Beispielaufgaben

Abschlussprüfung 2004
2003/2004
2001
Saarland
M i n i s te ri u m fü r B i l d u n g ,
K u l tu r u n d W i s s e n s c h a ft
Ministerium für Bildung, Kultur und Wissenschaft
Hohenzollernstraße 60, 66117 Saarbrücken
Postfach 10 24 52, 66024 Saarbrücken
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w w w. b i l d u n g . s a a r l a n d . d e
Saarbrücken 2003
Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Prüfung: Mathematik
Die Prüfung umfasst Rechenaufgaben und Standardaufgaben zu Routineverfahren sowie
Sach- und Anwendungsaufgaben. Bei der Bearbeitung der Aufgaben finden Grundwissen,
Grundfertigkeiten und Transfervermögen sowie Begründungsformen auf unterschiedlichem Niveau Anwendung.
In beiden Bildungsgängen besteht die schriftliche Abschlussprüfung aus zwei Prüfungsteilen, einem Pflichtteil und einem Wahlteil. Den Pflichtteil müssen alle Schülerinnen und
Schüler bearbeiten, im Wahlteil muss zwischen zwei Aufgabenangeboten ausgewählt
werden.
Hauptschulabschlussprüfung
Pflichtaufgaben 1. Teil:
Arbeitszeit:
Prüfungsinhalt:
Hilfsmittel:
45 Minuten
Grundaufgaben
Zeichengeräte, kein Taschenrechner, keine Formelsammlung
Pause:
20 Minuten
Pflichtaufgaben 2. Teil und Wahlaufgaben:
Arbeitszeit:
Prüfungsinhalt:
Hilfsmittel:
75 Minuten (40 Minuten werden für den Wahlteil zu Grunde gelegt.)
Pflichtaufgaben und Wahlaufgaben aus den Themenbereichen Rationale Zahlen, Zuordnungen, Prozent- und Zinsrechnung, Geometrie
Zeichengeräte, eingeführter Taschenrechner, Formelsammlung
Prüfung zum mittleren Bildungsabschluss
Pflichtaufgaben:
Arbeitszeit:
Prüfungsinhalt:
Hilfsmittel:
120 Minuten
Algebraische Fertigkeiten, Funktionen, Stereometrie, Trigonometrie
Zeichengeräte, eingeführter Taschenrechner, Formelsammlung
Pause:
20 Minuten
Wahlaufgaben:
Arbeitszeit:
Prüfungsinhalt:
Hilfsmittel:
60 Minuten
Algebraische Fertigkeiten, Funktionen, Stereometrie, Trigonometrie
Zeichengeräte, eingeführter Taschenrechner, Formelsammlung
In der folgenden Übersicht sind die Prüfungsinhalte in Themenbereiche gegliedert. Diese
sind so ausgewählt, dass sie bis zur schriftlichen Prüfung in Mathematik am 7. Juni 2004
zu behandeln sind. Die Beispielaufgaben zeigen eine Auswahl geeigneter Problemstellungen. Die Prüfungsaufgaben im Pflichtteil umfassen alle Themenbereiche. Der Wahlteil ist
thematisch eingeschränkt.
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Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Mittlerer Bildungsabschluss
Pflicht- und Wahlaufgaben:
Themenbereich: Algebraische Fertigkeiten
Prüfungsinhalte
Aufgabenbeschreibungen Aufgabenbeispiele für die Schüler
Potenzen, Wurzeln
Terme mit Klammern, ” Wie groß ist ein Lichtjahr?
(Lichtgeschwindigkeit:
mit Potenzen, mit Wurzeln, Binome und Bruchm
300.000.000
)
terme umformen bezies
hungsweise berechnen
” 1 m³ verschmutzte Luft
wiegt 1,29 kg und enthält
u. a. 0,6 mg Kohlenmonoxid
(CO). Gib den Anteil der
Verschmutzung durch CO in
Zehnerpotenzen an.
”
”
”
”
3x2m−3n
6x3n−2m
(4a-2 + 3b)2
3 27 − 2 48
2 3
5
5x − 5
Gib den Wert dieses
Bruchterms für x=0, x=1
und x=2 an.
Gleichungen
Gleichungen lösen:
Lineare und quadratische
Gleichungen,
einfache
Bruchgleichungen
und
Wurzelgleichungen, Gleichungen höheren Grades
einen geeigneten Algorithmus
nutzen:
”
2
3
(x – 3) – 2(x + 1) = 8
”
2(x – 2)² + 2 = (x + 1)²
”
5 + (x – 1)² = x • (x – 3)+6
”
2.(x – 1)2 = 2x2 – 4x + 2
”
2
x +3
=
1
x−4
ohne einen Algorithmus zu nutzen:
”
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(x + 3) • (x —
2
”
x +1=0
”
34x-1 = 27
”
2x = 1
”
x³ = —8
3
4
)=0
Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Lineare Gleichungssysteme
Gleichungssysteme lösen (1) 0,75 x + 2 = y – 4
(2) 5 (x – 1) – y = 6
Textaufgaben
Sachaufgaben, die auf
lineare, quadratische
Gleichungen beziehungsweise auf lineare
Gleichungssysteme führen
Grafiken
Bildhafte Darstellungen Formuliere zu folgenden Grafiken jeweils 4 wichtige Aussaverbalisieren
gen.
Ein Fahrzeug transportiert regelmäßig zwei unterschiedliche
Typen von Flüssiggasbehältern.
Wird das Fahrzeug mit 2 Behältern des Typs A und 6 Behältern
des Typs B beladen, beträgt die
Lademasse 10 t. Bei einer Beladung mit 7 Behältern des Typs
A und 3 Behältern des Typs B
werden 9,8 t transportiert. Wie
schwer ist jeweils ein Behälter
des Typs A und des Typs B?
Grafik 1
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Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Grafik 2
Grafik 3
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Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Themenbereich: Funktionen
Prüfungsinhalte
Aufgabenbeschreibungen
Lineare Funktionen,
bei gegebener Funktiquadratische Funktioonsgleichung eine Wernen,
tetabelle anlegen und
trigonometrische
den Graph der Funktion
Funktionen,
zeichnen
Exponential- und
Logarithmusfunktionen
Aufgabenbeispiele für die Schüler
”
”
y = x² — 3
y = 2 x²
”
y=
”
y = 0,4 x² + 5
”
y=—
Š
Š
Š
Š
Lege eine geeignete Wertetabelle an.
Berechne die Nullstellen.
Bewerte folgende Aussage:
Es gibt eine Stelle x, an der
die Funktion den Wert y = 4
annimmt.
”
unter Nutzung der Eigenschaften eines Graphen eine Funktionsgleichung aufstellen,
Schnittpunkte zwischen
Š
den Graphen linearer
Funktionen und zwischen
Š
den Graphen linearer
und quadratischer Funktionen berechnen
und deuten
Die Normalparabel y = x²
wird an der x-Achse gespiegelt, dann um 2 Einheiten
nach links und 4 Einheiten
nach oben verschoben.
Bestimme die Funktionsgleichung.
Wie geht der Graph der
Funktion y = - (x – 1)² + 2
aus dem Graph der
Normalparabel hervor?
Problemzusammenhänge ”
in schülergerechten Kontexten grafisch erschließen
Der Reaktionsweg s beim
Bremsvorgang ist abhängig
von der persönlichen Reaktionszeit t und der Geschwindigkeit v. Die normale Reaktionszeit t eines Menschen
beträgt 1,5 s.
Fülle die folgende Wertetabelle aus:
Š
1
4
x²
1
2
(x — 1)² + 3
(Beachte: 1
km
h
≈ 0,28 m )
s
v
 km 


 h 
0
10
20
30
100
s
[m]
Š
29,4
Stelle den Reaktionsweg
grafisch dar:(10 km ≙ 1 cm;
h
Š
10 m ≙ 1 cm).
Um wie viel Meter ist der
Reaktionsweg bei 100 km
h
länger, wenn ein Mensch eine Reaktionszeit von 2 s
hat?
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Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
f: y = -2 · 1,5x
”
x
y
Š
Š
Š
Š
Umkehrfunktionen
eine lineare Funktion rechnerisch und zeichnerisch
umkehren, nicht lineare
Funktionen zeichnerisch
umkehren
Š
1
-4,5
Ergänze die Wertetabelle und
zeichne den Graphen.
Gib den Definitionsbereich und
den Wertebereich der Funktion an.
Welche Koordinaten hat der
Schnittpunkt mit der y-Achse?
Konstruiere mit Hilfe des Graphen
von f den Graphen der Funktion
g: y = 2 · 1,5x-1.
f: y = 2 x + 1
x
y
Š
0
− 1, 3
”
Š
Sinus- und Kosinusfunktion
-2
-2
0
-1
2
3
Gib die Wertetabelle der Umkehrfunktion an.
Zeichne den Graph der Funktion
und der Umkehrfunktion in ein
Koordinatensystem.
Gib die Funktionsgleichung der
Umkehrfunktion an.
Schaubilder von Sinus- und ” Fülle die Wertetabelle aus und
führe sie weiter bis 360°.
Kosinusfunktionen zeichnen
0° 30° 45° 60° 90°
a
und interpretieren, Amplisin a
tude und Periode ablesen
Š
Zeichne den zugehörigen Graphen
im Bereich
0° < a < 360°
(Maßstab auf der x-Achse:
90° ≙ 3 cm
Maßstab auf der y-Achse:
1 LE ≙ 2 cm)
Š
Š
Š
Š
Š
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Bestimme die Nullstellen.
In welchem Bereich bewegen sich
die Funktionswerte?
Für welche x-Werte sind die Funktionswerte positiv beziehungsweise negativ?
Gib zwei Winkel an, bei denen sich
der Sinuswert nur um das Vorzeichen unterscheidet.
Verschiebe den Graphen der Sinusfunktion um 90° nach rechts.
Wie lautet die Funktionsvorschrift
der neuen Funktion?
Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Themenbereich: Trigonometrie
Prüfungsinhalte
Aufgabenbeschreibungen Aufgabenbeispiele für die Schüler
Sinus, Kosinus, Tangens Seiten und Winkel in
für beliebige Winkel
rechtwinkligen Dreiecken
zwischen 0° und 360°
mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens berechnen
”
Ordne zu:
sin a
cos b
tan
”
trigonometrische Aussa- ”
gen entdecken und begründen
v
w
u
v
v
u
u
w
w
v
Wie groß ist der Neigungswinkel?
Zeichne ein rechtwinkliges
Dreieck (γ = 90˚) und begründe mit Hilfe der Seitenlängen a, b und c, dass folgende Zusammenhänge gelten:
sin α
cos α
a)
tan α =
b)
sin²a + cos²a = 1
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Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Sinussatz und Kosinussatz
An einer Straßenecke liegt
ein Grundstück mit den Eckpunkten ABCD.
”
Lösungsskizzen vervollständigen, geeignete Lösungsschritte ausdenken, Sinus- und Kosinussatz und die Flächenformel für Dreiecke bei
Textaufgaben (z. B.
Vermessungsaufgaben)
verwenden
C
D
A
B
Berechne den Flächeninhalt des
Grundstücks ABCD, wenn folgende Seitenlängen und Winkelmaße bekannt sind:
BC = 35 m;
AD = 28 m;
Ë BDC = 50° ;
Ë BAD = 65°
Auf das Grundstück wird ein
Haus mit rechteckigem Grundriss (18,50m auf 12,80 m) gebaut. Wie viel % der gesamten
Fläche können dann noch als
Gartenanlage genutzt werden?
C
S
A
B
”
Š
Š
Um die Lage des Schwarzenbergturms in Saarbrücken
zu bestimmen, werden die Winkel " = ËBAS = 46° und
$ = ËSBA = 27,6° gemessen. A und B sind genau
7,938 km voneinander entfernt.
Berechne die Entfernung vom Schwarzenbergturm (S)
nach A und nach B (Luftlinie).
Berechne den Abstand des Punktes S von der Standlinie AB .
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Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Themenbereich: Stereometrie
Aufgabenbeschreibungen
Prüfungsinhalte
Prisma, Zylinder,
Aus Bildern oder Texten
quadratische Pyramide,
Informationen entnehKegel, Kugel, zusammen und diese zum Lömengesetzte Körper
sen von Aufgaben nutzen
Aufgabenbeispiele für die Schüler
”
Bei dem unten abgebildeten
Modell einer Pyramide sind
die Grundkanten 36 cm und
die Höhe h = 24 cm lang.
a
Š
Š
Š
Š
Š
”
Š
Berechne das Volumen.
Wie oft passt das Pyramidenvolumen in das Volumen
eines Quaders, der dieselbe
Grundfläche und Körperhöhe
wie die Pyramide hat?
Berechne die Länge hs der
Seitenhöhe.
Berechne den Inhalt der
Mantel- und den der Oberfläche.
Berechne das Maß des Neigungswinkels α der Seitenkante der Pyramide.
Der hier dargestellte Briefbeschwerer aus Bronze ist
aus einem Würfel mit der
Kantenlänge 80 mm entstanden, in den zwei halbkugelförmige Hohlräume mit
einem Durchmesser von je
40 mm gefräst wurden. Der
Mittelpunkt der Fräsungen
liegt jeweils im Schnittpunkt
der Diagonalen von Grundund Deckfläche.
Der Briefbeschwerer soll
vergoldet werden. Berechne
dazu die gesamte Oberfläche.
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Abschlussprüfungen Hauptschulabschluss und mittlerer Bildungsabschluss 2003/04
Schrägbilder und Netze
”
zeichnen, diese bemaßen
und wichtige Stücke eines Körpers (auch allŠ
gemein in Abhängigkeit
von einer Größe) berechnen
Bei einem Kegel stimmt die
Höhe h mit dem Durchmesser d der Grundfläche überein.
Berechne den Inhalt der
Mantelfläche des Kegels in
Abhängigkeit von h.
”
an seinem Netz einen
Körper erkennen und berechnen
Aus einem Quadrat mit der
Seitenlänge a1 = 30 cm soll
das Netz einer quadratischen Pyramide mit der
Grundkante a2 = 8 cm herausgestanzt werden (vgl.
Skizze). Diese Pyramide soll
nach ihrer Fertigstellung
bündig auf einen Würfel
aufgesetzt werden.
Š
Š
Š
Seite 40
Berechne den Stanzverlust
bei der Herstellung der Pyramide in cm² und in Prozent.
Zeichne das Schrägbild des
zusammengesetzten Körpers.
Berechne das Volumen und
den Inhalt der Oberfläche
des zusammengesetzten
Körpers.