Physik II - FH Münster
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Physik II
Prof. Dr. Hans-Christoph Mertins
FH Münster, FB Physikalische Technik
Physik II
Bachelorstudiengang Physikalische Technik
Fachhochschule Münster
Prof. Dr. Hans-Christoph Mertins
Die Veranstaltung Physik II besteht aus dem Zusammenspiel der folgenden Komponenten:
Vorlesung: hier hören Sie die Grundlagen der Physik und lernen an Schauexperimenten die wichtigsten Effekte
kennen. Dieses Script stellt den Stoff der Vorlesung dar, wobei die Beispielaufgaben in der Vorlesung
vorgerechnet und von Ihnen nachgetragen werden müssen. Das Script ersetzt nicht den Besuch der Vorlesung,
sondern soll Ihnen die Mitschrift ersparen. Die Vorlesung orientiert sich an den Büchern „Physik“ von Haliday,
Resnick, Walker, VCH-Viley und „Prüfungstrainer Experimentalphysik“ von Mertins, Gilbert, Spektrum
Akademischer Verlag Elsevier. Jeder Abschnitt der Vorlesung wird durch das entsprechende Kapitel des Buches
„Prüfungstrainer Experimentalphysik“ noch einmal in Volltext zusammengefasst und anhand der Prüfungsfragen
können Sie Ihr aktuelles Wissen schon während des Semesters und nicht erst vor der Prüfung testen.
Übung & Hausaufgaben: in den Übungen, den Tutorien und den wöchentlichen Hausaufgaben lernen Sie die
Theorie in die Praxis umzusetzen und berechnen konkrete Anwendungen .
Praktikum: hier lernen Sie, wie das theoretische Wissen an Messgeräten und Maschinen im späteren Berufsalltag zum tragen kommt.
www.fh-muenster.de/physiklabor hier finden Sie alle wichtigen Informationen wie die Lösungen der Hausaufgaben, Praktikumsanleitungen, Formelsammlungen die Bilder in höherer Auflösung und andere Hinweise.
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Schwingungen & Wellen
1) Harmonische Schwingung
2) Pendel
3) Erzwungene Schwingung
Dämpfung, Resonanz
4) Wellen
5) Interferenz
6) Stehende Wellen
7) Schallwellen
8) Schwebung
9) Doppler-Effekt
Elektrostatik & Dynamik
1) Elektrische Ladung
2) Elektrische Felder
3) Gaußscher Satz
4) Elektrisches Potenzial
5) Kapazität
6) Strom & Widerstand
7) Magnetfelder
8) Magnetfelder von Strömen
9) Induktion
10) Magnetisierte Materie
11) Wechselstrom & Schwingkreis
Optik
1) Elektromagnetische Wellen
2) Polarisation
3) Brechung & Reflexion (geometrische Optik)
4) Optische Abbildung & Geräte
5) Interferenz (Wellenoptik)
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Schwingungen und Wellen
1. Schwingungen
Fast alles schwingt, d.h. der Zustand ändert sich periodisch mit der Zeit wie in Kreisbewegung. Bsp. Uhr, Kolben im Automotor, wippende Boote auf dem Wasser.
1.1 Harmonische Schwingung
die einfachste Schwingung ist die harmonische Schwingung
Exp. physikalisches Pendel, Federpendel, Torsionspendel, Wagen zwischen 2 Federn auf
Luftkissenbahn, Ball, Stimmgabel
Frequenz:
f = Anzahl der Schwingungen pro Sekunde
[f] = 1 Hertz = 1 Hz = 1 Schwingung / s = 1 s-1
Periode:
Schwingungsdauer für vollständigen Durchlauf
T=1/f
Bewegung:
[T] = s
x(t) = x0 cos(t + )
x(t):
Auslenkung, Ort
ändert sich mit Zeit t
t + :
Phase
x0
Amplitude, maximale Auslenkung
= 2f
Kreisfrequenz
:
Phasenkonstante / Verschiebung
konstant
Kreisfrequenz Frequenz f
Alter Ort muss nach voller Periode T wieder erreicht werden, also
x(t) = x(t + T)
x0 cost = x0 cos(t + T)
cos-Funktion wiederholt sich nach voller Umdrehung, wenn Argument um 2 zunimmt, d.h.
Periode T entspricht 2π der Kreisbewegung
Bsp.
=>
(t + T) = t + 2
=>
T = 2
= 22f
beachte: immer in rad, in 1 / s
Teilchen führt harmonische Schwingung aus und befindet sich zur Zeit t = 0 bei –x0.
Frage Wo befindet es sich zur Zeit t = 2T ? t = ½T, t = ¾T ?
Lsg
3
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Exp. 2 identische Feder-Masse Systeme schwingen phasenverschoben
Exp. 2 blinkende Lampen phasenverschoben bzw. unterschiedl. Frequenz
1.1.2 Geschwindigkeit
v(t) = dx(t)/dt
= d/dt[x0 cos(t + )]
= - x0 sin(t + )
v(t) = v0 sin(t + )] mit v0 = - x0
1.1.3 Beschleunigung
a(t) = dv(t)/dt
= d/dt[- x0 sin(t + )]
= - x0 2 cos(t + )
a(t) = a0 cos(t + ) mit a0 = - x0 2
Generell harmonische Schwingung: a(t) = - 2 x(t)
- Beschleunigung ist proportional zur Auslenkung
- Beschleunigung ist immer zur Ruhelage gerichtet
- Schwingungen treten immer auf, wenn Kraft in Gleichgewichtslage zurück treibt
1.2 Harmonischer Oszillator
Federkraft
F = -kx
Beschleunig.
F = ma
=>
F = -kx
m
ma + kx = 0
x (m)
aktueller Ort x(t) 0
DGL
d 2x k
x0
dt 2 m
Lösung:
x(t ) x0 cos( 0 t )
Lsg. in DGL x 0 02 cos( 0 )
=>
0 k m
(Differentialgleichung)
Lsg. ist Funktion, die jederzeit die DGL erfüllt
k
x 0 cos( 0 ) 0
m
Eigenfrequenz, charakterist. für System, unabh. von Amplitude
Harmonischer, linearer Oszillator, da F ~ x (nicht ~ x2, √x,..)
Generell: jedes oszillierende System hat etwas „Rücktreibendes“ (k) und etwas „Träges“ (m).
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Bsp.
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Ein Astronaut will im schwerelosen Weltraum seine Masse mA ermitteln.
Frage: Wie macht er das? Federwaage funktioniert nicht!
Lsg:
Frage: Maximalauslenkung sei 8 cm nach 0,2s. Gebe Schwingungsgleichung an.
Lsg:
Frage: zeichne x(t)
Lsg:
Frage Maximale Geschwindigkeit des Astronauten und wo tritt sie auf?
Lsg:
1.3 Energie der Schwingung
Die potenzielle Energie eines linearen Oszillators hängt allein vom Zustand der Feder ab
Epot = ½ kx2
= ½ k x02cos2(t +)
Beachte cos2A = (cosA)2 aber cosA2 = cos(A2)
Die kin. Energie hängt allein vom Zustand der Masse, also von der Geschwindigkeit ab
Ekin = ½ mv2
= ½ m x02 2 sin2(t +)
mit = (k/m)½
= ½ x02 k sin2(t +)
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Gesamtenergie
E = Ekin + Epot
= ½ k x02 [cos2(t +) + sin2(t +)]
mit cos2() + sin2() = 1
E = ½ k x02
beachte
Ort:
-x0 < x(t) < x0
Energie:
0 < E(t) < E0
(immer positiv)
Linearer Oszillator: - Rücktreibendes Element (Feder) speichert die potenzielle Energie,
- träges Element (Masse) speichert die kinetische Energie
1.4 Kreisbewegung und harmonische Schwingung
Exp. rotierende Scheibe mit Korken, Projektion des Korkens auf Wand
Schwingender Stift schreibt auf Overhead-Folie
=>
Eine harmonische Schwingung entsteht als Projektion einer gleichförmigen
Kreisbewegung auf eine Achse durch die Mitte des Kreises.
Punkt P bewegt sich gleichförmig mit ω auf Kreis:
Koordinatenwahl für P(t)
1) Radius x0 und Winkel t
2) P(t) = (x(t), y(t)) = (x0cos(t + ), x0sin(t + ))
Winkelposition zu t = 0 ist
=>
Projektion von P auf die x-Achse ergibt Punkt P`,
P(t)`= x0cos(t + ) beschreibt eine harmonische Schwingung
Für Kreisbewegung muss gelten:
x(t)2 + y(t)2 = x02 = konstant für alle Zeiten t
Bew. x02 [cos2(t + ) + sin2(t + )] = x02
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2.1 Einfaches Pendel
Exp. 2 Kugeln mit Masse m1 = m2 an verschiedenen Seilen L1, L2 => f verschieden
Exp. 2 Seile mit L1 = L2 aber m1, m2 verschieden
:
Auslenkung aus Ruhelage bei = 0
T =r F
Rücktreibendes Drehmoment
T = -LFgsin
L: Hebelarm, Fgsin: Kraftkomponente
L
Minus, da Drehmoment verkleinern will
= d 2 /dt2: Winkelbeschleunigung
T=I
I = mL2 Trägheitsmoment
=>
I = -L mg sin
d 2 g
0
dt 2 L
DGL
(t ) 0 cos( 0 )
Lsg. der DGL
Fg = mg
Eigenfrequenz bestimmen durch Einsetzen der Lösung in DGL
=>
0
g
,
L
T 2
L
g
Periode
Pendel ist für kleine Auslenkungen auch ein harmonischer Oszillator, da 02
Bsp.
ändere Abstand Masse – Drehachse => T wächst, Pendeluhren einstellen Bsp.
Messung von T => Bestimmung der Gravitationskonstante g
Folie CHAMP, Geoforschungszentrum Potsdam
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m
Fgsin
Näherung sin ~ wenn klein, in rad !
Bsp. = 5o = 0,0873 rad sin = 0,0872
=>
s = L
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-kx(t)
v(t)
3. Erzwungene Schwingung
m
3.1 Dämpfung
-bv(t)
Exp. gedämpfte Schwingung
x(t)
x (m)
0 Ort zur Zeit t
Schwingung : periodische Wandlung von kin. in pot. Energie
Dämpfung:
Reibung verbraucht Energie, die der Schwingung entzogen wird
Reibungskraft
Kräftegleichung
FR = -bv
(gilt nur für langsame Bewegung)
b , [b] = kg/s
Reibungskoeffizient
ma = -bv - kx
=>
m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx = 0
=> DGL
(d2x/dt2) + 2(dx/dt) + (k/m) x = 0
Lsg:
x(t) = x0 . exp{-t}. cos(´t + )
Beweis:
k
2 02 2
m
Neu:
Amplitude x0 exp{-t} fällt exponentiell mit Zeit t
(kleiner Effekt)
Abklingzeit: τ = 1/ => x(1/) = x0/e 0,37x0
Verhältnis:
Funktion des Ortes x(t) des Teilchens
Eigen-Frequenz bei Dämpfung
im Praktikum
Kreisfrequenz ´< 0
mit Dämpfung = b/2m
x(t)/x(t +T`) = exp{-T} = konstant
typischer Test ob exp-Funktion
Dämpfungsfälle
gegeben durch ` k m 2
1) Schwingfall: 2 k m => ` > 0
2) aperiodischer Grenzfall: 2 k m => = 0
3) Kriechfall: 2 k m => imaginär
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Energieverlust
Gesamtenergie nimmt mit der Zeit exponentiell ab
=>
E(t) = ½ k x(t)2 = ½ k x02 e-2t
nimmt schneller ab als Amplitude, da E ~ x2
P = dE/dt = -2 E(t)
Verlustleistung
Gütefaktor
Q: = (2 Energie) / (Energieverlust in einer Periode)
= 2 E / (dE/dt .T) = -E´/(dE/dt) = ´/2,
je größer Q, desto kleiner ist der Dämpfungsverlust eines Systems
3.2 Resonanz
Energieverlust der gedämpften Schwingung kann durch Energiezufuhr von außen kompensiert werden, wenn sie im richtigen Takt erfolgt, also bei erzwungener Schwingung.
Bsp. Schaukel muss im richtigen Takt angestoßen werden, es genügen kleine Amplituden
Exp. Praktikumsversuch
Neu: zwei schwingende Systeme a) Schaukel mit eigener Kreisfrequenz ´
b) äußere anregende Kraft Fa mit Kreisfrequenz a
=>
m(d2x/dt2) + b(dx/dt) + kx
Beschleunigung
=>
Reibungskraft
= Facos(a t)
Rückstellkraft
Kräftegleichung
Externe
Kraft
Bewegungsgleichung beschreibt die Schwingung
(d2x/dt2) + 2(dx/dt) + (k/m) x = Fa/m cos(a t)
Lsg:
(Differentialgleichung)
x(t) = x0 cos(at + )
Ort des Teilchens für t >> 1/
x0 = Fa/[m2(02 - a2)2 + b2 a2]½
Amplitude
0 = (k/m)½
Eigenfrequenz ohne Dämpfung
´= (02 - 2)½
Eigenfrequenz mit Dämpfung
= arctan{2a /(02 - a2)}
Phasenverschiebung System zu Anregung
Neu: System schwingt nicht mit Eigenfrequenz 0 sondern mit externer Frequenz a ,
System und externe Anregung schwingen phasenverschoben, abh. von (02 - a2)
Amplitude hängt stark von (02 - a2) ab, ist maximal bei 0 ≈ a (Resonanz)
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dx 0
0
d a
exakt res 02 2 2 = Position des Resonanzmaximums, folgt aus
gilt:
res 02 2 , d.h. kleiner als Eigenfrequenz für gedämpfte Schwingung
Grenzfälle
a) a << 0
System wird von Fa langsam bewegt, Rückstellkraft dominiert
keine Phasendifferenz zwischen Ort & Fa (im Takt)
keine Leistungsaufnahme des Systems
Kraft F(t),
Ort x(t)
2
Leistung
P(t) = F(t) * v(t)
Geschw. v(t)
1
b) a >> 0
Trägheit dominiert, Beschleunigung
0
-1
T/4
Ort und Kraft Fa um = - phasenverschoben
c) a = 0
Resonanz, Ort und Kraft Fa um = -/2 verschoben
0
Phasendifferenz
(rad)
Keine Leistungsaufnahme
3/2
(P)=0
2
t (rad)
0
-/2
-
0
a/0 1
2
Phasendifferenz
F zu x: = -/2
=> F zu v =
0
x(t) ~ cos(t -/2) = sin(t)
-1
Kraft F(t)
Geschw. v(t)
Leistung P(t) = F(t)*v(t)
v(t) ~ dx/dt = vos(t)
-2
P = Fa(t)v(t)
T
1
Fa(t) ~ cos(t)
=>
/2
T/2
Leistungsaufnahme
0
/2
3/2
(P) > 0
=> Resonanz
2
t (rad)
P ~ cos2(t) 0
H.-Ch. Mertins
schwing1.org
Halbwertsbreite
Aus der Halbwertsbreite lässt sich die Dämpfung ermitteln
1
b
0 Q 0 m
1/√2
2
Zusammenfassung: Prüfungstrainer, Kapitel 2.1, Fragen F2.1.1 – 2.1.14
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4. Wellen
Informationsübetragung ist möglich durch
a) Teilchen (Brief), Materie bewegt sich von einem Ort zum anderen (Physik I)
b) Wellen (Sprache, Handy), kein Materietransport, nur Energietransport z.B. durch
Modulation des Mediums (Physik II)
3 Typen
a) Mechanische Wellen (Seil, Schall, Wasser)
b) Elektromagnetische Wellen (Funk, Licht, Röntgen) kein Medium notwendig
c) Wahrscheinlichkeitswellen (Elektronen, Protonen, Photonen)
4.1 Wellenprinzip
Die Störung eines deformierbaren Mediums (Seil, Luft) breitet sich im Medium aus. Diesen
zeitl. und räuml. veränderlichen Zustand bezeichnet man generell als Welle.
Exp. Seil / Feder durch Hörsaal spannen und Wellen anregen, Impuls läuft über das Seil
Wellenberg
y
Exp. Wellenmaschine
c
Seil
x
Wellental
A)
Transversale Welle: Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
B)
Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung
Exp. Feder in Längsrichtung anregen
Beachte: nur die Welle (Störung) breitet sich aus, nicht das Material selbst !
4.2 Wellenlänge & Frequenz
Welle
Schwingung eines Seilelementes am Ort x zur Zeit t
y(x,t)=sin(kx -t)
Fots zu Zeiten:
Ausbreitungsrichtung
t1 = 2,0 s
1,0
t2 = 3,3 s
y(x, t) = y0 sin(kx - ωt)
t3 = 4,6 s
Auslenkung = Amplitude x Schwingungsterm
Amplitude
y0
max. Auslenkung aus Gleichgewicht
Phase
kx – ωt Argument der Sinusfunktion
wächst linear mit t für festen Ort x
Auslenkung y
0,5
0,0
-0,5
-1,0
Wellenlänge
0
1
2
3
4
Ort x
11
5
6
7
8
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Wellenlänge λ
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räumlicher Abstand zwischen zwei Wiederholungen der Wellenformen
Bestimmung: Photo der Welle
y(x, 0) = y0 sin(kx), t = 0
y(x, 0) = y(x + λ)
gilt
y0sin(kx) = y0 sin(kx +kλ)
=>
Argumente des sin müssen gleich sein
kλ = 2π
Wellenzahl
k = 2π/λ
Periode
T
[k] = rad/m
zeitlicher Abstand zwischen zwei Wiederholungen der Wellenfront
Bestimmung: Film drehen an festem Ort (Stab im Wasser bei x = 0)
y
y(0, t) = y0 sin(-ωt) = -y0 sin(ωt)
y0
t
y(0, t) = y(0, t + T)
T
-y0 sin(ωt) = -y0 sin(ωt + ωT)
=>
ωT = 2π
Kreisfrequ.
ω = 2π/T
Frequenz
f = 1/T = ω/2π
[ω] = rad/s
beachte: ist nicht die Wellenform !
Die Frequenz einer Welle ist die Schwingungsfrequenz eines beliebigen Seilelementes, wie
beim harmonischen Oszillator. Alle Seilelemente haben die gleiche Frequenz
1
Bsp.
3
2
Momentaufnahmen von Wellen mit Phasen:
x
a) 2x-4t, b) 4x-8t, c) 8x-16t.
Frage Welche Phase entspricht welcher Welle ?
Lsg.
4.3.1 Phasengeschwindigkeit der Welle
Wellenflächen: Flächen einer Welle, die mit gleicher Phase (kx - ωt) schwingen
Kugelwellen:
punktförmige Anregung breitet sich in alle Richtungen gleichartig aus
Ebene Wellen: Anregung liegt im Unendlichen
Exp. Wasserwanne & Kreiswellen
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Mit welcher Geschwindigkeit breitet sich die Wellenfläche (Störung) aus?
Wellenfront
y(x,t) = y0 sin(kx - ωt) = konstant
dx
kx – ωt = konstant
=>
x, t
c
ändern sich gleichermaßen
x
d/dt((kx - ωt) = d/dt(kons.)
=>
k dx/dt - ω = 0
=>
c = dx/dt = ω/k
Gl. nach t ableiten
c: Phasengeschwindigkeit der Welle (nicht Teilchengeschw)
c = f
mit ω = 2π/T, k = 2π/
c = /T
Welle bewegt sich in einer Schwingungsperiode um ihre Wellenlänge
4.3.2 Geschwindigkeit eines Wellenpunktes
nicht mit Phasengeschwindigkeit verwechseln!
y(x,t)
u
c
y(x, t) = y0 sin (kx - ωt)
Bsp.
u = y/t
partielle Ableitung einer Variablen
u = -y0ω cos (kx - ωt)
äußere x innere Ableitung
Welle läuft ein Seil entlang mit
y(x, t) = 0,0327 sin(72,1 x – 2,72 t)
Frage Amplitude der Welle?
Lsg.
Frage Wellenlänge, Periode, Frequenz der Welle?
Lsg.
Frage Phasengeschwindigkeit der Welle?
Lsg.
Frage Auslenkung der Welle am Ort x1 = 22,5 cm und Zeit t1 = 18,9 s ?
Lsg.
13
x
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Frage Geschwindigkeit u eines Wellenpunktes in y-Richtung (nicht mit c verwechseln!)
am Ort x1 = 22,5 cm zur Zeit t1 = 18,9 s ?
Lsg.
4.4 Wellengleichung
Die bei uns behandelten Wellen sind Lösungen der Wellengleichung
Wellengl.
2 y 1 2 y
x 2 c 2 t 2
Lösung
y ( x ct )
generelle Form
y ( x, t ) y 0 sin( kx t )
unsere spezielle Lösung
Geschw.
c
f
k
Differentialgleichung 2ter Ordnung
Berechnung für jedes Medium (Seil, Luft, … ) gesondert
4.5 Geschwindigkeit c der Seilwelle
Betrachte einen symmetrischen Impuls (Störung) der sich über ein gespanntes Seil ausbreitet.
Die Spannkraft des Seils treibt die „Beule“ über das Seil
FS Seilspannung
horizontale Komponenten heben sich auf
vertikale Komponenten addieren sich
F 2 FS sin 2 Fs
FS l R
vertikale Komponenten zeigen ins Zentrum und bilden die Zentripetalkraft
FZ m c 2 R
mit
m l
Masse des Seilelementes, μ = lineare Massendichte
=>
FS l R l c 2 R
=>
c FS
Geschwindigkeit der Seilwelle ist unabh. von Frequenz,
siehe später: Gitarrensaite spannen
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4.6 Energietransport der Welle
Anregung / Ausbreitung einer Welle kostet Energie, die Störung wird über das Seil transportiert:
dEkin = ½ (dm) u2,
u
Kinetische Energie des Seilelementes mit Masse dm
y
y 0 sin kx t transversale Geschw. des Seilelementes
t t
dE kin
1
dx y 0 2 cos 2 kx t
2
= dm/l lineare Massendichte des Seils
mit
dE pot dE kin (ohne Beweis)
=>
dE = dEkin + dEpot dx y 0 cos 2 kx t
2
Zeitlich gemittelte Leistung P (Transportrate) beider Energieformen:
P = dE/dt
P
mit
1
c 2 y 02
2
c = dx/dt: Phasengeschw., Mittelwert von cos2 = ½
P ist proportional zum Amplitudenquadrat
5. Überlagerung von Wellen
5.1 Superpositionsprinzip
Zwei Wellen y1(x, t) und y2(x, t) breiten sich gleichzeitig auf dem selben Seil (Medium) aus
=>
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
(Superpositionsprinzip)
Die Überlagerung von Wellen entspricht algebraischer Summe der einzelnen Wellen
und ergibt eine resultierende Welle.
y
c1
c2
y1(x, t)
=>
y2(x, t)
Überlappende Wellen beeinflussen
x
sich bei ihrer Ausbreitung nicht.
y(x, t)
5.2 Interferenz
zwei identische Wellen y1(x, t) = y2(x, t) breiten sich in gleiche Richtung aus
y1(x, t) = y0 sin (kx - ωt)
y2(x, t) = y0 sin (kx – ωt+ )
einziger Unterschied: Phasenkonstante
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Was passiert bei der Überlagerung (Interferenz) gleicher Wellen?
y(x, t) = y0sin (kx - ωt) + y0sin (kx – ωt + )
mit sin + sin = 2 cos ½ ( - ) sin½( + ) folgt
=>
y(x, t) = [2 y0 cos ½] * sin (kx – ωt + ½)
Auslenkung
=>
Amplitude Schwingungsterm
Sinus-Welle y(x, t) mit:
1) Phasenkonst.
½
stark abhängig von der Phase der beiden Wellen !
2) Amplitude 2y0cos½
2y0
Fall a) = 0 beide Wellen in Phase
=>
y(x, t)
y0
y(x, t) = 2 y0 * sin (kx – ωt)
x
doppelte Amplitude, konstruktive Interferenz
Δ=λ/2
Fall b) = 180 beide Wellen außer Phase
=>
y2(x, t)
y0
y(x, t) = 0 da cos180 = 0
y1(x, t)
y(x, t) = 0
x
λ
immer & überall Null, destruktive Interferenz
Gangunterschied
ist Phasendifferenz von zwei gleichen Wellen gemessen in der Wellenlänge
Welle wiederholt sich exakt: = 2
(eintragen)
=
Interferenz konstruktiv:
= 0, 2, 4, ... n(2)
= 0, , 2, 3, .... n
Interferenz destruktiv
= , 3, ... (2n+1)
= ½, 3/2 , ... (2n+1)/2
Exp. Interferenz in Wasserwanne mit zwei Wellenzentren
Exp. 2 Folien mit Kreisen auf Overheadprojektor
Bsp.
2 Wellen mit folgenden Gangunterschieden überlagern sich mit Gangunterschied:
Δ= 0,2λ, 0,45λ,
0,6λ,
0,8λ
Ordne die resultierende Amplitude nach der Größe
Lsg.
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6.1 Stehende Wellen
Was passiert bei einem eingespannten, räumlich begrenztem Seil, wenn sich 2 sinusförmige
Wellen in entgegen gesetzte Richtung ausbreiten? Es bildet sich eine stehende Welle aus!
Exp. 1) Gitarrensaite, 2) stehende Welle am langen gespannten Seil
Ton der schwingenden Gitarrensaite = Resonanzfrequenz der stehenden Welle
Exp. Film stehende Welle
Stehende Welle:
- schwingendes Medium ist räumlich begrenzt
- Schwingungs-Knoten: Ort x, wo Seil immer in Ruhe ist
- Schwingungsbäuche:
Ort x, wo Seil mit max. Amplitude schwingt
- Knoten bzw. Bäuche stehen, sie wandern nicht in x-Richtung,
nur Bewegung in y-Richtung
Berechnung: Überlagerung entgegen laufender Wellen:
Fotos t1
t2
t3
t4
t5
t6
Bauch Knoten
y1(x, t) = y0 sin (kx - ωt)
y2(x, t) = y0 sin (kx + ωt)
mit sin + sin = 2 cos ½ ( - ) sin½( + )
y`(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t)
=>
y`(x, t) = 2 y0 sin (kx) * cosωt
Auslenkung
Amplitude Schwingungsterm
Neu - Ort x und Zeit t sind entkoppelt
- Amplitude 2y0 sin(kx) hängt vom Ort x ab, (laufende Wellen hat für alle x gleiches y0)
y`
Knoten:
sin(kx) = 0
Bauch
Knoten Bauch
2y0`
=>
kx = nπ ,
n = 0, 1, 2, 3, …..
=>
x = nλ/2,
Abstand benachbarter Knoten = λ/2
x
λ/2
λ
Bäuche:
sin(kx) = 1
=>
kx = (n + ½ )π,
=>
x = (n + ½ )(λ/2)
n = 0, 1, 2, 3, ……
Abstand benachbarter Bäuche: ½λ
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6.2 Resonanz stehender Wellen
Oben haben wir stehende Wellen betrachtet, aber unter welchen Bedingungen bildet sich
überhaupt eine stehende Welle aus?
Betrachte: zwischen 2 Wände eingespanntes Seil wird periodisch angeregt
Anregung der Welle läuft zur Wand, wird reflektiert läuft zurück, reflektiert usw.
Interferenz aller gegenläufigen Wellen ergibt resultierende Welle
=>
nur bei bestimmten Resonanzfrequenzen bildet sich eine stehende Wellen aus!
Exp. 1) Gitarrensaite, 2) stehende Welle am langen gespannten Seil
Ton der schwingenden Gitarrensaite = Resonanzfrequenz der stehenden Welle
L
Bedingung für Resonanz / stehend Welle ?
Schwingungs-Knoten an Befestigungspunkten
L = λ/2
1 Bauch: einfachster Fall
=>
L=λ/2
2 Bäuche: zweite Wellenform
=>
L=λ
3 Bäuche: dritte Form
=>
L = (3/2) λ
L = 2 λ/2
L = 3 λ/2
stehende Wellen bilden sich aus, wenn:
Wellenlänge:
λ = 2L/n,
Frequenz:
f = c/λ = nc/(2L), n = 1, 2, 3, ….
n = 1, 2, 3, …..
n = 1: Grundschwingung (1. Harmonische)
n = 2: erste Oberschwingung (2. Harmonische) usw.
Beachte:
Wellenlänge hängt nur von Seillänge L ab
Frequenz (Ton) hängt von der Seillänge & Wellengeschwindigkeit c ab
Exp.
Gitarrensaite stimmen heißt Spannung ändern, d.h. Geschwindigkeit c ändern
Exp.
Stehende Welle auf Pauke
c
FS
f
c
FS: Spannungskraft (N), μ: lineare Dichte der Saite (kg/m)
FS n
=> f ~ FS
2L
Zusammenfassung: Prüfungstrainer, Kapitel 2.2, Fragen F2.2.1 – 2.2.10
18
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7 Schallwellen / Longitudinale Wellen
Für die Ausbreitung benötigen mechanische Wellen ein materielles Medium, in dem sich die
Störung (Welle) ausbreitet. Es gibt zwei Typen von Wellen
1) Transversale Wellen:
y(x, t) x
Auslenkung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
2) Longitudinale Wellen:
s(x, t)
Auslenkung in Ausbreitungsrichtung
x
Nutzung von Schallwellen:
Seismologie: Erdbeben, Atombombentestüberwachung, Suche nach Ölvorkommen
Sonar:
Schallmessung von U-Booten
Ultraschall:
bildgebende Verfahren in der Medizin
7.1 Druckwellen
Schall = Druckwelle, punktförmige Störung breitet sich als Kugelwelle aus
Exp. gelbe Feder als Modell für Kompression
Luftmoleküle schwingen aufeinander zu / voneinander weg
so dass sich Bereiche ausbilden mit Über / Unterdruck
Bewegungs-Welle
s(x, t) = s0 cos(kx - ωt)
(Luftmoleküle)
Auslenkung = Amplitude x Schwingungsterm
Amplitude
s0
max. Auslenkung der Luftmoleküle aus Gleichgewicht
Wellenlänge
λ
räumlicher Abstand von benachbarten Orten gleichen Druckes
(Über- bzw. Unterdruck)
Druck-Welle
Δp(x, t) = Δp0 sin(kx - ωt)
Druck-Amplitude
Δp0 = (cρω)s0
(Druckdifferenz zu Normaldruck p0)
T
c = Schallgeschw., ρ: Dichte
Phasendifferenz
hier s0 << λ
s, Δp
π/2 zwischen Auslenkung s0 und Δp0
(cos => sin, ohne Beweis)
Drucksensor / Mikrophon:
t
Schwingung eines Luftelementes am festen Ort x
19
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Exp. Schallausbreitung durch Druckwelle: 2 Stimmgabeln mit Resonanzkörper
Exp. Schallausbreitung im Vakuum: Luft als mechanisches Medium nötig
7.2 Schallgeschwindigkeit c
generell gilt für die Geschwindigkeit von mechanischen Wellen
c
elastische Eigenschaft
(siehe Seilwelle: c
Trägheit
FS
)
Elastizität von Gasen wird durch Kompressionsmodul K erfasst
K
p
V V
Druckänderung pro relativer Volumenänderung
Trägheit wird durch Massendichte ρ erfasst
K
Schallgeschwindigkeit
=>
c
Material
Luft 20oC
Helium
H2
c (m/s)
343
965
1284 1482
Wasser 20oC Stahl
5941
Exp. Warum klingt die Stimme höher, wenn man He eingeatmet hat?
=>
f = c/λ
λ konstant, da gegeben durch Stimmbänder, Mundhöhle (Resonator)
Exp. Zerspringendes Weinglas
Prozess: stehende Schallwelle erzeugt Resonanzkatastrophe am Weinglas
Durch hohe Schallintensität muss ausreichend Energie dem System zugeführt werden
Exp. Schallinterferenz durch 2 Lautsprecher im Hörsaal / Kundsches Rohr (alternativ)
Exp. Flammrohr (Maxima bei Druckbäuchen, Membran = Schwingungsbauch)
7.3.1 Schallintensität I
Lautstärke
ist ein uneinheitlicher, subjektiver Begriff
Schallintensität:
Energie-Übertragungsrate (Leistung) pro absorbierender Fläche
I
Betrachte:
P
A
[P] = W/m2
punktförmige Schallquelle mit Leistung PQ strahlt Kugelwellen isotrop ab,
idealisiert: ohne Verluste, Welle durchdringt Kugel mit Radius r
A = 4πr2
Kugelfläche
20
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=>
I
I
=>
PQ
4 r
2
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Schallintensität einer Punktquelle nimmt mit 1/r2 ab typisch
1
1 p 02
c 2 s 02
2
2 c
I ~ (Amplitude)2
typisch für harmonische Welle
7.3.2 Dezibel Skala
ist eine logarithmische Skala, angepasst an das menschliche Hörvermögen.
a) Maximal erträgliche
=>
s0
Auslenkung
Druckdifferenz: Δp = 28 Pa,
Normaldruck p = 105Pa
p
p
für: f = 1000Hz, c = 343 m/s, ρ = 1,21 kg/m3
c c 2 f
s0 = 1,1*10-5 m
(ca. 1/5 Haaresbreite)
b) Minimal hörbare Druckdifferenz Δp = 2,8*10-5 Pa
=>
s0 = 1,1*10-11 m
Auslenkung
I max s 02 max
I min s 02 min
Dynamikbereich:
(ca. 1/10 des Atomradius)
2
1,1 10 5 m
12
1,1 10 11 m 10
Schallpegel β
riesiger Dynamikbereich, daher Logarithmus zur Definition des Schallpegels
=>
10 log
I
I0
[β] = db
I0 = 10-12 W/m2
Dezi-Bell (Alexander Graham Bell)
untere Wahrnehmungsgrenze
Falls I = I0 => β = 10.log1 = 0
Logarithmus: y = log(ax) = log(a) + log(x), β steigt um 10 x 1, wenn I um Faktor 10 zunimmt
Bsp: Hörgrenze
0 dB
Blätterrauschen Unterhaltung Rock-Konzert
20
60
21
110
Düsentriebwerk
130
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8 Schwebung
Exp. Stimmgabel auf zwei leicht verstimmten Resonanzkörpern
a) jeden Ton einzeln, Unterschied ist nicht wahrnehmbar
b) beide Töne gemeinsam, Unterschied durch Überlagerung hörbar
Schwingungen
s2(t) = s0 sin(ω2t), ω2 > ω1
s1(t) = s0 sin(ω1t),
s(t) = s1(t) + s2(t)
= 2s0 {cos ½(ω1- ω2)t}*{cos½(ω1 + ω2)t},
ω`= ½(ω1- ω2),
mit
ω = ½ (ω1 + ω2)
s(t)
leise
laut
s(t) = 2s0 cos ω`t *cosωt
=>
Amplitude
ändert sich zeitl.
Zeit
Schwingung
TSchwebung
Maximale Amplitude: cosω`t = ±1 also 2mal in jeder Periode
=>
ωSchwebung = 2ω` = ω1- ω2
=>
2TSchweb = T`
Anwendung: Stimmen von Instrumenten durch Vergleich mit perfekt gestimmtem Instrument / Ton bis die Schwebung verschwindet
9.1 Doppler-Effekt
Sie fahren friedlich mit dem Auto über die Landstrasse und werden plötzlich von der Polizei
mit Sirene (1000 Hz) verfolgt. Zum Glück sind nicht Sie gemeint und werden überholt. Können Sie an der Frequenz der Sirene erkennen, ob diese auf Sie zukommt, oder sich entfernt?
Exp. Akustischer Dopplereffekt
Johann C. Doppler (Österreich) 1842 Theorie
Buys Ballot (Holland) 1845 Trompeten / Zug
Prinzip:
Sender und Empfänger bewegen sich relativ zueinander
Tritt auf bei: Schallwellen, elektromagnetischen Wellen, Licht
f ` f
leise
c vD
c vS
f: Frequenz des Senders,
f `: Frequenz bei Relativbewegung
c: Schallgeschwindigkeit in Luft, Luft ruht
vD: Detektor-Geschwindigkeit relativ zur Luft
vS: Sender-Geschwindigkeit relativ zur Luft
Vorzeichen so wählen, dass f `> f wenn Detektor & Sender aufeinander zu laufen !
22
T`
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Bew.: Sender emittiert Wellen mit Frequenz f (Rate)
a) vS = 0
Sender in Ruhe
s = ct zurückgelegte Strecke der Welle in Zeit t
ct/ λ
f=
b) vD > 0
ct c
Rate der Wellen pro Zeit t
t
=>
kein Doppler-Effekt
Detektor bewegt sich auf Sender / Wellenfront zu
s`= ct + vDt
Strecke der Wellenfronten bzgl. Detektor
(ct + vDt)/ λ
Zahl der detektierten Wellenfronten in der Zeit t
f=
=>
Zahl der detektierten Wellen in Zeit t
f` =
(ct v D t ) c v D
t
Rate der Wellen pro Zeit t
c vD
c vD
f
c/ f
c
Doppler Effekt: Detektor fängt Wellen schon früher ab, also größerer Rate f `>f
c) vD < 0
Analog wie oben, aber (ct - vDt) => kleinere Rate f `< f
Bsp.
Fledermaus:
Opferortung / Geschw.messung
Medizin-Anwendung:Blut-Geschwindigkeitsmessung
9.2 Überschall
Exp. Peitsche
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 2.3, Fragen 2.3.1 – 2.3.13
23
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Elektrostatik & Dynamik
Die Bedeutung der Elektrizität für unser Leben wurde überdeutlich, als das elektrische Netz
von New York für einen Tag ausfiel. Stellen Sie sich Ihren Haushalt ohne Strom vor!
Erste Berichte der Griechen: geriebener Bernstein / Baumharz (Name: Elektron) zieht Strohhalme an. Es gibt es ein natürlich vorkommendes Gestein (Magnetit) welches Eisen anzieht.
1820 H.-Ch. Oerstedt beobachtet erstmals den Zusammenhang zwischen elektrischen Strömen und Magnetismus. Seitdem arbeitete man im 19. Jahrh. an der Vereinheitlichung beider
Gebiete, vor allem Michael Faraday und James Clerk Maxwell.
1.1 Elektrische Ladung q
- ist eine intrinsische Materialeigenschaft aber keine Substanz, ebenso wenig wie die Masse
a)
b)
c)
Es gibt 2 Ladungen: Positive Ladung (+q), Negative Ladung (-q)
Neutraler Körper:
Q = (+q) + (-q) = 0
Geladener Körper:
Q = (+q1) + (-q2) ≠ 0
also gleich viel pos. wie neg. Ladung
also Ladungsungleichgewicht
Ladung ist quantisiert:
Elementarladung
e = 1.6x10-19 C
Ladungsmenge
Q = ne, n = ±1, ±2, ±3, …. Aber nie q = 3,8e !
Elektronenladung (Einheit Coulomb)
Ladung ist eine Erhaltungsgröße, wie Energie, Impuls, Drehimpuls
Man kann Ladung nicht einzeln vernichten oder erzeugen
d)
Nur trennen:
Ionisation H => H+ + e-
Kraftwirkung:
Ladungen mit gleichem Vorzeichen stoßen sich ab,
Ladungen mit unterschiedlichem Vorzeichen ziehen sich an.
Exp. Glasstab aufladen, Elektroskop, Kraftwirkung gleicher Ladungen, drehbarer Stab
Selbst aufladen, Haare abstehen lassen
Tischtennisbälle (Graphitüberzug) stoßen sich ab
Generator & Funkenentladung, Gasflamme mit Funken entzünden
24
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1.2 Influenz & Elektrische Leitung
Exp. Influenz: 2 kontaktierte Kugeln werden in E-Feld gebracht – Ladungsverschiebung –
Kugeln trennen = Ladungstrennung. Man kann mit jeder Kugel ein Elektroskop laden
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
+
+
q=0
-
-
+
-
+
+
+
-
Exp. Wasserstrahl mit aufgeladenem Glasstab ablenken
+
+
+
+
+
Polarisation
+++++-
Exp. Luftballon laden und an Tafel / Wand kleben
Influenz und Polarisation hält den Ballon
+++++-
+ +
+
+
+
+
+ +
Polarisation: Verzerrung der Ladungsverteilung im neutralen Körper
durch externe elektrische Kraft
1.2.1 Ladungsträger
-e
Li-Atom q = 0, neutral
elektrische Ladungen werden getragen von
Elektron
e
Elektronenhülle q = -3e
q = -e
-e
Protonen
P
q = +e
Neutron
N
q=0
+e
+e
+e
Kern q = +3e
-e
Wenn man Atome ionisiert, d.h. Ladungen trennt, erhält man freie Ladungsträger:
1) neg. Elektronen q = -e
2) pos. Ionen d.h. Atome an denen n Elektronen fehlen q = +ne
1.2.2 Leitung
Je nach Material sind Elektronen nur locker am Rumpf gebunden und quasi frei beweglich
=>
elektrischer Leiter
=>
pos. Ionen bleiben fest, neg. Elektronen tragen Strom
Isolator:
Elektronen sind fest an Atomrumpf gebunden, nicht beweglich
Halbleiter:
zwischen Isolator & Leiter, Leitung bei höherer Temperatur
Supraleiter:
elektrische Leitung ohne Stromverlust, d.h. Widerstand ist nicht nur klein
sondern Null! Genaueres in Physik III
Leitung durch Cooper-Paare (gekoppelte Elektronen)
25
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1.3 Coulombsches Gesetz
Zwei kleine Teilchen stehen im Abstand r und tragen die Ladungen q1 und q2. Dann
wirkt zwischen ihnen die abstoßende / anziehende elektrostatische Kraft
F
1 q1 q 2
4 0 r 2
ε0 = 8,85 10-12 C2/(Nm2)
r
-F
+q1
+q2
F
-F
-q1
-q2
F
Dielektrizitätskonstante
Das Gesetz gilt makroskopisch & im atomaren Bereich!
+q1
F
-F
-q2
Exp. Torsionswaage zur Demonstration des Coulombgesetzes mit Skizze
Superpositionsprinzip
Für n geladene Teilchen überlagern sich die Kräfte unabhängig
voneinander wie Vektoren
F→1res = F12→ + F13→ + F14→ + ….. + F1n→
F14→ : Kraft auf Teilchen 1, ausgehend von Teilchen 4
Gleichverteilung:
Bringt man Ladung auf eine elektrisch leitende Fläche, so verteilt sie sich homogen.
(die Ladung stößt sich gegenseitig ab, bis sich maximaler Abstand einstellt)
2 Elektrische Felder
Es wirken Kräfte zwischen zwei elektrischen Ladungen, aber woher weiß Ladung q1 von Ladung q2 ? Wie kann die Kraft wirken, obwohl sich die Teilchen nicht berühren? Wer vermittelt die Kraft? Feldbegriff: die elektrische Ladung q1 baut ein Feld auf, das am Punkt P im
Raum eine Kraft auf eine andere Ladung bewirkt.
y
2.1.1 Skalares Feld: z.B. Temperaturfeld im Raum
40
42
45
55
55
Jedem Punkt (x, y) des Raumes wird eine
Temperatur zugeordnet
35
35
35
38
38
30
30
25
25
25
20
20
20
20
20
18
15
15
15
12
T hoch an Heizung, T klein am Fenster
x
2.1.2 Vektorfeld: z.B. Gravitationsfeld
y
P
Erdnähe
jedem Punkt P (x, y) des Raumes wird ein Vektor
g→ (x, y) zugeordnet, Pfeillänge = │g→│
g→
Kraft auf Masse m im Gravitationsfeld:
x
F→ (x,y) = mg→(x,y) = mg→, da g = konstant
26
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2.1.3 Gravitations-Kraftfeld
wird erzeugt durch Masse
y
mE= Erde, m = Satellit im Abstand r
F G
g
m mE
r2
Gm E
r2
mg
r1
r2
Kraft auf Satelliten
2
x
Pfeillänge = Kraftbetrag, Kräfte zeigen radial zum Erdmittelpunkt an jedem Punkt (x, y)
2.1.4 Feldmessung
Messung der Kraftwirkung des Feldes auf eine kleine Probemasse
Probemasse m << mE
beeinflusst Gravitationsfeld der Erde nicht, kann g-Feld testen
2.1.5 Elektrisches Feld E→
Kraftwirkung auf Probeladung q0 durch Feld E übermittelt
F q0 E
Vektorfeld
E-Feld existiert auch ohne Probeladung q0
Probeladung
q0 ist so klein, dass sie das E-Feld nicht stört, testet E-Feld aus
2.2 Elektrische Feldlinien
- Elektrische Felder werden erzeugt durch Ladungen
- Feldlinien beginnen bei positiver Ladung und enden bei negativer Ladung
- beschreiben die elektrische Kraftverteilung im Raum
- sind nur ein Modell, sie existieren nicht wirklich
- Die Tangente an der Feldlinie gibt die Richtung des Feldes
- Dichte der Feldlinien ist proportional zur Feldstärke
- Feldlinien kreuzen sich nie
2.2.1 E-Feld einer Punktladung
E-Feld der Punktladung q wird getestet durch dessen Kraft auf Probeladung q0 mit q0 << q
Kraftbetrag
y
1 q q0
F
4 0 r 2
r = (x2 + y2)½
Feld
E
F
1 q
q 0 4 0 r 2
y
x
27
x
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E→ maximal im Ladungszentrum bei r = 0
Eigenschaften:
E→ zeigt radial nach außen
E fällt mit Abstand wie 1/r2
Das Feld E, das sich aus vielen Punktladungen qi aufbaut, ist die Summe der Einzelfelder Ei
Kraft
F→ = F1→ + F2→ + …. + Fi + …
Feld
E→ = F1→ /q0 + F2/q0 + …. + Fi/q0 + …
(vektorielle Addition)
= E1→ + E2 + …. + Ei + …
2.2.2 Zwei gleiche (pos) Punktladungen
Feldlinien enden bei neg. Ladungen im Unendlichen
Rotationssymmetrisch um Achse durch die beiden Ladungen
2.2.3 Geladene, nichtleitende Platte
Feldlinien stehen senkrecht auf der Platte
E -Feld-Rechnungen möglich bei http://www.pk-applets.de/phy/efeld/efeld.html
Exp. E-Feldlinien sichtbar machen durch Fasern in Öl im E-Feld
2.3 Elektrischer Dipol
wichtig für Atome, Antenne, Abstrahlcharakteristik , Optik
berechne:
E-Feld im Punkt P auf der Ladungsachse
Abstand z von Ladungszentrum
Ladungen q(+), q(-) erzeugen je ein E-Feld
E = E(+) - E(-)
=
=
q
q
2
4 0 r 4 0 r2
q
4 0 ( z
q
=
4 0 z 2
1 2
d)
2
q
4 0 ( z
1 2
d)
2
2
2
d
d
1 1 (z ausklammern)
2 z
2 z
wir suchen nur in großen Abständen z >>d , also d/2z << 1. Dann kann man in Binomialreihe
entwickeln und kleine Terme vernachlässigen:
28
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E=
q
4 0 z 2
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d
d
1 z .... 1 z ... =
q 2d
qd
2
4 0 z z 2 0 z 3
p
E
2 0 z 3
=
für Punkt auf der Dipolachse
Elektrisches Dipolmoment:
p qd
Gibt Orientierung des Dipols (Achse) an,
Richtung von neg. zu pos. Ladung
Feldmessung ergibt nur p, nicht aber q oder d isoliert
Merke Punktladung: E ~ 1/z2
E ~ 1/z3 , da Dipolladungen sich gegenseitig schwächen
Dipol
2.4 Feld einer linearen Ladungsverteilung
bisher wurden nur Punktladungen betrachtet, jetzt kontinuierliche Ladungsverteilung, Bestimmung über die Ladungsdichte mittels Infinitesimalrechnung:
Objekt
Zeichen
Einheit
Punkt-Ladung
q
C
Lineare Dichte
C/m
Flächendichte
C/m2
Raumdichte
C/m3
Problem:
ortsfeste Ladung auf einem Ring. E-Feld am Punkt P ?
Lsg:
gleichverteilte Ladung mit Dichte
dq = ds
dE =
=
1 dq
4 0 r 2
Element mit Ladung dq, Länge ds
Feld durch Ladungselement im Abstand r
1
ds
2
4 0 ( z R 2 )
Symmetrie bzgl. der z-Achse => E-Feldbeiträge senkrecht zur
z-Achse löschen sich aus, nur Komponenten parallel zu z bleiben.
29
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cos =
z
r
dE cos
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z
Parallelkomponente:
z2 R2
z
ds
4 0 ( z R 2 ) 3 / 2
2
Alle Feldkomponenten der einzelnen Ringelemente müssen aufsummiert werden, also über
den Ring integrieren von s = 0 bis s = 2R:
E dE cos
z
2
4 0 ( z R 2 ) 3 / 2
2R
0
ds =
z (2R)
4 0 ( z 2 R 2 ) 3 / 2
mit q = 2R
1) Näherung weite Entfernung
E=
z >> R ergibt dann z2 + R2 ≈ z2
q
4 0 z 2
aus weiter Entfernung Ring ~ Punktladung
2) Im Mittelpunkt des Rings z = 0
=>
E=0
alle Teilfelder heben sich im Ringmittelpunkt auf
Faradaykäfig (später)
2.5.1 Punktladung im E-Feld
Die elektrostatische Kraft F auf ein geladenes Teilchen im E-Feld ist
F qE
q pos. => F parallel E, q neg. => F antiparallel E (bei Elektronen)
Tintenstrahldrucker
- Tintentropfen werden mit Ladung q belegt
- fliegen in konstantes E-Feld, werden abgelenkt, je nach q
y
- Druckmuster steuert Ladung q der Tropfen
Tropfenmasse m = 1,3x10-10 kg, q = -1,5x10-13C, vx = 18 m/s
E-Feld 1,4x106 N/C, Plattenlänge L = 16 mm
Gravitationskraft klein gegen E-Kraft
Frage: Ablenkung y des Tropfens als Funktion der Ladung ?
Lsg.
30
++++++++
F
qE
---------
x=L
x
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Exp. 1) Braunsche Röhre, Ablenkung von Elektronen im E-Feld
2) Oszilloskop
3) Leuchtstoffröhre neben Teslatrafo, Elektronenanregung ohne Kontakt durch E-Feld
4) Elektrischer Wind, Kerze im E-Feld, Ionen werden abgelenkt
2.5.2. Dipol im E-Feld
Dipol misst die Orientierung des E-Feldes, stellt sich wie eine Kompassnadel ein. Wichtig für
Bindung von Molekülen an Oberflächen (Katalyse),
x
Orientierung von Atomen im Festkörper
+
Typ. Bsp. Wasser im E-Feld
p
x sinθ
-
Homogenes Feld
nur Drehmoment T um Schwerpunkt
Keine Kraft, da Dipolgesamtladung q = 0
Drehmoment
T = Fx sinθ + F(d – x) sinθ = Fd sinθ
Dipolmoment
p = qd
Kraft
F = qE
=>
=>
(mit T = Fdsin )
T = pEsinθ
T pE
Merke: Punktladung wird im E-Feld verschoben
Dipol wird im homogenen E-Feld gedreht
Exp. polarisierte Fasern in Öl richten sich im externen E-Feld aus (Drehung der Dipole)
Flüssigkristalle: Dipole werden im E-Feld ausgerichtet, absorbieren pol. Licht
3. Gaußscher Satz
Betrachte Luftballon, der selbst elektrisch ungeladen ist, aber von dem E-Felder ausgehen. Er
muss also eine elektrische Ladung im Inneren besitzen. Wie groß ist diese ?
Berechnung ist mit dem Gaußschen Satz möglich (Gauß 1777 – 1855)
31
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3.1 Fluss
neuer Begriff in der Elektrodynamik , veranschaulicht am Bsp. eines Fischschwarms, der mit
Geschwindigkeit v durch die Fläche A des Netzes strömt
Geschwindigkeitsfeld der Fische
v:
A:
Flächenvektor senkrecht auf der Fläche, A = Flächeninhalt
v A vA cos
Fluss = Strömungsrate der Fische in das Netz
=> Der Fluss ist das Skalarprodukt einer Fläche mit einem die Fläche durchdringenden Feld.
v -Feldlinien: Fische schwimmen längs der Feldlinien
Feldlinien eng beieinander => hohe Fischdichte
3.2 Elektrischer Fluss
Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Fläche ist
die Summe (Integral) über den Fluss durch alle Teilstücke der Fläche
el E dA
Φel ist proportional zur Zahl der E-Feldlinien durch die Fläche
3.3 Gaußscher Satz
Die in einem geschlossenen Hohlkörper befindliche gesamte Ladung q ist
gleich dem durch die Oberfläche tretenden elektrischen Fluss
E-Feld
ε0Φel = q
0 E dA q
geschl. Fläche
(Kartoffel)
q
(gilt für Vakuum, Luft, nicht generell für Materie)
Beachte:
- Ladungen außerhalb des geschlossenen Körpers tragen nicht zu q bei
- Lage und Verteilung von q innerhalb des Körpers ist unwichtig
- E-Feld wird von inneren und äußeren Ladungen erzeugt, aber äußeren Ladungen tragen
nicht zum netto-Fluss durch die Oberfläche bei, da gleich viel rein wie raus
32
q in Kartoffel
eingeschlossen
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3.4 Gaußscher Satz & Coulombgesetz
Das Coulmbgesetz und der Gauß`sche Satz sind äquivalent
Flächenstück dA
Ladung
Fläche
q in Kugel mit Radius r
Flächenvektor A zeigt radial nach außen
E-Feld
zeigt radial nach außen
q 0 E dA 0 EdA
(Gaußscher Satz, E
A
A)
=>
Betrag des E-Feldes ist auf jedem Ort der Kugelfläche gleich groß, da nur abh. von r
2
0 E dA 0 E 4 r 2 q
denn dA 4 r gesamte Kugelfläche
=>
E
Bsp.
Ladung q in Kugel mit Radius r ergibt den Fluss durch die Kugelfläche. Wie ändert
1 q
4 0 r 2
=> Coulombgesetz folgt aus dem Gaußschen Satz
sich Φel wenn:
a) größere Kugel, b) Würfel mit Kantenlänge r, c) Würfel mit Kantenlänge 2r ?
Lsg.
Exp. Ladung mit kleiner Konduktorkugel in große
Konduktorkugel halten: Ladung in Kugelzentrum = Ladung auf Kugeloberfläche
Bsp.
Blitzeinschlag
1) Luft ist Isolator, also muss eine leitende Strecke geschaffen werden
2) kaum sichtbarer Vorblitz, Aufbau einer Säule von Elektronen zwischen Wolke & Erde
3) wenn Elektronen die Erde erreichen ist der Blitzkanal (Stromleiter) ausgebildet
4) Ionisation der Luft radial im Blitzkanal bei Durchbruchfeldstärke Ekrit = 3x106 N/C
schafft elektrischen Leiter
5) starke Beschleunigung der Elektronen zur Erde (pos. Ionen zur Wolke)
eneg
Stöße mit Luftmolekülen erzeugen eigentlichen Lichtblitz
Aufheizen der Luft erzeugt Druckwelle (Donner)
33
e
e
e
e
pos
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Frage: wie groß ist der Radius des Blitzkanals?
Lsg.
4. Elektrische Spannung & Potenzial
g
y
y2
4.1 Mechanische Verschiebe-Arbeit
Masse m soll auf einen Berg gebracht werden
Weg (a)
(b)
dr
Bewegung durch Gravitationsfeld
h
y1
r2
W F d r m g dr
r2
Arbeit
r1
x1
r1
x2
Linienintegral längs eines Weges von r1 nach r2
g (0, g ) , d r (dx, dy )
g dr 0 dx g dy g dy
=>
W mg ( y 2 y1 ) mg h
Potenzial
y (Höhe)
Potenzialdifferenz
h y 2 y1
nur Streckenanteil parallel zu g ist relevant
ist proportional zur Arbeit !
Äquipotenziallinien: Höhenlinien, y = konstant
Arbeit
ist unabh. vom Weg, gleiche Arbeit für Wege a) , b),
abh. nur von Höhendifferenz (y2 – y1), also Differenz in g-Richtung
=>
pot. Energie
Kraftfeld ist konservativ
Epot = mgh Energie der Masse, gewonnen durch Anheben im g-Feld
34
x
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4.2 Elektrische Verschiebe-Arbeit
Ladung q wird durch ein elektrisches Feld bewegt
r2
W F dr qE d r
r2
Arbeit
r1
y
-q
E
y1
r1
E (E , 0) , d r (dx, dy )
Nur Anteil E parallel zu dx ist relevant
=>
Arbeit
y2
x1
x2
x
W = qE(x2 – x1)
ist unabh. vom Weg, gleiche Arbeit für Wege a) , b),
nur abh. von Streckendifferenz (x2 – x1) parallel zum E -Feld
pot. Energie
Eel = W, Energie der Ladung, gewonnen durch Verschieben im E-Kraftfeld
4.3 Elektrische Spannung
Ziel:
Berechnung der Arbeit beim Bewegen einer Ladung q im E-Feld
W qE d r
r2
r1
E
dr
r2
Zweckmäßig: Trennung von Ladung q und Eigenschaft des Feldes
r1
Definiere
Potenzialdifferenz zwischen den Punkten r1 und r2:
(r2 ) (r1 ) E d r
r2
r1
Definiere
Spannung als Potenzialdifferenz zwischen 2 Punkten
U (r2 ) (r1 ) ,
Arbeit
[U] = Volt = J/C
W qU
(daher die Einheit der Spannung J/C)
-unabhängig vom Weg
- nur abh. von Spannung U zwischen Punkten r1 und r2
- Spannung U spielt für E-Feld gleiche Rolle wie Höhe h im g-Feld
- es ist meist einfacher mit Spannung U als mit E-Feld (Vektor) zu rechnen
Beachte: - nur Spannung zwischen zwei Punkten macht Sinn, so wie Strom durch Leitung
- Potenzial Φ nicht mit Fluss Φ verwechseln
35
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4.4.1 Elektrisches Potenzial
Generell gilt: wenn Arbeit im Kraftfeld wegunabhängig ist, dann:
=>
Kraftfeld ist konservativ, d.h. Energieerhaltung gilt
=>
Potenzial existiert
(r ) E d r
a) Elektr. Potenzial ist Eigenschaft des E-Feldes unabh., ob Probeladung existiert oder nicht
b)
Eel = qU
Elektr. potenzielle Energie ist Energie eines geladenen
Teilchens, das sich im E-Feld befindet.
c) Referenzmarke (r ) 0 ,
wie Meeresspiegel h = 0 gesetzt
4.4.2 Äquipotenzialflächen
Wie kann man eine Ladung q durch ein E-Feld bewegen, ohne dass sie Energie gewinnt oder
verliert, bzw. ohne Arbeit an ihr zu verrichten?
r2
W F dr qE d r 0
=> Weg dr muss senkrecht auf E sein
W q (r2 ) (r1 ) 0
=>
r2
Arbeit
r1
Äquipotenzialflächen sind
r1
Potenzial (r ) konstant
- Flächen im Raum mit konstantem Potenzial Φ(r)
- stehen immer senkrecht auf dem E-Feld
- je dichter sie liegen, desto größer ist das E-Feld
Homogenes E-Feld
Punktladung
Exp. Elektrolytischer Trog / Folie, Äquipot-Linien zeichnen
36
zwei Punktladungen
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Vergleich mit Gravitationsfeld:
Arbeit
W=0
=>
Weg dx muss senkrecht auf g sein
=>
Epot = mgh = konstant => h = konstant
Eine Äquipotenzialfläche hat an allen Punkten die gleiche Höhe h,
Höhenlinien sind Schnittlinien des Berges mit der horizontalen Fläche
4.5 Berechnung des E-Feldes aus Potenzial Φ(r)
Wenn 3-dim. Potenzial bekannt, dann kann man Äquipotenzialflächen zeichnen und senkrecht
dazu das E-Feld eintragen. Welchen Betrag hat aber das E-Feld?
Potenzial
( r ) E d r , r ( x, y , z )
E-Feld
Ex
( x, y , z )
,
x
E grad
Ey
( x, y , z )
,
y
(Pot. aus Integration über E)
Ez
( x, y , z )
z
(Ableitung)
E-Feld ist die räumliche Änderungsrate des Potenzials
zeigt in Richtung der stärksten Änderung des Potenzials
Vergleich Mechanik
Die Kraft / Beschleunigung ist g mal Änderungsrate der Höhenlinien = Gefälle am
Berghang. Ein Ball rollt in die Richtung der stärksten Potenzialänderung.
U
+
Bsp.
Plattenkondensator, Spannung U, Abstand d
E
d 2 1 U
dx
x 2 x1
d
-
E-Feld
Φ
Φ1
U
q+ von r2 nach r1 bringen kostet Arbeit
q+ bei r1 los lassen: pot Energie wird frei
Äquipotlinie
Φ2
x1
37
d
x2
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4.6 Potenzial einer Punktladung
betrachte Punkt P im Abstand R von der Punktladung, gesucht Φ(R) bezogen auf Φ(∞) = 0
dr
( R) E d r
R
E-Feld ist konservativ
=> Weg beliebig, wähle gerade Linie, radial von Punktladung weg
=>
(r ) E dr
denn E immer parallel zu dr, cosθ = 1
R
E-Feld einer Punktladung
q
() ( R )
4 0
=>
( R)
1 q
4 0 R
1
q
R r 2 dr 4 0
1
r
R
Φ (R)
Φ ~ 1/r
q+
Φ(∞) = 0
Atom-Kern
q+
q-
Φ ~ -1/r
4.7 Potenzial eines (isolierten) Leiters
a) Eine Überschussladung verteilt sich auf einem Leiter gleichmäßig über die Oberfläche.
b) Alle Punkte auf dem Körper und auch in seinem Inneren haben gleiches Potenzial.
Bew. Wenn Ladung gleichmäßig verteilt ist, wirken keine elektrischen Kräfte, also E = 0
2 1 E d x 0 also Φ1 = Φ2 für alle Orte x
x2
=>
x1
Bsp.
Metallkugel mit r = 1 m, q = 10-6 C
=> (r )
1 q
4 0 r
außerhalb der Kugel
innerhalb der Kugel: Φ = konstant
=> E
d
E = 0 innerhalb der Kugel, da Φ = konst.
dr
38
R
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4.7.1 Faraday Käfig (Abschirmung)
Prinzip: neutraler Leiter wird in ein E-Feld gebracht
das äußere E-Feld verschiebt die Ladung (Influenz) so, dass ein
Gegenfeld im Inneren herrscht, das das äußere Feld kompensiert.
Exp. Funksender, Handy telefonieren lassen und in Käfig abschirmen
Funksender bringt Neonröhre zum Leuchten, abschirmen
Faraday-Cup, Elektrometer beladen
Φ
E
Spitze
q
4.7.2 E-Felder an Spitzen
An Metall-Spitzen bilden sich hohe elektrische Feldstärken,
E
d
dr
Radius r der Spitze klein machen
=> Entladungserscheinungen in Luft (Mast eines Segelschiffs, bei Gewitteranzug)
=> Feldemissionsmikroskop, Elektronen können leichter austreten, (quantenmechanisches
Tunnelpotential wird gesenkt)
Exp. Überschlag an Spitze - Platte, an Kugel – Platte,
Folie Flachbildschirm
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.1, Fragen 4.1.1 – 4.1.14
5 Kapazität
Mechanische Energie lässt sich speichern durch Federkompression, Gasdruck, Anheben von
Masse im Gravitationsfeld. Elektrische Energie lässt sich durch Laden eines Kondensators
speichern. Im Computer speichern Mikrokondensatoren Information in Form von Ladung.
Exp. Blitzlampe zünden als Motivation für Kondensator
5.1 Kondensator
Definition:
Ein Kondensator besitzt zwei voneinander
isolierte Leiter beliebiger Form.
Zeichen:
┤├
Ladung:
q+, q- betragsmäßig gleich, befindet sich je auf den beiden Platten
Spannung:
U zwischen den Platten
(Ursprung Plattenkondensator)
39
U
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Kapazität:
C
q
U
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[C] = F = C/V Farad
(Faraday)
Maß für Fassungsvermögen der Ladung q bei gegebenem Spannung zwischen
Platten. Kapazität ist nur abh. von der Bauform des Kondensators
Laden des Kondensators
- Batteriespannung U erzeugt E-Feld entlang der Drähte
- E-Feld erzeugt elektr. Kraft F = qE,
- Kraft bringt die Ladung q+, q- auf die Platten, bis im Leiter E = 0 (Gleichgewicht)
Unterschied: Kondensator / Batterie
Batterie hält Spannung aufrecht wenn Strom fließt, elektrochem. Prozess wie Pumpe
Kondensator lässt die gespeicherte Ladung fließen, Spannung fällt dann auf U = 0
5.2 Kapazitätsberechnung
immer gleiches Schema:
1) Ladung q auf dem Kondensator bestimmen
2) Mit Gaußschem Satz das von q erzeugte E-Feld zwischen den Platten berechnen
0 E dA q
wähle Fläche so, dass E parallel zu dA und E-Feld homogen
=>
q = ε0EA
A = Anteil der Fläche, der vom E-Feld-Fluss durchsetzt wird
3) Potenzialdifferenz U = Φ2 – Φ1 aus E berechnen
wähle Weg von neg. zu pos. Platte so, dass E parallel zu dx
U E dx
x2
x1
4) Kapazität bestimmen C = q/U
5.2.1 Plattenkondensator
homogenes E-Feld zwischen den Platten
Gauß`sche Fläche umschließt pos. Platte
=>
q = ε0EA
A Plattenfläche
d
U E d x E dx Ed
d
0
=>
C
q 0A
U
d
(E = konstant da homogen)
0
nur abh. von Bauart, d.h. A/d
Exp. 1) Plattenkondensator mit variablem Plattenabstand d
40
(U=q/C=qε0d/A => U~d)
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2) Drehkondensator mit variabler Fläche A
3) Zylinderkondensator aus Alu / Kunststofffolie selbst rollen, Prinzip zeigen
4) Kapazitive Schalter einer PC-Tastatur
5.3 Schaltung von Kondensatoren: zum freiwilligen Üben, Thema im 3. Semester
Schaltung mehrerer Kondensatoren kann durch einen Kondensator ersetzt werden.
5.3.1 Parallelschaltung
Es gilt: 1) an jedem Kondensator liegt die selbe Spannung U an
2) die gesamte gespeicherte Ladung q ist gleich der
Summe q1 + q2 + q3 der Einzelladungen
3) der Ersatzkondensator speichert q und hat die Spannung U
q1 = C1V, q2 = C2V, q3 = C3V,
=>
q = (C1 + C2 + C3)V
=>
C Ci
n
Ersatzkondensator
i 1
5.3.2 Reihenschaltung
Es gilt: 1) Spannung U liegt an den beiden Enden der Kondensatorreihe an
2) jeder Kondensator trägt die gleiche Ladung
3) Die Summe der Einzelspannungen Ui ist gleich
der am Ende anliegenden Spannung U
4) der Ersatzkondensator trägt das gleiche q wie jeder Einzelkondensator
und es liegt die Gesamtspannung der Reihe an
Ladevorgang: es gibt nur einen Pfad der Ladungsverschiebung. Die Spannungsquelle lädt nur
die beiden Platten, mit denen sie in direktem Kontakt steht. Die Ladung der Zwischen-Kondensatoren wird nur verschoben, sie sind aber neutral
=>
U1 = q/C1, U2 = q/C2, U3 = q/C3,
=>
U = U1 + U2 + U3 = q (1/C1 + 1/C2 + 1/C3)
=>
C
=>
n
1
1
C
i Ci
Bsp.
q
1
1
1
1
1
U 1 / C1 1 / C 2 1 / C 3
C C1 C 2 C 3
Ersatzkondensator
Schaltung von 3 Kondensatoren C1 = 12μF, C2 = 5,3μF, C3 = 4,5μF,
41
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FH Münster, FB Physikalische Technik
Frage Ersatzkondensator C = ?
Lsg.
suche nach Reihen- oder Parallelschaltung:
a) C1 & C3 hintereinander, aber nicht in Reihe
Da es 2 Pfade der Ladungsverschiebung gibt
b) C1 & C2 sind parallel, da oberen & unteren Platten
auf gleichem Potenzial
=> C12 = C1 + C2 = 17,3μF
c) C12 & C3 in Reihe
=>
1
1
1
C123 C12 C 3
=> C123 = 3,57 μF
Frage Ladung q1 auf C1 wenn U = 12,5 V ?
Lsg.
a) Ladung auf Ersatzkondensator
q123 = C123 U = 44,6 μC
b) bei Reihenschaltung tragen Ersatz- & Einzelkondensatoren die gleiche Ladung
=> q12 = q123 = 44,6 μC
=> U12 = q12 / C12 = 2,58 V
c) Parallelschaltung : am Ersatzkondensator C12 liegt gleiche Spannung wie an C1
=> q1 = C1U1 = 31 μC
5.4.1 Energie des E-Feldes
Wird ein ungeladener Kondensator aufgeladen, so muss dazu Ladung in kleinen Portionen
von einer Platte zur anderen wandern, wobei sich ein E-Feld aufbaut, gegen das der Ladungstransfer statt findet. Mit wachsender Ladung wächst auch die Gegenkraft. Die geleistete Arbeit wird als potenzielle Energie gespeichert und kann in einer Entladung abgerufen werden.
Ladungselement
dq
Gesamtladung Q dq
Arbeit pro Element dW = Udq =
q
dq
C
Q
Gesamtarbeit
W dW
=>
1 Q2
E el
2 C
=>
E el
1
CU 2
2
Q+
dq
Q-
2
1
Q
q dq
C0
2C
gespeicherte potenzielle Energie
mit C=Q/U
42
U
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Exp. Blitzlampe, Ziel: kurze Entladungszeit im ms-Bereich, Fotos schneller Objekte
Kondensator laden und über Lamettafaden entladen
Bsp.
Elektroschocktherapie im Krankenwagen ohne Anschluss ans Stromnetz: im Kondensator gespeicherte Energie fließt durch die Brust von Elektrode zu Elektrode.
C = 70 μF, Aufgeladen mit U = 5000 V
=> Eel = ½ CU2 = 875 J
Teilentladung von 200 J in 2 ms => Leistung P = Eel / t = 100 kW
5.4.2 Energiedichte
Wo steckt die Energie, d.h. wer hat sie gespeichert? Betrachte 2 geladene, getrennte Platten
der Fläche A und Abstand d mit dem Zwischenraum V = Ad
Eel 1 2 CU 2
Energiedichte el
V
dA
=>
1 U
el 0
2 d
=>
1
el 0 E 2
2
2
mit
C
0 A
d
„Die elektrische potenzielle Energie eines geladenen Kondensators ist im E-Feld
zwischen den Platten gespeichert.“
=>
deshalb existieren elektromagnetische Wellen (Licht), Energie breitet sich im Raum
aus, Materie als Energieträger ist nicht nötig, das Feld selbst trägt die Energie.
5.5.1 Dielektrika
Exp. Plattenkondensator mit Q aufladen und Spannung U messen
Spannungsquelle abtrennen, Q = konstant
Dielektrische Platte einbringen, Spannung fällt
=>
U = Q/C
=>
C
=>
ε = C / Cvac
=> Kapazität muss vergrößert worden sein
0A
d
ε: Dielektrizitätskonstante des Materials
43
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=>
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Ist der Kondensators vollständig mit dem Dielektrikum gefüllt (isolierendes Material),
so muss in allen elektrostatischen Gleichungen ε0 durch ε0ε ersetzt werden.
i) Dielektrikum schwächt das E-Feld
E
1 Q
4 0 r 2
ii) Dielektrikum schwächt die potentielle, gespeicherte elektrische Energie, falls Q = konstant
1
Q2
2
E el CU
2
2C
also wenn Spannungsquelle abgeklemmt
Wo bleibt die Energie? => mechanische Energie, Dielektrikum wird in Kondensator gezogen.
Exp. dielektrisches Flüssigkeit wird zwischen Kondensatorplatten gezogen
Deutung:
1) System minimiert Energie Eel=Q2/2C, also wenn Q = konst. muss C steigen
2) Polarisation des Dielektrikums, Ladungen werden vom E-Feld angezogen
5.5.2 Polarisation der Dielektrika
A)
Polare Dielektrika: permanente Dipolmomente werden im E-Feld ausgerichtet.
E-Feld wirkt der Unordnung durch die Wärmebewegung der Dipole entgegen.
Exp. Ablenkung des Wasserstrahls durch Ladung,
Dipol: H2O-Molekül
B)
Unpolare Dielektrika: Dipolmomente werden durch externes E-Feld induziert
(Influenz) und ausgerichtet. Sie verschwinden mit dem externen E-Feld wieder
Wirkung:
- Dipolfeld Ein ist dem Kondensatorfeld E0 entgegengerichtet
- Gesamtfeld E = E0 – Ein ist kleiner
- Oberflächenladungen werden induziert (Influenz).
Energiedichte:
Wird der Kondensator (mit Dielektrikum) durch anliegende Spannung aufgeladen, so
speichert er um Faktor ε mehr Energie:
1
el 0 E 2
2
44
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Energieanteile:
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a) Feldenergie des Kondensators
b) Polarisationsenergie der Dipole
5.5.3 Gauscher Satz für Dielektrika
Das Dielektrikum reduziert die effektive Ladung auf den Kondensatorplatten. Die induzierte
Ladung auf der Oberfläche des Dielektrikums ist zwar nicht frei, so wie die des Kondensators,
aber mit dieser in direktem Kontakt. Die Feldabschwächung im Kondensator durch die
induzierten Oberflächenladungen wird berücksichtigt durch ε
a)
0 E dA q
ε unter dem Integral, falls es inhomogen ist
b)
D 0 E
D = dielektrische Verschiebung, Polarisation des Dielektrikums
c)
die von der Gauß`schen Fläche eingeschlossene Ladung ist nur die freie Ladung des
Kondensators, nicht die induzierte Ladung des Dielektrikums.
5.5.4 Piezoeffekt
E-Feld anlegen
=> Ladungs- & Atomverschiebung im Kristall
Atome verschieben => E-Feld entsteht
Materialien:
Isolatoren mit einer polarer Kristallachse Symmetrie herrscht um die polare
Achse, aber Achsrichtung nicht umkehrbar, denn E-Feld zeigt in Achsrichtung.
(Quarz, Bariumtitanat, Perowskite, Ferroelektrika)
Funktion:
Stauchung / Dehnung des Kristalls in Achsrichtung ändert das E-Feld
Spannung in Kristallachsenrichtung anlegen und Kristall staucht / dehnt sich
E
x
, oder U = δΔx ,
x
δ ~ 1010 V/m
piezoelektrischer Koeffizient
Anwendung: Schwingquarz in Resonanz, Quarzuhr, Ultraschallsender,
Justage im Nanometerbereich, Montage von Molekülen prinzipiell möglich
Raster-Mikroskop mit atomarer Auflösung
Exp. Piezoeffekt: durch Verstellen des Spiegel Laserstrahl ablenken
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.2, Fragen 4.2.1 – 4.2.8
45
Physik II
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FH Münster, FB Physikalische Technik
6 Elektrischer Strom
6.1.1 Strom
Strom I ist der effektiver Ladungstransport q in einer Zeit t durch eine Fläche A
dq
dt
Strom
I
Ladung
Q dq Idt
[I] = C/s = A
(Ampere)
t
0
Technische Stromrichtung: von Plus nach Minus (beachte: e- laufen entgegengesetzt)
Strom::
Elektronenstrahl in Fernsehröhre, Strom im Kupferdraht
Kein Strom: ungeordnete (Brownsche) Bewegung der e im Draht (kein Netto-Ladungsfluß)
6.1.2 Stromdichte
Strom I pro durchflossene Fläche A
I
,
j
A
I j dA
j
v
Geschwindigkeitsrichtung des Ladungsflusses
I
j1
Querschnittsverengung: Strom I bleibt aber
Stromliniendichte j steigt
j2 > j1
A1
A2
6.1.3 Driftgeschwindigkeit
betrachte Ladungsträger im Kupferdraht:
a) rein thermische (Brownsche) Bewegung: vth ~ 106 m/s, aber I = 0 da ungeordnet
b) E-Feld beschleunigt Ladung
vD ~10-4 m/s
Driftgeschwindigkeit (220 V)
Analogie: Mückenschwarm wird von Wind mit vD langsam getrieben, Mücke fliegt mit vDh
Frage: Warum ist trotz vD ~10-4 m/s die hohe Informationsübertragung (Telefon) so schnell?
Lsg.
Ausbeitung einer elektromagn. Welle mit c = 3 x 108 m/s
q = (nAL)e
Ladung im Abschnitt der Länge L, Fläche A, Ladungsträgerdichte n
t = L/vD
Driftzeit durch Leiter
I
q nALe
nAev D
t L / vD
E
Strom durch Leiter
evD
A
L
46
Physik II
=>
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j
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I
e n v D
Stromdichte
A
Ladungsträ
Driftgeschw.
gerdichte
wovon hängt vD ab?
a
F eE
m m
Beschleunigung
eE
m
v D a
τ: Zeit zwischen Stößen der Elektronen
Guter elektrischer Leiter wenn j groß bei gegebenem E-Feld:
- hohe Ladungsträgerdichte n
- Große Zeit τ zwischen Ladungsträgerstößen
- Kleine Ladungsträgermasse (im Festkörper m ≠ mElektron , siehe Physik III)
6.2.1 Widerstand
Potenzialdifferenz U am Leiter erzeugt E-Feld und damit Strom I, Leiter bildet Widerstand R
R=U/I
[R] = V/A = Ω (Ohm)
I=U/R
hoher Widerstand drückt den Strom
U +
-
R
Widerstand eines bestimmten Bauteils
ρ
Spezifischer Widerstand als Materialeigenschaft
R
L
A
I
A
I
L
A U A U L E
,
L I L I A
j
=>
R
=>
=>
j E
Material
1
V /m V
mm
A / m2 A
Leitfähigkeit
(aus j
Silber
-8
ρ (Ωm) 1,62x10
Leiter
Kupfer
1,69x10
E
)
Eisen
-8
Si-p-dotiert
-8
9,68x10
-3
2,8x10
Halbleiter
47
Si (rein)
3
2,5x10
Quarz
1016
Isolator
R
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6.2.2 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
Leiter: mit der Temperatur steigt die thermische Bewegung der Atome und damit die störende Streuung der Elektronen im Metall => ρ steigt.
0 1 T
d dT
(spezifischer Widerstand steigt nahezu linear mit T)
Kupfer (Leiter)
σ
(arb.u)
dotierter Si-Halbleiter
n /cm-3
16
4
10
1014
1012
1010
10
103
102
101
0.001 0.002
200 100 50
0.04
25
ArrheniusDarstellung
1/T (K-1)
T (K)
Halbleiter: mit wachsender Temperatur werden mehr Ladungsträger freigesetzt
=>
σ = 1/ ρ ~ n Leitfähigkeit steigt mit T, ρ~1/n fällt mit T
Ladungsträgerdichte n N exp{
W
}
2kT
N max. mögl. Dichte
W: Energie um Elektronen ins LB zu heben
(vergleiche Dampfdruckkurve p(T) )
Exp. 1) Stromkreis mit Widerstandsdraht über einer Flamme, U fest, I messen
2) Halbleiter, dotiertes Si
Messgeräte:
Temperaturmessung = Widerstandsmessung
6.2.3 Ohmscher Widerstand
Def.
„Ein ohmscher Widerstand ist unabhängig von Betrag und Polarität der angelegten
Spannung, d.h. R = U/I gilt unabhängig von Strom & Spannung.“
Test: Strom-Spannungskennlinie I(U) gibt den Typ des Leiters an (T konstant halten)
Ohmscher
nicht-ohmscher Widerstand
Beachte: die moderne Mikroelektronik basiert hauptsächlich auf elektronischen Bauelementen, die nicht dem ohmschen Gesetz gehorchen !
48
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FH Münster, FB Physikalische Technik
6.3 Elektrische Leistung
Verbraucher (Motor, Lampe, Toaster) sitzt in einem Stromkreis
dEel = dq U = Idt U
transportierte Ladung x Potenzialdifferenz
dE el
IU
dt
umgewandelte Leistung am Verbraucher
P
P AV
C J
W
s C
Exp: Stromkette -Fe-Cu-Fe-Cu-Fe-
P=RI2 mit R=U/I und I = konstant => heiß bei großem R
6.4 Stromkreise
Eine Spannungsquelle hält die Potenzialdifferenz (Spannung U) aufrecht und liefert somit die
Energie, die nötig ist um einen Strom laufen zu lassen.
6.4.1 Regeln
Maschenregel Die Summe aller Potenzialänderungen beim Durchlaufen eines geschlossenen
Weges in einem Stromkreis (Masche) ist Null. (Folge der Energieerhaltung)
Widerstandsregel: Durchläuft man einen Widerstand in Stromrichtung, so fällt das Potenzial
um U = - IR, läuft man gegen die Stromrichtung, so wächst es um U = +IR.
Spannungsregel: Läuft man durch eine ideale Spannungsquelle vom neg. zum pos. Pol so
wächst das Potential um UBat .
6.5. Schaltungen
6.5.1 Reihenschaltung von Widerständen
Reihenschaltung heißt: es gibt nur einen Weg für den Stromfluß.
Durch jeden Widerstand fließt der gleiche Strom.
Die Potenzialdifferenzen der Einzelwiderstände summieren sich zu U.
Gesucht:
Ersatzwiderstand R
Lsg.
Maschenregel anwenden
U – IR1 - IR2 - IR3 = 0
U
U
R1 R2 R3 R
=>
I
=>
R Ri
49
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6.5.2 Parallelschaltung
Über allen Widerständen besteht die selbe Potenzialdifferenz.
Der Gesamtstrom ist die Summe der Einzelströme.
I1 =U/R1, I2 = U/R2, I3 = U/R3
I = I1 + I2 + I3 = U (1/R1 + 1/R2 +1/R3)
=>
n
1
1
R i 1 Ri
mit I = U/R
Ersatzwiderstand
6.5.3 Verzweigungsregel (Kirchhoffsche Satz)
„In einem Verzweigungspunkt eines Stromkreises ist die Summe aller
eingehenden Ströme gleich der Summe aller ausgehenden Ströme.“
Ist eine Folge der Ladungserhaltung an jedem Punkt, es gibt weder Quellen noch Senken.
U1
Bsp.
Berechne den Betrag der 3 Ströme wenn U1, U2 bekannt ?
Lsg
6.6 Ladevorgang am Kondensator
a) Auf-Laden des Kondensators über die konstante Batteriespannung UB
Maschenregel ergibt:
=>
UB
UB – RI – q/C = 0
UB R
dq q
0
dt C
Lsg.
q(t)
Lsg.
q(t ) CU B 1 e
I (t )
Differentialgleichung
CUB
beschreibt Zeitabhängigkeit des Ladevorgangs
t
RC
dq U B t RC
e
dt
R
Ladung
Strom
UB/R
50
U2
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UC
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t
q (t )
U B 1 e RC Kondensatorspannung
C
Kondensatorverhalten :
Beginn t = 0 Kurzschluss, UC = 0
Später t >> RC wie Unterbrecher, UC = UB
Zeitkonstante τ = RC erlaubt Geschwindigkeiten durch Ladeprozesse einzustellen
t = τ => q (τ) = CU (1- e -1) = 0,63 CUB
b) Entladen des Kondensators über Widerstand R
R(dq/dt) – q/C = 0
Lsg
q(t ) q 0 e
I (t )
t
RC
q t
dq
0 e RC
dt
RC
q(t)
Differentialgleichung für q
q0
Ladung auf Kondensator
Entladestrom
Exp. Oszilloskop zeigt Lade / Entladevorgang des Kondensators
Blitzgerät warum Laden / Entladen unterschiedlich schnell ? zwei Kreise
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.3, Fragen 4.3.1 – 4.3.12
7 Magnetfelder
den Griechen bekannt als Magnetit (Fe3O4) in Provinz Magnesia, Zugvögel nutzen Erdfeld
Nutzung:
Elektromotoren, Permanent- & Elektromagnete
magn. Datenspeicher, Medizin: Kernspintomographen
Alle Materialien reagieren auf magnetische Kräfte, aber nur wenige sind permanent magnetisch (Fe, Co, Ni, seltene Erden Gd,… )
Erklärung des Magnetismus in Permanentmagneten nur durch Quantenmechanik möglich
Exp. Stabmagnet, Nord-Südpol, Elektromagnet
7.1.1 Magnetische Flussdichte & Lorentzkraft
„Die magnetische Flussdichte B wird über die Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q
mit der Geschwindigkeit v definiert“
Lorentzkraft FL qv B
q
F
F senkrecht zu B und zu v
v
Rechte-Hand-Regel UVW
B
51
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Flussdichte
B
[B] = T (Tesla)
B
oft als Magnetfeldstärke bezeichnet
Typ. Werte:
Erdfeld 10-4T = 1 Gauß,
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T = N/(A m), 1 T = 104 Gauß
Elektromagnet 1T,
Neutronenstern 108 T
Supraleitende Magnete 5-10 T,
Exp. Braunsche Röhre + Magnet
Lorentz-Schaukel, umpolen –> Richtungswechsel, Strom parallel zu B –> kein Effekt
7.1.2 Magnetische Feldlinien
Da ein Magnet über seine Kraftwirkung definiert wird, macht es Sinn ein B-Feld zu definieren
B : Tangente an B-Feldlinie, Feldrichtung: Nord => Süd
B ~ Feldliniendichte
es gibt nur magn. Dipole, keine Monopole wie in Elektrostatik!
Ungleichnamige Pole ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab
Exp. Feldlinien sichtbar machen
7.2 Ladungen auf Kreisbahnen & Massenspektrometer
Generell gilt für ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn:
- Zentrifugalkraft FZ = F ist im Gleichgewicht mit einer anderen Kraft F
v
- Betrag F konstant
Bsp.
- Kraft-Richtung immer zum Kreismittelpunkt
Hammerwerfer
FZ = FS Seilspannkraft,
Satellit um Erde
FZ = Fg Gravitationskraft
Ladung im B-Feld
FZ = FL Lorentzkraft
F
Ladung q tritt mit Geschw. v senkrecht in ein homogenes B-Feld
FZ
mv 2
r
FL = qvB
=>
r
m v
q B
Zentripetalkraft, betragsgleich mit Zentrifugalkraft
Lorentzkraft
Kreisradius
Exp. Wehneltzylinder, e/m-Versuch aus Praktikum, Elektroly CuS2 strömt Berg hinauf
52
FZ
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Massenspektrometer
Zur Bestimmung der Ionenmasse m
q = +1,6x10-19 C
einfach ionisierte Atome
U = 1000 V
Beschleunigungsspannung
B = 80 mT
homogenes B-Feld senkrecht zu v
r = 0,8127 m
Detektion: Fotoplatte / CCD-Chip
Atomgeschw. Ekin = ½ mv2 = qU
=>
r
mit
=>
v2 = 2qU/m
m
m v
m 2 2qU
=> r 2 2 2
q B
q B m
B 2 qr 2
= 3,3863x10-25 kg = 203,93 u, u atomare Masseneinheit (Atom: Thallium)
2U
7.3.1 Magnetische Kraft auf stomdurchflossenen Leiter
gerader Draht der Länge L senkrecht im homogenen B-Feld
L
vD
F qv B α = Winkel B zum Draht
q It I
=>
F ILB sin
7.3.2 Elektromotor / Prinzip
T
Drahtschleife im B-Feld eines Permanentmagneten
FL
- Kräfte an kurzer Seite zeigen in Richtung
θ
Drehachse
Hebelarm: ½bsinθ
=>
T ILB
=>
T ILB b sin
b
sin
2
pro Längsseite
(T = F x r)
für beide Seiten
für ebene Spule mit N Windungen
=>
T ( N I A) B sin ,
A = Lb
I
I
- Kräfte an Längsseite erzeugen Drehmoment
F ILB
Leiterschleife
B
L
der Drehachse, erzeugen kein Drehmoment
=>
b
Fläche der Spule
Gilt für jede ebene Spule im homogenen B-Feld, unabhängig von ihrer Form!
53
FL
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Elektromotor: Strom wird umgepolt sobald Spulenflächennormale A
B-Feldrichtung.
Exp. 1) Elektromotor, Batterie mit Drahtschleife + Magnet
2) Spulenzeigerinstrument
7.3.3 Magnetisches Dipolmoment
Dipolmoment einer Schleife, nicht verwechseln mit Permeabilität μ0 !
I AN
N: Windungszahl, A: Schleifenfläche
=> T B
Drehmoment im B-Feld
Magnetische Energie des Dipols im B-Feld
(ohne Beweis)
E Mag ( ) B
hängt vom Winkel zwischen Dipol und B-Feld ab
Exp. Stabmagneten und Kompassnadel parallel / antiparallel => Energie max / min
7.4 Hall-Effekt
=>
(Hall 1879, Quanten-Hall-Effekt, v. Klitzing 1985 Nobelpreis)
vD
Elektronendriftgeschw.
FL = evDB
Ablenkung => baut E-Feld auf
UH = Ed
Hallspannung durch Ladungsverschiebung
eE = evDB
Gleichgewicht der Kräfte
mit
vD = j/ne = I/(neA)
=>
n
BI
eU H A d
Ladungsträgerdichte
Messgerät für: - Ladungsträgerdichte eines Leiters, Halbleiters,
- Driftgeschwind. von Ladungsträgern (Materialforschung)
- Magnetfelder B
ne A d
UH
I
(Messung von UH)
Exp. Hallsonde misst Hufeisenmagnet aus, Hallsonde aus Praktikum zeigen
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.4, Fragen 4.4.1 – 4.4.12
54
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8 Magnetfelder von Strömen
Woher kommen die Kräfte auf Ströme im Magnetfeld? Erzeugen Ströme Magnetfelder ?
Exp. i) Stabmagnet an Schaukel im Hufeisenmagnet => Kraft zwischen Magneten
ii) Lorentzschaukel im Hufeisenmagnet => Ströme erfahren eine Lorentz-Kraft
iii) Stromdurchflossener Leiter über Kompassnadel, Nadel wird ausgelenkt
8.1.1 Biot-Savartsches Gesetz
Wie groß ist das Magnetfeld im Abstand r einer bewegten Ladung?
gegeben:
Leiterelement ds mit Strom I parallel ds
gesucht:
Magnetfeld dB am Punkt P
dB
es gilt
0 I ds sin
4
r2
(experimentell gefunden)
μ0 = 1,26 x10-6 Tm/A
0 I ds r
dB
4
r3
(Permeabilität für Vakuum)
beachte r/r3 = 1/r2
8.1.2 Magnetfeld des geraden Leiters
Exp. B-Feldlinien um unendlich langen geraden Leiter, Kompassnadel
=>
Kreisförmige Feldlinien um den Draht als Zentrum
=>
Feldliniendichte nimmt mit 1/r ab (Beweis unten)
=>
Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Daumen in Stromrichtung dann zeigen die Finger in
Richtung des erzeugten magnetischen B-Feldes.
Berechnung des B-Feldes:
dB
0 I ds sin
4
r2
B-Feld bei r senkrecht zum Papier
alle Elemente Ids liefern selbe Richtung für B
0
B dB
0
dB 2
0 I sin ds
4 0 r 2
mit r s 2 R 2 und sin sin( )
=>
I
B 0
2
0
R ds
s
2
R2
3
R
2
s R2
(mit Formelsammlung Integral lösen)
2
55
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I
I
s
0
B 0
1
2 s 2 R 2 2
2R
0
=>
8.2 Kraft zwischen parallelen Strömen
parallele, Ströme müssen Kräfte aufeinander ausüben, da jeder Strom ein B-Feld erzeugt
Exp. 2 Leiterschaukel, parallel, antiparalleler Strom
0 I a
2 d
Fba I b L B a
Ba
Fba
B-Feld am Ort b durch Strom Ia
Kraft auf Ib durch Ia (siehe 7.3.1)
0 L I b I a
2 d
da L B
parallele Ströme ziehen sich an, antiparallele Ströme stoßen sich ab
Definition des Stroms über Kraft auf unendlich lange Leiter
8.3 Amperesches Gesetz
(Ampere 1775-1836)
Analog zum Gaußschen Satz für den Zusammenhang E-Feld Ladung erfasst das Amperesche Gesetz den Zusammenhang B-Feld Strom
B
ds 0 I
um
B ds entlang einer geschlossenen Schleife,die
alle Sröme I1, I2, … umschließt, die zu Ium beitragen
Kein Beitrag
8.3.1 B-Feld um langen Draht
=>
B konst. auf Kreis mit Radius r, zylindersymmetrisch
ds auf Kreis parallel B
B
ds B ds 2 rB 0 I
=>
B
Bsp.
Wie sieht die B-Feldverteilung eines langen stromführenden Drahtes aus?
0 I
2 r
gleiches Ergebnis wie nach Biot-Savart (siehe 8.1.2), aber einfacher
56
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FH Münster, FB Physikalische Technik
Strom I homogen über Querschnitt verteilt
B tangential an amperescher Kreisschleife
Lsg.
8.4.1 Magnetfeld einer Spule
innen: B-Felder addieren sich, stark, nahezu homogen
Rechte-Hand-Regel: Finger in Stromrichtung
=>
Daumen in Feldrichtung
außen: B-Felder löschen sich nahezu aus, inhomogen
gegeben:
gesucht:
Spule mit Länge L >> Radius r
Bi Vektorsumme der Felder aller Windungen
i
B
ds 0 I
ideale Spule
um
c d a
= B ds B ds B ds B ds
b
a
b
= Bh + 0 + 0 + 0
=>
B 0 I
N
h
c
d
mit Ium = IN,
I: Strom, N = Windungszahl
(n = N/h = Windungsdichte)
Exp. Magnetfeld einer Spule mit Eisenspänen auf Overheadprojektor sichtbar machen
Magnetfeld mit Hallsonde ausmessen
57
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Elektrostatik
Quelle: Monopol q
Magnetostatik
Dipol
Ladung q erzeugt E-Feld
Gaußscher Satz 0 E dA q
Strom I erzeugt B-Feld
Amperescher Satz B ds 0 I
(Flächenintegral)
Drehmoment auf Dipol
T pE
(Linienintegral)
T B
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.5, Fragen 4.5.1 – 4.5.9
9. Induktion
a) Elektromotor:
Stromschleife + Magnetfeld => Drehmoment
↕ Symmetrie ?
b) Dynamo:
Drehmoment + Magnetfeld => Strom
(bisher)
(Kapitel 9)
Exp. Änderung des Magnetfeldes durch eine Leiterschleife
i) Strom tritt auf bei Relativbewegung Magnet Schleife
ii) schnelle Bewegung => großer Strom
iii) Magnetfeld umpolen => Strom ändert sein Vorzeichen
=>
Prozess: Strom bzw. Spannung wird induziert
Ia
Exp. zwei gegenüberliegende Schleifen, berühren sich nicht
Schleife a) Strom fließt aufgrund UBat, Ia = UBat /R
Ib
Schleife b) Strom Ib wird induziert nur wenn Ia sich ändert (an / aus)
Wenn Ia konstant => Ib = 0
Frage: Strom / Spannungsinduktion tritt auf bei Änderungen – was ändert sich genau?
9.1 Faradaysches Induktionsgesetz
Strom / Spannung wird induziert, wenn die Zahl der Magnetfeldlinien durch die Schleife sich
zeitlich ändert. Wie wird das quantifiziert?
B B dA
Magnetischer Fluss durch Fläche dA
[ΦB] = Tm2 = Wb = Weber
(W.E. Weber 1804 – 1891)
58
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=>
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„Die in einer Leiterschleife induzierte Spannung Ui ist gleich der zeitlichen Änderung
des Flusses durch die Schleife.“
Induzierte Spannung: U i
d B
,
dt
U i N
d B
dt
für Spule mit N Windungen
Flussänderung d B dt ist möglich durch:
i) Magnetfeldstärke B ändern
ii) Fläche A ändern
iii) Winkel zwischen Fläche / Magnetfeld ändern
Exp. zu ii)
a) Praktikumsversuch, b) Leiterschleife über B-Feld schnell zusammenziehen
Exp. zu iii)
Dynamo
Exp. zu i)
zwei verschachtelte Spulen (siehe Abb.)
Bsp.
1) lange Zylinderspule : n1 = N/h = 200/cm = 2.104 /m , I1 = 1,5A, r1 = 16 mm
2) Testspule: N2 = 130, r2 = 10,5 mm im Zentrum der Spule-1
Spule 2
Spule 1
I1 ändert sich mit konst. Geschw. in 25 ms auf 0A
Frage welche Spannung U2 wird in Spule2 induziert?
B, ΦB
Lsg.
U2
B
Bsp.
Magnetfeld durch Leiterschleife, B(t) ändert sich
t
Wie läuft die induzierte Spannung Ui(t) ?
Ui
Lsg.
t
59
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9.2 Lenzsche Regel
(H.F.E. Lenz 1804 – 1865)
„Ein induzierter Strom ist so gerichtet, dass das von ihm erzeugte B-Feld der
Änderung des magnetischen Flusses entgegenwirkt.“
(Trägheitsprinzip, Energieerhaltung)
v
Exp. Abstoßung eines Alu-Ringes durch Stromanschaltung
Beobachtung: Spulenstrom ISp anschalten => Ring wird abgestoßen
BSpule
Bi-Ring
Ursache: ISp steigt => BSp in Spule steigt => dΦB/dt > 0 => Ui = -dΦB/dt Induzierte Spannung
=> -Ii => -Bi im Ring, Richtung entgegen dem B-Feld der Spule
nach Lenzscher Regel soll ansteigendes Feld kompensiert werden
=> entgegen gerichtete B-Felder stoßen sich ab => Ring wird abgestoßen
b) Spulenstrom abschalten => Ring wird angezogen
c) Strom fließt konstant in der Spule, keine Induktion, Ring bleibt auf Stab
dΦB/dt = 0 => Ui =0 => Ii = 0 => Bi = 0 im Ring
E-Gitarre
Exp. Gitarren zeigen
Akustik-Gitarre: Ton durch akustische Resonanz des Klangkörpers mit schwingender Saite
E-Gitarre:
kein Resonanzkörper, Frequenz der schwingenden Saite wird direkt erfasst u.
an Verstärker weitergegeben
Prinzip:
Permanentmagnet in Spule erzeugt B-Feld in Stahl-Saite
Saite schwingt mit Frequenz f als eigener Magnet
=>
Fluss durch Spule: ΦB-Permanent + ΦB-Saite
=>
Flussänderung in der Spule mit Frequenz f
=>
Induktion Ui = -dΦB/dt in Spule mit Saiten-Frequenz f
Frage: Die Saite der E-Gitarre reißt und wird durch die Nylonsaite einer akustischen Gitarre
ersetzt. Wie ändert sich der Ton dadurch?
Lsg.
60
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9.3 Wirbelströme & Energietransfer
Exp. Wirbelstrombremse mit Metallplatte
a) geschlossener Platte: Warum bremst die Platte im B-Feld, obwohl unmagnetisch?
b) geschlitzter Platte: warum ist die Bremswirkung reduziert?
Deutungsmodell: Leiterschleife wird durch ein B-Feld gezogen, so dass
Ui
d B
0 => Ii Strom fließt durch Schleife (im B-Feld)
dt
=> Lorentz-Kraft überwinden, um Schleife mit Geschw. v zu ziehen
=> Arbeit & Energieverbrauch
Wo steckt die Energie?
=> Ii wird am Widerstand der Leiterschleife R in Wärme umgewandelt
Bew. P = Fv
Leistung um Schleife zu ziehen
ΦB = BA = BLx
Ui
Lx: von B durchsetzte Fläche
d B
d
BLx BLv
dt
dt
v=dx/dt: Geschw. der Schleife
(Strom wird nicht durch Batterie getrieben, sondern durch die Induktion !)
U i BLv
R
R
F Ii L B
Ii
R: Widerstand der Leitung
Kraft auf Leiter
F2 + F3 = 0, bleibt nur F = F1 = IiLB sin90°
B 2 L2 v
R
=>
F
=>
PF v
B 2 L2 v 2
R
2
BLv
P
I i2 R
R
R
elektr . Leistung
mechan. Leistung
Anwendung:
- Wirbelstrombremse in Eisenbahn, Induktionskochfelder
- Wirbelstromtachometer: rotierender Permanentmagnet in Metallzylinder
- Zerstörungsfreie Prüfung von Metallen auf feine Risse, Wirbelströme ererzeugen B-Felder, abh. vom Widerstand R im Material = Maß für Risse
61
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Exp. Magnete fallen durch Metallrohr, geschlitztes Metallrohr, Kunststoffrohr.
Unterschiedliche Fallzeiten, Vergleiche auch Fallzeiten: Magnet, Metallstück
Deutung:
Wirbelströme im Rohr bremsen indem sie Magnetfeld erzeugen, das dem des
fallenden Magneten entgegengesetzt ist
9.4 Induzierte E-Felder
betrachte Exp. „Abstoßung des Alu-Ringes“ im verändernden B-Feld nach Lenzscher Regel
d B
U
U i => I i i => Bi
dt
R
=>
Ringstrom Ii muss durch Ringfeld Ei erzeugt worden sein denn
j Ei
=>
„Ein veränderliches Magnetfeld induziert ein E-Feld“
(auch dann, wenn keine Materie existiert)
Wie hängen Ringfeld und Flußänderung zusammen?
Ursache
dB
0 B steigt an
dt
betrachte Arbeit W um Probeladung q auf dem Kreis zu bewegen
d B
W F ds q E i ds qU i q
dt
=>
d B
E
i ds dt
Welches elektr. Potenzial Φ hat ein induziertes E-Feld?
Statisches Feld:
f i E ds 0 , wenn i = f
Induziertes Feld
E
i ds 0 bei einem Kreisumlauf, obwohl i = f => Pot. unsinnig!
E-Felder:
E-statisch
Ei-induziert
Quelle
Ladung q
d B
dt
Form
+ nach -
geschlossener Ring
Potenzial
Φ(r)
kein Pot. definierbar
62
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9.5.1 Induktivität
- Kondensator wird durch Kapazität beschrieben,
erfasst das aufgebaute E-Feld wenn Ladung auf die Platten verschoben wird
- Spule durch Induktivität beschrieben, erfasst Magnetfeld, wenn Strom durch Spule fließt
L
N B
,
I
[L] = Tm2/A = H = Henry
N: Spulenwindungen,
(J.Henry, 1797 – 1878, USA)
I: Spulenstrom, ΦB: Fluss durch Spule
Zylinderspule
=>
NΦB = (nl)(BA)
n = N/l Windung / Länge, Länge l >> Durchmesser
B = μ0In
B Feldstärke im Inneren der Spule
L
N B (nl )( 0 In) A
I
I
L 0 n 2 lA
nur bauart-abhängig (wie Kondensator)
Spule mit Kern: L 0 n 2 lA (siehe Kapitel 10)
9.5.2 Selbstinduktion
Exp. Glühbirne im RL-Kreis: Verzögertes Aufleuchten bei An- / Nachleuten bei Abschalten
Deutung: Eine induzierte Spannung entsteht in jeder Spule, in der sich der Strom ändert.
mit
NΦB = LI
=>
Ui
(Definition von L in 9.5.1)
dN B
dI
L
dt
dt
also: nicht der Strom, sondern die Änderung des Stromes ist wichtig
Richtung der Induktionsspannung:
aus Lenzscher Regel, d.h Induktion wirkt der Ursache entgegen:
Ui erzeugt Ii, der versucht der Strom-Änderung dI/dt entgegen zu wirken
9.5.3 RL-Glieder
Verzögerung von An- / Aus-Schaltvorgängen im RL-Stromkreis (Widerstand + Spule)
63
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An-Schalten
UB – IR – LdI/dt = 0
=>
I (t )
UB
R
(Diff.gleichung)
UB
R
t
1 e L
τL = L/R
Zeitkonstante
Aus-Schalten
- IR – LdI/dt = 0
=>
U
I (t ) B
R
(Diff.gleichung)
τ
RL t
e
mit I0 = UB/R
Selbstinduktion als Trägheit des Stromflusses durch die Spule
Exp. RL-Glied: aus / an-schalten auf Oszilloskop zeigen
9.6 Energie des Magnetfeldes
Wenn der Stromfluss durch eine Spule unterbrochen wird, so versucht die Selbstinduktion den
Strom zu erhalten. Woher kommt aber die Energie für den Strom, wenn UBat = 0?
9.6.1 Magnetische Energie
UBat
UBat = IR + L dI/dt
UB I = I2R + LI dI/dt
a
b
(beide Seiten mit I multipliziert)
c
Deutung:
a)
UB I = P
Leistung der Batterie, um Ladung dq in Zeit dt zu transportieren
W = Pdt = UB dq
Arbeit / Energieverlust der Batterie
b)
I2R = PWärme
Teil der Batterie-Leistung als Wärmeverlust im Widerstand
c)
LI dI/dt = Pmag
Teil der Batterie-Leistung in Spule als Emag gespeichert
=>
E mag Pmag dt LI dI
t
0
=>
E mag
1 2
LI
2
I
0
magn. Energie in Spule gespeichert
64
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9.6.2 Magnetische Energie-Dichte
mag
E mag
V
l
2
mag
mag
=>
A
Spulenvolumen V = Al
2
LI
L I
1
0 n 2 I 2 ,
2 Al l 2 A 2
B2
2 0
mit L/l = μ0n2 A (9.5.1)
mit B = μ0In (8.4.1)
magn. Energie steckt im B-Feld, gilt nicht nur für Spule, => elektro-magn. Welle
Übersicht
Feld
Fluss
Elektro
E
E
d
A
Magneto
B
B
dA
Bauteil
Größe
Kondensator
Kapazität
C = q/U
q=q0e-t/RC
q2
E el
2C
1
el 0 E 2
2
Spule
Induktivität
L = NΦB/I
I=I0e-tR/L
(abschalten)
1
E mag LI 2
2
B2
mag
2 0
Zeitabh.
Energie
Energiedichte
I
9.7 Transformator
Windungen Primärspule: NP ,
Sekundärspule NS
Eisenkern führt den Fluss durch beide Spulen mit
ΦP = ΦS
Prinzip: Primärspule P läuft mit Wechselstrom => erzeugt Wechsel B-Feld
=>
d S d P
dt
dt
=>
U S NS
=>
US NS
UP NP
Fluss ändert sich zeitlich, also gibt es Induktion in beiden Spulen
d
,
dt
U P N P
d
dt
=> Spannungs-Verstärkung: Sekundärspule mit NS >> NP
Idealer Transformator: kein Energieverlust, d.h. auch idealer Leistungstransfer
PP = UPIP = USIS = PS
=>
IS UP NP
IP US NS
=> Stromverstärkung: Primärspule große Wicklungszahl NP >> NS
65
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Anwendung: - Spannung transformieren
- Stromverstärkung,
- kontaktloser Leistungstransfer zur Aufladung von Akkus, Rasierer
Exp. Nagel schmelzen, Trafo, Stromverstärkung: Windungszahl der Primärspule NP >> NS
Hörnerblitzableiter Sekundärspule NS >> NP
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.6, Fragen 4.6.1 – 4.6.12
10 Magnetismus der Materie
H
B 0 H
Magnetfeld
1
Permeabilitätskonstante (ohne Einheit), Vakuum μ = 1
Magnetische Flussdichte
κ≠0
Suszeptibilität (ohne Einheit), Stärke des B-Feldes in der Materie
B 0 (H M )
0H :
externes Magnetfeld (magn. Flussdichte)
0M :
Magnetfeld (Flussdichte) der Materie
Magnete existieren nur als Dipole, nie als Monopole – warum? Halbiert man einen Magneten,
so gibt es 2 neue Magnete. Wie weit kann man den Magneten herunter brechen? Gibt es einen
kleinsten Elementarmagneten?
10.1 Magnetismus des Elektrons
Was ist die kleinste magn. Einheit? Magnetfelder werden durch bewegte Ladung erzeugt, also
sehen wir uns die kleinste Ladungseinheit, das Elektron an.
10.1.1 Bahnmoment
Planetenmodell der Atome: Elektron kreist um Atomkern, entspricht Ringstrom I um Kern
=>
magn. Bahn-Dipolmoment durch Ringstrom
=>
μBahn = IA
mit
I
Ladung
e
Zeit
2 r v
66
Physik II
=>
Prof. Dr. Hans-Christoph Mertins
Bahn
FH Münster, FB Physikalische Technik
e
1
r 2 evr
2 r v
2
kreisendes Elektron hat einen mechanischen Bahndrehimpuls
L m (r v ) L m r v
da r senkrecht v
=>
also:
e
Bahn
L
2m
minus, da μBahn = und L antiparallel (–e)
kreisendes Elektron erzeugt magnetisches Moment
kreisendes Elektron ist nicht weiter teilbar (Elementarmagnet)
Quantenmechanik:
Bahndrehimpuls kann nur bestimmte Werte annehmen (Physik III)
Planetenmodell dient nur der Motivation, es ist sehr begrenzt!
Bohr
eh
J
9,27 10 24
2m 2
T
Bohrsches Magneton
10.1.2 Spinmoment
gibt es Magnetismus, auch wenn die Elektronen nicht auf Kreisbahnen fliegen? Ja!
Elektronen-Eigenschaften:
Masse
m = 9,11 x 10-31 kg
Ladung
e = -1,60 x 10-19 C
NEU: Spin
Spin
S, mS = ± ½
engl. Schnell drehen, Drall, denkbar als Eigenrotation des Elektrons
(Rotation der Erde 1x pro Tag um sich selbst). Aber: Elektron hat kein Volumen, u.
ein Punkt kann sich nicht um sich selbst drehen
e
Spin S
m
nur die Komponente des Spins parallel zum B-Feld in z-Richtung ist messbar
S z mS
h
2
mS = ± ½
eigentlich: Spin 2 Bohr
S
aber 2x ½ =1
h 2
eh
J
Spin z
9,27 10 24
4 m
T
Bohrsches Magneton, (Elementarmagnet)
J
neutron 5,05 10 27
T
magn. Moment des Neutrons
67
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Magnetische Energie des Elektrons
Atom orientiert / bewegt sich im externen Magnetfeld, so dass die Energie der Elektronen in
der Hülle minimal wird:
E Mag Bahn Spin B
=>
(siehe 7.3.3 magn. Dipol)
erklärt später das Verhalten von Para- & Ferromagneten im externen B-Feld
10.2 Diamagnetismus
Tritt in allen Substanzen auf, ist aber so schwach, dass es meist von den anderen Formen des
Magnetismus überdeckt wird.
„Eine diamagnetische Probe erhält erst in einem äußeren Magnetfeld Bex ein magnetisches Moment, das Bex entgegengesetzt ist. Die Probe wird aus Bex hinausgedrängt.“
Exp. 1) Wismutkugel wird aus B-Feld gedrängt
2) Supraleiter ist ein idealer Diamagnet, Meißner-Ochsenfeld Effekt
Atomstruktur: Magn. Momente aller Elektronen eines Atoms kompensieren sich:
Spin Bahn 0 => Material ist nicht magnetisch
Prozess:
=>
Material wird in externes Feld Bext hinein gebracht
d B
0 => Strom wird induziert, wirkt nach Lenzscher Regel der Ursache
dt
entgegen, d.h. Bind Bext => Abstoßung des Materials
Material baut eigenes, entgegen Bex gerichtetes Magnetfeld M auf
M = κH
Diamagnete: κ < 0 ,
Supraleiter:
-14x10-6 (Wismuth), κ = -0,72x10-6 H2O
(sehr schwach)
idealer Diamagnet, da vollständiges Verdrängen von Bex aus dem Supraleiter
=> Supraleiter schwebt im externen B-Feld
10.3 Paramagnetismus
Exp. 1) Aluminium wird in B-Feld hineingezogen
Atomstruktur: Spin- & Bahnmomente aller Elektronen eines Atoms bilden 0
Festkörper:
Wärmebewegung ergibt statistische Verteilung aller Atom-Momente
=> Festkörper ist nicht magnetisiert
68
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Prozess in Bex: Ausrichtung aller magn. Momente der Atome
=> Paramagnet wird in Bext-Feld gezogen
=>
Paramagnete: κ > 0 (κ = +19 x 10-6 Platin)
=>
M
C
H
T
Alle magn. Momente
sind ausgerichtet
(Curiegesetz, Piere Curie 1895))
Wärmebewegung u. H-Feld sind gegenläufig
Bex gegen
therm. Beweg.
10.4 Ferromagnetismus
Exp. 1) Fe wird in B-Feld hineingezogen
Atomstruktur: Spin- & Bahnmomente aller Elektronen eines Atoms bilden 0
Festkörper:
Quantenmechan. Wechselwirkung richtet die atomaren Momente aus
=> permanenter Magnet
Prozess in Bext: Ausrichtung aller atomaren magn. Momente
=> wird in Bext-Feld gezogen
Temp.abh.
wenn T > TC (Curietemp.) => Wärmebewegung stärker als quantenmechan.
Ausrichtung der atomaren Momente => Verhalten wie Paramagnet
M
Materialien:
C
H
T TC
für T > TC
Fe, Co, Ni, seltene Erden Gd, Dy, Er, Häusler-Verbindungen
κ ~ 100 – 10000 , κ > 0, stark abh. von Bex und Vorgeschichte
Weißsche Bezirke
Einzelne Kristallbereiche mit einheitlicher Magnetisierung,
aber jeder Bereich hat seine eigene Magnetisierung
=> Summe der Magnetisierung aller Bereiche kann Null sein
Wirkung im externen B-Feld:
- Ausrichtung der magn. Momente der Weißschen Bereiche durch Bext
- Wachstum der Weißschen Bereiche durch Wandverschiebung (Blochwände)
Wachstum kann man beobachten:
- Fehlstellen im Kristall hemmen das Wachsen der Bereiche / Wandverschiebung
- sprunghaftes Ändern der Magnetisierung => Barkhausen-Rauschen
69
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Magnetisierung M des Materials
Hysteresiskurve
Neukurve
a => b
Sättigung
b, d
Remanenz
c
e
Externes Feld H
Koerzitivfeld e
Datenspeicher:
Remanenz wichtig
Daten Schreiben:
Koerzitivfeld klein halten („weiche“ Magnete)
Exp. Hystersiskurve
Exp. Barkhausen-Rauschen in Spule => Uind = -dΦB/dt Verstärker / Lautsprecher
10.5 Anwendung von Ferromagneten
1. permanente Magnetisierung (Remanenz) in Datenspeicher, Permanentmagn.
2. Verstärkung durch großes magn. Moment κ ~ 100 – 10000
3. Magnetische Flussführung im Transformator / Polschuh
4. Induktionsschleifen vor Ampel, Orts- / Längenmessung
Zu 2. Eisenkern mit eigener Magnetisierung M verstärkt B-Feld
=> B 0 ( H M ) => Fluss B B dA
Exp. 2 Spulen: a) ohne, b) mit Eisenkern ziehen an Faden hängendes Eisenstück verschieden stark an
Zu 4.
Ui
dN B
dI
L
dt
dt
=> L 0 n 2 lA
Induktion
Induktivität der Spule mit Eisenkern
Exp. Induktionsschleife vor Ampel, Eisenteile des Autos ändern Fluss durch die Schleife
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.8, Fragen 4.8.1 – 4.8.6
70
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11 Wechselstrom & Schwingkreis
Kondensator und Spule können Energie
speichern. Die Kopplung von Kondensator & Spule ermöglicht den periodischen Energieaustausch zwischen
ihnen wie bei einem Pendel. Die
Schwingungsdauer erhält man aus den
entsprechenden Zeitkonstanten.
11.1 LC-Schwingkreis (ungedämpft)
E E e E mag
1 2 1 2
q LI
2C
2
Energie-Erhaltung, da R = 0 => dE = 0
dE d q 2 LI 2
dt dt 2C
2
q dq
dI
LI
dt
C dt
=>
0
=>
L
Lsg
q(t) = q0cos(ωt + φ) ableiten u. einsetzen in DGL
=>
(-Lω2 + 1/C) q0cos(ωt + φ) = 0
=>
d 2q 1
q0
dt 2 C
Schwingungsgleichung
1
(mit I = dq/dt, dI/dt = d2q/dt2 )
Schwingungsfrequenz
LC
Energie-Schwingung
2
q
E e 0 cos 2 ( t )
2C
2
E mag
q
1
1
2
LI 2 L 2 q 0 sin 2 ( t ) 0 sin 2 ( t )
2
2
2C
2
E E e E mag
2
q0
q
(cos 2 ( t ) sin 2 ( t )) 0 konstant
2C
2C
11.2 LCR Schwingkreis (gedämpft)
ein Teil der Energie geht am ohmschen Widerstand R als Wärme verloren
P = -dE/dt = -I2R
=>
dE q dq
dI
LI
I 2 R
dt C dt
dt
(I = dq/dt wird gekürzt)
71
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=>
Lsg
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L
d 2q
dq 1
R
q0
2
dt C
dt
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DGL gedämpfte Schwingung
R
t
2L
q (t ) q 0 e
cos t
Dämpfungsterm Schwingungsterm
1 R
LC 2 L
2
Eigenfrequenz
R
2L
Dämpfung
Energie im Kondensator
2
E (t )
Rt
q (t ) 2 q 0 L
e cos 2 t
2C
2C
(mit R << L, so dass ω = (1/LC)2 )
Schwingungen
System
Feder-Masse
LCR-Oszillator
Feder-Energie
Epot = ½ kx2
Kondensator Eel = ½ (1/C)q2
Masse-Energie
Ekin = ½ mv2
Spule
Emag = ½ LI2
Reibung
b = F/v
Widerstand
R = U/I
Geschwindigk.
v = dx/dt
Strom
I = dq/dt
Eigen-Frequenz
Schwingung
x (t ) x 0 e
k b
m 2m
b
t
2m
2
cos t
1 R
LC 2 L
q (t ) q 0 e
R
t
2L
2
cos t
11.3 Wechselstrom
Vorteil Wechsel- gegenüber Gleichstrom: Induktion für Spannungs-Transformation nutzbar
Herstellung: Rotation einer Drahtschleife im B-Feld
Spannung:
U(t) = Ua0sinωat
Frequenz:
fa = 50 Hz (Europa)
Strom:
I(t) = I0sin(ωat - φ)
Phasenkonst.: φ abh. vom Stromkreis
11.4 Erzwungene Schwingung
ist Thema der VL Elektrotechnik im 3. Semester
72
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11.5 Leistung in Wechselstromkreisen
was meint man, wenn man sagt, die Steckdose gibt eine Wechselspannung von 230 V, obwohl
sich U(t) doch 50 mal pro Sekunde ändert? Betrachte dazu RLC-Kreis aus 11.4,
Energiequelle:
U(t) = Ua0sinωat
Leistung am Widerstand
PR = UI = RI2 = R(I sinωat)2
gesucht:
Pgem über längere Zeit gemittelter Leistungsverbrauch
Mittelwertbildung von i)
sinx = 0
sin2 x = ½
ii)
=>
Pgem = ½ RI2
2
=>
Pgem
I
R
2
Effektivwerte: I eff
I
2
, U eff
U
,
2
Scheitelwert: U = 325 V bei Ueff = 230 V
Amperemeter, Voltmeter bestimmen bei Wechselstrom Ieff, Ueff
Ziel:
identische Leistungsdefinition am Widerstand R für Gleich & Wechselstrom
Gleichstrom
Pgem = RI2
Wechselstrom
Pgem = RI2eff
Messung: siehe VL Elektrotechnik im 3. Semester
73
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Optik
1 Elektromagnetische Wellen
Licht ist eine elektromagnetische Welle, nur
ein Teil des Spektrums ist für uns sichtbar
1.1 Erzeugung
Beschleunigte Ladung strahlt EM Wellen ab:
N
-
Bremsstrahlung in Röntgenröhre
-
Synchrotronstrahlung im Ablenkmagneten
-
Oszillierender Strom in Antenne
-
Thermische angeregte Strahlung in Sternen (Sonne)
eB
Radialbeschl.
Licht
S
Antenne / Mikrowellensender
i) LC-Schwingkreis
ii) Antenne wird induktiv eingekoppelt
iii) Anregung des LC-Kreises um Strahlungsverluste
(gewollt) auszugleichen
iv) Antennenstrom: I(t) = I0sinωt, 1 LC
Exp. Radio, Resonanz einstellen
1.2 Eigenschaften
Ebene Welle weit entfernt von der Antenne (keine Krümmung der Front)
• transversal: E k , B k
• EB
• E(t) = E0sin(kx – ωt),
B(t) = B0sin(kx – ωt)
• B- & E-Felder halten sich gegenseitig am Leben
• kann sich ohne Medium ausbreiten
• Lichtgeschwindigkeit c = 299 792 459 m/s (Definition des Meters)
ist unabh. von Geschw. des Beobachters (spez. Relativitätstheorie)
74
k
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1.3 Ausbreitung
a) B-Feld erzeugt E-Feld
betrachte roten Bereich in 1.2, B-Feld durch gelbe Schleife nimmt zeitlich ab
d B
0 => Bind parallel B wird erzeugt (Lenz)
dt
=>
Ring E-Feld muß gegen Uhrzeigersinn existieren
=>
rechte Seite: E + dE , linke Seite: E
=>
d B
E ds
dt
d
B hdx ( E dE )h Eh hdE
dt
dB dE
dt dx
genauer
Faradays Induktionsgesetz
Eind
denn auf Strecke dx ist E dx
B E
t x
B nimmt mit t ab, E nimmt mit x zu
anwenden auf Wellenfunktion
E
kE 0 cos(kx t ) ,
x
=>
E0
c
B0 k
B
B0 cos(kx t )
t
Verhältnis von E- zu B-Feld ergibt die Lichtgeschwindigkeit
b) E-Feld erzeugt B-Feld
betrachte zeitl. abnehmendes E-Feld bzw. elektr. Fluß ΦE durch Schleife
0 0
d E
B ds
dt
maxwellsches Induktionsgesetz
(siehe Elektrodynamik 9.4)
=>
0 0
d
E hdx ( B dB )h Bh h dB
dt
0 0
E
B
t
x
B nimmt mit x zu, E nimmt mit t ab
mit den Ableitungen von E(t), B(t) aus 1.2 folgt
kB0 cos(kx t ) 0 0 E 0 cos(kx t )
=>
E0
1
1
c
B0 0 0 ( / k ) 0 0 c
=>
c
1
0 0
75
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1.4 Pointing-Vektor
Elektromagnetische Wellen übertragen Energie (z.B. Sonnenstrahlung), bei einem Radiowellensender ist es die Energie, die man reinstecken muss um EM-Wellen zu erzeugen
1
S
EB
0
Pointingvektor = Leistung pro Fläche
„Die Richtung des Pointingvektors gibt die Richtung der Wellenausbreitung und des
Energietransportes an.“
Messgeräte erfassen meist das E-Feld, also folgt mit E/B = c (aus 1.3.a)
=>
S
1
E2
0c
Intensität I (Bestrahlungsstärke) der Welle ergibt sich aus zeitlicher Mittelung von E
=>
I S gem
1 1 2
E0
0c 2
mit E(t)2 = E02sin2ωt = ½ E02
isotrope Quelle strahlt kugelförmig ab
=>
I
P
4 r 2
Intensität nimmt mit r2 ab, vergleiche E ~ 1/r, => E2 ~ 1/r2
Wo steckt die Energie der EM-Welle?
1
1
el 0 E 2 0 c 2 B 2
2
2
=>
(mit E = B c)
1
1
B2
el 0
mag
B2
2 0 0
2 0
Energie teilt sich gleichmäßig im E- und B-Feld auf!
2.1 Polarisation
linear polarisiert
E-Feld schwingt immer in gleicher Ebene
Hertzscher Dipol
strahlt linear polarisierte Wellen ab
Strahlt Quer zur Antenne
Strahlt Nie längs der Antenne
Laserlicht
meist linear pol.
Unpolarisiert
viele Wellenzüge mit beliebigen Schwingungsebenen der E-Felder
Vektorielle Aufteilung aller Komponenten in gleiche x- y-Anteile
Sonne, Glühlampe
unpolarisiert, da statistisch emittierte Wellenzüge jeder Polarisation
Pola-Messung
Beweis, dass Licht transversale EM Welle ist
76
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2.2 Polarisationsfilter
Polaroidfolien: Kunststoffe mit parallel angeordneten, langkettigen Molekülen
Prinzip:
Absorption des lin. Pol. Lichtes, wenn E-Feld parallel zu Molekülen
Langes Molekül wirkt wie Hertzscher Dipol, Anregung der Elektronen
Wellen mit E quer zum Molekül werden nicht aborbiert
Nomenklatur: Pol-Filter absorbiert Welle mit E quer zur Polarisationsrichtung des Filters
Exp. Mikrowellensender und Drahtnetz
Exp. 2 Polfilter, der erste polarisiert linear, der zweite analysiert lin. Pol. Licht
Polarimeter
Aufbau zur Messung von Effekten mit linear polarisiertem Licht,
Anwendung: Biologie, Chemie, Physik Lesegeräte von magn. Datenspeichern
Lin pol. Licht fällt auf Pol-Filter unter Pol-Winkel θ
=>
=>
Durchgelassene Komponente
I=
Ey2
2
2
= E0 sin θ
Ey = E0 sinθ
Intensität hinter Analysator
Messung: Polarisator & Analysator 90° verdreht => Lichtabsorption
Probe steht in der Mitte, dreht die Polarisation des Lichtes
Polarisator
=> Analysator drehen, bis wieder Lichtauslöschung
Probe
=> Drehwinkel: Drehung der Pol. durch die Probe
Analysator
Exp. Rohrzuckergehalt bestimmen, Laser + 2 Polfilter
Exp. Flüssigkristallanzeige, Kerr-Effekt
Pol. gedreht
hell
E
B
dunkel
Laser
Analysator
Magnet
Anwendung - Messung magnetischer Bits auf Speicherplatte
- Messung der Hysteresekurve ohne Hallsonde
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 4.9 ohne Maxwell-Gl:, Fragen 4.9.1 – 4.9.10
77
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3 Strahlenoptik: Reflexion & Brechung
geometrische Optik: Lichtausbreitung wird durch Lichtstrahlen behandelt
Betrachte Übergang zwischen zwei Medien (z.B. Luft / Glas)
Einfallsebene:
definiert durch einfallenden, reflektierten, gebrochenen Strahl
Normale:
senkrecht zur Grenzfläche
Lichtweg:
von Medium 1 nach Medium 2
Reflexion
1 1 `
Einfallswinkel = Ausfallswinkel
Brechung
n1 sin 2
n2 sin 1
Snellius-Gesetz
Exp. Reflexion / Brechung am Glasmodell zeigen
Brechungsindex
n1, n2
Materialkonstanten, ohne Einheit;
Optische Dichte des Mediums
n
cvac
cmaterial
cvac: Lichtgeschwindigleit, im Vakuum / Material
Herleitung durch das Wellenmodell später
Material
Vakuum
Luft
Quarzglas
Kronglas
Diamant
n (589 nm)
1
1,00029
1,46
1,52
2,42
n1
sin 1
n2
Brechung:
sin 2
Fall 1)
n1 < n2 => 1 2 Brechung zum Lot hin
Fall 2)
n1 > n2 => 1 2 Brechung vom Lot weg
Exp. Lichtbrechung / Reflexion Fälle 1), 2), 3) Totalreflexion,
Laserpointer mitnehmen
78
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3.2 Totalreflexion
Lichtübergang vom optisch dichteren ins dünnere Medium (z.B. Wasser (n1) => Luft (n2))
Grenzwinkel 1 krit => Totalreflexion, Licht geht nicht vom dünnen ins dichte Medium
aus
=>
sin 1
n2
sin 2
n1
sin krit
n2
θ2 = 90
n1
θ1 = θBkrit
n2
n
sin 90 2
n1
n1
Grenzwinkel 1 krit => Totalreflexion, Licht geht nicht vom dünnen ins dichte Medium
Exp. Totalreflexion, Lichtleiter, Fasern
Führung im Wasserstrahl !
Anwendung: Lichtleiter in der Medizintechnik, Magenspiegelung,
beachte: Lichtleiter ist außen nicht notwendigerweise verspiegelt !!
Halbleiterlaser: Strahlführung durch Brechungsindexprofil, Datenübertragung
3.3 Dispersion
Lichtfarbe:
definiert durch Wellenlänge des Lichtes
Weißes Licht: Summe aller sichtbaren Komponenten
Dispersion:
„Brechungsindex des Mediums (nicht bei Vakuum)
hängt von der Wellenlänge des Lichtes ab“.
Exp. chromatische Dispersion am Glasprisma
Dispersion
n(λ):
Snells Gesetz
sin 2
Übergang
Luft n1 = 1 => Glas n2 > 1
n2(blau) > n2(rot)
n1
n
sin 1 => 2 ~ 1
n2
n2
2 (blau ) 2 (rot )
Anwendung: Prismen-Spektrometer, Materialanalyse von Gasen, Festkörpern
79
Quarzglas
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3.3 Brewster-Polarisatoren
(Sir D. Brewster 1812)
„Wird Licht unter dem Brewsterwinkel reflektiert, so ist es teilweise polarisiert
mit der Schwingungsrichtung des E-Feldes senkrecht zur Einfallsebene.“
Prinzip:Reflexion = Strahlung der Moleküle wie Hertzscher Dipol
Anregung der Moleküle durch einfallendes E-Feld
Hertzscher Dipol strahlt nicht in Längsrichtung
=>
wenn B 2 90 => kein E-Feld parallel zur Einfallsebene
nur E-Feld senkrecht zur Einfallsebene
=>
sin B
n2
n
n
sin 2 2 sin( 90 B ) 2 cos B
n1
n1
n1
tan B
n2
n1
Exp.
Polfilter verteilen, Reflexion an Glasplatte auslöschen
Anwendung: Brillen mit Polfilter-Schicht zur Reflexverminderung
4 Optische Abbildung
4.1 reell / virtuell
Bildtypen zur Beschreibung von Abbildungsoptiken (Spiegel, Lupe Fernglas, Mikroskop):
a) Reell:
lassen sich wirklich auf einer Fläche (Photoplatte) abbilden
b) virtuell: entstehen im Gehirn des Betrachters, nicht dort abbildbar, wo sie erscheinen
Exp. Spiegel, Foto hinter dem Spiegelglas nicht möglich
4.2 Ebene Spiegel
Reflexion des Strahls in eine Richtung (keine diffuse Streuung)
Bildkonstruktion des leuchtenden Gegenstandes:
Gegenstand: G: Größe (Höhe) ,
Bild
g: Gegenstandsweite
B: Größe des Bildes b: Bildweite
i) betrachte 2 Strahlen eines Objektpunktes, die das Auge erreichen
ii) verlängere reflektierte Strahlen bis zum Schnittpunkt => virtuelles Bild
iii) beachte spezielle Optik, hier ebener Spiegel: -b = g
80
G
g
b
B
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Spiegelfläche
4.3 Kugelspiegel (sphärisch)
Ausschnitt einer verspiegelten Kugel mit Radius r
Θ
r
Konkav:
Θ´
Opt. Achse
nach innen gewölbt zum Krümmungsmittelpunkt C
Brennpunkt: Parallele Strahlen werden in F gebündelt
Brennweite:
f
1
r
2
Reller Fokus
Konvex:
nach außen gewölbt
Brennpunkt: F Verlängerung der reflektierten Strahlen hinter dem Spiegel
Brennweite:
1
f r
2
neg., virtueller Fokus
Exp. parallele Lichtstrahlen an konkav / konvexem Spiegel reflektieren, Papier in Brennpunkt halten, zeigen virtuell / reell, Autoscheinwerfer, Kerze im Fokus anzünden
Bildkonstruktion: Hauptstrahlen
1) parallele Strahlen zur opt. Achse werden durch den Brennpunkt F reflektiert
2) Strahlen durch Brennpunkt werden parallel zur opt. Achse reflektiert
3) Strahlen durch Krümmungsmittelpunkt C werden in sich reflektiert
4) Strahlen die im Scheitelpunkt (Schnitt opt. Achse / Spiegel)
einfallen werden symmetrisch zur opt. Achse reflektiert
=> Bildpunkt: Schnittpunkt der Hauptstrahlen
Beachte: gilt nur für achsennahe Strahlen
Fokus wandert =>
Bild wird unscharf
81
Physik II
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Fälle: a) 0 < g < f
b) g = f
FH Münster, FB Physikalische Technik
virtuelles Bild, seitenrichtig, hinter dem Spiegel
kein Bild, (bei unendlich)
g
f
c) g > f
reelles Bild, seitenverkehrt, vor dem Spiegel
Abbildungsgleichung:
1 1 1
f b g
b=∞
g=f
Abbildungsmaßstab m
m 1 , Verkleinerung: m 1
Vergrößerung:
m
Bildgröße
Gegens tan dsgröße
B
G
m
b
g
(ohne Beweis folgt: )
g
b
Vorzeichen pos.: Bild aufrecht, neg: Bild steht Kopf
Bild reell => b positiv, virtuell => b negativ
Bsp.
ebener Spiegel: g = -b => m= +1
Vorzeichen pos: Bild ist aufrecht
4.4 Abbildung mit dünnen Linsen
Exp. optische Bank mit Dia, Weinglas u. Schirm
4.4.1 Grundlage
wir betrachten nur dünne Linsen, d.h. Materialdicke klein gegen Brennweite
Sammel-Linse (konvex)
Zerstreuungs-Linse (konkav)
Geometrie
Mitte dicker
Mitte dünner
Brennpunkt
reell
virtuell
Brennweite
f>0
f<0
82
b
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Schleifformel:
1 1
1
(n 1)
f
r1 r2
Linsengleichung:
1 1 1
f b g
Brechkraft
D
1
f
FH Münster, FB Physikalische Technik
(beachte r2 neg.)
b: Bildweite, g: Gegenstandsweite
[D] Dioptrien 1dpt = 1/m
Brillengläser: 1 – 5 Dioptrien.
Linsenkombination: D D j
(j dicht hinter einander stehende, dünne Linsen)
Brechkraft, nicht Brennweite addieren!
Bildkonstruktion
1) Strahlen parallel zur opt. Achse werden durch Brennpunkt gebrochen
2) Brennpunktstrahl wird parallel zur opt. Achse gebrochen
3) Mittelpunktstrahl wird nicht gebrochen
=> Bildpunkt = Schnittpunkt der Hauptstrahlen
Fälle für Sammellinsen:
a)
2f > g > f
reelles, vergrößertes Bild (siehe Abb.)
b)
g >> f
Bild im Brennpunkt der Linse
c)
g > 2f
verkleinertes, reelles Bild
d)
0<g<f
virtuelles Bild, Linse als Lupe
Zerstreuungslinse
Erzeugen immer virtuelle Bilder
Exp. optische Bank mit Dia, verschiebbarer Linse u. Schirm
um Linsengleichung zu zeigen
4.4.2 Vergrößerung
1 Abbildungsmaßstab:
m
2) Winkelvergrößerung:
B b
G g
v
Größenverhältnis Bild B / Gegenstand G
0
bezogen auf Sehwinkel des menschl. Auges
v>1
Gegenstand 25 cm vor dem Auge => v = 1
(Min. Abstand zum Scharfstellen)
83
v=1
v<1
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FH Münster, FB Physikalische Technik
Ziel optische Geräte: Sehwinkel ε vergrößern
Netzhaut trennt 2 Punkte, wenn Sehwinkel α ~ 1` = 1/60°
Auflösung:
4.5 Optische Geräte
Exp. Lochkamera: Hörsaal verdunkeln
4.5.1 Lupe
virtuelles Bild
0<g<f
Arbeitsbereich
Winkel
tan 0 0
G
, (ohne Lupe)
25 cm
Vergrößerung max.
g=f
Vergrößerung
v
=> tan
G
f
25 cm
0
f
4.5.2 Mikroskop
Ziel: Beobachtung von kleinen, nahen Gegenständen
Objektiv
fob
Gegenstand
g > fob mit g f ob
Okular
fok
Bild
B1
Tubuslänge
nahe am Gegenstand
am Auge
reell, vergrößert nahe bei fok
s
Abstand der Fokuspunkte FOb, FOk meist 16 cm
Scharf stellen: s variieren so dass Bild nahe bei fok liegt
Bild
B2
virtuelles Bild des vom Objektiv erzeugten (reellen) Bildes (seitenverkehrt)
Abbildungsmaßstab m
B1 s f ob
s
G
g
f ob
vm
Vergrößerung
(mit s s f ob , g f ob )
s 25 cm
0 f ob f ok
4.5.3 Keppler-Fernrohr
Ziel:
Beobachtung von großen, weit entfernte Gegenständen (Mond)
aufgebaut wie Mikroskop mit 2 Sammellinsen, aber 2 Unterschiede:
1) Objektiv
fob
größer als im Mikroskop
2) Foki
fob und fok
fallen zusammen
84
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Gegenstand
g >> fob mit g
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Zwischenbild B1
reell, fast in fob und fast in fok
End-Bild B2
virtuell, bei unendlich
Mit
ob tan ob
ok tan ok
=> Vergrößerung
v
B1
f ob
B1
f ok
ok
f
Ob
ob
f Ok
(v war def.: Ursprungswinkel / Betrachtungswinkel)
Fernglas:
Umkehrprismen drehen Bild wieder um
Fernrohre:
meist Hohlspiegel statt große Objektivlinsen, da Glaslinsen mit der Zeit fließen, große Spiegel präziser herstellbar
Exp. Mikroskop auf optischer Bank aufbauen
4.5.4 Das Auge
Formgebung, Fokussierung schlechter als bei billiger Kamera, große Abbildungsfehler, aber:
Kompensation
Brechung
durch Regelmechanismen
a)
Hornhaut (40 Dpt)
(Übergang Luft–Haut größter optischer Kontrast)
b)
Linse (15 Dpt)
kleine Brechkraft, Gewebe (Wasser) da
kaum Kontrast zum Glaskörper nLinse ~ nGlas,
Akkumodation
Linsenkrümmung durch Ringmuskel
Schärfentiefe
Irisblende variieren, Pupillendurchmesser 1 – 8 mm
Empfindlichkeit
Dynamik 1015 von min – max, besser als jeder Film, Messgerät
a)
Iris
1 – 100 Dynamik
b)
Retina Redox-Gleichgewicht des Sehstoffes einstellbar
c)
Zusammenschalten mehrerer Stäbchen (siehe Digitalkamera)
min ~ 10 Photonen
Fehlsichtigkeit
Fernpunkt liegt nicht bei unendlich
Kurzsichtig:
Fokus des Auges liegt vor Netzhaut
Weitsichtig:
„
hinter
85
„
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4.6 Linsenfehler
gute Abbildung durch Linsen nur dann, wenn kleine Winkel, d.h. wenn Näherung θ ~ tanθ gilt
Sphärische Aberation
Brennweite abhängig vom Abstand: Strahlen - opt. Achse
Maß:
FR - F
Problem:
Bilder unscharf, da Hauptstrahlen sich nicht
in einem Punkt schneiden
Lösung:
Randstrahlen abblenden
Astigmatismus
Linse nicht aus einer Kugelkrümmung sondern aus 2 oder
mehreren Krümmungen
Problem:
nicht ein Brennpunkt, sondern
mehrere Brennlinien
Chromatische Aberation
Brechungsindex ist abhängig von der Lichtwellenlänge
Problem:
jede Farbe hat eigenen Brennpunkt
Lösung:
Kombiniere Sammel- & Zerstreuungslinsen
mit nS nZ (Achromate)
Exp. Linsenfehler zeigen, chromatische Aberation
Zusammenfassung: Prüfungstrainer Kapitel 5.1, Fragen 5.1.1 – 5.1.18,
und Kapitel 5.2 ohne opt. Aktivität, Fragen 5.2.1 – 5.2.3, 5.2.7 – 5.2.9
5. Lichtausbreitung in Materie
Strahlen geben nur die Ausbreitungsrichtung der Lichtwelle an. Brechung / Reflexion in der
geometrischen Optik ergeben sich aus der Wellentheorie. Viele Lichtphänomene können nur
über das Wellenmodell des Lichtes erklärt werden, wie z.B. Interferenz.
5.1 Huygensches Prinzip
(1678)
aus dem momentanen Ort einer Wellenfront kann jede zukünftige Position
vorausgesagt werden (geometrisches Verfahren):
86
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„Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt kugelförmiger Elementarwellen. Der Ort
der Wellenfront ist gegeben durch die Tangente an die Sekundärwellen“
t = 0: Wellenfront auf Linie ab
Punkt: Zentrum der kugelförmigen Elementarwelle
t = Δt Ausbreitung um x = cΔt (Line cd)
=> Tangente = neue Wellenfront
5.2 Brechungsgesetz
Ziel: Herleitung des Brechungsgesetzes mit dem Wellenmodell.
Wellenübergang Medium 1 (Luft) => Medium 2 (Glas)
Luft
n1
Luft
Glas
Glas
Wellenlänge
λ1
λ2
n2
Geschwindigkeit
c1
c2
Brechungsindex
n1
n2
c2
zur Zeit
t = 0: Welle tritt durch Grenzfläche (Zentrum in h)
nach Zeit
Δt = λ1 /c1
Strecke ec in Luft zurück gelegt
Δt = λ2 /c2
Strecke hg in Glas zurück gelegt
=>
1 c1
,
2 c2
mit sin 1
=>
sin 1 1 c1
sin 2 2 c 2
definiere
nj
=>
sin 1 c1 c n1 n 2
sin 2 c 2 c n 2 n1
c
cj
c1
1
, sin 2 2 folgt
hc
hc
nj: Brechungsindex, c: Lichtgeschw. im Vakuum, cj: in Materie
Snells` Brechungsgesetz
Exp. Huygens-Wasserwellen, Doppelspalt, Brechung mit Wasser
Fermatsches Prinzip:
Licht sucht den Weg, auf dem es am schnellsten den Zielpunkt erreicht für Interessierte zum
selber erarbeiten (Modell: Rettungsschwimmer läuft Teilstrecke am Strand / schwimmt Rest)
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5.3 Übergang Vakuum - Materie
Werte im Vakuum:
n = 1, λ, c, f
Werte in Materie:
n > 1, λmat, cmat, fmat
A) Geschwindigkeit c mat
c
n
wird kleiner, da n > 1
B) Wellenlänge
n
sin 1
sin 2 mat
1
C) Frequenz
c mat mat f mat
=>
f mat
=> mat
n
Wellenlänge wird kürzer
in Materie
cn c
f
n
Frequenz ändert sich beim Übergang nicht!
5.4 Phasendifferenz
Wellenfront
Interferenz
Betrachte 2 parallele Strahlen, die 2 Medien durchqueren
Brechungsindex
n1 < n2
Geschwindigkeit
c1 > c2
Δλ
=> Phasenverschiebung, Gangunterschied Δλ zwischen beiden Wellen
Zahl der Wellenzüge in Medium (1,2)
N 1, 2
Ln1, 2
L
1, 2
=> Gangunterschied N 2 N 1
λ: Wellenlänge im Vakuum
L
n 2 n1
2y0
Interferenz der Wellenzüge:
y(x, t)
y0
konstruktiv wenn:
Δλ = mλ, m = 1, 2, 3, ….
destruktiv wenn:
Δλ = ½(2m + 1)λ, m = 1, 2, 3, ….
Anwendung:
x
Δ=λ/2
- Brechungsindex messen durch Interferenz
- Zeitverzögerung zwischen 2 Laserstrahlen einstellen
y0
y1(x, t)
y=0
x
Zusammenfassung: es geht weiter in Physik III, Prüfungstrainer Kapitel 5.3
88
y2(x, t)
