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Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung Wärmeübertr 19 Formen der Wärmeübertragung Vertiefung und Kompetenzüberprüfung Martin Apolin (Stand August 2011) Wärmeleitung A1 Luft mit 20 °C im Wohnraum empfinden wir angenehm. Wasser mit 20 °C in der Badewanne ist sehr unangenehm. Warum? In der Sauna hat es oft mehr als 100 °C. Warum wird man dabei nicht zart durchdurc gekocht? Begründe mit Tabelle 1. in Watt? Vergleiche diese Leistung mit der Heizleistung Heizlei des Wals. c Wie viele Tonnen Krill (Abb. Abb. 2) muss der Wal jeden Tag fressen, um alleine diesen Wärmeverlust abzudecken? 1 kg Krill ist nicht sehr nährstoffreich und hat eie nen Brennwert von etwa 300 0 kJ. Abb. 2: Krill ist ein norwegisches Wort und bedeutet übersetzt Walnahrung. Im engeren Sinne bezeichnet man damit Kleinkrebse wie oben (Foto: Uwe Kils; Quelle: Wikipedia). Tab. 1: Absolute und gerundete relative Wärmeleitfähigkeit (bezogen auf Luft) einiger Stoffe. A2 a Ein ausgewachsener Blauwal wird über 30 m lang. Schätze mit Hilfe von Abb. 1 seine KörperoberKörperobe fläche ab. Seine Kerntemperatur beträgt 37 °C und seine Haut hat 5 °C. Welche Heizleistung muss sein Organismus aufbringen, wenn seine Fettschicht 30 cm dick ist? Verwende für deine Berechnungen Tab. 1. Abb. 1: Blauwal und Mensch im Größenvergleich (Grafik: Chris_huh; Quelle: Wikipedia). b Welcher Zusammenhang besteht zwischen Watt, Joule und Sekunden? Welche durchschnittliche LeisLei tung erbringt der menschliche Organismus? Dieser setzt in einem Tag etwa 10.000 kJ um. Wie viel ist das A3 Die Gesteinsschichten der Erdkruste (Abb. 3) haben eine Wärmeleitfähigkeit um 2 W/(m∙K). Die Temperatur steigt um etwa 3 °C je 100 m Tiefe. T Diese Wärme stammt vor allem aus radioaktivem Zerfall in der Erde. Berechne die Wärmestromdichte, also die Watt pro Quadratmeter, zur Erdoberfläche. Ist sie groß genug, um sie irgendwie zu merken oder zu nutzen? Abb. 3: Aufbau der Erde, links schematisch, rechts maßstabsgemaßstabsg treu.. Die Erdkruste ist mit 0 bis 40 km so dünn, dass sie rechts gar nicht zu sehen ist (Grafik: Surachit; Quelle: Wikipedia). A4 In Tab. 2 (nächste Seite) siehst du die WärmeleitfäWärmeleitf higkeit einiger Gase. Kannst du begründen, warum w Wasserstoff die Wärme so gut leitet? © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 1 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung Wärmeübertr Gas λ [W/(m∙K) /(m∙K)] Wasserdampf 0,0248 Stickstoff 0,0260 Luft (21% Sauerstoff, 78% Stickstoff) 0,0262 Sauerstoff 0,0263 Methan 0,0341 Helium 0,1567 Wasserstoff 0,186 Tab. 2: Wärmeleitfähigkeit einiger Gase. A5 Hält man über einen Bunsenbrenner ein Drahtnetz,, bildet sich oberhalb des Netzes keine Flamme aus (Abb. 4 links). Zündet man das Gas aber oberhalb des Drahtnetzes an, so bildet sich im unteren Teil keike ne Flamme aus (Abb. 4 rechts). Warum ist das so? Abb. 4: schematische Darstellung zu A5 (Grafik: Martin Apolin). A6 In Bergwerken treten aus dem Gestein gelegentgelegen lich brennbare Gase aus, etwa Methan. Gelangt das brennbare Gas zum offenen Feuer einer GrubenlamGrubenla pe, kommt es zu einer verheerenden Explosion. Deshalb verwendet man Sicherheits-Grubenlampen, Grubenlampen, bei denen sich rund um die Flamme ein Drahtnetz befinbefi det (Abb. 5). Wie funktioniert das? A7 Vielleicht ist es dir schon einmal passiert, dass du Wasser auf einer heißen Platte des Elektroherdes verve schüttet hast. Die Wassertropfen verdampfen nicht sofort, sondern gleiten wie winzige Luftkissenboote L über die heiße Platte. Man spricht vom Leidenfrost‘schen Phänomen. Wie kommt es zu Stande? Eine Hilfe könnten die Angaben zur Wärmeleitfähigkeit von Wasser und Wasserdampf in Tab. 1 und 2 sein. A8 a In einer Wohnung gibt es 5 Fenster mit einer GröGr ße von 1 mal 2 m. Es handelt sich dabei um alte EinzelEinze glasfenster mit einem k-Wert Wert (U-Wert) von 5,9 W/(m2K). Die Fenster werden durch neue Fenster mit WärmeWärm schutzverglasung umgetauscht (k-Wert = 1,3 W/(m2K). Wie viel Energie kann man damit über den Winter sparen? Die Durchschnittstemperatur liegt in den Monaten Dezember bis Februar bei etwa +2 °C, die Zimmertemperatur soll 20 °C betragen. Es gilt 1 W = 1 J/1 s. b Wie viel Joule entspricht eine Kilowattstunde (kWh)? Darunter versteht man die Energie, die ein ei Gerät mit der Leistung von einem Kilowatt (= 1000 W) in einer Stunde umsetzt. Wie hoch ist die bei a berechnete Energie in Kilowattstunden? Wie viel Geld kann man über die Wintermonate sparen? Nimm dazu an, dass eine Kilowattstunde 18 Cent kostet. A9 Wie ie kann man die Gleichung für den Wärmestrom ∆ λ ∆ herleiten? ist dabei als Definition zu sehen. In einer homogenen Wand erzeugt der WärmeWärm strom ein konstantes Temperaturgefälle (Abb. 6). Überlege, in welchem Zusammenhang Dicke, Fläche, TempeTemp raturgefälle und Wärmeleitfähigkeit stehen. Abb. 5: Eine Sicherheits-Grubenlampe Grubenlampe mit einem Drahtnetz um die Flamme, konstrukonstr iert vom englischen engl Chemiker HUMPHRY DAVY zu Beginn des 19. Jh. (Quelle: Wikipedia). Abb. 6: In einer homogenen Wand ensteht ein konstantes TemTe peraturgefälle (Grafik: Janosch Slama). © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 2 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung Wärmeübertr Konvektion A10 Geschäumtes Polystyrol, unter dem MarkennaMarkenn men Styropor bekannt, ist ein extrem guter Isolator (Tab. 1). Nicht geschäumtes Polystyrol, das zum BeiBe spiel für Joghurtbecher hurtbecher verwendet wird, hat eine Wärmeleitfähigkeit von 0,08 Wm-1K-1. Warum isoliert geschäumtes Polystyrol so viel besser? Begründe mit Hilfe von Abb. 7 und überprüfe mit Hilfe von Tab. 1. A13 Rauch steigt normaler Weise einfach auf. Warum? In Abb. 8 siehst du, wie der Rauch plötzlich in einer gewissen Höhe aufhört aufzusteigen. Wie könnte dieses eher seltene Phänomen zu Stande kommen? A14 Manche Gewitterwolken (Cumulonimbus-Wolken) ( zeigen eine beeindruckende Ambossform (Abb. ( 9). Wie kommt diese zu Stande? Verwende für deine Erklärung Abb. 10. Abb. 7: 7 Ein Stück Styropor unter dem MikMi roskop (Foto: ( Jan Homann, Quelle: Wikipedia) A11 Warum arum steigt warme Luft auf? Welche der folfo genden Antworten ist richtig? Versuch zu begründen! a Die einzelnen heißen Luftmoleküle bewegen sich schneller als die kalten und können daher höher hinhi auf gelangen. Abb. 9: Eine ambossförmige Gewitterwolke (Quelle: U.S. National Oceanic and Atmospheric Administration). Administration b Für die einzelnen heißen Moleküle ist es schwieriger, in die dichte Luft unter ihnen einzudringen als in die dünne Luft über ihnen. c Einzelne heiße Moleküle streben nicht nach oben, sondern nur große Gruppen heißer Moleküle auf Grund ihrer geringeren Dichte. A12 Warum wird es eigentlich mit zunehmender HöH he kälter, wenn doch warme Luft aufsteigt? Ist das nicht ein Widerspruch? Abb. 8 zu A13: Rauchaufstieg im schottischen Lochcarron (Foto: JohanTheGhost; Quelle Wikipedia) Abb. 10: Schematische Darstellung der DruckDruck und Temperaturverhältnisse in der Atmosphäre (Grafik: SiriusB; Quelle: Wikipedia). © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 3 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung Wärmestrahlung A15 a Die Hautoberfläche eines Menschen ist zahlenmäßig gleich ööß∙ . Diese Formel geht auf den US-amerikanischen Mediziner ROBERT MOSTELLER zurück. Berechne die Körperoberfläche eines Menschen mit 70 kg und einer Größe von 175 cm. Was „stimmt“ an dieser Formel eigentlich nicht und was könnte der Grund dafür sein? b Schätze den Grundumsatz eines Menschen mit 70 kg in kJ pro Tag und in Watt ab. Dieser wird üblicherweise bei 28 °C gemessen. Nimm an, dass die Abgabe der Wärme dabei so erfolgt wie in Abb. 11. Verwende das StefanBoltzmann-Gesetz, nimm für die Hauttemperatur im Schnitt 32 °C an und verwende dein Ergebnis aus a. Abb. 12: Verteilung der Wellenlängen bei Wärmestrahlern (Grafik: Janosch Slama; siehe auch Abb. 19.11, S. 85, BB6). Wärmehaushalt bei Lebewesen Abb. 11 (Grafik: Janosch Slama; siehe auch Abb. 19.16, Kap. 19.4, BB6). A16 Mit einer Lupe kannst du das Licht der Sonne so bündeln, dass du Streichhölzer und Papier entzünden kannst. Wie heiß kann der Punkt werden? Heißer als die Sonne? Kannst du das begründen? A17 Schätze die Wärme dämmende Wirkung einer Alufolie ab. Nimm an, eine große Pizza kommt mit 80 °C (353 K) aus dem Holzofen und hat einen Durchmesser von 37 cm. Wie viel Watt Strahlungsleistung werden zurückgehalten, wenn du diese Pizza in eine Alufolie wickelst? A20 a HAILE GEBRSELASSIE (Abb. 13) war bis 2011 Weltrekordhalter im Marathonlauf (42,2 km). Seine Bestzeit lag bei 2 Stunden, 3 Minuten und 59 Sekunden. Er hatte zu Wettkampfzeiten eine Masse von nur 53 kg. Nimm als Faustregel, dass man pro Kilometer und pro Kilogramm 4,2 kJ umsetzt. Wie groß war seine durchschnittliche Leistung? Abb. 13: Der Äthiopier Haile Gebrselassie (Foto: Martin Apolin) b Beim Marathon verliert man im Extremfall 2 l Schweiß pro Stunde. Wie groß ist die Kühlleistung, die dadurch entsteht, bei einem Weltklasseläufer (Abb. 14)? A18 Die Sonne hat eine Oberflächentemperatur von etwa 6000 K. Woher weiß man das? Sieh dir dazu Abb. 12 an. A19 Umgangssprachlich wird Infrarot immer mit Wärmestrahlung gleichgesetzt. Warum ist das nicht korrekt? Sieh dir dazu Abb. 12 an. Abb. 14: Benötigte Wärme, um 1 kg Eis von 0 °C vollständig zu verdampfen (Grafik: Janosch Slama; siehe auch Abb. 20.18, S. 93, BB6). © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 4 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung c Warum ist der bei b berechnete Wert ein Maximalwert? Wie groß muss die gesamte Kühlleistung des Körpers während des Laufes sein? Welchen Prozentsatz der Kühlleistung liefert der Schweiß in unserer Abschätzung? Welche anderen Mechanismen sind noch bei der Kühlung beteiligt? A21 Marathonläufer werden im Ziel oft in eine Aludecke eingepackt. Schätze die wärmedämmende Wirkung ab. Nimm an, dass der Marathonläufer eine Hautoberfläche von 1,8 m2 hat, dass seine Hauttemperatur auf Grund der Belastung 35 °C beträgt und die Lufttemperatur 15 °C. Nimm vereinfacht an, dass der Mensch ein schwarzer Strahler ist. A22 a In Abb. 15 siehst du links einen Würfel mit der Seitenlänge 1. Seine Oberfläche ist daher 6 m2 und sein Volumen 1 m3. Diese Werte sind in der Tabelle eingetragen, wobei die Oberfläche auch relativ angegeben ist (wir definieren diese für unseren Ausgangswürfel mit 1), um sie mit den anderen Oberflächen besser vergleichen zu können. Was passiert nun, wenn die Seitenlänge verdoppelt, verdreifacht,... bzw. halbiert, gedrittelt,... wird? Wie verändern sich dadurch Oberflächen und Volumina? Trage diese in Tab. 3 ein. b Beschreibe in Worten, wie sich Volumen und Oberfläche bei einer Vergrößerung und Verkleinerung verhalten. Gilt dieser Zusammenhang nur für einen Würfel, oder ist das generell so? Versuche zu begründen. c Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der x-Achse den Skalenfaktor von 0,1 bis 10 einträgst, um den du ein Objekt schrumpfst oder vergrößerst. Trage auf der yAchse die relative Veränderung von Länge, Oberfläche und Volumen ein. Wähle eine doppelt logarithmische Darstellung, weil dann die Zusammenhänge am besten zu sehen sind. Diese Grafik soll die Zusammenhänge in Tab. 3 optisch unterstreichen. d Wovon hängt die Wärmeproduktion eines Lebewesens ab? Von Größe, Oberfläche oder Volumen? Wovon hängt der Wärmeverlust eines Lebewesens ab? Von Größe, Oberfläche oder Volumen? Was passiert mit der relativen Heizleistung (also der Heizleistung im Verhältnis zur Oberfläche), wenn ein Lebewesen vergrößert oder verkleinert wird? e Die Bergmann‘sche Regel beschreibt die Beobachtung, dass innerhalb eines Verwandtschaftsgrades von Tieren die Angehörigen in den kalten Gebieten größer sind als in den warmen. So ist zum Beispiel der Galapagos-Pinguin, der um den Äquator zu Hause ist, nur 50 cm groß, der Kaiserpinguin (Abb. 16), der zwischen dem 65. und 77. Breitenkreis heimisch ist, 1,2 m groß. Wie kann man diese Regel physikalisch begründen? Verwende dafür deine Antwort auf A22 d. Abb.15: Wie verändern sich Volumen und Oberfläche eines Würfels, wenn sich die Seitenlänge verändert? Seitenlänge [m] Oberfläche [m2] rel. Oberfläche Volumen [m3] 6 1 1 1/4 1/3 Abb. 16: Kaiserpinguine sind etwa 1,2 m groß. Ihre kleinen Verwandten am Äquator nur 0,5 m (Foto: Ian Duffy; Quelle: Wikipedia). 1/2 1 2 3 4 Tab. 3 zu A22 a © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 5 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung Wärmeübertr Hilfe zu A1: Wasser leitet 25-mal mal so gut wie Luft. Außerdem hat es eine viel größere Dichte und WärWä mekapazität. e Hilfe zu A2 a: Nimm vereinfacht an, dass der Wal einen zylindrischen Körperbau aufweist. Den DurchmesDurchme ser kannst du aus Abb. 1 mit etwa 5 m abschätzen. Der Umfang des Wals liegt dann bei U = d ∙π ≈ 16 m. Der Zylindermantel hat dann eine Fläche von 16 m∙30 m = 480 m2. Weil der Wal ja an den Enden eher spitz zuläuft, rechnen wir die beiden Endflächen nicht mit. In Tab. 1 findest du die Wärmeleitfähigkeit von Fett mit 0,16 W/(m∙K). Nun kannst du alle Werte in die Formel für den Wärmestrom einsetzen: ∆ λ ∆ 0,16 ∙ "# , ∙ 32 & 8200( (. Hilfe zu A2 b: Es gilt: 1 Watt = 1 Joule pro Sekunde. Der Tagesumsatz eines Menschen beträgt etwa 10.000 kJ. Seine durchschnittliche Leistung beträgt daher 107 J/86400 s = 116 W. Der Energieumsatz des Wals,, um seinen Wärmehaushalt aufrecht zu erhalten, liegt also etwa um den Faktor 70 höher. Hilfe zu A2 c: Der Tagesumsatz des Wals beträgt 8,2∙103 W∙86400 s = 7∙108 J = 7.105 kJ. 1 kg Krill haben einen Brennwert von 300 kJ, also von 3∙102 kJ. Das Wal muss daher nach unserer Abschätzung jeden Tag beachtliche 7.105 kJ/3∙103 kJ∙kg-1 ≈ 2300 kg = 2,3 t Krill verdrücken. Angeblich fressen Blauwale tatsächlich sogar bis zu 4 t Krill pro Tag. Hilfe zu A3: Wenn du die bekannten Werte einsetzt, ∆ ) 2 erhältst du λ ∆ 2 ∙ ) ∙ 3 & 0,06W/m 0 . (= gleiche kinetische Energie) diese Moleküle die größte grö Geschwindigkeit. Warum? Es gilt 6 folgt - ./012 7 8 . . Daraus und -~1/√5. 5 Daher bewegen sich die Wasserstoffmoleküle am schnellsten. chnellsten. Weil sie nicht nur leicht, sondern auch klein sind, stoßen sie nicht sehr oft zusammen. Beide Effekte machen aus, dass der WasserWasse stoff die Wärme so gut leitet. Hilfe zu A5: Weil das Drahtnetz die Wärme sehr gut leitet, erreicht das Gas auf der jeweils anderen Seite nicht die nötige Temperatur, um sich zu entzünden. Hilfe zu A6: Es beruht auf demselben Effekt, der in A5 beschrieben ist. Weil das Drahtnetz die Wärme sehr gut leitet, kann sich das Gas außerhalb nicht entzünden, weil die nötige Temperatur nicht erreicht wird. wird Gelangt Methan durch das Netz zur Flamme der Grubenlampe, Grubenlam kommt es zu einer "Mini-Explosion" Explosion" in der Lampe - die Flamme zuckt leicht. Das war früher ein Zeichen dafür, dass man den Stollen sofort verlassen muss. Hilfe zu A7: Der Wassertropfen würde im Prinzip sehr schnell verdampfen, weil Wasser ein passable Wärmeleitfähigkeit besitzt. Sobald sich aber unter dem Tropfen eine Wasserdampfschichte befindet, sinkt die WärmeWärm leitfähigkeit schlagartig stark ab (vergleiche dazu λ von Wasser und Wasserdampf). Der Dampf ist dabei unter dem Wassertropfen gefangen und der Tropfen gleitet wie ein Luftkissenfahrzeug über die Platte (Abb. 17). Der Tropfen überlebt durch die zusätzliche Isolation wesentlich länger, als man eigentlich denken würde. würde Das ist viel zu wenig, um es zu merken. Selbst wenn du eine Fläche von 100 m2 hättest, wären das nur 6 W. Das reicht gerade für das Betreiben einer EnerEne giesparlampe. Hilfe zu A4: Wie wird Temperatur in einem Gas von einem heißen auf einen kühleren Bereich übertragen? Die „heißen“ Moleküle müssen in den kühleren BeB reich gelangen, elangen, dort mit den anderen Molekülen zuz sammenstoßen und einen Teil ihrer kinetischen EnerEne gie übertagen. Nun ist die Temperatur ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Teilchen (siehe Kap. 18.2, BB6). Wasserstoff hat die kleinste MoleMol külmasse. Daher her haben bei gleicher Temperatur Abb. 17: Der Wassertropfen schwebt berührungslos auf einem Dampffilm über der Herdplatte (Grafik: Dbc334; Quelle: Wikipedia). Hilfe zu A8 a: Die Fenster haben in Summe eine Fläche von 10 m2. Bei den alten Fenstern werden daher im Schnitt 5,9 W/(m2K)∙10 m2∙18 K = 1062 W durch die Fenster transportiert. Bei den neuen Fenstern sind es aber nur 234 W. Die Differenz beträgt also 828 W. Drei Monate haben in Summe rund 3∙30∙86400 s = © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 6 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung 7,8∙106 s. Daher geht die Wärme von 828 W∙7,8∙106 s = 6,4∙109 J verloren. Hilfe zu A8 b: Eine Kilowattstunde entspricht 1000 W∙60 s∙60 min = 3,6∙106 J. Durch den Austausch der Fenster kann man daher allein über die Wintermonate 1777 kWh sparen, das entspricht immerhin etwa 320 €. Hilfe zu A9: Gehen wir zunächst von der Definition ∆ aus. Dann kann man folgender Maßen argu mentieren: Wenn das Material homogen ist, dann erzeugt der Wärmestrom ein konstantes Temperaturgefälle ∆T/∆x. Der Wärmefluss ist proportional zum Temperaturgefälle. Das ist vergleichbar damit, dass der Wasserfluss proportional zum Gefälle eines Flussbettes ist. Wenn man für ∆T = T2 – T1 annimmt und für ∆x die Dicke d der Wand, erhält man ~∆T/d. Weiters hängt der Wärmefluss linear von der Fläche A ab, also ~A, denn die doppelte Fläche ergibt klarer Weise den doppelten Wärmefluss. Und letztlich ist der Wärmestrom proportional zur Wärmeleitfähigkeit des Materials, also ~λ. Das macht also in Summe = λ ∆. Hilfe zu A10: Im Wesentlichen isolieren im Styropor die eingeschlossenen Luftbläschen. Diese sind so klein, dass die Konvektion verhindert wird. Daher liegt die Wärmeleitfähigkeit von Styropor in der Größenordnung von Luft (siehe Tab. 1). Sie ist ein bisschen höher, weil das Polystyrol selbst eine Wärmeleitfähigkeit hat, die etwa um den Faktor 3 größer ist als die von ruhender Luft. Hilfe zu A11: Die richtige Antwort ist c. Heiße Luft steigt auf, weil sie eine geringere Dichte hat. Mit Hilfe einzelner Moleküle kann man das nicht erklären. Ihre mittlere freie Weglänge, bis sie mit einem anderen Molekül zusammenstoßen, beträgt in Luft bei Zimmertemperatur bloß 68 nm. Ein einzelnes Molekül kann also nicht einfach so nach oben oder unten gelangen, weil es pausenlos mit anderen Molekülen zusammenstößt und dabei die Richtung ändert. Hilfe zu A12: Wenn eine Luftmasse aufsteigt und dabei der Druck der Umgebung abnimmt, dehnt sich die Luft aus. Dabei kühlt die Luft ab. Das nennt man einen adiabatischen Vorgang (siehe Kap. 21.4, BB6). Warme Luft steigt also auf, wird dabei aber wiederum selbst kälter. Solange sie jedoch wärmer als die Umgebung ist, steigt sie weiter. Hilfe zu A13: Rauch steigt auf, weil er warm ist und seine Dichte somit geringer ist als die der Umgebungsluft. Normalerweise steigt er einfach weiter und weiter. Hin und wieder tritt aber ein Phänomen auf, das man Temperaturinversion nennt. Dabei befindet sich eine Schichte wärmerer Luft über der kalten Luft. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie das zu Stande kommt. Der springende Punkt ist aber der: Kommt der Rauch zu einer Schichte, die plötzlich wärmer ist als er selbst, hört er auf weiterzusteigen und sammelt sich unter dieser Schichte an, wie man in Abb. 8 sehr schön sehen kann. Dann kann man mit freiem Auge sehen, wo die Temperaturinversion beginnt. Hilfe zu A14: Bei der Bildung einer Gewitterwolke ist auch immer Konvektion beteiligt, die die Wolke nach oben wachsen lässt. Sehr große Gewitterwolken können bis rund 10 km Höhe reichen. Dann ist allerdings Endstation, weil dort die Temperatur der Atmosphäre nicht mehr absinkt (Abb. 10) und das Aufsteigen der Luft ja auf einem Temperaturunterschied basiert. Den unteren Bereich der Atmosphäre nennt man Troposphäre, darüber beginnt die Stratosphäre. Eine Wolke, die das Ende der Troposphäre erreicht hat, kann nur mehr in die Breite fließen, und dadurch entsteht die typische Ambossform. Es ist ein ähnlicher Effekt wie in Abb. 8. Hilfe zu A15 a: Die Hautoberfläche beträgt 1,84 m2. Bei der Formel stimmen die Einheiten nicht, denn die Wurzel aus cm∙kg sind natürlich nicht m2. Das liegt daran, dass diese Formel statistisch gewonnen wurde. Hilfe zu A15 b: Wenn man vereinfacht annimmt, dass der Mensch ein schwarzer Strahler ist, kann man die abgestrahlte Wärmemenge mit dem Gesetz von JOSEPH STEFAN und LUDWIG BOLTZMANN berechnen: = σ∙A∙T4. σ (Sigma) ist die Stefan-BoltzmannKonstante mit dem Wert 5,7∙10–8 Wm-2K-4. Bei einer Außentemperatur von 28 °C und einer durchschnittlichen Hauttemperatur von 32 °C beträgt die Wärmeabgabe = aus – ein = σ∙A∙THaut4 - σ∙A∙TLuft4 = = σ∙A∙(THaut4 - TLuft4) = σ∙A∙(3054 - 3014) = 46,7 W. Weil die Strahlung nur 46 % ausmacht, liegt der abgeschätzte Grundumsatz bei 46,7∙100/46 W ≈ 101 W. Weil der © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 7 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung Tag 86.400 s hat, entspricht das einem Umsatz von 101 J/s∙86400 s = 8768 kJ pro Tag. Hilfe zu A16: Der 2. Hauptsatz der Wärmelehre (siehe Kap. 18.5, BB6) besagt, dass Wärme von selbst nur von Orten mit höherer Temperatur auf solche mit niedrigerer Temperatur überfließt. Das gilt auch für die Temperaturstrahlung. Deshalb kann der Brennpunkt niemals eine höhere Temperatur bekommen als die Sonnenoberfläche. Hilfe zu A17: Ein Kreis mit 37 cm Durchmesser (r = 0,185 m) hat eine Fläche von A = r2π = 0,11 m2. Das macht, beide Seiten gerechnet, eine Fläche von 0,22 m2. Nehmen wir vereinfacht an, die Pizza ist ein schwarzer Strahler. Nach dem Stefan-BoltzmannGesetz strahlt die Pizza 195 W ab, bekommt aber vom Zimmer nur rund 92 W zurück. Bleibt netto eine Wärmestrahlung von 103 W über. Eine Alufolie blockiert beide Wärmestrahlungen und wirkt also etwa so, als würdest du die Pizza in die Mikrowelle legen und auf 100 W aufdrehen! Hilfe zu A18: Das Spektrum eines idealen schwarzen Strahlers ist vom Material völlig unabhängig (siehe auch Kap. 35.1, BB7). Je heißer das Objekt, desto kurzwelliger das Strahlungsmaximum. Sterne sind keine perfekten schwarzen Strahler, wie man am realen Strahlungsverlauf der Sonne in Abb. 18 sieht. Weil dieser aber mit einem schwarzen Körper von 6000 K gut übereinstimmt, ordnet man der Sonnenoberfläche diesen Wert zu. Abb. 18: Strahlung von idealen schwarzen Strahlern und die reale Strahlung der Sonne. Die Maxima (strichlierte Linie) verschieben sich mit zunehmender Temperatur nach links (Grafik: Janosch Slama; siehe auch Abb. 35.6, S. 89, BB7). Hilfe zu A19: Bei Zimmertemperatur liegt das Maximum der Wärmestrahlung weit im infraroten Bereich (Abb. 12). Deshalb sagt man zu infrarotem Licht oft Wärmestrahlung. Diese Verallgemeinerung gilt aber nur bei niedrigen Temperaturen. Bei heißen Objekten, etwa Sternen, Glühbirnen oder Kochplatten, liegt das Maximum im sichtbaren Bereich. Hilfe zu A20 a: Sein Energieumsatz beim Marathon liegt bei 4,2∙53∙42,2 J = 9394 kJ = 9,4∙106 J. Die Laufzeit 7439 s. Seine durchschnittliche Leistung betrug daher P = W/t = 1264 W. Es handelt sich dabei um eine Bruttoleistung. Die mechanische Leistung liegt bei einem Viertel bis einem Fünftel, weil der Wirkungsgrad der „Maschine Mensch“ etwa 20 bis 25 % beträgt. Hilfe zu A20 b: Um 1 kg Wasser (≈ 1 Liter) vollständig zu verdampfen, benötigt man 2256 kJ ≈ 2,3∙106 J. Bei 2 l Schweißverlust pro Stunde und rund 2 Stunden Laufzeit verliert der Marathonläufer in Summe 4 l Schweiß. Bei 7439 s Laufzeit beträgt die Kühlleistung des Schweißes 4∙2,3∙106 J/7439 s = 1237 W. Hilfe zu A20 c: Nicht der ganze Schweiß verdampft, manche Schweißperle tropft zu Boden und auch das Trikot ist im Ziel nass. Deshalb ist die berechnete Kühlleistung ein Maximalwert. Damit sich die Körpertemperatur nicht erhöht, muss die Kühlleistung so groß wie die Leistung des Athleten sein, weil ja die gesamte Energie letztlich in Wärme umgesetzt wird. Sie muss daher 1264 W betragen (siehe A20 a). Der Schweiß liefert im Idealfall fast 100 % der benötigten Kühlleistung. In der Realität wird es durch die Verluste durch nicht verdampften Schweiß deutlich weniger sein. Das macht aber nichts, weil die Wärmeabgabe zusätzlich auch noch durch Konvektion, Wärmestrahlung und Wärmeleitung erfolgt. Bei hohen Außentemperaturen sind die letzten drei Effekte aber geringer, und dann kann es mit der Kühlung durchaus eng werden. Deshalb schätzen Marathonläufer Temperaturen um 15 °C. Hilfe zu A21: Wenn man vereinfacht annimmt, dass der Mensch ein schwarzer Strahler ist, kann man die abgestrahlte Wärmemenge mit dem Gesetz von JOSEPH STEFAN und LUDWIG BOLTZMANN berechnen (siehe Hilfe zu 15 b). © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 8 Vertiefung und Kompetenzüberprüfung – 19 Formen der Wärmeübertragung Bei einer Außentemperatur von 15 °C und einer durchschnittlichen Hauttemperatur von 35 °C beträgt die Wärmeabgabe = aus – ein = σ∙A∙(THaut4 - TLuft4) = σ∙A∙(3084 - 2884) = 217 W. Ohne Decke strahlt der Körper mit 217 W. Die Aludecke verhindert die Wärmestrahlung in beide Richtungen. Es wirkt daher so, als würde der Körper mit 217 W geheizt. Hilfe zu A22 a: In Tab. 4 siehst du, wie sich Oberfläche und Volumen bei Vergrößerung und Verkleinerung verhalten. Hilfe zu A22 c: 1000,00 relative Veränderung 100,00 10,00 Skalierungsfaktor 1,00 0,1 1 10 0,10 Länge Seitenlänge [m] Oberfläche [m2] rel. Oberfläche Volumen [m3] 0,01 1/4 6/16 = 0,375 1/16 1/64 0,00 1/3 6/9 = 0,67 1/9 1/27 1/2 6/4 = 1,5 1/4 1/8 1 6 1 1 2 24 4 8 3 54 9 27 4 96 16 64 Tab. 4 Hilfe zu A22 b: Die Oberfläche bzw. das Volumen wachsen und schrumpfen wesentlich rascher als die Seitenlänge. Das ist zunächst verblüffend, aber eigentlich ganz klar. Oberflächen habe immer die Größe L2. Deshalb führt die Veränderung der Länge zu einer quadratischen Veränderung der Fläche. Volumina haben immer die Größe L3. Deshalb führt die Veränderung der Länge zu einer kubischen Veränderung des Volumens. Oder kurz und mathematisch gesagt: O ~ L2, V ~ L3. Dieser Zusammenhang gilt nicht nur für Würfel, sondern für jedes beliebige Objekt. Warum? Weil in jeder noch so komplizierten Oberflächenformel das Quadrat einer Länge vorkommt. Wird diese Länge verdoppelt, vervierfacht sich die Oberfläche. Und mit dem Volumen passiert dasselbe in der dritten Potenz. Oberfläche Volumen Hilfe zu A22 d: Die Wärmeproduktion ist eine Folge des Volumens und somit ~ L3. Der Wärmeverlust hängt von der Oberfläche ab und ist ~ L2. Die relative Wärmeproduktion, bezogen auf die Oberfläche, ist daher ~ L3/L2 ~ L. Kleinere Lebewesen haben somit eine kleinere relative Wärmeproduktion als größere mit gleicher Form. Hilfe zu A22 e: Die relative Wärmeproduktion bezogen auf die Oberfläche ist ~ L. Kleinere Lebewesen haben daher eine kleinere relative Wärmeproduktion als größere mit gleicher Form. Umgekehrt gesagt: Größere Lebewesen haben eine größere relative Wärmeproduktion als kleinere mit gleicher Form. Größer zu sein bringt also in kalten Gegenden einen Vorteil, kleiner zu sein in warmen. © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2010. | www.oebv.at | Big Bang 6 | ISBN: 978-3-209-04868-4 Alle Rechte vorbehalten. Von dieser Druckvorlage ist die Vervielfältigung für den eigenen Unterrichtsgebrauch gestattet. Die Kopiergebühren sind abgegolten. Für Veränderungen durch Dritte übernimmt der Verlag keine Verantwortung. 9
