Übungen zur Elementaren Zahlentheorie Blatt 12 Prof. Dr. R

Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Prof. Dr. R. Weissauer
Th. Krämer
Blatt 12
Sommersemester 2013
Abgabe: 08. Juli 2013, 11:14 Uhr
Aufgabe 41. Zeigen Sie:
(a) Eine natürliche Zahl n ∈ N ist eine Summe dreier Quadrate ganzer Zahlen
genau dann, wenn 4n eine Summe dreier Quadratzahlen ist.
(b) Wenn n = 4a · (8k + 7) mit a, k ∈ N0 ist, dann lässt sich n nicht als Summe
dreier Quadratzahlen schreiben.
Tatsächlich gilt auch die Umkehrung von (b), ist aber schwieriger zu beweisen, weil
sie nicht wie im Falle von vier Quadraten direkt aus der Primfaktorzerlegung von n
folgt. Finden Sie Zahlen m, n ∈ N, die sich beide als Summe von drei Quadraten
schreiben lassen, deren Produkt mn aber keine Summe dreier Quadrate ist!
Aufgabe 42. (a) Bestimmen Sie durch Multiplikation geeigneter Quaternionen eine
Darstellung der Zahl 2013 = 3 · 11 · 61 als Summe von vier Quadraten!
(b) Zeigen Sie: Wenn eine Zahl n ∈ N sich als Summe zweier Quadrate rationaler
Zahlen schreiben lässt, dann auch als Summe zweier ganzer Zahlen.
Aufgabe 43. Seien a0 ∈ Z und a1 , a2 , · · · ∈ N gegeben. Für n ∈ N betrachten wir
die endlichen Kettenbrüche
xn := [a0 , a1 , . . . , an ] := a0 +
1
1
a1 +
..
Zeigen Sie
pn−1 z + pn−2
qn−1 z + qn−2
[a0 , a1 , . . . , an−1 + z1 ] =
.
+ a1n
für alle
z > 0,
wobei die pi , qi rekursiv durch
pi = ai · pi−1 + pi−2
und qi = ai · qi−1 + qi−2
mit den Anfangswerten p−1 = 1, p0 = a0 und q−1 = 0, q0 = 1 definiert seien.
Aufgabe 44. Zeigen Sie in der Situation der vorigen Aufgabe
pn−1 qn − pn qn−1 = (−1)n
und xn−1 − xn =
(−1)n
qn−1 qn
für n ∈ N
und folgern Sie, dass der Grenzwert x = limn→∞ xn ∈ R existiert. Man schreibt
auch x = [a0 , a1 , a2 , . . . ] und bezeichnet dies als eine
√ Darstellung von x durch einen
unendlichen Kettenbruch. Können Sie x = 1 + 2 als unendlichen Kettenbruch
schreiben? Tipp: Finden Sie a, b ∈ N mit der Eigenschaft x = a + b/x.
Die Übungsblätter und Informationen zur Vorlesung über Elementare Zahlentheorie
finden Sie auch auf der zugehörigen Homepage:
www.mathi.uni-heidelberg.de/~tkraemer/ElementareZahlentheorie/