Ist der Zufall kalkulierbar? - FH

Prof. Dr. J. Willms
Fachhochschule Südwestfalen
Labor für Angewandte Informatik
Meschede
Auf der Suche nach Pokerstrategien:
Ist der Zufall kalkulierbar?
52 Pokerkarten
4 Farben
Rangfolge der Pokerkarten
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2
Ziel:
gutes Blatt bestehend aus fünf
Karten zusammenzustellen
Bestes Blatt gewinnt!
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3
Die Spieler setzen in verschiedenen
Wettrunden ohne die Karten der
anderen Spieler zu kennen auf ihr
eigenes Blatt
Pokerblätter
Vierer
Full House
Drilling
Doppelpaar
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4
Paar
Pokerblätter
Straight Flush
Flush
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5
Straight (Straße)
Rangfolge
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6
Straight Flush
B♠
10♠
9♠
8♠
7♠
Vierer
7♣
7♠
7♥
7♦
D♥
Full House
D♣
D♥
D♦
6♠
6♠
Flush
D♦
10♦
9♦
7♦
5♦
Straight (Straße)
D♥
B♣
10♦
9♣
8♠
Drilling
7♥
7♠
7♦
B♠
9♠
Doppelpaar
7♥
7♠
8♥
8♦
B♠
Paar
7♥
7♠
5♥
9♠
B♠
Spielzüge
Drei mögliche Spielzüge:
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7
erhöhen
raise
falls in der Wettrunde noch niemand gesetzt hat
setzen
bet
mitgehen
call
falls in der Wettrunde noch niemand gesetzt hat
schieben
check
aufgeben (oder auch passen)
fold
Spielvariante Texas Hold‘em
Jeder Spieler erhält zwei (verdeckte) Karten
Es gibt 4 Wettrunden
Nach der ersten Wettrunde werden
3 Gemeinschaftskarten offen aufgedeckt
(Flop)
Nach der zweiten Wettrunde wird
1 weitere Gemeinschaftskarte offen aufgedeckt
(Turn)
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8
Nach der dritten Wettrunde wird
1 weitere Gemeinschaftskarte offen aufgedeckt
(River)
Texas Hold‘em
Big Blind
Spieler C
2
Spieler B
1
Spieler D
Small Blind
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9
Spieler A
Dealer
Spielverlauf Flop
Spielverlauf:
2/4-Limit
Big Blind
Spieler C
2
2
2
Spieler B
2
1
Small Blind
4
Spieler A
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Dealer
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10
Spieler D
Spielverlauf Turn
Spielverlauf:
2/4-Limit
Big Blind
Spieler C
2
2
2
Spieler B
2
1
2
Small Blind
4
2
Spieler A
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Dealer
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11
Spieler D
Spielverlauf River
Spielverlauf:
2/4-Limit
Big Blind
Spieler C
2
2
2
Spieler B
2
1
2
Small Blind
4
4
2
Spieler A
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Dealer
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12
4
Spieler D
Spielende:
Showdown
Big Blind
Spieler C
2
2
2
2
1
Spieler B
2
Small Blind
4
4
2
Spieler A
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13
1
Dealer
2
2
2
2
4
2
Spieler D
2
4
4
4
4
4
4
4
Spieler A hat
gewonnen!
Spieler A bekommt den Pott:
33 Spieleinheiten
Einsatz: 14 Spieleinheiten
Richtige Entscheidung?
Zufall spielt eine große Rolle
Poker ist ein Spiel mit unvollständigen
Informationen
Der Spieler, der an der Reihe ist, ist
gezwungen, Informationen über sich
preiszugeben
Folgerung: der Dealer hat die beste Position
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14
Gibt es Strategien?
Kann Mathematik helfen?
Wahrscheinlichkeitstheorie liefert
mathematische Modelle für das Studium eines
vom Zufall beeinflussten Geschehens
Wie kann man den Begriff der
Wahrscheinlichkeit genauer fassen?
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15
In der Mathematik benutzt man die axiomatische
Definition der Wahrscheinlichkeit nach Kolmogorow
(1933)
Axiomatische Definition
(Kolmogorow)
Eine Abbildung
P: Potenzmenge von Ω → [0 , 1]
heißt Wahrscheinlichkeitsmaß auf der endlichen
Menge Ω , falls:
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16
(K1)
P(Ω) = 1
(K2)
0 ≤ P(A) ≤ 1 für alle A ‫ ك‬Ω
(K3)
P(A‫ ׫‬B) = P(A) + P(B),
falls A, B ‫ ك‬Ω und A ∩ B = Ø
Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A
ist eine Zahl zwischen 0 und 1:
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A)
die Wahrscheinlichkeit , dass A eintrifft
1- P(A)
die Wahrscheinlichkeit , dass A nicht eintrifft
P(A) = 1 = 100 %
das Ereignis A trifft ein
P(A) = 0 = 0 %
das Ereignis A trifft nicht ein
P(A) = 0,5 = 50%
es ist gleich wahrscheinlich, dass
das Ereignis eintrifft bzw. nicht eintrifft
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17
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
dass bei 23 zufällig von mir
ausgewählten Personen zwei von Ihnen
am gleichen Tag Geburtstag haben
(ohne Beachtung des Jahrganges)?
Sie ist größer als 50%!
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18
Wie berechnet man dies?
Drei modifizierte Würfel
(jede der sechs Seiten besitzt
weiterhin gleiche Wahrscheinlichkeit)
Würfel A ist 3, 3, 3, 3, 3, 6 beschriftet
Würfel B ist 2, 2, 2, 5, 5, 5 beschriftet
Würfel C ist 1, 4, 4, 4, 4, 4 beschriftet
Ziel:
einen möglichst hohen Wert zu „erwürfeln“
Es gilt:
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19
Verblüffend?
P( A besiegt B ) > 50 %
P( B besiegt C ) > 50 %
aber auch: P( C besiegt A ) > 50 %
Einschränkung auf
folgendes Modell
X ist eine unbekannte zufällige Größe
(Zufallsvariable)
X kann nur die Werte
w1, w2, w3, … ¸wN
annehmen
{X = wj} nennen wir ein Elementarereignis
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20
Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich,
dann:
1
P(X = w1) = P(X = w2) = P(X = wN) =
N
Beispiel
A♣
A♠
A♥
A♦
K♣
K♠
K♥
K♦
D♣
D♠
D♥
D♦
B♣
B♠
B♥
B♦
10♣ 10♠ 10♥ 10♦
9♣
9♠
9♥
9♦
8♣
8♠
8♥
8♦
7♣
7♠
7♥
7♦
6♣
6♠
6♥
6♦
5♣
5♠
5♥
5♦
4♣
4♠
4♥
4♦
3♣
3♠
3♥
3♦
2♣
2♠
2♥
2♦
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21
52 verdeckte Karten werden gut gemischt.
X ist die oberste (immer noch verdeckte) Karte
X ist eine unbekannte zufällige Größe
(Zufallsvariable)
X kann 52 Werte annehmen und
zwar alle mit gleicher
Wahrscheinlichkeit
Jedes Elementarereignis
wie z.B. { X = 9♣ }
1
hat die Wahrscheinlichkeit =
52
Beispiel
A♣
A♠
A♥
A♦
K♣
K♠
K♥
K♦
D♣
D♠
D♥
D♦
B♣
B♠
B♥
B♦
10♣ 10♠ 10♥ 10♦
9♣
9♠
9♥
9♦
8♣
8♠
8♥
8♦
7♣
7♠
7♥
7♦
6♣
6♠
6♥
6♦
5♣
5♠
5♥
5♦
4♣
4♠
4♥
4♦
3♣
3♠
3♥
3♦
2♣
2♠
2♥
2♦
Ereignis A:
oberste Karte ist schwarz
A= { X ist schwarz }
Gesucht:
P(A) also P( X ist schwarz )
Allgemein gilt für ein Ereignis A:
P(A) =
Anzahl der Werte in A
Anzahl aller möglichen Werte
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26 1
=
P(A) =
52 2
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22
→
→
Wiederholungen
52 verdeckte Karten werden gut gemischt.
X ist die oberste (immer noch verdeckte) Karte
Ereignis A:
P(A) = 0,25 = 25 %
oberste Karte ist eine Kreuz-Karte
A= { X ist Kreuz }
Angenommen, wir wiederholen den „Versuch“ n-Mal:
Sn:= Anzahl der „erfolgreichen“ Versuche (absolute Anzahl)
(erfolgreich: oberste Karte ist Kreuz)
Rn:= relative Häufigkeit der „erfolgreichen“ Versuche
Also:
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23
n: Anzahl der Versuche
Wie groß ist Sn und Rn für z. B. n=4000?
A= { X ist Kreuz }
P(A) = 0,25
n: Anzahl der Versuche
Sn: Anzahl der „erfolgreichen“ Versuche
Rn: relative Häufigkeit der „erfolgreichen“ Versuche
Gesetz der großen Zahl:
Vermutung:
S4000 ist ungefähr 1000
S400 ist ungefähr 100
S40 ist ungefähr 10
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24
A= { X ist Kreuz }
P(A) = 0,25
n: Anzahl der Versuche
Sn: Anzahl der „erfolgreichen“ Versuche
Rn: relative Häufigkeit der „erfolgreichen“ Versuche
= 1,46 %
P(S4000 = 1000) = 0,0146
?
P( S4000 < 950 ) = ?0,032 = 3,2 %
ƒ
P(900 ≤ S4000 ≤ 1100) = 99,976 %
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ƒ
P(930 ≤ S4000 ≤ 1070) = 98,996 %
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ƒ
P(950 ≤ S4000 ≤ 1050) = 93,484 %
25
Verteilung von S4
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26
n=4
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
P(S4 = 0) = 0,316
P(S4 = 1) = 0,422
P(S4 = 2) = 0,211
P(S4 = 3) = 0,047
P(S4 = 4) = 0,004
Erwartungswert von S4
E(S4 ) = 0 · P(S4 = 0) + 1 · P(S4 = 1) + 2 · P(S4 = 2)
+ 3 · P(S4 = 3) + 4 · P(S4 = 4)
= 1
Verteilung von S40
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27
n = 40
Verteilung von S400
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28
n = 400
Verteilung von S4000
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29
n = 4000
Zentraler Grenzwertsatz:
Glockenkurve
Gaußsche-Normalverteilung
n = 4000
Breite (Streuung) der
Kurve ist gegeben durch:
Zentraler Grenzwertsatz:
Glockenkurve
Gaußsche-Normalverteilung
95% aller Werte liegen in
der „doppelten Streuung“
vom Mittelwert:
95% aller Werte liegen somit
zwischen 945 und 1055
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30
3,5 % aller Werte sind kleiner gleich 950
18,6 % aller Werte sind kleiner gleich 975
← Breite →
Fluktuation
25% Chance zu gewinnen
Einsatz: 1 €
Brutto-Gewinn: 4 €
Dann ist dies ein faires Spiel:
Im Schnitt gewinnt man: 0,25 · 4€ = 1 €
Dies ist gerade der Einsatz!
Wenn Sie 4000-Mal spielen:
wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
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Ihr Verlust 200 € oder größer ist?
Ihr Verlust 100 € oder größer ist ?
Fluktuation
25% Chance zu gewinnen
Einsatz: 1 €
Brutto-Gewinn: 4 €
Dann ist dies ein faires Spiel:
Im Schnitt gewinnt man: 0,25 · 4€ = 1 €
Dies ist gerade der Einsatz!
Wenn Sie 4000-Mal spielen:
mit einer Wahrscheinlichkeit von
95% liegen Verlust bzw. Gewinn in dem
Bereich zwischen -220 € und +220 €
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32
3,5 % ist Ihr Verlust größer gleich 200 €
18,6 % ist Ihr Verlust größer gleich 100 €
Exkurs: Kombinatorik
4 Fußballmannschaften: A, B, C, D
Turnier: jeder gegen jeden
Wie viele Spiele?
AB AC AD BC BD CD
52 Fußballmannschaften
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33
Wie viele Spiele?
Exkurs: Kombinatorik
49 Lottozahlen
6 werden gezogen
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
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34
A♣
A♠
A♥
A♦
K♣
K♠
K♥
K♦
D♣
D♠
D♥
D♦
B♣
B♠
B♥
B♦
10♣ 10♠ 10♥ 10♦
9♣
9♠
9♥
9♦
8♣
8♠
8♥
8♦
7♣
7♠
7♥
7♦
6♣
6♠
6♥
6♦
5♣
5♠
5♥
5♦
4♣
4♠
4♥
4♦
3♣
3♠
3♥
3♦
2♣
2♠
2♥
2♦
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35
52 Pokerkarten
5 Karten bilden eine Hand
Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Beispiel: Poker - Starthand
(Texas Hold‘em)
X bezeichne die Starthand eines Spielers (bestehend aus zwei Karten)
P( X ist ein Ass-Paar) = ???
Wie viele unterschiedliche Starthände gibt es?
X kann also 1326 unterschiedliche Werte annehmen.
Wie viele unterschiedliche Ass-Paare gibt es?
A♣A♠ A♣A♥ A♣A♦ A♠A♥
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36
P( X ist ein Ass-Paar)
A♠A♦
A♥A♦
Für Pokerexperten:
X bezeichne die Starthand eines Spielers
(bestehend aus zwei Karten)
P( X ist German Virgin) = ???
German Virgin ist ein
Neuner-Paar
Nine Nine
klingt wie
„Nein, Nein“
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37
P(X ist German Virgin)
= P(X ist Neuner-Paar)
= P( X ist ein Ass-Paar) ≈ 0,45 %
Beispiel: Poker-Starthand
(Texas Hold‘em)
X bezeichne die Starthand eines Spielers
P( X ist ein Paar) = ???
Wir wissen:
P( X ist ein Ass-Paar) =
ebenso:
P( X ist ein König-Paar) =
P( X ist ein König-Paar oder Ass-Paar ) =
P( X ist ein Ass-Paar) + P( X ist ein König-Paar) =
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38
P( X ist ein Paar ) =
Alternative Herleitung
A♣
A♠
A♥
A♦
K♣
K♠
K♥
K♦
D♣
D♠
D♥
D♦
B♣
B♠
B♥
B♦
10♣ 10♠ 10♥ 10♦
9♣
9♠
9♥
9♦
8♣
8♠
8♥
8♦
7♣
7♠
7♥
7♦
6♣
6♠
6♥
6♦
5♣
5♠
5♥
5♦
4♣
4♠
4♥
4♦
3♣
3♠
3♥
3♦
2♣
2♠
2♥
2♦
X bezeichne die Starthand eines Spielers
(bestehend aus zwei Karten)
P( X ist ein Paar) = ???
Nachdem der Spieler eine Karte bekommen,
ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite
Karte die gleichen Wertigkeit hat
(also dass X ein Paar ist):
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39
P( X ist ein Ass-Paar) =
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P( X ist ein Ass-Paar) : erneute Herleitung
Ereignis A: erste Karte ist ein Ass
Ereignis B: zweite Karte ist ein Ass
A∩B
A und gleichzeitig B („Durchschnitt“)
= erste und zweite Karte bilden Ass-Paar
Leicht bestimmen lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(B | A),
dass die zweite Karte ein Ass ist,
wenn bekannt ist, dass die erste Karte bereits ein Ass ist!
Allgemein gilt für die bedingte Wahrscheinlichkeit:
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40
Einsatz: 6 €
Ziel:
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41
Genau eine drei Karten ist ein Ass
Ass finden
X
?
Einsatz: 6 €
Ziel:
Genau eine drei Karten ist ein Ass
Ass finden
Sie wählen eine Karte aus
Der Moderator deckt daraufhin eine andere Karte auf, welche er
so wählt, dass sie nicht die Ass-Karte ist.
(Wenn der Moderator eine Wahl hat, wählt er eine der
beiden Karten mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus)
Sie haben nun die Möglichkeit, sich umzuentscheiden!
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42
Haben Sie die richtige Entscheidung getroffen, so erhalten Sie
11 € (Ihren Einsatz und zusätzlich 5 €)
X
?
Einsatz: 6 €
Gewinn: 11 €
P( X ist ein Ass) =
p: = Gewinnwahrscheinlichkeit
Erwartete Gewinn pro Spiel =
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43
X
?
Ausgangspunkt:
Sie haben Karte 1 ausgewählt
Ereignis Ai:
i-te Karte ist das Ass
Ereignis B:
Moderator deckt die 2. Karte auf, nachdem Sie
die erste Karte gewählt haben
Gesucht sind
Es gilt:
P(A1 | B) und
P(A3 | B)
P(A1 | B) + P(A3 | B) = 1,
da P(A2 | B) = 0
Formal können wir den Satz von Bayes anwenden:
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44
P(A3 | B) =
wobei:
X
?
Ausgangspunkt:
Sie haben Karte 1 ausgewählt
Wahrscheinlichkeit,
dass die ursprüngliche Wahl richtig ist: 33,33 %
Strategie: stur bleiben
Sie gewinnen genau dann, wenn Ihre ursprüngliche Wahl
richtig war!
Wahrscheinlickeit:
Erwarteter Gewinn:
-2,33 €
Strategie: sich umentscheiden
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Sie gewinnen genau dann, wenn Ihre ursprüngliche Wahl
nicht richtig war!
Wahrscheinlickeit:
Erwarteter Gewinn:
+ 1,33 €
A♣
A♠
A♥
A♦
K♣
K♠
K♥
K♦
D♣
D♠
D♥
D♦
B♣
B♠
B♥
B♦
10♣ 10♠ 10♥ 10♦
9♣
9♠
9♥
9♦
8♣
8♠
8♥
8♦
7♣
7♠
7♥
7♦
6♣
6♠
6♥
6♦
5♣
5♠
5♥
5♦
4♣
4♠
4♥
4♦
3♣
3♠
3♥
3♦
2♣
2♠
2♥
2♦
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit ein
Vierer (four of a kind) zu erhalten
(5-Card-Poker) ?
Allgemein gilt für ein Ereignis A:
P(A) =
Anzahl der Werte in A
Anzahl aller möglichen Werte
Anzahl der Vierer: 13 · 48 = 624
5-Card-Poker
Anzahl
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47
Hand
Anzahl
Wahr‐
scheinlichkeit
27456
40
0,002%
Straight Flush
41.584
0,031%
1410
1760
624
0,024%
Vierling
224.848
0,168%
261
293
3.744
0,144%
Full House
3.473.184
2,596%
17
215
5.108
0,197%
Flush
4.047.644
3,025%
14
108
10.200
0,392%
Straight 6.180.020
4,619%
9
20
54.912
2,113%
Drilling
6.461.620
4,830%
9
9
123.552
4,754%
Doppelpaar
31.433.400
23,496%
2
1
1.098.240
42,257%
Paar
58.627.800
43,823%
1
1
1.302.540
50,118%
Nichts
23.294.460
17,412%
3
Summe
133.784.560
2.598.960
Prof. Dr. J. Willms
Wahr‐
scheinlichkeit
7-Card-Poker
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
Spielverlauf 4. Wettrunde
Spielverlauf:
30/60-Limit
Big Blind
Spieler C
300
Spieler B
Spieler D
Small Blind
Spieler A
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Meschede
48
60
Dealer
Spieler D braucht eine weitere Herz-Karte.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (odds),
dass er sie mit der fünften Karte (River)
erhält?
Dem Spieler bekannte Karten:
unbekannte Karten:
outs (hilfreiche Karten):
6
52 – 6 = 46
13 – 4 = 9
oder allgemeiner:
da:
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49
Zweier-Regel
odds ≈ 18 %
Zweier-Regel (vor dem River)
outs (hilfreiche Karten
für ein „straight“ )
8
(fünf, zehn)
Zweier-Regel: odds ≈ 2 ·Anzahl der outs %
odds ≈ 16 %
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Meschede
50
(genauer Wert 17,39 %)
Vierer-Regel vor dem Turn
Spieler D braucht
eine Herz-Karte.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (odds),
dass Spieler D sie mit der vierten Karte (Turn)
oder der fünften Karte (River) erhält?
outs :
13 – 4 = 9
G4 : 4. Gemeinschaftskarte (Turn)
G5 : 5. Gemeinschaftskarte (River)
odds = P( {G4 ist ♥} oder {G5 ist ♥ } )
= P( {G4 ist ♥} )
+ P( {G4 ist nicht ♥} · P( {G5 ist ♥ | G4 ist nicht ♥} )
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51
Vierer-Regel: odds ≈ 4 ·Anzahl der outs %
Im obigen Beispiel: odds ≈ 36 %
Vierer-Regel (vor dem Turn)
outs (hilfreiche Karten
für ein „straight“ )
8
(fünf, zehn)
Vierer-Regel: odds ≈ 4 ·Anzahl der outs %
odds ≈ 32 %
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52
(genauer Wert 31,45 %)
Spielverlauf 3. Wettrunde
Spielverlauf:
30/60-Limit
Big Blind
Spieler C
300
Spieler B
Spieler D
Small Blind
Spieler A
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53
60
Dealer
Analyse aus Sicht von D
Im Pott:
Aktueller Einsatz:
360 = 300 + 60
+ 60
Spieler C hat bis jetzt aggressiv gespielt
Ziel von Spieler D ist ein Flush
outs = 9 somit odds ≈ 18 %
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Vermutung:
Spieler D gewinnt genau dann, wenn die
fünfte Gemeinschaftskarte ein Herz ist
Pott-Odds
Im Pott:
Aktueller Einsatz:
360 = 300 + 60
+ 60
Mitgehen lohnt sich, falls:
erwartete Gewinn − Einsatz ≥ 0
also:
odds · (neue Pot-Größe) − Einsatz ≥ 0
d.h:
odds
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≥
Einsatz
neue Pot-Größe
Somit:
odds ≥ pot-odds
pot-odds
Pott-Odds
Im Pott:
Aktueller Einsatz:
360 = 300 + 60
odds ≥ pot-odds
Mitgehen ist eine gute Option!
Im Schnitt gewinnt D:
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+60
Pott-Odds
Im Pott:
360 = 300 + 60
+ 2 · 60
Erhöhen?
Neue Pott:
360 + 120 + 60 = 540
odds ≥ pot-odds
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Keine gute Idee:
im Schnitt verliert D:
Zum Vergleich: Mitgehen
Poker is like sex –
everyone thinks they’re the best at it, but
only a few actually know what they’re doing
Layne Flack
Poker und
Mathematik
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Math is like love –
a simple idea but it can get
complicated
R. Drabek
Es gibt einen einfachen Weg ein
Poker-Turnier mit einem
kleinem Vermögen zu beenden –
starten Sie einfach mit einem großem!
Jack Yelton
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!
In the long run there‘s no luck
in poker, but the short run is
longer than most people know
Rick Bennet
Langfristig gesehen gibt es
kein Glück im Poker, aber
kurzfristig kann länger dauern
als man glaubt
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