Ma-ABI THEMA: Komplexaufgabe VB - Aufgabe 11 HM

Philipp - Melanchthon – Gymnasium Bautzen
Ma-ABI
4060225
THEMA:
Komplexaufgabe
LK Mathematik
VB - Aufgabe 11
HM: GTR/TW
auch erhältlich auf
www.maphyside.de
Schwerpunkt Analysis
1 An einem Hang mit
dem Anstieg m = 0,15
sollen zwei 45 m hohe
Strommasten aufgestellt
werden. Zwischen
den Strommasten soll
eine Leitung gespannt
werden, die nach 150m
Entfernung vom linken
Mast wieder die Höhe der
linken Aufhängung erreicht. Aus einer Plankarte
kann man einen horizontalen Abstand der Fußpunkte der Strommasten
von 200m ablesen.
a) Der Kabelverlauf soll
näherungsweise durch
eine quadratische
Funktion f (x)=ax2+bx+c
beschrieben werden. Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Erreichbare BE-Anzahl: 2
(Lös.: f(x)=0,003x2−0,45x+45)
b) Berechnen Sie die Stelle, an der das Kabel
am stärksten durchhängt. Geben Sie an,
wie tief das Kabel dort gegenüber dem
Aufhängepunkt am linken Mast hängt.
Bestimmen Sie den Winkel, den das Kabel
am linken Mast mit der Verbindungslinie der
beiden Mastspitzen bildet.
(Lös.: x = 75; d = 16,87m; α = 32,7°)
Erreichbare BE-Anzahl: 5
c) Bestimmen Sie die Stelle, an der die
senkrechte Entfernung zwischen Hang und
Leitung minimal ist.
Ermitteln Sie die Höhe, bis zu der die
Bäume dort wachsen dürften, wenn die
senkrechte Entfernung zwischen Leitung
und Baumkrone mindestens 7m betragen
muss.
(Lös.: x=100 ;h(100) = 15 ; Die Bäume dürfen höchstens 8 hoch werden.)
Erreichbare BE-Anzahl: 4
d) In der Realität wird der Verlauf des Kabels durch eine so genannte Kettenlinie mit der Funktionsgleichung k(x)=6,2⋅e 0,01223x +38,8⋅e −0,01223x beschrieben.
Zeigen Sie, dass diese Funktion die zu Beginn der Aufgabe beschriebenen Bedingungen näherungsweise erfüllt.
(Lös.: k(0)=45; k(150)=45,02; k(200) = 74,92)
Erreichbare BE-Anzahl: 4
e) Zeigen Sie, dass die Kettenlinie durch den Punkt T(74,974 | 31,0199) geht und dort eine waagerechte
Tangente hat.
Vergleichen Sie die Koordinaten von T mit dem Ergebnis von Teilaufgabe b).
(Lös.: Tiefpunkt an derselben Stelle wie Parabel, aber etwa 2,90m höher)
Erreichbare BE-Anzahl: 5
langfristige Aufgabe 11 Abitur 2015 Seite 1 Philipp - Melanchthon – Gymnasium Bautzen
LK Mathematik
Schwerpunkt Analytische Geometrie
In einem Würfel mit den Eckpunkten O(0/0/0), P(10/10/0) und S(0/0/10) befindet sich eine Pyramide mit
einem Dreieck als Grundfläche und der Spitze S (vgl. Skizze).
Die Eckpunkte der Pyramidengrundfläche sind A(10/6/0), B(6/10/0) und C(10/10/5).
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E, in
der die Grundfläche der Pyramide liegt.
Ermitteln Sie den Winkel den
die Grundflächen von Würfel
und Pyramide einschließen.
Untersuchen Sie, ob die Höhe
der Pyramide auf der Diagonalen PS des Würfels liegt.
(Lös.: E: 5x + 5y – 4z = 80;
α = 60,5°; h liegt nicht der Diagonale PS des Würfels)
Erreichbare BE-Anzahl: 6
b) Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Pyramidenvolumen am Würfelvolumen.
(Lös.: 8%)
Erreichbare BE-Anzahl: 5
c) Zusätzlich zur Pyramide soll nun noch ein Quader der Breite b in den Würfel gelegt werden.
Die Abmessungen des Quaders werden so gewählt, dass er die Pyramide nur in einem Punkt Q der Pyramidenkante AS berührt (vgl. Skizze).
Berechnen Sie das Volumen eines solchen Quaders mit der Breite b = 4.
Welche Werte kann das Volumen eines solchen Quaders annehmen, wenn die Breite b variabel ist?
(Lös.: V = 400/3; alle Werte zwischen 0 und 150)
Erreichbare BE-Anzahl: 4
langfristige Aufgabe 11 Abitur 2015 Seite 2 Philipp - Melanchthon – Gymnasium Bautzen
LK Mathematik
Schwerpunkt Stochastik
Nach Angaben des WVV (Weißenberger VerkehrsVerbundes) beträgt der Anteil der „Schwarzfahrer“, das
sind Fahrgäste, die keinen gültigen Fahrschein vorzeigen können, am gesamten Fahrgastaufkommen
etwa 3 %.
Zwei Kontrolleure steigen an der
Haltestelle „Pfefferkuchenhaus“ in
eine Bus der Linie V3 und kontrollieren alle 25 Fahrgäste im Wagen.
An der Haltestelle „Hauptbahnhof
Tot“ steigen sie um in einen Bus
der Linie V1, in dem sie weitere 18
Fahrgäste kontrollieren.
Es soll vereinfachend angenommen werden, dass die Anzahl der
Schwarzfahrer bei den Kontrollen
binomialverteilt ist.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kontrolleure:
• bei beiden Kontrollen zusammen genau 2 Schwarzfahrer
ermitteln.
• die Kontrolleure bei den Kontrollen mindestens einen
Schwarzfahrer ermitteln.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kontrolleure erst in der Linie V1 auf den ersten Schwarzfahrer treffen.
(Lös.: P(genau 2 SF) ≈ 0,233; P(mindestens 1 SF) ≈ 0,733; P(SF in Linie V1) ≈ 0,197)
Erreichbare BE-Anzahl: 3
b) Geben Sie an, wie viele Schwarzfahrer die Kontrolleure bei ihrer oben beschriebenen Kontrolle erwarten können.
(Lös.: 2 Schwarzfahrer (1,29))
Erreichbare BE-Anzahl: 1
c) Bestimmen Sie, wie viele Fahrgäste überprüft werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von
90 % mindestens ein Schwarzfahrer ermittelt wird.
(Lös.: mindestens 76 Fahrgäste)
Erreichbare BE-Anzahl: 2
Genaue Untersuchungen zeigen, dass die Anteile der Schwarzfahrer in den verschiedenen Linien deutlich
unterschiedlich sind. In der Linie V3 sind 2 % Schwarzfahrer zu erwarten, in der Linie V1 dagegen 4 %.
d) Berechnen Sie aufgrund dieser genaueren Informationen noch einmal die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die Kontrolleure bei der oben beschriebenen Kontrolle mindestens einen Schwarzfahrer
ermitteln.
Vergleichen Sie dieses Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil a) und geben Sie Gründe für die
Abweichung an.
(Lös.: P(mindestens 1 SF) ≈ 0,711)
Erreichbare BE-Anzahl: 3
e) Der WVV geht davon aus, dass 10 % der Schwarzfahrer erwischt werden. Ein erwischter Schwarzfahrer muss 40 € erhöhtes Beförderungsentgelt zahlen. Besitzt er eine Zeitkarte, die er nur zu Hause
vergessen hat, muss er diese innerhalb einer Woche vorzeigen und zahlt dann nur eine
Bearbeitungsgebühr von 5 €. Dieser Fall trifft etwa bei der Hälfte der erwischten Schwarzfahrer zu.
Gehen Sie davon aus, dass jeder nicht erwischte Schwarzfahrer im Durchschnitt entgangene Einnahmen von 3 € verursacht.
Untersuchen Sie, ob das erhöhte Beförderungsentgelt angehoben werden muss, um die erwarteten
Verluste, die durch die Schwarzfahrer entstehen, auszugleichen. Die Kosten, die die Entlohnung der
Kontrolleure verursacht, sollen hier unberücksichtigt bleiben.
Berechnen Sie gegebenenfalls ein erhöhtes Beförderungsentgelt, bei dem Kostendeckung zu erwarten
ist.
(Lös.: durchschnittliche Verluste durch SF: -0,60€; Erhöhung auf 52€)
Erreichbare BE-Anzahl: 3
f) Nach einer erheblichen Preiserhöhung befürchtet der WVV, dass der durchschnittliche Anteil der
Schwarzfahrer deutlich über 3 % angestiegen ist. Um diese Vermutung zu untersuchen, wird eine
Großkontrolle durchgeführt, bei der 10 000 Fahrgäste kontrolliert werden.
Der WVV ist unsicher, bei welchen Ergebnissen der Großkontrolle er die oben genannten Befürchtungen als statistisch begründet ansehen sollte.
Geben Sie eine Entscheidungshilfe an und begründen Sie diese.
Erreichbare BE-Anzahl: 3
langfristige Aufgabe 11 Abitur 2015 Seite 3