N - TU Freiberg

Quantenmechanik I
Jens Kortus
[email protected]
TU Bergakademie Freiberg
Literatur:
●
Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag
●
Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Quantenmechanik Teil 1 und 2
●
Feynman, Vorlesungen über Physik
●
Greiner, Theoretische Physik, Quantenmechanik (Band 4)
●
....
Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei.
Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständig
zu überprüfen.
Hinweise und Anregungen bitte an:
[email protected]
Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die
Bilder von http://de.wikipedia.org/ oder wurden selbst erstellt.
2
Motivation
Notwendigkeit der Quantentheorie:
●
Stabilität der Atome (positive und negative Ladungen)
●
Aufbau der Elemente ( -> Periodensystem)
●
chemische Bindung, Moleküle
●
Festkörper
●
Spektroskopie (Farben -> Emission + Absorption, Laser)
Anwendungen
●
Messtechnik (NMR, ESR, Squids)
●
Medizin (Kernspintomographie, Laser-Skalpell)
●
Genetik (Faltungen von Proteinen, Erkennung von Basen)
●
Chemie (theoretisches Verständnis von Bindungen und Reaktionen)
Zukunftsträume (aber schon theoretisch möglich)
●
atomares Konstruieren (STM -> Atome bewegen)
●
Vorhersage der Eigenschaften von Materialien
●
Moleküldesign am Computer (Pharmazie, Farbstoffe)
3
IBM Almaden STM Image Gallery
Xenon auf Nickel (110)
Iron on Copper (111)
Carbon Monoxide on Platinum (111)
Kanji characters for
atom
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/atomo.html
4
1. Grundlegende Experimente
1.1 Das Plancksche Strahlungsgesetz (Hohlraumstrahlung)
Wärmestrahlung (z.B. Eisen mit wachsender Temperatur strahlt)
IR (Wärme) -> Rot -> Gelb -Weiß
Messungen der Strahlung zeigen, dass die Strahlung unabhängig vom Material ist.
Ofen
T
Strahlung eines 'Schwarzen Körpers'
(Schwarz, da das Loch im Ofen bei T=0 nicht strahlt.)
Welche Frequenzen treten mit welcher Intensität auf?
Rayleigh-Jeans Gesetz
●
klassische Elektrodynamik (Dipolstrahlung) und Statistik (Gleichverteilungssatz)
Im thermischen Gleichgewicht entfallen auf jeden Freiheitsgrad
der Bewegung die Energie kT/2.
●
Berechnung der Energie des elektromagnetischen Feldes in einem Hohlraum
➔
Zerlegung der Strahlung in stehende Wellen
➔
jede Welle hat Energie kT (kT/2 elektrisch, kT/2 magnetisch) , k=Boltzmann Konstante
5
➔
abzählen der Anzahl der ebenen Wellen [v + dv]
y
Würfel mit Kantenlänge a
●
stehende elektrischen Wellen haben Knoten an den Wänden
●
stehende magnetische Wellen haben Bäuche an den Wänden
λ/2
α
x cos=n1 /2
y cos =n 2  / 2
z cos =n 3 /2
x
Stehende Wellen bilden sich, wenn die
Kantenlänge a ein ganzzahliges Vielfaches
von x, y, z ist.
n1= 2a cos  n2 = 2a cos  n3 = 2a cos 
wegen cos2 cos2 cos2 =1
n21 n22 n23=2 a 2=2a c 2  =c
= 2ac  n21 n22 n23 
Alle Frequenzen zwischen 0 und v liegen innerhalb einer Kugel mit Radius 2av/c.
Da es nur positive n gibt, erhalten wir (für a>>λ), das die Anzahl der Frequenzen 1/8
eines Kugelvolumen entspricht.
3
1 4  2a 
N =


8 3
c
2
3 
d N =4  a 3 d 
c
6
2
spektrale Energiedichte  d =2kT d N ~T  d 
Rayleigh-Jeans Gesetz ω ~ T ν2
2T
T
Radio
IR
Licht
UV
Röntgen
nur korrekt für kleine Frequenzen oder große Wellenlängen (ν=c/λ)
-> UV Katastrophe: Intensität bei kleinen λ -> ∞
Klassische Physik liefert ein falsches Ergebnis!
Wiensches Strahlungsgesetz
3
−
~ e

T
=h/ k 
nur korrekt für große Frequenzen oder kleine Wellenlängen
●
korrekt wäre ein Mix aus beiden Gesetzen
●
7
Plancksches Strahlungsgesetz (1900)
~
3
Max Karl Ernst Ludwig Planck
* 23. April 1858 in Kiel
† 4. Oktober 1947 in Göttingen
Nobelpreis 1918
h
kT
e −1
h / kT
3
−h
kT
 große
≫1:~ e
 klein e x =1x...:~2 kT
Interpolation zwischen diesen beiden Gesetzen
Interpretation: Atome verhalten sich wie harmonische Oszillatoren, die nur diskrete
Energien annehmen können.
E=hv (n+ ½) = ћω (n+½)
Die Oszillatoren können nur Energien aufnehmen oder abgeben, die einem ganzzahligen
Vielfachen eines elementaren Energiequantums sind.
h=Plancksches Wirkungsquant = 6.626 10-34 Js
ћ=h/2π
8
Sichtbares Licht hat Wellenlängen zwischen 400-700nm.
Dies entspricht einer Energie von hv=2 ... 4 eV ~ 3 104 K.
Die Oberflächentemperatur der Sonne beträgt 5800K.
http://www.webgeo.de/beispiele/rahmen.php?string=1;k_304;1
9
1.2 Stabilität von Atomen
Ernest Rutherford
1st Baron Rutherford of Nelson
August 30, 1871 – October 19, 1937
Nobelpreis Chemie 1908
Streuung von α-Teilchen (He2+) an Atomen in einer Goldfolie
+
Einige der α-Teilchen wurden rückwärts
gestreut. Daraus kann man schließen,
dass schwere positiv geladene Zentren
in der Goldfolie existieren.
Nach klassischen Vorstellung umkreisen die Elektronen auf Planetenbahnen den Kern.
Bewegung auf Kreisbahnen ist eine beschleunigte Bewegung. Nach der klassischen
Elektrodynamik: jede beschleunigte Ladung strahlt. Energieverlust würde zu einem
Zerfall der Kerne nach ca. 10-8 – 10-10 s führen.
10
1.3 Photoelektrischer Effekt
Metallplatte im Vakuum mit UV-Licht bestrahlt
1) Es existiert für jedes Metall eine
Mindestfrequenz, unterhalb derer keine Elektronen
beobachtet werden.
2) keine zeitliche Verzögerung (<10-9s)
3) kinetische Energie der Elektronen für v>vmin
proportional zur Frequenz v des Lichtes.
4) Zahl der Elektronen proportional zur Intensität
Erklärung durch Einstein 1905
Albert Einstein
* 14.3. 1879 Ulm
† 18. 4. 1955 Princeton
Nobelpreis Physik 1921
Licht = Teilchen der Energie E=hv (Photonen)
●
Jedes Photon schlägt ein Elektron aus dem Metal.
● hv
entspricht der Bindungsenergie des Elektrons im Metall
min
(Austrittsarbeit).
●
Zahl der Elektronen ist proportional zur Anzahl der Photonen
(Intensität).
● Kinetische Energie ist proportional h(v-v
)
min
11
Christiaan Huygens
1.4 Welle-Teilchen Dualismus
a) Wellencharakter von Licht
Interferenz und Beugung von Licht (Huygens 1678)
Beugung am Einfachspalt
* 14. April 1629 in Den Haag
† 8. Juli 1695
Beugung und Interferenz am Doppelspalt
Lichtwellen sind elektromagnetische Felder, Felder lassen sich addieren (überlagern).
Er = E1 E2
Die Intensität entspricht der Energiestromdichte ~ |E|2. Intensitäten lassen sich
nicht überlagern. (Bild ist nicht Summe der Einzelbilder.)
I = Er⋅Er =∣Er∣2 =∣E1 E2∣2 ≠∣E1∣2∣E2∣2
b) Teilchencharakter von Licht
-> siehe photoelektrischer Effekt
12
Materiewellen: de Broglie 1924 (Dissertation)
Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie
* 15. August 1892 in Dieppe, Normandie
† 19. März 1987 in Louveciennes
Nobelpreis Physik 1929
Anwendung des Welle-Teilchen-Dualismus, der zu dieser Zeit nur für Photonen
bekannt war, auf jegliche feste Materie.
Allen Teilchen, Atomen, Molekülen, Materie können Welleneigenschaften zugeordnet
werden.
Die Wellenlänge (de-Broglie-Wellenlänge) beweglicher Teilchen mit Impuls p ist
gegeben durch
h
=
p
z.B. Elektronen mit 10 keV kinetischer Energie haben λ=0.12Å (harte Röntgenstrahlung).
Wellen: Amplitude und Phase, Ausbreitungsrichtung, Schwingungsrichtung (Polarisation),
Wellenlänge leicht messbar
Materiewellen: Ausbreitungsrichtung in Bewegungsrichtung, de-Broglie Wellenlänge
Phasengeschwindigkeit nicht messbar
Unteilbarkeit von Teilchen: es werden immer ganze Elektronen beobachtet, im Gegensatz
zu Licht (reflektierter und gebrochener Strahl).
Anwendungen: Elektronenmikroskop, Strukturuntersuchungen durch Neutronenbeugung
Quantenoptik, Quantenkommunikation, Quantencomputer, Quantenteleportation ... 13
Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen
nur 1 offen
nur 2 offen
beide offen
Doppelspaltexperiment mit Wellen
Wie sieht das Bild für Elektronen aus?
Bilder von David M. Harrison, Dept. of Physics, Univ. of Toronto
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/DoubleSlit.html
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/Flash/Histogram.html
14
Wellencharakter von Teilchen (Elektronen)
1927 Elektronenbeugung an einem Ni-Kristall (Davisson & Germer)
1961 Doppelspaltexperiments mit Elektronen
Claus Jönsson, Tübingen, Zeitschrift für Physik 161, 454 (1961)
Elektronen zeigen Teilchen- oder Welleneigenschaften genau wie Licht.
Das von Jönsson durchgeführte Experiment wurde im September 2002 in einer Umfrage der englischen physikalischen Gesellschaft
15
in der Zeitschrift "Physics World" zum schönsten physikalischen Experiment aller Zeiten gewählt.
http://physicsweb.org/articles/world/15/9/2
Welle-Teilchen Dualismus von C60
16
"Wave-particle duality of C60" Markus Arndt et al., Nature 401, 680-682, 14.October 1999