komplexe Aufgaben zu Exponentialfunktionen

Gymnasium „Am Thie“
Blankenburg
Exponentialfunktionen – komplexe Übungen
1) Gegeben sei die Funktion f ( x)  1,2  e0,5 x .
a) Bestimmen Sie eine Exponentialfunktion g ab ( x)  a  ebx , deren Graph
näherungsweise durch die Punkte P (4;0,9) und Q(6;0,6) geht!
Lös.: g ( x)  2,025e0, 203x
b) Bestimmen Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von h( x)  x  f ( x) .
Lös.: x0=0; PMax(2;0,883) ; PW(4;0,65)
c) Bestimmen Sie die Schnittstellen von h mit der Winkelhalbierenden des 1.
Quadranten!
Lös.: x1=0; x2=0,365
d) Zeichnen Sie den Graph von h für 1  x  6 .
e) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.
f) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graph von f und der x-Achse
über dem Intervall [0;a] in Abhängigkeit von a>0!
Lös.: A  2,4e0,5a  2,4FE
g)Wie groß muss a gewählt werden, damit der Inhalt der Fläche aus Aufgabe f) den
Wert 1 hat?
Lös.: a=1,08
h) R(2;0) sei der linke untere Eckpunkt eines achsenparallelen Rechtecks. Der rechte
obere Eckpunkt S liege auf dem Graph von f. Wie muss S gewählt werden, damit der
12
Inhalt des Rechtecks maximal wird?
Lös.: S ( 4; 2 )
e
2) Gegeben sei die Schar f a ( x)  2 x 2  e ax ; a  0.
a) Diskutieren Sie die Funktionenschar.
2 8
Teillös.: PMin(0;0); PMax(  ; 2 2 )
a ae
b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Maxima der Schar.
2
Lös.: y  2 x 2
e
c) Zeichnen Sie die Graphen von f1 und f0,75.
d) Bestimmen Sie die Schnittwinkel der Wendetangenten von f1 mit den beiden
Koordinatenachsen!
Lös.: (x-Achse) 1  17,6; 2  137,32
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Exponentialfunktionen – komplexe Übungen
3) Gegeben sei die Schar f a ( x)  e ax und die Funktion g ( x)   x 2  2 x .
a) Für welchen Wert von a liegt der Punkt P(2;9,025) auf dem Graph von fa?
Lös.: a=1,1
b) Diskutieren Sie die Funktion h  f1  g und zeichnen Sie den Graph von h
für  5  x  2,5.
Teillös.: PMin(  2 ;1,17 ); PMax( 2 ;3,41 )
c) Bestimmen Sie eine Funktion F, so dass F   f 0, 2 gilt.
Lös.: F  25e 0, 2 x
d) Für welche Werte von a berühren sich der Graph von fa und die Normalparabel?
2
Lös.: a1, 2  
e
e) Bestimmen Sie die Maße des achsenparallelen Rechtecks maximalen Inhalts mit
einer Ecke im Ursprung und der gegenüberliegenden auf h im ersten Quadranten!
Lös.: x=1,56; y=3,27
Graph zu 1d) mit Winkelhalbierender des 1. Quadranten
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Exponentialfunktionen – komplexe Übungen
Graph zu 2c) mit Ortskurve
Graph zu 3b)
Hinweis: Einige Werte in den Lösungen sind gerundet.