zehnersystem haben?
4. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2017
25. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: Zu jedem n ∈ IN ist
durch 15 ganzzahlig teilbar.
3n5 + 20n3 − 8n
(4 Punkte)
26. Geben Sie an, für welche n ∈ IN folgende Ungleichungen richtig sind (mit Beweis)!
(a) 4n < n!
(b) 3n > n5 .
(4 Punkte)
27. (a) Bei wie vielen Punkten in einem Quadrat der √
Seitenlänge 4 gibt es immer mindestens
2 Punkte mit Abstand kleiner oder gleich 2 · 2 ? Zeigen Sie: Es gibt Punktkonstellationen
mit einem Punkt weniger, so dass je zwei Punkte einen Abstand größer als
√
2 · 2 haben.
(b) Bei wie vielen Punkten in einem Würfel der√Kantenlänge 4 gibt es immer mindestens
2 Punkte mit Abstand kleiner oder gleich 12 ?
(3 Punkte)
28. Jeder Wissenschaftler, der am Institut für angewandte Sprachkombinatorik der Universität Freies Siegerland beschäftigt ist, beherrscht mindestens eine Fremdsprache.
Sieben sprechen Russisch, vierzehn Englisch und neun Französisch. Zwei beherrschen sowohl Russisch als auch Englisch, sieben Englisch und Französisch, drei Russisch und
Französisch, und nur der Institutsleiter beherrscht alle drei Sprachen.
Wie viele Wissenschaftler sind an dem Institut beschäftigt, wie viele können nur Russisch
und wie viele können nur Französisch?
(2 Punkte)
29. Sei n ∈ IN und a = (an an−1 an−2 . . . a1 a0 )10 , Q(a) := (a0 + a1 + a2 + . . . + an )10 ihre
Quersumme“. Zeigen Sie:
”
75 ist Teiler von a genau dann, wenn 25 die Zahl (a1 a0 )10 und 3 die Quersumme Q(a)
teilt.
(4 Punkte)
30. Sei n ∈ IN und a = (an an−1 an−2 . . . a1 a0 )10 . Zeigen Sie:
(a) 2 ist Teiler von a genau dann, wenn 2 die Zahl (a0 )10 teilt.
(b) 4 ist Teiler von a genau dann, wenn 4 die Zahl (a1 a0 )10 teilt.
(c) 8 ist Teiler von a genau dann, wenn 8 die Zahl (a2 a1 a0 )10 teilt.
(3 Punkte)
Abgabe der Aufgaben bis 7./8.6. vor der Übung.
Gruppenabgabe mit Gruppen zu höchstens 3 Studierenden.
5. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2017
31. (a) Stellen Sie die Zahl 99 jeweils im Ziffernsystem zur Basis 2, 5 und 12 dar.
(b) Stellen Sie die Zahlen a = (2135)6 und b = (11111)2 im Zehnersystem dar.
32. Im Zehnersystem gilt
12345679 · 9 = 111111111.
Gibt es analoge Aussagen in anderen Stellensystemen? Beweisen Sie Ihre Aussage!
33. Bestimmen Sie direkt (ohne Umwandlung in das Zehnersystem)
(7438001)9 + (487201)9
und
(375)11 · (729)11 .
34. Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sind drei dreistellige Zahlen a = (a1 a2 a3 ), b = (b1 b2 b3 ),
c = (c1 c2 c3 ) zu bilden, so dass die Summe a + b + c möglichst nahe an 1000 heran reicht.
Jede der Ziffern darf insgesamt genau einmal vorkommen.
Beispiel: Die Zahlen a = 123, b = 456, c = 789 haben die Summe 1.368, die Zahlen
a = 125, b = 374, c = 689 die Summe 1.188.
Welche Summen sind möglich? Ist 1000 genau zu erreichen?
35. Adam, Bernd und Christa treffen sich am 1. März zum Joggen. Adam joggt jeden dritten
Tag, Bernd jeden vierten und Christa jeden sechsten Tag. Wie oft treffen sich alle drei
bis Ende April?
36. Zeigen Sie: Für die Addition und Multiplikation in Q
I + gilt das Distributivgesetz.
37. Sei ID die Menge der rationalen Zahlen, die sich als abbrechender Dezimalbruch darstellen
lassen.
Zeigen Sie: Für alle a, b ∈ ID gilt a + b ∈ ID und a · b ∈ ID.
1
38. (a) Formen Sie jeden der Stammbrüche 12 , 13 , . . . , 11
in Dezimalbrüche um.
(b) Wandeln Sie folgende Dezimalbrüche in gewöhnliche vollständig gekürzte Brüche
um: 1, 6; 0, 27; 0, 04; 0, 04; 1, 2; 1, 20; 5, 15.
39. Seien u, v, w ∈ {1, 2, . . . , 9}, w 6= 9. Zeigen Sie
0, uvw =
(uvw)10 − (uv)10
.
900
1
1
40. (a) Bestimmen Sie sämtliche Stammbrüche zwischen
und
, die eine abbrechende
100
200
Dezimalbruchentwicklung haben. Wieviele Nachkommastellen haben sie?
1
1
(b) Bestimmen Sie sämtliche Stammbrüche zwischen
und
, die eine reinperiodi100
120
sche Dezimalbruchentwicklung haben.
41. Frau Bauer hat eine Klasse mit 30 Schüler/innen. Ein Drittel davon sind Jungen. Herr
3
Adam hat eine Klasse mit 20 Schüler/innen, von denen Jungen sind. Welchen Jungen4
anteil hat eine Versammlung beider Klassen?
42. (a) Wie viele Liter einer 50-prozentigen Lösung muß man zu 10 Litern einer 20-prozentigen
Lösung schütten, damit eine 25-prozentige Lösung entsteht?
(b) Ich habe einen neuen Regenschirm für Mutti als Geburtstagssgeschenk gekauft. Er
”
kostet 24 Euro. Gibst du die Hälfte dazu?“ – Nein, das finde ich unfair. Du hast ja
”
doppelt soviel Taschengeld wie ich!“
Machen Sie einen fairen Aufteilungsvorschlag!


für a > 0
a
43. Für a ∈ Q
I sei der Absolutbetrag |a| definiert durch |a| := 0
für a = 0 .


−a für a < 0
Zeigen Sie für alle a, b, c ∈ Q,
I c > 0:
(a) |a + b| ≤ |a| + |b|,
(b) |a · b| = |a| · |b|.
(c) Die Aussagen |a − b| ≤ c und b − c ≤ a ≤ b + c sind gleichbedeutend.
6. Üb. Aufbau d.Zahlensystems u.Funktionenlehre SS2017
44. (a) Stellen Sie die Zahl 125 jeweils im Ziffernsystem zur Basis 2, 5, 8 und 12 dar.
(b) Stellen Sie die Zahl (230140)5 im Zehnersystem dar.
(c) Gegeben ist die Zahl a = 2(15)307)16 im Hexadezimalsystem. Bestimmen Sie ohne
Umrechnung auf das Dezimalsystem die Darstellung von a im Binärsystem und im
System mit Basis 8.
(d) a ∈ IN habe im Ziffernsystem zur Basis 8 zwölf Stellen. Wie viele Stellen hat a im
Ziffernsystem zur Basis 16?
(5 Punkte)
45. (a) Bilden Sie aus den Ziffern 3, 5, 7 alle möglichen dreistelligen Zahlen (mit lauter verschiedenen Ziffern) und addieren diese. Dividieren Sie dann die Summe durch die
Quersumme der Ziffern. Was fällt Ihnen auf?
(b) Wählen Sie drei andere Ziffern und gehen Sie dann genauso vor. Was passiert? Woran
liegt das?
(2 Punkte)
46. Ein Zahnrad mit 18 Zähnen treibt ein weiteres Zahnrad mit 48 Zähnen an. Bei Stillstand
werden die sich berührenden Zähne bzw. Vertiefungen gekennzeichnet.
(a) Nach wie vielen Umdrehungen der einzelnen Zahnräder befinden sich die Kennzeichnungen zum ersten Mal wieder an derselben Stelle? Begründung?
(b) Uberlegen Sie allgemein: Wenn das eine Zahnrad m Zähne und das andere n Zähne
hat, wie kann man dann die Aufgabe lösen?
(2 Punkte)
47. Drei Fünftel einer Klasse sind Mädchen, und es kommen noch fünf Mädchen und fünf
Jungen dazu. Gibt es am Ende mehr, genauso viele oder weniger Mädchen als Jungen in
der Klasse?
(2 Punkte)
48. Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h benötigt man 7, 5 Stunden von Dortmund nach München. Wie lang braucht ein Fahrradfahrer mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 6m/s für die Strecke?
(2 Punkte)
49. Sei ID die Menge der rationalen Zahlen, die sich als abbrechender Dezimalbruch darstellen
lassen. Zeigen Sie: Zwischen je zwei verschiedenen Bruchzahlen liegt immer eine Zahl, die
sich als abbrechender Dezimalbruch schreiben läßt.
(4 Punkte)
, 5 , 52 in Dezimalbrüche um. Rechnung muss durch50. (a) Formen Sie jeden der Brüche 25
31 26 11
geführt werden (nicht mit Taschenrechner).
(b) Wandeln Sie folgende Dezimalbrüche in gewöhnliche vollständig gekürzte Brüche
um: 1, 128; 0, 23; 34, 412010.
(3 Punkte)
51. Geben Sie die Lösungsmengen in Q
I folgender Gleichungen bzw. Ungleichungen an:
(a) |x − 1| = 3,
(b) |x − 1| < 57
(c) |3x + 1| > 16.
(2 Punkte)
Abgabe der Aufgaben bis 27.6. vor der Vorlesung.
Möglichst Gruppenabgabe mit Gruppen zu höchstens 3 Studierenden.