Frequenzzähler als Uhr

Didaktik der Physik
Demonstrationsexperimente
Handout zum Thema:
Digitalzähler – Frequenzzähler als Uhr
von Florian Gärtner
1. Frequenz- und Zeitmessung
Da die Frequenznormale leicht kontrolliert und überwacht werden können, ist die Frequenz
eine Größe, die sich sehr genau messen lässt. Zum Eichen von Frequenzmessgeräten kann so
der Normalfrequenz- und Zeitzeichensender DCF 77 in Mainflingen (BRD) dienen, der eine
frequenzstabile Trägerschwingung von 77,5 kHz aussendet. Diese Trägerschwingung ist mit
Zeitzeichen amplitudenmoduliert, so dass davon auch der Sekundentakt mit höchster
Präzision abgeleitet werden kann.
Diese genaue Messbarkeit hat dazu geführt, dass viele Größen, wie z.B. Spannung,
Stromstärke, Widerstand, Kapazität, nicht mehr direkt gemessen werden, sondern durch
Umformer in entsprechende Wechselspannungen übergeführt werden, deren Frequenz zur
ursprünglichen Größe proportional ist. Es gibt noch weitere günstige Eigenschaften von
Frequenzsignalen:
Günstige Eigenschaften von Frequenzsignalen:
1. Gute Übertragungsmöglichkeit auf langen Leitungen, da kaum Störbeeinflussung auftritt.
2. Problemlose Verstärkung, da keine galvanische Kopplung erforderlich ist, OffsetEinflüsse keine Rolle spielen und die Linearität des Verstärkers von untergeordneter
Bedeutung ist.
3. Leicht zu digitalisieren und mit den Methoden der Digitaltechnik zu verarbeiten und
anzuzeigen.
Man muss zwischen Absolutmessungen und Vergleichsmessungen unterscheiden, da die
Frequenz im ersten Fall aus den Daten der Bauelemente der Schaltung ermittelt wird und im
zweiten Fall ein Vergleich mit einer bekannten, sehr stabilen Frequenz stattfindet. Nur durch
den Frequenzvergleich ist eine hohe Genauigkeit erreichbar.
Ein Beispiel für eine Absolutmessung ist die Frequenzmessung mit der Wien-RobinsonMessbrücke, deren Genauigkeit durch Widerstände und Kondensatoren bestimmt ist.
2. Frequenz- und Zeitintervallzähler
Wie gesagt benötigen Zählschaltungen zur Frequenz- und Zeitmessung einen sehr genauen
Referenzoszillator. Diese Schaltungseinheit wird als Zeitbasis bezeichnet. Da sie im
wesentlichen die Genauigkeit der Messung bestimmt, muss sie entsprechen präzise aufgebaut
sein. Sie legt eine genau definierte Zeitspanne T0 fest, während der ein Digitalzähler die
Perioden der unbekannten Frequenz fX zählt.
NX
fX = T
(1)
0
Damit lässt sich bei bekannter Zeit T0 aus dem Zählerstand NX die Frequenz fX ermitteln.
Wird als Einheit für die Zeit s, ms oder µs gewählt, dann gibt der Zähler die Frequenz in Hz,
kHz oder MHz an.
Der Frequenzzähler zählt die Anzahl NX der Perioden der unbekannten Frequenz während
einer durch die Zeitbasis festgelegten Zeitspanne T0.
Ein Zeitintervall ∆tX lässt sich messen, wenn der Zähler die Zahl NX der Perioden auszählt,
die während der Zeit ∆tX von der Zeitbasis abgegeben werden.
NX
∆tX = NX • T0 = F
(2)
0
Wählt man für als Einheit für T0 s, ms oder µs, dann gibt NX das Zeitintervall ∆tX
entsprechend in s, ms oder µs an.
Der Zeitintervallzähler zählt die Anzahl NX der Perioden der Zeitbasisfrequenz während der
unbekannten Zeitspanne ∆tX.
Das bedeutet, dass ein Frequenzzähler durch einfache Umschaltung auch als Zeitzähler zu
verwenden ist.
Universalzähler (wie z.B. der HM 8021-3 von HAMEG) lassen n der Regel folgende
Messungen zu:
1. Frequenzmessung
2. Frequenzverhältnismessung
3. Periodendauermessung
4. Zeitintervall- und Impulsbreitenmessung
3. Frequenzzähler
Abbildung 1:
Abbildung 1 zeigt das Blockschaltbild eines Frequenzzählers. Über einen Verstärker gelangt
das Frequenzsignal an einen Impulsumformer, der aus dem Eingangssignal eine
Rechteckspannung bildet. Die einstellbare Schaltschwelle des Impulsumformers ermöglicht
die Unterdrückung von Störspannungen. Über einen Torschaltung gelangen Impulse in den
BCD-Ergebniszähler. Die Öffnungszeit der Torschaltung wird durch die Zeitbasis festgelegt.
Vor dem Öffnen des Tors wird der Zähler jeweils zurückgesetzt. Beim Schließen wird der
Zählerstand in den Speicher übernommen und zur Anzeige gebracht. Damit wechselt die
Anzeige immer nur, wenn sich nach dem Zählzyklus ein veränderter Zählerstand ergibt. Die
Frequenzzählung wiederholt sich periodisch.
Messbreichswahl:
Nach Gleichung (1) lässt sich die Messbereichsanpassung durch entsprechende Wahl der
1
Zeitbasisfrequenz f0 = T0 vornehmen. Dies ist in Abbildung 1 mit dem Einstellelement
„Bereichswahl“ der Zeitbasis möglich. Hier sind drei Frequenzen vorgesehen, die sich durch
Frequenzteilung der quarzstabilen Generatorfrequenz ableiten lassen. In der Anzeigeeinheit
wird dann je nach Schalterstellung die Einheit MHz, kHz und Hz eingeblendet. Darüber
hinaus lässt sich mit Hilfe des Dekadenzählers der Zeitbasis die Torzeit in Zehnerschritten
verlängern. Dies wird in der Anzeige durch Umschaltung des Dezialpunkts automatisch
berücksichtigt.
Daraus ergibt sich die Betimmungsgleichung für die Messung:
NX
NX
fX =
= f0 • F
(3)
T0 • NV
0
Messfehler:
Der relative Fehler der Frequenzmessung ergibt sich nach Gleichung (3) aus zwei
Fehlerquellen: Ungenauigkeiten der Vergleichsfrequenz f0 und Ziffernfehler von NX. Die Zahl
NV fällt aus der Überlegung heraus, da sie vom Dekadenzähler fixiert ist. Nach den Regeln
∆fX
∆NX 
 ∆f0
der Fehlerfortpflanzung gilt: f = ±  f  +  N 

X
0
X 
Der absolute Quantisierungsfehler ∆NX kann maximal ± 1 Digit betragen: Wenn das Tor
unmittelbar nach dem Erscheinen des letzten gezählten Eingangsimpulses geschlossen wird,
dann ist NX um 1 zu groß. Wenn das Tor unmittelbar vor einem Eingangsimpuls geschlossen
wird, dann ist NX um 1 zu klein. Daraus resultiert die Fehlerformel für den relativen Fehler
der Frequenzzählung:
1
∆fX
 ∆f0
  + 
=
±
(4)
NX
fX
 f0
Der relative Fehler der Vergleichsmessung f0 kann sehr klein gehalten werden, wenn
∆f0
quarzstabile Generatoren verwendet werden. Fehlergrößen von  f < 10-6 sind ohne größere
0
1
Probleme erreichbar. Der relative Quantisierungsfehler N geht um so weniger in das
X
Messergebnis ein, je größer die angezeigte Zahl NX ist. Darauf ist bei der Wahl des
Messbereichs zu achten.
Der relative Fehler der Frequenzzählung ergibt sich aus dem relativen Fehler der
1
Zeitbasisfequenz und dem Quantisierungsfehler N der Anzeige. Die Messung hoher
X
Frequenzen (NX ist groß) führt zu kleinen Quantisierungsfehlern.
Frequenzverhältnismessung:
Diese Messung lässt sich nach wenigen Umschaltmaßnahmen mit dem Frequenzzähler aus
Abbildung 1 realisieren. Statt der Zeitbasisfrequenz f0 wird hierbei eine externe
Vergleichsfrequenz fV eingespeist. Die Messung erfolgt ansonsten wie die bereits
beschriebene Frequenzzählung. Entsprechend Gleichung (3) ergibt sich das
Frequenzverhältnis:
f X NX
=
f V NV
Da die Stellung des Dekadenvorwählers durch den Dezimalpunkt in der Anzeigeeinheit
markiert ist, kann das Frequenzverhältnis direkt als Zahl abgelesen werden.
4. Periodendauer- und Impulsbreitenmesung
Periodendauermessung:
Der Frequenzzähler aus Abbildung 1 erzeugt mit Hilfe der Zeitbasis eine definierte Torzeit,
während der die Perioden der unbekannten Wechselspannung das Tor passieren und den
Ergebniszähler ansteuern. Gemessen wird also die Anzahl der Perioden je Zeiteinheit, somit
die Frequenz. Um die Periodendauer einer Spannung oder ein beliebiges anderes Zeitintervall
zu erfassen, müssen in der Schaltung Abbildung 1 lediglich die Rollen der Zeitbasisspannung
und der zu untersuchenden Eingangsspannung vertauscht werden; d.h., die Torzeit wird von
der unbekannten Spannung UX mit der Periodendauer TX bestimmt, während der
Ergebniszähler die Perioden der Zeitbasisspannung registriert.
Um eine zuverlässige Messung der Periodendauer zu ermöglichen, wird nicht nur eine
Periode ausgewertet, sondern unter Verwendung des Dekadenvorwahlzählers (NV) 10, 100,
1000 Perioden.
Daraus ergibt sich die Torzeit:
t = NV • TX
In dieser Zeit werden vom Ergebniszähler NX Impulse der Zeitbasisspannung gezählt. Somit
entsteht die Beziehung:
NV • TX = NX • T0
NX
TX = N • T0
(5)
V
Bei der Periodendauerzählung wird die Torzeit von der Periodendauer des zu messenden
Eingangssignals bestimmt.
Die Periodendauer T0 der Zeitbasisspannung ist umschaltbar wie beim Frequenzzähler und
wird in der Anzeige eingeblendet, z.B. µs-, ms-, s-Messbereich. Die Stellung des
Dekadenvorwählers ist wieder mit dem Dezimalpunkt der Anzeige gekoppelt. Somit kann TX
direkt abgelesen werden.
Abbildung 2 zeigt ein vereinfachtes Blockschaltbild, wobei die Funktionsblöcke denen der
Schaltung aus Abbildung 1 entsprechen.
Abbildung 2:
Messfehler:
Prinzipiell errechnet sich der Messfehler nach Gleichung (5) aus dem relativen Fehler der
∆T0
1
Zeitbasis T und dem Quantisierungsfehler N (vgl. Gleichung (4)). Es kommt allerdings
X
0
noch ein Zeitfehler ∆tS hinzu, der sich aus der Ungenauigkeit der Schaltpunkte des SchmittTriggers bei der Signalaufbereitung ergibt. Würde man nur eine Periode des Eingangssignals
∆tS
auswerten, so ergäbe sich ein Schaltfehler T , der in der Größenordnung von etwa ±0,3%
X
liegt. Wird die bewertete Periodenzahl mit Hilfe des Dekadenzählers um den Faktor NV
∆tS
0,3%
erhöht, so verringert sich der Fehler auf
, somit auf den Wert von etwa ± N .
NV • TX
V
Die Messgenauigkeit ist bei der Periodenmessung um so größer, je mehr Perioden des
Eingangssignals ausgewertet werden.
Insgesamt ergibt sich ein relativer Fehler:
1
∆tS 
∆TX
 ∆T0
(6)
TX = ±  T0  + NX + NV • TX
Diese Überlegungen zeigen, dass die Messung der Periodendauer weniger genau ist als die
Frequenzmessung, da der Schaltfehler des Schmtt-Triggers in die Messung eingeht. Der
∆T0
Zeitbasisfehler ist sehr klein (z.B.  T <10-6), der Quantisierungsfehler wirkt sich um so
0
weniger aus, je größer NX der Anzeige ist.
Der relative Fehler der Periodendauermessung ergibt sich aus dem relativen Fehler der
Zeitbasisfrequenz, dem Quantisierungsfehler und dem Schaltfehler des Impulsformers.
Die Messung tiefer Frequenzen (lange Periodendauer) führt zu kleinen Quantisierungsfehlern.
Impulsbreitenmessung:
Die Torzeit, während der die Impulse der Zeitbasisspannung gezählt werden und so ein
Zeitmaß darstellen, wird durch die Vorder- und Rückflanke des Einganssignales markiert. Bei
definierter Periodendauer T0 der Zeitbasisspannung, ergibt sich aus dem Zählerstand NX des
Ergebniszählers die Impulsbreite:
∆tX = NX • T0
In gleicher Weise lassen sich beliebige Zeitintervalle messen. Hierbei öffnet ein Start-Impuls
das Tor, ein Stopimpuls schließt es wieder. Die dazwischenliegende Zeit wird als Impulszahl
NX angezeigt.
5. Versuchsbeispiele unter Verwendung eines Universalzählers
1. Radioaktive Strahlung:
Zählung von Zählrohrimpulsen entweder
- in am Gerät einstellbaren Messzeiten
- in beliebig wählbarer Messzeit mit manuellem Start/Stop
2. Bestimmung der Erregerfrequenzen für stehende Wellen auf einem Gummiseil (oder auf
einer Schraubenfeder
3. Bestimmung der oberen Hörgrenze: Kontinuierliche Erhöhung bzw. Verminderung der
Frequenz zwischen 10 kHz und 20 kHz am Funktionsgenerator; Messung der Frequenz,
bei der die Testperson den Ton gerade nicht mehr bzw. gerade wieder wahrnimmt
4. Tonfrequente elektromagnetische Schwingungen:
Abhängigkeit der Frequenz von der Kapazität und von der Windungszahl der Spule
5. Bestimmung der Eigenfrequenzen eines Gummiseils in Abhängigkeit von der Lnge und
von der spannenden Kraft.
Zählung der durch das schwingende Seil pro Sekunde verursachten
Lichtschrankenunterbrechungen.
6. Schwingungsdauer eines Fadenpendels: Messung wahlweise
- ohne Lichtschranke manuell unter Verwendung des Zählgerätes als Handstoppuhr
- elektronisch über eine Lichtschranke, die beim Nulldurchgang des Pendelfadens
unterbrochen wird
7. Zeitmessungen bei Fahrbahnversuchen mit zwei Lichtschranken
- Aufnahme eines Weg-Zeit-Diagramms durch Messung der Zeiten, die der Wagen für
verschiedene Wege benötigt:
Messung der Hellzeiten von 2 in Reihe geschalteten Lichtschranken; Start bei
Freigabe der ersten durch die Unterbrecherfahne des Wagens; Stopp bei Verdunkelung
der zweiten
- Messung der Verdunklungszeit der zweiten Lichtschranke durch die
Unterbrecherfahne des Wagens am Ende jeden Weges zur Bestimmung der
Endgeschwindigkeit
8. Fallzeit einer Kugel; g-Bestimmung
Stromkreis für Haltemagnet bei Stellung I des Umschalters geschlossen; Impulseingang
des Zählgerätes bei Schalterstellung II und beleuchteter Lichtschranke geschlossen;
Öffnen des Magnetstromkreises sowie Start der Zeitmessung beim Umschalten von
Stellung I nach II, Stopp bei Unterbrechung der Lichtschranke durch die fallende Kugel.